典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为A (2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A (2，0)为长轴端点时，a =2，b =1，
x 2y 2
=1； 椭圆的标准方程为：+
41
（2）当A (2，0)为短轴端点时，b =2，a =4，
x 2y 2
=1； 椭圆的标准方程为：+
416
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
a 21
⨯2⨯ ∴3c 2=a 2， 解： 2c =c 3
∴e =
． -3说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的
齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x +y -1=0交于A 、B 两点，M 为AB 中点，
OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
x 2
解：由题意，设椭圆方程为2+y 2=1，
a
⎧x +y -1=0⎪22由⎨x 2，得()1+a x -2a 2x =0， 2
⎪2+y =1⎩a
1x 1+x 21+a 2
=2，y M =1-x M =∴x M =，
1+a 22a
k OM =
y M 11
=2=，∴a 2=4， x M a 4
x 2
∴+y 2=1为所求． 4
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
x 2y ⎛9⎫
例4椭圆+ =1上不同三点A (x 1，y 1)，B 4⎪，C (x 2，y 2)与焦点F (4，0)的距离成等差数列．
259⎝5⎭
2
（1）求证x 1+x 2=8；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．
证明：（1）由椭圆方程知a =5，b =3，c =4． 由圆锥曲线的统一定义知：
AF a 2
-x 1c
=
4c
，∴ AF =a -ex 1=5-x 1．
5a
同理 CF =5-
49
x 2．∵ AF +CF =2BF ，且BF =， 55
4⎫⎛4⎫18⎛
∴ 5-x 1⎪+ 5-x 2⎪=，即 x 1+x 2=8．
5⎭⎝5⎭5⎝
⎛y +y 2⎫
（2）因为线段AC 的中点为 41⎪，所以它的垂直平分线方程为
2⎝⎭
y -
y 1+y 2x 1-x 2
(x -4)． =
2y 1-y 2
2
y 12-y 2
又∵点T 在x 轴上，设其坐标为(x 0， 0)，代入上式，得 x 0-4=
2x 1-x 2又∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在椭圆上，
9
25-x 12 25922=25-x 2 y 2 25
92
=-(x 1+x 2)(x 1-x 2)． ∴ y 12-y 2
25
∴ y 12=
((
))
将此式代入①，并利用x 1+x 2=8的结论得x 0-4=-
36
∴ k BT 25
9-0
5==．
4-x 04
典型例题五
x 2y
例5 已知椭圆+问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN =1，F 1、F 2为两焦点，
43
2
是MF 1与MF 2的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M 存在，设M (x 1，y 1)，由已知条件得
a =2，b =3，∴c =1，e =
1． 2
∵左准线l 的方程是x =-4， ∴MN =4+x 1．
又由焦半径公式知：
11
MF 1=a -ex 1=2-x 1，MF 2=a +ex 1=2+x 1．
22
1⎫⎛1⎫2⎛2
∵MN =MF 1⋅MF 2，∴(x 1+4)= 2-x 1⎪ 2+x 1⎪．
2⎭⎝2⎭⎝
整理得5x 12+32x 1+48=0． 解之得x 1=-4或x 1=-
12
． ① 5
另一方面-2≤x 1≤2． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M 2cos θ3sin θ存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
x 2⎛11⎫
例6 已知椭圆+y 2=1，求过点P ⎪且被P 平分的弦所在的直线方程．
2⎝22⎭
()
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y -
11⎫⎛
=k x -⎪．代入椭圆方程，并整理得 22⎭⎝
(1+2k )x -(2k
2
2
2
13
-2k x +k 2-k +=0．
22
)
2k 2-2k
由韦达定理得x 1+x 2=． 2
1+2k
1
∵P 是弦中点，∴x 1+x 2=1．故得k =-．
2
所以所求直线方程为2x +4y -3=0．
y -y
分析二：设弦两端坐标为(x 1，y 1)、列关于x 1、12． (x 2，y 2)，x 2、y 1、y 2的方程组，
x 1-x 2⎛11⎫
解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由题意得
⎝22⎭⎧x 122
⎪+y 1=1，⎪22⎪x 22
⎨+y 2=1，⎪2
⎪x 1+x 2=1，⎪
⎩y 1+y 2=1.
①② ③④
2
x 12-x 22
+y 12-y 2=0． ⑤ ①－②得2
将③、④代入⑤得
1y 1-y 21
=-，即直线的斜率为-．所求直线方程为2x +4y -3=0．
2x 1-x 22
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；
（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
x 2y 2
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由2+2=1求出a 2=148，b 2=37，
a b x 2y 2y 2x 2
+=1后，不能依此写出另一方程+=1． 在得方程
1483714837
x 2y 2y 2x 2
解：（1）设椭圆的标准方程为2+2=1或2+2=1．
a b a b
由已知a =2b ． ①
-6)，因此有 又过点(2，
(22(-6)-6)22
+2=1或2+2=1． ② a 2b a b
2
2
由①、②，得a 2=148，b 2=37或a 2=52，b 2=13．故所求的方程为
x 2y 2y 2x 2
+=1或+=1． 148375213
x 2y 2x 2y 22
=1．（2）设方程为2+2=1．由已知，c =3，b =c =3，所以a =18．故所求方程为+
a b 189
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，
x 2y 2y 2x 2
若不能确定，应设方程2+2=1或2+2=1．
a b a b
典型例题八
x 2y 2
=1的右焦点为F ，过点A 1例8 椭圆+3，点M 在椭圆上，当AM +2MF 为最小值时，
1612
()
求点M 的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率e =般地，求AM +
1
MF 均可用此法． e
1
，右准线2
l ：x =8．
1
，把2MF 转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一2
解：由已知：a =4，c =2．所以e =
过A 作AQ ⊥l ，垂足为Q ，交椭圆于M ，故显然MQ =2MF ．
AM +2MF 的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此椭圆上．故x M =23．所以M 23．
说明：本题关键在于未知式AM +2MF 中的上，如图，e =
y M =3，且M 在
()
“2”的处理．事实
1
，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，2
使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
x 2
例9 求椭圆+y 2=1上的点到直线x -y +6=0的距离的最小值．
3
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
⎧x =cos θ，
解：椭圆的参数方程为⎨设椭圆上的点的坐标为
⎩y =sin θ.
3cos θ，sin θ)，则点到直线的距离为
d =
⎛π⎫2sin -θ ⎪+63cos θ-sin θ+63⎝⎭
． =
22
⎛π⎫
当sin -θ⎪=-1时，d 最小值=22．
⎝3⎭
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =
3⎛3⎫
，已知点P 0⎪到这个椭圆上的2⎝2⎭
点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注
意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
x 2y 2
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是2+2=1，其中a >b >0待定．
a b c 2a 2-b 2b 2
=1-2可得 由e =2=2
a a a
2
b 31
=-e 2=-=，即a =2b ． a 42设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离是d ，则
3⎫y 2⎫9⎛222⎛2
⎪d =x + y -⎪=a 1-+y -3y + b 2⎪24⎝⎭⎝⎭
2
91⎫⎛
=4b 2-3y 2-3y +=-3 y +⎪+4b 2+3
42⎭⎝其中-b ≤y ≤b ． 如果b
1
，则当y =-b 时，d 2（从而d ）有最大值． 2
2
由题设得
)
)
3113⎫⎛
= b +⎪，由此得b =7->，与b
2222⎭⎝
2
2
因此必有b ≥由题设得
11
成立，于是当y =-时，d 2（从而d ）有最大值． 22
2
=4b 2+3，可得b =1，a =2．
x 2y 2
=1． ∴所求椭圆方程是+
41
11⎫1⎫⎛⎛⎛3⎫
由y =-及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 -3，-⎪，点 3，-⎪到点P 0⎪的距离是7．
22⎭2⎭⎝⎝⎝2⎭
⎧x =a cos θ解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎨，其中a >b >0，待定，0≤θ≤2π，
⎩y =b sin θ
θ为参数．
2
由e 2
=c 2a 2-b 2⎛b ⎫a 2=a 2
=1- ⎝a ⎪⎭可得 b a =-e 2=-31
4=2
，即a =2b ． 设椭圆上的点(x ，y )到点P ⎛ 3⎫
⎝02⎪⎭
的距离为d ，则
22
d 2=x 2+⎛ 3⎫⎛
3⎫⎝y -2⎪⎭=a 2cos 2θ+ ⎝
b sin θ-2⎪⎭
=4b 2-3b 2sin 2θ-3b sin θ+9
4
2
=-3b 2⎛
⎝sin θ+1⎫2b ⎪⎭+4b 2+3
如果
12b >1，即b
2
，则当sin θ=-1时，d 2（从而d ）有最大值． 由题设得
)
2
2
=⎛
⎝
b +3⎫31112⎪⎭，由此得b =7-2>2，与b
于是当sin θ=-1
2b
时d 2（从而d ）有最大值． 由题设知
)
2
=4b 2+3，∴b =1，a =2．
∴所求椭圆的参数方程是⎧⎨x =2cos θ
⎩
y =sin θ．
由sin θ=-12，cos θ=±2，可得椭圆上的是⎛
1⎫⎛1⎫⎝
-3，-2⎪⎭， ⎝3，-2⎪⎭．
典型例题十一
例11 设x ，y ∈R ，2x 2+3y 2=6x ，求x 2+y 2+2x 的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x 2+3y 2=6x 与椭圆方程的结构一致．设
x 2+y 2+2x =m ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由2x 2+3y 2=6x ，得
3⎫⎛
x -⎪y 2⎪+=1 ⎪ ⎪
2⎝4⎭
2
⎛3⎫
可见它表示一个椭圆，其中心在 ，0⎪点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
2⎝⎭
设x 2+y 2+2x =m ，则 (x +1)+y 2=m +1
2
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m +1(m >-1)．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即
m +1=1，此时m =0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m +1=4，∴m =15． ∴x 2+y 2+2x 的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
x 2y 2
例12 已知椭圆C 2+2=1(a >b >0)，A 、B 是其长轴的两个端点．
a b
（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，∠APB ≠120 ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使∠AQB =120 ，求C 的离心率e 的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从∠APB 和∠AQB 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭
a 222ay 22
=-3，将x =a -2y 代入，圆的固有性质：x ≤a ，y ≤b ，根据∠AQB =120得到2
22
b x +y -a
消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用y ≤b 列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设F (c ，0)，A (-a ，0)，B (a ，0)．
⎧x =c ⎛b 2⎫
⎨22 ⇒P c ⎪2222 ⎪
⎝a ⎭⎩b x +a y =a b 于是k AP
b 2b 2
，k BP =． =
a c +a a c -a b 2b 2
-
2a 2a c -a a c +a ∵∠APB 是AP 到BP 的角．∴tan ∠APB ==-2 4
b c
1+22
a c -a 2
∵a 2>c 2∴tan ∠APB
y y ，k QB =． x +a x -a
由于对称性，不妨设y >0，于是∠AQB 是QA 到QB 的角．
y y
-
2ay =∴tan ∠AQB =
y 2x 2+y 2-a 2
1+x -a ∵∠AQB =120 ， ∴
2ay
=-3
x 2+y 2-a 2
2
2
⎛a 2⎫2a 22
整理得x +y -a +2ay =0∵x =a -2y ∴3 1-b 2⎪⎪y +2ay =0 b ⎝⎭
(
222
)
2ab 22ab 2∵y ≠0， ∴y = ∵y ≤b ， ∴≤b 22
c c
2ab ≤3c 2，4a 2a 2-c 2≤3c 2 ∴4c 4+4a 2c 2-4a 4≥0，3e 4+4e 2-4≥0 ∴e 2≥
36
≤e
23
()
典型例题十三
1x 2y 2
+=1的离心率e =，求k 的值． 例13 已知椭圆
2k +89
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2=k +8，b 2=9，得c 2=k -1．由e =
1
，得k =4． 2
当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2=9，b 2=k +8，得c 2=1-k ．
11-k 15
=，即k =-． ，得
2944
5
∴满足条件的k =4或k =-．
4
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k +8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可
由e =
能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
x 2y 2
例14 已知椭圆2+2=1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1) ，求P 到左准线的距离．
4b b
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
x 2y 23
解法一：由2+2=1，得a =2b ，c =b ，e =．
24b b
由椭圆定义，PF 1+PF 2=2a =4b ，得
PF 1=4b -PF 2=4b -b =3b ． 由椭圆第二定义，
PF 1e
PF 1d 1
=e ，d 1为P 到左准线的距离，
∴d 1=
=2b ，
即P 到左准线的距离为2b ． 解法二：∵
PF 2d 2
PF 2e
=e ，d 2为P 到右准线的距离，e =
c ， =
a 2
∴d 2=
2a 283
=b ．又椭圆两准线的距离为2⋅=b ． 3c 3
823
b -b =2b ． 33
∴P 到左准线的距离为
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
⎧x =4cos α, π
例15 设椭圆⎨(α为参数) 上一点P 与x 轴正向所成角∠POx =，求P 点坐标．
3⎩y =23sin α.
分析：利用参数α与∠POx 之间的关系求解．
解：设P (4cos α, 2sin α) ，由P 与x 轴正向所成角为∴tan
π， 3
π
3
=
23sin α
，即tan α=2．
4cos α
45452，sin α=，∴P 点坐标为(, ) ． 5555
而sin α>0，cos α>0，由此得到cos α=
典型例题十六
x 2y 2
例16 设P (x 0, y 0) 是离心率为e 的椭圆2+2=1 (a >b >0) 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点
a b
F 2的距离分别为r 1和r 2，求证：r 1=a +ex 0，r 2=a -ex 0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相
应准线距离．
PF 1a 2a 2
解：P 点到椭圆的左准线l ：x =-的距离，PQ =x 0+，由椭圆第二定义，=e ，
c c PQ ∴r 1=e =a +ex 0，由椭圆第一定义，r 2=2a -r 1=a -ex 0．
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．
典型例题十七
x 2y 2
=1内有一点A (1, 1) ，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．例17 已知椭圆+
95
P 坐标； (1) 求+PF 1的最大值、最小值及对应的点
3
PF 2的最小值及对应的点P 的坐标． 2
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
(2) 求PA +
解：
(1)如上图，2a =6，F 2(2, 0) ，AF 2=2，设P 是椭圆上任一点，由PF 1+PF 2=2a =6，∴+PF 等号仅当=PF 2-AF 2时≥PF 2-AF 2，1≥PF 1+PF 2-AF 2=2a -AF 2=6-2，成立，此时P 、A 、F 2共线．
由≤PF 2+AF 2，∴+PF 1≤PF 1+PF 2+AF 2=2a +AF 2=6+2，等号仅当
=PF 2+AF 2时成立，此时P 、A 、F 2共线．
⎧x +y -2=0, 建立A 、F 2的直线方程x +y -2=0，解方程组⎨2得两交点 2
5x +9y =45⎩
[1**********]5
P (-2, +2) P (+2, -2) ． 、12
[1**********]4
P 点与P 2重合时，+PF 2取最大值综上所述，P 点与P 1重合时，PA +PF 1取最小值6-2，
6+2．
(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由a =3，c =2，∴e =椭圆第二定义知
2
．由3
PF 2PQ
=e =
332
，∴PQ =PF 2，∴PA +PF 2=PA +PQ ，要使其和最小需有A 、P 、
223
Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为x =
9
．
2
∴A 到右准线距离为
7
．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐2
标(
16, 1) ．说明：求PA +PF 2的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧
e 5
用焦点半径PF 2与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
x 2y 2
=1的参数方程； 例18 (1)写出椭圆+
94
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
⎧x =3cos θ
解：(1) ⎨(θ∈R ) ．
⎩y =2sin θ
(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设(3cos θ, 2sin θ)
π
为矩形在第一象限的顶点，(0
2
则S =4⨯3cos θ⨯2sin θ=12sin 2θ≤12 故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF 1F 2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
x 2y 2
+=1（a >b >0），P (x 1, y 1) （y 1>0）． a 2b 2
思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan 60︒=
K PF 2-K PF 11+K PF 2K PF 1
2
2
=3，设P (x 1, y 1) ，
x y 2
F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) ，化简可得x +y -2cy 1-c =0．又12+12=1，两方程联立消去x 1得
a b
2
1
21
2
c 2y 1+2b 2cy 1-b 4=0，由y 1∈(0, b ]，可以确定离心率的取值范围；解出y 1可以求出∆PF 1F 2的面积，但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式PF 1F 2中运用余弦定理，求x 1，再利1=a +ex 1，PF 2=a -ex 1，在∆PF 用x 1∈[-a , a ]，可以确定离心率e 的取值范围，将x 1代入椭圆方程中求y 1，便可求出∆PF 1F 2的面积．
2
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF 1+PF 2=2a 求解．
x 2y 2
解：(法1) 设椭圆方程为2+2=1（a >b >0），P (x 1, y 1) ，F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) ，c >0，
a b
则PF 1=a +ex 1，PF 2=a -ex 1． 在∆PF 1F 2中，由余弦定理得
1(a +ex 1) 2+(a -ex 1) 2-4c 2
， cos 60︒==
22(a +ex 1)(a -ex 1)
4c 2-a 2
解得x 1=．
3e 2
2
(1)∵x 1∈(0, a 2]，
4c 2-a 2
3e
2
∴e =
c 1≥． a 2
1
故椭圆离心率的取范围是e ∈[, 1) ．
2
4c 2-a 2x 2y 2
(2)将x 1=代入2+2=1得
a b 3e 2
2
b 4b 2
y 1=2，即y 1=．
3c c
2
∴S ∆PF 1F 2
11b 232
=F 1F 2⋅y =⋅2c ⋅=b ． 2233c
即∆PF 1F 2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2) 设PF 2F 1=α，∠PF 1F 2=β， 1=m ，PF 2=n ，∠PF
则α+β=120︒．
(1)在∆PF 1F 2中，由正弦定理得
m n 2c ==． sin αsin βsin 60︒
∴
m +n 2c
=
sin α+sin βsin 60︒
∵m +n =2a ， ∴
2a 2c
， =
sin α+sin βsin 60︒
∴e =
c sin 60︒sin 60︒
==
a sin α+sin β2sin +cos -22
11=≥．
-22cos
2
当且仅当α=β时等号成立．
1
故椭圆离心率的取值范围是e ∈[, 1) ．
2
(2)在∆PF 1F 2中，由余弦定理得：
(2c ) 2=m 2+n 2-2mn cos 60︒
=m 2+n 2-mn =(m +n ) 2-3mn ∵m +n =2a ，
∴4c 2=4a 2-3mn ，即mn =∴S ∆PF 1F 2=
424
(a -c 2) =b 2． 33
132
mn sin 60︒=b ． 23
即∆PF 1F 2的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P 与两个焦点F 1，F 2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF 1+PF 2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．
典型例题二十
x 2y 2
例20 椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使
a b OP ⊥AP (O 为坐标原点) ，求其离心率e 的取值范围．
分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把OP ⊥AP ，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
⎧x =a cos θ
(a >b >0) ， 解：设椭圆的参数方程是⎨
⎩y =b sin θ
则椭圆上的点P (a cos θ, b sin θ) ，A (a , 0) ， ∵OP ⊥AP ，∴
b sin θb sin θ
⋅=-1，
a cos θa cos θ-a
2
2
b 2
即(a -b ) cos θ-a cos θ+b =0，解得cos θ=1或cos θ=2，
a -b 2
2
2
2
b 2222
a -b
a 2
∴0
c
∴e >
22，又0
2
, 1) ，求证在椭圆上总存在点P 使OP ⊥AP ．如何证明？ 2
说明：若已知椭圆离心率范围(
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为A (2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A (2，0)为长轴端点时，a =2，b =1，
x 2y 2
=1； 椭圆的标准方程为：+
41
（2）当A (2，0)为短轴端点时，b =2，a =4，
x 2y 2
=1； 椭圆的标准方程为：+
416
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
a 21
⨯2⨯ ∴3c 2=a 2， 解： 2c =c 3
∴e =
． -3说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的
齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x +y -1=0交于A 、B 两点，M 为AB 中点，
OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
x 2
解：由题意，设椭圆方程为2+y 2=1，
a
⎧x +y -1=0⎪22由⎨x 2，得()1+a x -2a 2x =0， 2
⎪2+y =1⎩a
1x 1+x 21+a 2
=2，y M =1-x M =∴x M =，
1+a 22a
k OM =
y M 11
=2=，∴a 2=4， x M a 4
x 2
∴+y 2=1为所求． 4
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
x 2y ⎛9⎫
例4椭圆+ =1上不同三点A (x 1，y 1)，B 4⎪，C (x 2，y 2)与焦点F (4，0)的距离成等差数列．
259⎝5⎭
2
（1）求证x 1+x 2=8；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．
证明：（1）由椭圆方程知a =5，b =3，c =4． 由圆锥曲线的统一定义知：
AF a 2
-x 1c
=
4c
，∴ AF =a -ex 1=5-x 1．
5a
同理 CF =5-
49
x 2．∵ AF +CF =2BF ，且BF =， 55
4⎫⎛4⎫18⎛
∴ 5-x 1⎪+ 5-x 2⎪=，即 x 1+x 2=8．
5⎭⎝5⎭5⎝
⎛y +y 2⎫
（2）因为线段AC 的中点为 41⎪，所以它的垂直平分线方程为
2⎝⎭
y -
y 1+y 2x 1-x 2
(x -4)． =
2y 1-y 2
2
y 12-y 2
又∵点T 在x 轴上，设其坐标为(x 0， 0)，代入上式，得 x 0-4=
2x 1-x 2又∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在椭圆上，
9
25-x 12 25922=25-x 2 y 2 25
92
=-(x 1+x 2)(x 1-x 2)． ∴ y 12-y 2
25
∴ y 12=
((
))
将此式代入①，并利用x 1+x 2=8的结论得x 0-4=-
36
∴ k BT 25
9-0
5==．
4-x 04
典型例题五
x 2y
例5 已知椭圆+问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN =1，F 1、F 2为两焦点，
43
2
是MF 1与MF 2的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M 存在，设M (x 1，y 1)，由已知条件得
a =2，b =3，∴c =1，e =
1． 2
∵左准线l 的方程是x =-4， ∴MN =4+x 1．
又由焦半径公式知：
11
MF 1=a -ex 1=2-x 1，MF 2=a +ex 1=2+x 1．
22
1⎫⎛1⎫2⎛2
∵MN =MF 1⋅MF 2，∴(x 1+4)= 2-x 1⎪ 2+x 1⎪．
2⎭⎝2⎭⎝
整理得5x 12+32x 1+48=0． 解之得x 1=-4或x 1=-
12
． ① 5
另一方面-2≤x 1≤2． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M 2cos θ3sin θ存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
x 2⎛11⎫
例6 已知椭圆+y 2=1，求过点P ⎪且被P 平分的弦所在的直线方程．
2⎝22⎭
()
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y -
11⎫⎛
=k x -⎪．代入椭圆方程，并整理得 22⎭⎝
(1+2k )x -(2k
2
2
2
13
-2k x +k 2-k +=0．
22
)
2k 2-2k
由韦达定理得x 1+x 2=． 2
1+2k
1
∵P 是弦中点，∴x 1+x 2=1．故得k =-．
2
所以所求直线方程为2x +4y -3=0．
y -y
分析二：设弦两端坐标为(x 1，y 1)、列关于x 1、12． (x 2，y 2)，x 2、y 1、y 2的方程组，
x 1-x 2⎛11⎫
解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由题意得
⎝22⎭⎧x 122
⎪+y 1=1，⎪22⎪x 22
⎨+y 2=1，⎪2
⎪x 1+x 2=1，⎪
⎩y 1+y 2=1.
①② ③④
2
x 12-x 22
+y 12-y 2=0． ⑤ ①－②得2
将③、④代入⑤得
1y 1-y 21
=-，即直线的斜率为-．所求直线方程为2x +4y -3=0．
2x 1-x 22
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；
（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
x 2y 2
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由2+2=1求出a 2=148，b 2=37，
a b x 2y 2y 2x 2
+=1后，不能依此写出另一方程+=1． 在得方程
1483714837
x 2y 2y 2x 2
解：（1）设椭圆的标准方程为2+2=1或2+2=1．
a b a b
由已知a =2b ． ①
-6)，因此有 又过点(2，
(22(-6)-6)22
+2=1或2+2=1． ② a 2b a b
2
2
由①、②，得a 2=148，b 2=37或a 2=52，b 2=13．故所求的方程为
x 2y 2y 2x 2
+=1或+=1． 148375213
x 2y 2x 2y 22
=1．（2）设方程为2+2=1．由已知，c =3，b =c =3，所以a =18．故所求方程为+
a b 189
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，
x 2y 2y 2x 2
若不能确定，应设方程2+2=1或2+2=1．
a b a b
典型例题八
x 2y 2
=1的右焦点为F ，过点A 1例8 椭圆+3，点M 在椭圆上，当AM +2MF 为最小值时，
1612
()
求点M 的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率e =般地，求AM +
1
MF 均可用此法． e
1
，右准线2
l ：x =8．
1
，把2MF 转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一2
解：由已知：a =4，c =2．所以e =
过A 作AQ ⊥l ，垂足为Q ，交椭圆于M ，故显然MQ =2MF ．
AM +2MF 的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此椭圆上．故x M =23．所以M 23．
说明：本题关键在于未知式AM +2MF 中的上，如图，e =
y M =3，且M 在
()
“2”的处理．事实
1
，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，2
使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
x 2
例9 求椭圆+y 2=1上的点到直线x -y +6=0的距离的最小值．
3
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
⎧x =cos θ，
解：椭圆的参数方程为⎨设椭圆上的点的坐标为
⎩y =sin θ.
3cos θ，sin θ)，则点到直线的距离为
d =
⎛π⎫2sin -θ ⎪+63cos θ-sin θ+63⎝⎭
． =
22
⎛π⎫
当sin -θ⎪=-1时，d 最小值=22．
⎝3⎭
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =
3⎛3⎫
，已知点P 0⎪到这个椭圆上的2⎝2⎭
点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注
意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
x 2y 2
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是2+2=1，其中a >b >0待定．
a b c 2a 2-b 2b 2
=1-2可得 由e =2=2
a a a
2
b 31
=-e 2=-=，即a =2b ． a 42设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离是d ，则
3⎫y 2⎫9⎛222⎛2
⎪d =x + y -⎪=a 1-+y -3y + b 2⎪24⎝⎭⎝⎭
2
91⎫⎛
=4b 2-3y 2-3y +=-3 y +⎪+4b 2+3
42⎭⎝其中-b ≤y ≤b ． 如果b
1
，则当y =-b 时，d 2（从而d ）有最大值． 2
2
由题设得
)
)
3113⎫⎛
= b +⎪，由此得b =7->，与b
2222⎭⎝
2
2
因此必有b ≥由题设得
11
成立，于是当y =-时，d 2（从而d ）有最大值． 22
2
=4b 2+3，可得b =1，a =2．
x 2y 2
=1． ∴所求椭圆方程是+
41
11⎫1⎫⎛⎛⎛3⎫
由y =-及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 -3，-⎪，点 3，-⎪到点P 0⎪的距离是7．
22⎭2⎭⎝⎝⎝2⎭
⎧x =a cos θ解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎨，其中a >b >0，待定，0≤θ≤2π，
⎩y =b sin θ
θ为参数．
2
由e 2
=c 2a 2-b 2⎛b ⎫a 2=a 2
=1- ⎝a ⎪⎭可得 b a =-e 2=-31
4=2
，即a =2b ． 设椭圆上的点(x ，y )到点P ⎛ 3⎫
⎝02⎪⎭
的距离为d ，则
22
d 2=x 2+⎛ 3⎫⎛
3⎫⎝y -2⎪⎭=a 2cos 2θ+ ⎝
b sin θ-2⎪⎭
=4b 2-3b 2sin 2θ-3b sin θ+9
4
2
=-3b 2⎛
⎝sin θ+1⎫2b ⎪⎭+4b 2+3
如果
12b >1，即b
2
，则当sin θ=-1时，d 2（从而d ）有最大值． 由题设得
)
2
2
=⎛
⎝
b +3⎫31112⎪⎭，由此得b =7-2>2，与b
于是当sin θ=-1
2b
时d 2（从而d ）有最大值． 由题设知
)
2
=4b 2+3，∴b =1，a =2．
∴所求椭圆的参数方程是⎧⎨x =2cos θ
⎩
y =sin θ．
由sin θ=-12，cos θ=±2，可得椭圆上的是⎛
1⎫⎛1⎫⎝
-3，-2⎪⎭， ⎝3，-2⎪⎭．
典型例题十一
例11 设x ，y ∈R ，2x 2+3y 2=6x ，求x 2+y 2+2x 的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x 2+3y 2=6x 与椭圆方程的结构一致．设
x 2+y 2+2x =m ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由2x 2+3y 2=6x ，得
3⎫⎛
x -⎪y 2⎪+=1 ⎪ ⎪
2⎝4⎭
2
⎛3⎫
可见它表示一个椭圆，其中心在 ，0⎪点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
2⎝⎭
设x 2+y 2+2x =m ，则 (x +1)+y 2=m +1
2
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m +1(m >-1)．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即
m +1=1，此时m =0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m +1=4，∴m =15． ∴x 2+y 2+2x 的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
x 2y 2
例12 已知椭圆C 2+2=1(a >b >0)，A 、B 是其长轴的两个端点．
a b
（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，∠APB ≠120 ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使∠AQB =120 ，求C 的离心率e 的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从∠APB 和∠AQB 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭
a 222ay 22
=-3，将x =a -2y 代入，圆的固有性质：x ≤a ，y ≤b ，根据∠AQB =120得到2
22
b x +y -a
消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用y ≤b 列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设F (c ，0)，A (-a ，0)，B (a ，0)．
⎧x =c ⎛b 2⎫
⎨22 ⇒P c ⎪2222 ⎪
⎝a ⎭⎩b x +a y =a b 于是k AP
b 2b 2
，k BP =． =
a c +a a c -a b 2b 2
-
2a 2a c -a a c +a ∵∠APB 是AP 到BP 的角．∴tan ∠APB ==-2 4
b c
1+22
a c -a 2
∵a 2>c 2∴tan ∠APB
y y ，k QB =． x +a x -a
由于对称性，不妨设y >0，于是∠AQB 是QA 到QB 的角．
y y
-
2ay =∴tan ∠AQB =
y 2x 2+y 2-a 2
1+x -a ∵∠AQB =120 ， ∴
2ay
=-3
x 2+y 2-a 2
2
2
⎛a 2⎫2a 22
整理得x +y -a +2ay =0∵x =a -2y ∴3 1-b 2⎪⎪y +2ay =0 b ⎝⎭
(
222
)
2ab 22ab 2∵y ≠0， ∴y = ∵y ≤b ， ∴≤b 22
c c
2ab ≤3c 2，4a 2a 2-c 2≤3c 2 ∴4c 4+4a 2c 2-4a 4≥0，3e 4+4e 2-4≥0 ∴e 2≥
36
≤e
23
()
典型例题十三
1x 2y 2
+=1的离心率e =，求k 的值． 例13 已知椭圆
2k +89
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2=k +8，b 2=9，得c 2=k -1．由e =
1
，得k =4． 2
当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2=9，b 2=k +8，得c 2=1-k ．
11-k 15
=，即k =-． ，得
2944
5
∴满足条件的k =4或k =-．
4
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k +8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可
由e =
能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
x 2y 2
例14 已知椭圆2+2=1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1) ，求P 到左准线的距离．
4b b
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
x 2y 23
解法一：由2+2=1，得a =2b ，c =b ，e =．
24b b
由椭圆定义，PF 1+PF 2=2a =4b ，得
PF 1=4b -PF 2=4b -b =3b ． 由椭圆第二定义，
PF 1e
PF 1d 1
=e ，d 1为P 到左准线的距离，
∴d 1=
=2b ，
即P 到左准线的距离为2b ． 解法二：∵
PF 2d 2
PF 2e
=e ，d 2为P 到右准线的距离，e =
c ， =
a 2
∴d 2=
2a 283
=b ．又椭圆两准线的距离为2⋅=b ． 3c 3
823
b -b =2b ． 33
∴P 到左准线的距离为
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
⎧x =4cos α, π
例15 设椭圆⎨(α为参数) 上一点P 与x 轴正向所成角∠POx =，求P 点坐标．
3⎩y =23sin α.
分析：利用参数α与∠POx 之间的关系求解．
解：设P (4cos α, 2sin α) ，由P 与x 轴正向所成角为∴tan
π， 3
π
3
=
23sin α
，即tan α=2．
4cos α
45452，sin α=，∴P 点坐标为(, ) ． 5555
而sin α>0，cos α>0，由此得到cos α=
典型例题十六
x 2y 2
例16 设P (x 0, y 0) 是离心率为e 的椭圆2+2=1 (a >b >0) 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点
a b
F 2的距离分别为r 1和r 2，求证：r 1=a +ex 0，r 2=a -ex 0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相
应准线距离．
PF 1a 2a 2
解：P 点到椭圆的左准线l ：x =-的距离，PQ =x 0+，由椭圆第二定义，=e ，
c c PQ ∴r 1=e =a +ex 0，由椭圆第一定义，r 2=2a -r 1=a -ex 0．
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．
典型例题十七
x 2y 2
=1内有一点A (1, 1) ，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．例17 已知椭圆+
95
P 坐标； (1) 求+PF 1的最大值、最小值及对应的点
3
PF 2的最小值及对应的点P 的坐标． 2
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
(2) 求PA +
解：
(1)如上图，2a =6，F 2(2, 0) ，AF 2=2，设P 是椭圆上任一点，由PF 1+PF 2=2a =6，∴+PF 等号仅当=PF 2-AF 2时≥PF 2-AF 2，1≥PF 1+PF 2-AF 2=2a -AF 2=6-2，成立，此时P 、A 、F 2共线．
由≤PF 2+AF 2，∴+PF 1≤PF 1+PF 2+AF 2=2a +AF 2=6+2，等号仅当
=PF 2+AF 2时成立，此时P 、A 、F 2共线．
⎧x +y -2=0, 建立A 、F 2的直线方程x +y -2=0，解方程组⎨2得两交点 2
5x +9y =45⎩
[1**********]5
P (-2, +2) P (+2, -2) ． 、12
[1**********]4
P 点与P 2重合时，+PF 2取最大值综上所述，P 点与P 1重合时，PA +PF 1取最小值6-2，
6+2．
(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由a =3，c =2，∴e =椭圆第二定义知
2
．由3
PF 2PQ
=e =
332
，∴PQ =PF 2，∴PA +PF 2=PA +PQ ，要使其和最小需有A 、P 、
223
Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为x =
9
．
2
∴A 到右准线距离为
7
．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐2
标(
16, 1) ．说明：求PA +PF 2的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧
e 5
用焦点半径PF 2与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．
典型例题十八
x 2y 2
=1的参数方程； 例18 (1)写出椭圆+
94
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
⎧x =3cos θ
解：(1) ⎨(θ∈R ) ．
⎩y =2sin θ
(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设(3cos θ, 2sin θ)
π
为矩形在第一象限的顶点，(0
2
则S =4⨯3cos θ⨯2sin θ=12sin 2θ≤12 故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
典型例题十九
例19 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF 1F 2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
x 2y 2
+=1（a >b >0），P (x 1, y 1) （y 1>0）． a 2b 2
思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan 60︒=
K PF 2-K PF 11+K PF 2K PF 1
2
2
=3，设P (x 1, y 1) ，
x y 2
F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) ，化简可得x +y -2cy 1-c =0．又12+12=1，两方程联立消去x 1得
a b
2
1
21
2
c 2y 1+2b 2cy 1-b 4=0，由y 1∈(0, b ]，可以确定离心率的取值范围；解出y 1可以求出∆PF 1F 2的面积，但这一过程很繁．
思路二：利用焦半径公式PF 1F 2中运用余弦定理，求x 1，再利1=a +ex 1，PF 2=a -ex 1，在∆PF 用x 1∈[-a , a ]，可以确定离心率e 的取值范围，将x 1代入椭圆方程中求y 1，便可求出∆PF 1F 2的面积．
2
思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF 1+PF 2=2a 求解．
x 2y 2
解：(法1) 设椭圆方程为2+2=1（a >b >0），P (x 1, y 1) ，F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) ，c >0，
a b
则PF 1=a +ex 1，PF 2=a -ex 1． 在∆PF 1F 2中，由余弦定理得
1(a +ex 1) 2+(a -ex 1) 2-4c 2
， cos 60︒==
22(a +ex 1)(a -ex 1)
4c 2-a 2
解得x 1=．
3e 2
2
(1)∵x 1∈(0, a 2]，
4c 2-a 2
3e
2
∴e =
c 1≥． a 2
1
故椭圆离心率的取范围是e ∈[, 1) ．
2
4c 2-a 2x 2y 2
(2)将x 1=代入2+2=1得
a b 3e 2
2
b 4b 2
y 1=2，即y 1=．
3c c
2
∴S ∆PF 1F 2
11b 232
=F 1F 2⋅y =⋅2c ⋅=b ． 2233c
即∆PF 1F 2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2) 设PF 2F 1=α，∠PF 1F 2=β， 1=m ，PF 2=n ，∠PF
则α+β=120︒．
(1)在∆PF 1F 2中，由正弦定理得
m n 2c ==． sin αsin βsin 60︒
∴
m +n 2c
=
sin α+sin βsin 60︒
∵m +n =2a ， ∴
2a 2c
， =
sin α+sin βsin 60︒
∴e =
c sin 60︒sin 60︒
==
a sin α+sin β2sin +cos -22
11=≥．
-22cos
2
当且仅当α=β时等号成立．
1
故椭圆离心率的取值范围是e ∈[, 1) ．
2
(2)在∆PF 1F 2中，由余弦定理得：
(2c ) 2=m 2+n 2-2mn cos 60︒
=m 2+n 2-mn =(m +n ) 2-3mn ∵m +n =2a ，
∴4c 2=4a 2-3mn ，即mn =∴S ∆PF 1F 2=
424
(a -c 2) =b 2． 33
132
mn sin 60︒=b ． 23
即∆PF 1F 2的面积与椭圆短轴长有关．
说明：椭圆上的一点P 与两个焦点F 1，F 2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF 1+PF 2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．
典型例题二十
x 2y 2
例20 椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使
a b OP ⊥AP (O 为坐标原点) ，求其离心率e 的取值范围．
分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把OP ⊥AP ，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
⎧x =a cos θ
(a >b >0) ， 解：设椭圆的参数方程是⎨
⎩y =b sin θ
则椭圆上的点P (a cos θ, b sin θ) ，A (a , 0) ， ∵OP ⊥AP ，∴
b sin θb sin θ
⋅=-1，
a cos θa cos θ-a
2
2
b 2
即(a -b ) cos θ-a cos θ+b =0，解得cos θ=1或cos θ=2，
a -b 2
2
2
2
b 2222
a -b
a 2
∴0
c
∴e >
22，又0
2
, 1) ，求证在椭圆上总存在点P 使OP ⊥AP ．如何证明？ 2
说明：若已知椭圆离心率范围(