极限概念的引入
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.
我国古代数学家刘徽(公元3世纪) 利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法:割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.1、割圆术:
割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体而无所失矣.
刘徽
2、截丈问题:
一尺之棰,日截其半,万世不竭.
注:在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法.
一、数列极限的定性描述
按 一定次序排列的无穷多个数
x 1, x 2, ⋯, x n , ⋯
称为无穷数列, 简称数列. 可简记为{x n }. 其中的每个数称为数列的项, x n 称为通项(一般项). 注:(1)数列可看作数轴上一个动点, 它在数轴上依次取值
x 1, x 2, ⋯, x n , ⋯; x n =f (n ).
n 的函数:(2)数列可看作自变量为正整数
{x n }与常数a , 如果当n 无限增定义1设有数列
a 则称常数a 为数列{x n }收大时, x n 无限接近于 ,a 记为敛于 ,
l n im x =a , x →a (n →∞). 或n n →∞
如果一个数列没有极限, 就称该数列是发散的. 注:记号x n →a (n →∞) 常读作:当n 趋于无穷大时,
x n 趋于a .
极限概念的引入
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.
我国古代数学家刘徽(公元3世纪) 利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法:割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.1、割圆术:
割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体而无所失矣.
刘徽
2、截丈问题:
一尺之棰,日截其半,万世不竭.
注:在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法.
一、数列极限的定性描述
按 一定次序排列的无穷多个数
x 1, x 2, ⋯, x n , ⋯
称为无穷数列, 简称数列. 可简记为{x n }. 其中的每个数称为数列的项, x n 称为通项(一般项). 注:(1)数列可看作数轴上一个动点, 它在数轴上依次取值
x 1, x 2, ⋯, x n , ⋯; x n =f (n ).
n 的函数:(2)数列可看作自变量为正整数
{x n }与常数a , 如果当n 无限增定义1设有数列
a 则称常数a 为数列{x n }收大时, x n 无限接近于 ,a 记为敛于 ,
l n im x =a , x →a (n →∞). 或n n →∞
如果一个数列没有极限, 就称该数列是发散的. 注:记号x n →a (n →∞) 常读作:当n 趋于无穷大时,
x n 趋于a .