欧拉公式的简单应用

第3期                            高中数学教与学○短文集锦○

欧拉公式的简单应用

吕佐良

(陕西省西安远东二中, 710077)

  欧拉公式:V +F -E =2是描述简单多面体的顶点数(V ) 、面数(F ) 、棱数(E ) 之间的特有规律的一个公式. 这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性质, 即V +F -E 是一个拓扑不变数. 用欧拉公式可以轻松求解有关多面体的棱数、面数、顶点数、各面多边形的内角等综合问题.

一般地, 对于简单多面体, 其棱数E 有以下三种计算方法:

(1) 利用欧拉公式V +F -E =2; (2) n n 2, …, n F , 则总棱数E (A ) 4条 (B ) 5条 (C ) 6条 (D ) 7条

简析 F =12, V =8, E =V

+F -2=

18. 设其它顶点各有x 条棱, 则有E =

+6x ) , 解得x =4, 故选A .

(2×62

例3 将正四面体的各棱三等分, 经过三分之一点, 把正四面体的4个相等的小正四面体, .

(n 1F ) .

地, 时, E =

2

(2) 设各顶点引出的棱数分别为m 1, m 2,

简析 如图1, 截去4个角后, 原正四面体的面被截成六边形, 有4个六边形的面, 截面为4个三角形, 所以F =4+4=8. 每一个截面有3个顶点, 4个截面共有顶点数V =3×

4=12. 一个截面有3条棱, 4个截面有12条

…, m r , 则总棱数E =

(m 1+m2+…+mV ) . 2

.

特别地, 若各顶点引出的棱数都相等, 设为n 条, 则总棱数E =

2

棱, 还有原来的四面体的6条棱, 所以E =12

+6=18, 所以V +F -E =12+8-18=2,

例1 一个简单多面体的各面都是三角形, 则它的顶点个数V 和面数F 的关系是

(  )

符合欧拉公式.

例4 一个多面体的每个面都是五边形, 每个顶点引出的棱都有3条, 求它的面数、顶点数、棱数.

简析 本题需要从每个面的多边形的边数和共顶点的棱数入手, 寻找V 、F 、E 的关系, 再运用欧拉公式求解. 因为每个面有5条边, 所以F 个面共有5F 条边, 但每一条边为相邻两个面所共有, 所以5F =2E, F =

E . 因为5

(A ) V +3F =6  (B ) 3V -2F =0(C ) 2V -3F =0

(D ) 2V -F =4

F, 代入V 2

简析 易知3F =2E, 即E =

+F -E =2, 得2V -F =4, 故选D .

例2 一个简单多面体共有12个面和8个顶点, 其中两个顶点处各有6条棱, 其它顶点处各有相同数目的棱, 则其它顶点各有几条棱(  )

・45・

高中数学教与学                            2006年

含绝对值的不等式的证明策略

李记东

(河北省邢台市金华中学, 054000)

  含绝对值的不等式的证明是学习的难点, 很多学生对此类问题因苦于找不到解题思路而望题兴叹. 本文以近几年的模拟题为例, 试图揭示其证明的策略.

一、配凑常数

此法先通过取特殊值, 配凑常数, 消去参变量, 再运用绝对值不等式进行放缩.

例1 已知函数f (x ) =x +ax +b (a 、b ∈R ) 的定义域为[-1, 1],记|f (x ) |的最大

值为M , 证明:M≥.

2

2

  |f (0) |≤M.

∴2=|f (1) +f (-1) -2f (0) |

≤|f (1) |+|f (-1) |+2|f (0) |≤M +M+2M =4M ,

即  4M ≥2, ∴M ≥

二、消去参数

先将参数分离, , 从而2||≤

x +m x -1.

2

. 2

分析 由|f (0) |≤M , |f () |M ,

|f (1) |≤M , 再通过-1) (, |m |≤1, f (x ) =2. 8

常数而得证.

证明 ∵f b, f (1) =1+a +b,

f (-1) =1-a +b,

证明 |f (x ) |≤

分析 本题的f (x ) 表达式中含有参数

m , 可先将其消去, 转化为二次函数问题.

2

证明 |f (x ) |=|(2x -1) +m x |

∴f (1) +f (-1) -2f (0) =2. 又∵|f (1) |≤M , |f (-1) |≤M ,

每个顶点上有3条棱, 则V 个顶点共有3V 条棱, 但每一条棱上有两个顶点, 所以3V =2E,

V =

面数为奇数, 且各个面有奇数条边.

例6 C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构, 它有70个顶点, 以每个顶点为一端都有3条棱, 各面是五边形或六边形, 求C 70分子中五边形和六边形的个数.

简析 设五边形是x 个, 六边形有y 个, 则有3V =2E =3×70, 5x +6y =2E, x +y =

F, V +F -E =2, 解得x =12, y =25.

E, 又V +F -E =2, 所以E +E -335

E =2, E =30, F =12, V =20, 即此多面体有

12个面, 20个顶点, 30条棱.

例5 求证:不存在这样的一个多面体, 它的面数为奇数, 且各个面有奇数条边.

简析 假设有一个多面体, 它的面数F 是奇数, 各个界面多边形的边数分别为m 1,

m 2, …, m F , 则m 1+m2+…+mF =2E. 此式的

评析 此题利用了方程的思想, 一方面满足欧拉公式, 另一方面棱数E 等于各顶点引出的棱数和的一半, 也等于各面的边数之和的一半, 列出了两个含有未知数的方程从而解决问题.

左边是奇数个奇数之和, 仍是奇数, 而右边是偶数, 故矛盾, 即不存在这样的多面体, 它的

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第3期                            高中数学教与学○短文集锦○

欧拉公式的简单应用

吕佐良

(陕西省西安远东二中, 710077)

  欧拉公式:V +F -E =2是描述简单多面体的顶点数(V ) 、面数(F ) 、棱数(E ) 之间的特有规律的一个公式. 这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性质, 即V +F -E 是一个拓扑不变数. 用欧拉公式可以轻松求解有关多面体的棱数、面数、顶点数、各面多边形的内角等综合问题.

一般地, 对于简单多面体, 其棱数E 有以下三种计算方法:

(1) 利用欧拉公式V +F -E =2; (2) n n 2, …, n F , 则总棱数E (A ) 4条 (B ) 5条 (C ) 6条 (D ) 7条

简析 F =12, V =8, E =V

+F -2=

18. 设其它顶点各有x 条棱, 则有E =

+6x ) , 解得x =4, 故选A .

(2×62

例3 将正四面体的各棱三等分, 经过三分之一点, 把正四面体的4个相等的小正四面体, .

(n 1F ) .

地, 时, E =

2

(2) 设各顶点引出的棱数分别为m 1, m 2,

简析 如图1, 截去4个角后, 原正四面体的面被截成六边形, 有4个六边形的面, 截面为4个三角形, 所以F =4+4=8. 每一个截面有3个顶点, 4个截面共有顶点数V =3×

4=12. 一个截面有3条棱, 4个截面有12条

…, m r , 则总棱数E =

(m 1+m2+…+mV ) . 2

.

特别地, 若各顶点引出的棱数都相等, 设为n 条, 则总棱数E =

2

棱, 还有原来的四面体的6条棱, 所以E =12

+6=18, 所以V +F -E =12+8-18=2,

例1 一个简单多面体的各面都是三角形, 则它的顶点个数V 和面数F 的关系是

(  )

符合欧拉公式.

例4 一个多面体的每个面都是五边形, 每个顶点引出的棱都有3条, 求它的面数、顶点数、棱数.

简析 本题需要从每个面的多边形的边数和共顶点的棱数入手, 寻找V 、F 、E 的关系, 再运用欧拉公式求解. 因为每个面有5条边, 所以F 个面共有5F 条边, 但每一条边为相邻两个面所共有, 所以5F =2E, F =

E . 因为5

(A ) V +3F =6  (B ) 3V -2F =0(C ) 2V -3F =0

(D ) 2V -F =4

F, 代入V 2

简析 易知3F =2E, 即E =

+F -E =2, 得2V -F =4, 故选D .

例2 一个简单多面体共有12个面和8个顶点, 其中两个顶点处各有6条棱, 其它顶点处各有相同数目的棱, 则其它顶点各有几条棱(  )

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高中数学教与学                            2006年

含绝对值的不等式的证明策略

李记东

(河北省邢台市金华中学, 054000)

  含绝对值的不等式的证明是学习的难点, 很多学生对此类问题因苦于找不到解题思路而望题兴叹. 本文以近几年的模拟题为例, 试图揭示其证明的策略.

一、配凑常数

此法先通过取特殊值, 配凑常数, 消去参变量, 再运用绝对值不等式进行放缩.

例1 已知函数f (x ) =x +ax +b (a 、b ∈R ) 的定义域为[-1, 1],记|f (x ) |的最大

值为M , 证明:M≥.

2

2

  |f (0) |≤M.

∴2=|f (1) +f (-1) -2f (0) |

≤|f (1) |+|f (-1) |+2|f (0) |≤M +M+2M =4M ,

即  4M ≥2, ∴M ≥

二、消去参数

先将参数分离, , 从而2||≤

x +m x -1.

2

. 2

分析 由|f (0) |≤M , |f () |M ,

|f (1) |≤M , 再通过-1) (, |m |≤1, f (x ) =2. 8

常数而得证.

证明 ∵f b, f (1) =1+a +b,

f (-1) =1-a +b,

证明 |f (x ) |≤

分析 本题的f (x ) 表达式中含有参数

m , 可先将其消去, 转化为二次函数问题.

2

证明 |f (x ) |=|(2x -1) +m x |

∴f (1) +f (-1) -2f (0) =2. 又∵|f (1) |≤M , |f (-1) |≤M ,

每个顶点上有3条棱, 则V 个顶点共有3V 条棱, 但每一条棱上有两个顶点, 所以3V =2E,

V =

面数为奇数, 且各个面有奇数条边.

例6 C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构, 它有70个顶点, 以每个顶点为一端都有3条棱, 各面是五边形或六边形, 求C 70分子中五边形和六边形的个数.

简析 设五边形是x 个, 六边形有y 个, 则有3V =2E =3×70, 5x +6y =2E, x +y =

F, V +F -E =2, 解得x =12, y =25.

E, 又V +F -E =2, 所以E +E -335

E =2, E =30, F =12, V =20, 即此多面体有

12个面, 20个顶点, 30条棱.

例5 求证:不存在这样的一个多面体, 它的面数为奇数, 且各个面有奇数条边.

简析 假设有一个多面体, 它的面数F 是奇数, 各个界面多边形的边数分别为m 1,

m 2, …, m F , 则m 1+m2+…+mF =2E. 此式的

评析 此题利用了方程的思想, 一方面满足欧拉公式, 另一方面棱数E 等于各顶点引出的棱数和的一半, 也等于各面的边数之和的一半, 列出了两个含有未知数的方程从而解决问题.

左边是奇数个奇数之和, 仍是奇数, 而右边是偶数, 故矛盾, 即不存在这样的多面体, 它的

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