第3期 高中数学教与学○短文集锦○
欧拉公式的简单应用
吕佐良
(陕西省西安远东二中, 710077)
欧拉公式:V +F -E =2是描述简单多面体的顶点数(V ) 、面数(F ) 、棱数(E ) 之间的特有规律的一个公式. 这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性质, 即V +F -E 是一个拓扑不变数. 用欧拉公式可以轻松求解有关多面体的棱数、面数、顶点数、各面多边形的内角等综合问题.
一般地, 对于简单多面体, 其棱数E 有以下三种计算方法:
(1) 利用欧拉公式V +F -E =2; (2) n n 2, …, n F , 则总棱数E (A ) 4条 (B ) 5条 (C ) 6条 (D ) 7条
简析 F =12, V =8, E =V
+F -2=
18. 设其它顶点各有x 条棱, 则有E =
+6x ) , 解得x =4, 故选A .
(2×62
例3 将正四面体的各棱三等分, 经过三分之一点, 把正四面体的4个相等的小正四面体, .
(n 1F ) .
地, 时, E =
2
(2) 设各顶点引出的棱数分别为m 1, m 2,
简析 如图1, 截去4个角后, 原正四面体的面被截成六边形, 有4个六边形的面, 截面为4个三角形, 所以F =4+4=8. 每一个截面有3个顶点, 4个截面共有顶点数V =3×
4=12. 一个截面有3条棱, 4个截面有12条
…, m r , 则总棱数E =
(m 1+m2+…+mV ) . 2
.
特别地, 若各顶点引出的棱数都相等, 设为n 条, 则总棱数E =
2
棱, 还有原来的四面体的6条棱, 所以E =12
+6=18, 所以V +F -E =12+8-18=2,
例1 一个简单多面体的各面都是三角形, 则它的顶点个数V 和面数F 的关系是
( )
符合欧拉公式.
例4 一个多面体的每个面都是五边形, 每个顶点引出的棱都有3条, 求它的面数、顶点数、棱数.
简析 本题需要从每个面的多边形的边数和共顶点的棱数入手, 寻找V 、F 、E 的关系, 再运用欧拉公式求解. 因为每个面有5条边, 所以F 个面共有5F 条边, 但每一条边为相邻两个面所共有, 所以5F =2E, F =
E . 因为5
(A ) V +3F =6 (B ) 3V -2F =0(C ) 2V -3F =0
(D ) 2V -F =4
F, 代入V 2
简析 易知3F =2E, 即E =
+F -E =2, 得2V -F =4, 故选D .
例2 一个简单多面体共有12个面和8个顶点, 其中两个顶点处各有6条棱, 其它顶点处各有相同数目的棱, 则其它顶点各有几条棱( )
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高中数学教与学 2006年
含绝对值的不等式的证明策略
李记东
(河北省邢台市金华中学, 054000)
含绝对值的不等式的证明是学习的难点, 很多学生对此类问题因苦于找不到解题思路而望题兴叹. 本文以近几年的模拟题为例, 试图揭示其证明的策略.
一、配凑常数
此法先通过取特殊值, 配凑常数, 消去参变量, 再运用绝对值不等式进行放缩.
例1 已知函数f (x ) =x +ax +b (a 、b ∈R ) 的定义域为[-1, 1],记|f (x ) |的最大
值为M , 证明:M≥.
2
2
|f (0) |≤M.
∴2=|f (1) +f (-1) -2f (0) |
≤|f (1) |+|f (-1) |+2|f (0) |≤M +M+2M =4M ,
即 4M ≥2, ∴M ≥
二、消去参数
先将参数分离, , 从而2||≤
x +m x -1.
2
. 2
分析 由|f (0) |≤M , |f () |M ,
|f (1) |≤M , 再通过-1) (, |m |≤1, f (x ) =2. 8
常数而得证.
证明 ∵f b, f (1) =1+a +b,
f (-1) =1-a +b,
证明 |f (x ) |≤
分析 本题的f (x ) 表达式中含有参数
m , 可先将其消去, 转化为二次函数问题.
2
证明 |f (x ) |=|(2x -1) +m x |
∴f (1) +f (-1) -2f (0) =2. 又∵|f (1) |≤M , |f (-1) |≤M ,
每个顶点上有3条棱, 则V 个顶点共有3V 条棱, 但每一条棱上有两个顶点, 所以3V =2E,
V =
面数为奇数, 且各个面有奇数条边.
例6 C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构, 它有70个顶点, 以每个顶点为一端都有3条棱, 各面是五边形或六边形, 求C 70分子中五边形和六边形的个数.
简析 设五边形是x 个, 六边形有y 个, 则有3V =2E =3×70, 5x +6y =2E, x +y =
F, V +F -E =2, 解得x =12, y =25.
E, 又V +F -E =2, 所以E +E -335
E =2, E =30, F =12, V =20, 即此多面体有
12个面, 20个顶点, 30条棱.
例5 求证:不存在这样的一个多面体, 它的面数为奇数, 且各个面有奇数条边.
简析 假设有一个多面体, 它的面数F 是奇数, 各个界面多边形的边数分别为m 1,
m 2, …, m F , 则m 1+m2+…+mF =2E. 此式的
评析 此题利用了方程的思想, 一方面满足欧拉公式, 另一方面棱数E 等于各顶点引出的棱数和的一半, 也等于各面的边数之和的一半, 列出了两个含有未知数的方程从而解决问题.
左边是奇数个奇数之和, 仍是奇数, 而右边是偶数, 故矛盾, 即不存在这样的多面体, 它的
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第3期 高中数学教与学○短文集锦○
欧拉公式的简单应用
吕佐良
(陕西省西安远东二中, 710077)
欧拉公式:V +F -E =2是描述简单多面体的顶点数(V ) 、面数(F ) 、棱数(E ) 之间的特有规律的一个公式. 这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性质, 即V +F -E 是一个拓扑不变数. 用欧拉公式可以轻松求解有关多面体的棱数、面数、顶点数、各面多边形的内角等综合问题.
一般地, 对于简单多面体, 其棱数E 有以下三种计算方法:
(1) 利用欧拉公式V +F -E =2; (2) n n 2, …, n F , 则总棱数E (A ) 4条 (B ) 5条 (C ) 6条 (D ) 7条
简析 F =12, V =8, E =V
+F -2=
18. 设其它顶点各有x 条棱, 则有E =
+6x ) , 解得x =4, 故选A .
(2×62
例3 将正四面体的各棱三等分, 经过三分之一点, 把正四面体的4个相等的小正四面体, .
(n 1F ) .
地, 时, E =
2
(2) 设各顶点引出的棱数分别为m 1, m 2,
简析 如图1, 截去4个角后, 原正四面体的面被截成六边形, 有4个六边形的面, 截面为4个三角形, 所以F =4+4=8. 每一个截面有3个顶点, 4个截面共有顶点数V =3×
4=12. 一个截面有3条棱, 4个截面有12条
…, m r , 则总棱数E =
(m 1+m2+…+mV ) . 2
.
特别地, 若各顶点引出的棱数都相等, 设为n 条, 则总棱数E =
2
棱, 还有原来的四面体的6条棱, 所以E =12
+6=18, 所以V +F -E =12+8-18=2,
例1 一个简单多面体的各面都是三角形, 则它的顶点个数V 和面数F 的关系是
( )
符合欧拉公式.
例4 一个多面体的每个面都是五边形, 每个顶点引出的棱都有3条, 求它的面数、顶点数、棱数.
简析 本题需要从每个面的多边形的边数和共顶点的棱数入手, 寻找V 、F 、E 的关系, 再运用欧拉公式求解. 因为每个面有5条边, 所以F 个面共有5F 条边, 但每一条边为相邻两个面所共有, 所以5F =2E, F =
E . 因为5
(A ) V +3F =6 (B ) 3V -2F =0(C ) 2V -3F =0
(D ) 2V -F =4
F, 代入V 2
简析 易知3F =2E, 即E =
+F -E =2, 得2V -F =4, 故选D .
例2 一个简单多面体共有12个面和8个顶点, 其中两个顶点处各有6条棱, 其它顶点处各有相同数目的棱, 则其它顶点各有几条棱( )
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高中数学教与学 2006年
含绝对值的不等式的证明策略
李记东
(河北省邢台市金华中学, 054000)
含绝对值的不等式的证明是学习的难点, 很多学生对此类问题因苦于找不到解题思路而望题兴叹. 本文以近几年的模拟题为例, 试图揭示其证明的策略.
一、配凑常数
此法先通过取特殊值, 配凑常数, 消去参变量, 再运用绝对值不等式进行放缩.
例1 已知函数f (x ) =x +ax +b (a 、b ∈R ) 的定义域为[-1, 1],记|f (x ) |的最大
值为M , 证明:M≥.
2
2
|f (0) |≤M.
∴2=|f (1) +f (-1) -2f (0) |
≤|f (1) |+|f (-1) |+2|f (0) |≤M +M+2M =4M ,
即 4M ≥2, ∴M ≥
二、消去参数
先将参数分离, , 从而2||≤
x +m x -1.
2
. 2
分析 由|f (0) |≤M , |f () |M ,
|f (1) |≤M , 再通过-1) (, |m |≤1, f (x ) =2. 8
常数而得证.
证明 ∵f b, f (1) =1+a +b,
f (-1) =1-a +b,
证明 |f (x ) |≤
分析 本题的f (x ) 表达式中含有参数
m , 可先将其消去, 转化为二次函数问题.
2
证明 |f (x ) |=|(2x -1) +m x |
∴f (1) +f (-1) -2f (0) =2. 又∵|f (1) |≤M , |f (-1) |≤M ,
每个顶点上有3条棱, 则V 个顶点共有3V 条棱, 但每一条棱上有两个顶点, 所以3V =2E,
V =
面数为奇数, 且各个面有奇数条边.
例6 C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构, 它有70个顶点, 以每个顶点为一端都有3条棱, 各面是五边形或六边形, 求C 70分子中五边形和六边形的个数.
简析 设五边形是x 个, 六边形有y 个, 则有3V =2E =3×70, 5x +6y =2E, x +y =
F, V +F -E =2, 解得x =12, y =25.
E, 又V +F -E =2, 所以E +E -335
E =2, E =30, F =12, V =20, 即此多面体有
12个面, 20个顶点, 30条棱.
例5 求证:不存在这样的一个多面体, 它的面数为奇数, 且各个面有奇数条边.
简析 假设有一个多面体, 它的面数F 是奇数, 各个界面多边形的边数分别为m 1,
m 2, …, m F , 则m 1+m2+…+mF =2E. 此式的
评析 此题利用了方程的思想, 一方面满足欧拉公式, 另一方面棱数E 等于各顶点引出的棱数和的一半, 也等于各面的边数之和的一半, 列出了两个含有未知数的方程从而解决问题.
左边是奇数个奇数之和, 仍是奇数, 而右边是偶数, 故矛盾, 即不存在这样的多面体, 它的
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