高中数学公式、规律汇编
一、集合与简易逻辑 复数
1． 子集个数公式：card (A ) =n ，n ∈N *
，则 （1）A 的子集个数为：2n
（2）A 的非空子集个数为：2n
-1 （3）A 的非空真子集个数为：2n
-2
2．复数的代数运算：已知两个复数z 1=a +bi , z 2=c +di (a , b , c , d ∈R ) ，则（1）z 1±z 2=(a ±c ) +(b ±d ) i ；
（2）z bd ) +(bc +ad ) i ；特别地，z z =z 2
=a 2+b 2
1z 2=(ac -；
（3）
z 1z =a +bi c +di =(a +bi )(c -di ) (c +di )(c -di ) =ac +bd bc -ad c 2+d 2+c 2+d
2i (z 2≠0) . 23．i 的幂的性质及常用公式： （1）i
4n
=1，i 4n +1=i ，i 4n +2=-1，i 4n +3=-i (n ∈N )
（2）(1+i ) 2
=2i ，(1-i ) 2
=-2i ，1+i 1-i =i ，1-i
1+i
=-i .
二、函数与导数 极限
1．指数运算性质与公式： m
m （1）分数指数：a
n
=a
-
n
=
1m =
0, m , n ∈N
*
, n >1)
a
n
(a >（2
）同次公式：
n
=a =⎧⎨
a , n 为奇数
⎩a , n 为偶数
m （3）运算法则：a m
a n
=a
m +n
；a m -n a
n =a ； (a m )n
=a mn ；(ab )m
=a m b m ；(a >0, b >0, m , n ∈Z )
2． 对数运算性质与公式： （1）常用公式：
①log a 1=0；log a a =1(a >0, a ≠1)
②两个恒等式：log a a b =b ；a
log a N
=N (a >0, a ≠1)
③常用对数：log 10N =lg N ； 自然对数：log e N =ln N ④换底公式：log a N =
log m N
log m a
推论：log a b =
m 1
log a n b m =log a b (N >0, a >0, b >0, a ≠1, b ≠1, m ≠0, n ≠0) ；
log b a
n （2）运算性质：
log (MN ) =log ⎛M
a a M +log a N ；log a
⎫
⎝N ⎪⎭
=log a M -log a N ； log a M n =n log a M ；(M >0, N >0, a >0, a ≠1, n ∈R )
3． 函数图像间的对称公式：以y =f (x ) 为例，其： （1）关于y 轴对称的函数：y =f (-x ) ； （2）关于x 轴对称的函数：y =-f (x ) ； （3）关于原点对称的函数：y =-f (-x ) ；
（4）关于y =x 的函数：y =f -1
(x ) ； （5）关于y =-x 的函数：y =-f -1
(-x ) ；
（6）关于x =m 的函数：y =f (2m -x ) ； （7）关于y =n 的函数：y =2n -f (x ) ； （8）关于(m , n ) 的函数：y =2n -f (2m -x ) ； 4．几个重要的数列极限： （1）lim n →∞
C =C (C 为常数) ；
（2）lim
C
n →∞n
=0(C 为常数) ； （3）lim n
n →∞
q =0(q
（4）无穷递缩等比数列的各项和：S =lim S a 1
n →∞
n =
1-q
a 0n p +a 1n p -1+P (n )
=lim （5）lim F (n ) =lim
n →∞n →∞Q (n ) n →∞b n q +b n q -1+01
⎧a 0
⎪b , n =m 0
+a p ⎪⎪
=⎨0, n >m +b q ⎪
∞, n
5．有关导数的若干公式： （1）导数的定义式：f '(x ) =lim
∆y f (x +∆x ) -f (x )
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
（2）基本初等函数的导数公式：
①C ' =0 ②(x m )' =mx m -1(m ∈Q ) ③(sinx )' =cos x ④(cosx )' =-sin x ⑤(e )' =e ⑥(a )' =a ln a ⑦(lnx ) ' =（3）导数四则运算法则：
x
x
x
x
11
⑧(loga x )' = x x ln a
'
⎛u ⎫u ' v -uv '
①(u ±v )' =u ' ±v ' ； ②(uv )' =u ' v +uv ' ； ③ ⎪=(v ≠0) 2
v v ⎝⎭
（4）复合函数求导法则： y ' x =y ' u u ' x
三、数列 不等式
1．等差数列公式与性质：若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则： （1）通项公式：a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ； （2）前n 项和公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d d
=na 1+d =n 2+(a 1-) n (n ∈N *) 2222
*
（3）等差中项性质：2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N ) （4）首尾项性质： a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2= ;
2．等差数列公式与性质：若数列{a n }是公比为q (q ≠0) 的等比数列，则： （1）通项公式：a n =a 1q
n -1
(n ∈N *) ；
⎧a 1(1-q n )
(q ≠1) ⎪
(n ∈N *) （2）前n 项和公式：S n =⎨1-q
⎪ na (q =1) ⎩1
（3）等比中项性质：a n +1=a n a n +2 (n ∈N ) （4）首尾项性质： a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2= .
2
*
3．a n 与S n 的关系：若数列{a n }的前n 项和为S n ，则
a ⎧S 1
, n =1
n =⎨⎩S n -S n -1 , n ≥2
4．数列求和中常用的裂项公式： （1）
1n n +1=1n -
1
n +1
（2）
1
12n -12n +1=⎛2 1⎝2n -1-1⎫2n +1⎪⎭
（3）1n n +1n +2=1⎡2⎢1n +1-1
⎤n ＋1n ＋2⎥
⎣n ⎦
5．常用基本不等式 （1）均值不等式
a 2+b 22≥a +b 2
≥ab ≥2
(a , b ∈R +)
a +b
（2）a 2+b 2+c 2
≥ab +bc +ca （3）a 3
+b 3
+c 3
≥3abc (a , b , c ∈R +)
（4）a +b +c ≥3⋅abc ，abc ≤(
a +b +c 3
3
) ；(a , b , c ∈R +) （5）a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，(a , b , c ∈R ) 6．几个重要放缩不等式
（1）a >b >0, a >m >0, 则b -m b b +m
a -m 0, 若b d b b +d a
a +c
c
（3
（4）
1n -1n +1
n 2
(n ∈N *, n >1) 7．几类不等式的解法 （1）绝对值不等式：（大于取两边，小于取中间） ①x 0) ⇔{x -a ； ②x >a (a >0) ⇔{x x >a 或x
（2）一元二次不等式：若ax 2+bx +c =0(∆>0) 的两根为x 1, x 2，且x 10, ∆>0) ⇔x x 10(a >0, ∆>0) ⇔x x >x 2或x 1时，
{}
{}
a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x ) >g (x )
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
②当0
a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x )
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
四、三角函数 平面向量
1．三解函数的概念：
（1）弧长公式：l =αr （r 为半径，α为圆心角的弧度数） （2）扇形面积公式：S =
11
lr =αr 2（r 为半径，l 为弧长，α为圆心角的弧度数） 22
（3）角度制与弧度制的换算：①180=π rad ②1=
π
180
rad ≈0.01745 rad
③1 rad = 2．三解函数常用五大类公式：
（1）诱导公式：
①“奇变偶不变，符号看象限” ② α不论大小，一定看成锐角 （2）同角三角函数基本关系式： ① 倒数关系：tan αcot α=1 ② 平方关系：sin α+cos α=1
2
2
⎛180⎫
⎪≈57.30 ⎝π⎭
③ 商数关系：tan α=（3）两角和差公式：
sin αc o αs
t =； c o α
cos αsin α
①sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β ②cos(α±β) =cos αcos β③tan(α±β) =
sin αsin β
tan α±tan β
1tan αtan β
（4）二倍角公式：
①sin 2α=2sin αcos α
②cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α（*由此导出降幂公式） ③tan 2α=
2
2
2
2
2tan α
1-tan 2α
（5）辅助角公式：
a sin α+b cos α=α+ϕ) （a 、b 不同时为零）
其中，cos ϕ=
sin ϕ=
3．三解函数图象性质： 周期公式：T =4． 平面向量：
（1）平面向量基本定理：a =λ1e 1+λ2e 2（e 1, e 2是平面内一组基底，λ1, λ2存在唯一） （2）两个向量平行：a //b ⇔a =λb ⇔x 1y 2=x 2y 1（其中a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ） （3）两个向量垂直：（其中a =(x 1, y 1) ， a ⊥b ⇔a ∙b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0b =(x 2, y 2) ）（4
）两点间距离公式：AB =（5）平面向量的数量积：
①定义式：a ∙b =a b cos a , b =(x 1, y 1) ∙(x 2, y 2) =x 1y 1+x 2y 2
②模长公式：a =
2ππ
（正余弦函数）； T =（正余切函数） w w
A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ）
=a =(x , y ) ）
③向量夹角公式：cos a , b =（6）重心坐标公式：
a ∙b
=a ∙b
若G 为∆ABC 的重心⇔GA +GB +GC =0⇔G 其中A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，C (x 3, y 3) （7）定比分点公式： ①向量式：PP 1=λPP 2
⎛x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3⎫
, ⎪ 33⎝⎭
⎧
x =⎪⎪
②坐标式：⎨
⎪y =⎪⎩
x 1+λx 2x 1+x 2⎧
x =⎪⎪1+λ2
，特别地，中点坐标公式：⎨
y 1+λy 2y +y 2⎪y =1
⎪1+λ⎩2
其中P (x , y ) ，P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) （8）平移公式：
⎧x ' =x +h
，其中P '(x ', y ') 为P (x , y ) 按向量a 平移后的坐标，a =(h , k ) 称为平移向量 ⎨
⎩y ' =y +k
5． 解斜三角形的公式定理：
∆ABC 中角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c
（1）正弦定理：
a b c
===2R （其中R 为外接圆半径） sin A sin B sin C
⎧b 2+c 2-a 2⎪cos A =2bc ⎪⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A
a 2+c 2-b 2⎪⎪222
（2）余弦定理：⎨b =a +c -2ac cos B ⇔⎨cos B =
2ac ⎪c 2=a 2+b 2-2ab cos C ⎪
⎩⎪a 2+b 2-c 2
⎪cos C =
2bc ⎩
（3）三角形内角和定理：A +B +C =π （4）三角形面积公式：S =
111
ab sin C =ac sin B =bc sin A 222
五、直线与圆方程 圆锥曲线方程
1．直线方程
（1）直线的斜率：
①定义式：k =tan α ②坐标表示：k =（2）直线方程的解析式： ①点斜式：y -y 0=k (x -x 0)
y 2-y 1
x 2-x 1
②斜截式：y =kx +b
③两点式：
y -y 1x -x 1
=
y 2-y 1x 2-x 1x y
+=1 a b
④截距式：
⑤一般式：Ax +By +C =0 2．两条直线的位置关系 （1）平行：
①l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，l 1//l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2 ②l 1：A 1x +BY 1+C 1=0，l 2：A 2x +B 2Y +C 2=0，l 1//l 2⇔⎨（2）垂直：
①l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1
②l 1：A 1x +BY 1+C 1=0，l 2：A 2x +B 2Y +C 2=0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0 （3）两直线所成角： ①方向角：tan θ=（4）距离：
①点到直线的距离：d =
⎧A 1B 2=A 2B 1
⎩AC 12≠A 2C 1
k -k 1k 2-k 1⎛π⎤
②夹角：tan θ=2，θ∈ 0, ⎥
1+k 1k 21+k 1k 2⎝2⎦
d 为点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =0的距离）
②两平行直线的距离：d =
（d 为直线A 1x +B 1y +C 1=0到直线Ax +By +C =0的距离）
3．圆的方程
（1）圆方程的解析式：
①标准式：(x -a ) +(y -b ) =r （以(a , b ) 为圆心，r 为半径的圆）
22
②一般式：x +y +Dx +Ey +F =0，D +E -4F >0
2
2
222
③参数式：⎨
2
⎧x =a +r cos θ
（以(a , b ) 为圆心，r 为半径的圆）
⎩y =b +r sin θ
2
2
（2）圆x +y =r 上一点P (x 0, y 0) 的切线方程：x 0x +y 0y =r
2
（3）以A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 为直径的圆的方程：(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0 4．椭圆方程
（1）椭圆方程的解析式：（焦点分别在x 轴和y 轴上）
x 2y 2y 2x 2
①标准方程：2+2=1(a >b >0) ，2+2=1(a >b >0)
a b a b
②参数方程：⎨
⎧x =a cos θ⎧y =a cos θ
， ⎨
⎩y =b sin θ⎩x =b sin θ
2
2
2
（2）基本性质：①c =a -b ②离心率：e =
c
∈(0,1) a
x 2y 2
（3）椭圆2+2=1(a >b >0) 焦半径公式:
a b
a 2a 2
PF 1=e (+x 0) =a +ex 0，PF 2=e (-x 0) =a -ex 0；
c c
5．双曲线方程
（1）双曲线方程的解析式：（焦点分别在x 轴和y 轴上）
x 2y 2y 2x 2
标准方程：2-2=1(a >0, b >0) ，2-2=1(a >0, b >0)
a b a b
（2）基本性质：①c =a +b ②离心率：e =
2
2
2
c
∈(1,+∞) a
x 2y 2
（3）又曲线2-2=1(a >0, b >0) 焦半径公式:
a b
a 2a 2
①若P 在右支上，PF 1=e (x 0+) =ex 0+a ，PF 2=e (x 0-) =ex 0-a
c c a 2a 2
②若P 在左支上，PF 1=e (-x 0-) =-ex 0-a ，PF 2=e (-x 0+) =-ex 0+a
c c
6．抛物线方程
（1）抛物线方程的解析式：（焦点分别在x 轴和y 轴上）
⎧y 2=2px (p >0) ⎧x 2=2py (p >0) 标准方程：⎨2，⎨2
⎩y =-2px (p >0) ⎩x =-2py (p >0)
2
（2）椭圆y =2px (p >0) 焦半径公式: PF =x 0+
p 2
7
．弦长公式：AB =
=x 1-x =y 1-y
=
==
其中，直线与圆锥曲线交于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点，直线AB 的斜率为k
六、直线、平面、简单几何体
1．空间向量
a =(x 1, y 1, z 1) ，b =(x 2, y 2, z 2)
（1）加减法：a ±b =(x 1±x 2, y 1±y 2, z 1±z 2) （2）数乘：λa =(λx 1, λy 1, λz 1)
（3）数量积：a ∙b =a b cos a , b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 （4）平行：a //b ⇔a //λb ⇔x 1=λx 2, y 1=λy 2, z 1=λz 2 （5）垂直：a ⊥b ⇔a ∙b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0 （6
）模公式：a ==
（7
）夹角公式：cos a , b =（8）定比分点公式： ①向量式：AP =λPB
⎧⎪x =x 1+λx 2⎧
x ⎪1+λ
⎪x =1+x 2②坐标式：⎪
⎨y =
y ⎪
21+λy 2⎪1+λ，特别地，中点坐标公式：⎪
⎨y =y 1+y 2⎪⎪z z ⎪
2
1+λ2⎪z 1+z 2⎩
z =1+λ⎪⎩
z =2其中P (x , y , z ) ，A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) （9）重心坐标公式： 若G 为∆ABC 的重心⇔G
⎛x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y ⎝3, 33, z 1+z 2+z 3⎫
3⎪⎭
其中A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，C (x 3, y 3, z 3) 2．空间角
（1）异面直线所成角公式：cos θ=a ∙b （a,b 为异面直线的方向向量） a ∙b
a ∙n a ∙n （2）线面角公式：sin θ=cos a , n =
（a 为直线的方向向量，n 为平面的法向量，θ为线面角）
（3）二面角公式：cos n 1, n 2=n 1∙n 2 n 1∙n 2
n 1, n 2为两个半平面的法向量，θ为面面角，θ=n 1, n 2或π-n 1, n 2（同补异等）
3．空间距离
（1）两点间距离公式：
AB =AB ==
（其中A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ）
（2）点线距离公式：d =AB sin AB , e
在直线l 上取一点B ，取直线l 的一个方向向量e ，则A 到l 的距离为d
（3）点面距离公式：d =a ∙n
n （*线面距离和面面距离可以转化为点面距离）
a =BP （B 为过P 的斜线与平面的交点），n 为平面的法向量，d 为P 到平面的距离 （4）异面直线距离公式：d =a ∙n
n
a 为两异面直线上两点相连得到的向量，n 为两异面直线的公共法向量
4．棱柱与棱锥
（1）体积公式：V 棱柱=Sh V
棱锥=1S h 3
1Ch ' 2（2）侧面积公式：S 直棱柱=Ch S 正棱锥=
5．球
（1）面心距公式：d （3）体积公式：V =
（2）表面积公式：S =4πR 2 4πR 3 （4）球面距离公式：l =R θ 3
七、排列、组合和二项式定理 概率与统计
1．排列数公式
m （1）第一公式：A n =n (n -1) (n -m +1)
（2）第二公式：A n =
2．组合数公式
（1）第一公式：C n =
（2）第二公式：C n =m m m n ! (n -m )! n (n -1) (n -m +1) m ! n ! m !(n -m )!
m m +1m +1m n -m （3）性质：C n ， C n +C n =C n =C n +1
3．二项式定理
0n 1n -1（1）展开式：(a +b ) n =C n a +C n a b +r n -r r （2）通项：T r +1=C n a b ，(0≤r ≤n ) n n +C n b ，(n ∈N )
（3）二项式系数性质：
01①C n +C n +n +C n =2n
135=C n +C n +C n +024②C n +C n +C n +=2n -1
m n -m ③对称性：C n =C n
4．概率与统计
（1）等可能事件的概率（古典概型）：
P (A ) =m ，其中n 为一次试验可能出现的结果，m 为A 事件包含的结果 n
（2）互斥事件（事件A , B 不可能同时发生）：
P (A +B ) =P (A ) +P (B ) 特别地，若事件A , B 对立，P (A +A ) =P (A ) +P (A ) =1
（3）相互独立事件（事件A 或B 是否发生，相互之间没有影响）：
P (A ∙B ) =P (A ) ∙P (B )
（4）独立重复事件（贝努利概型）
如果在1次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )
① 公式：P n (k ) =C n p (1-p )
② 性质：P n (0)+P n (1)+k k n -k ，其中k =0,1,2, , n +P n (n ) =1
5．随机变量与统计
（1）离散型随机变量的期望：
①公式：E ξ=x 1p 1+x 2p 2+
②性质：E (a ξ+b ) =aE ξ+b
（2）离散型随机变量的方差： +x n p n +
①公式：D ξ=(x 1-E ξ) 2∙p 1+(x 2-E ξ) 2∙p 2++(x n -E ξ) 2∙p n + ②性质：D (a ξ+b ) =a 2D ξ
③标准差：δξ=（3）二项分布：ξB (n , p )
①概率分布：P (ξ=k ) =C k
n ∙p k ∙(1-p ) n -k ，其中k =0,1,2, , n
②性质：E ξ=np ， D ξ=n p (1-p )
高中数学公式、规律汇编
一、集合与简易逻辑 复数
1． 子集个数公式：card (A ) =n ，n ∈N *
，则 （1）A 的子集个数为：2n
（2）A 的非空子集个数为：2n
-1 （3）A 的非空真子集个数为：2n
-2
2．复数的代数运算：已知两个复数z 1=a +bi , z 2=c +di (a , b , c , d ∈R ) ，则（1）z 1±z 2=(a ±c ) +(b ±d ) i ；
（2）z bd ) +(bc +ad ) i ；特别地，z z =z 2
=a 2+b 2
1z 2=(ac -；
（3）
z 1z =a +bi c +di =(a +bi )(c -di ) (c +di )(c -di ) =ac +bd bc -ad c 2+d 2+c 2+d
2i (z 2≠0) . 23．i 的幂的性质及常用公式： （1）i
4n
=1，i 4n +1=i ，i 4n +2=-1，i 4n +3=-i (n ∈N )
（2）(1+i ) 2
=2i ，(1-i ) 2
=-2i ，1+i 1-i =i ，1-i
1+i
=-i .
二、函数与导数 极限
1．指数运算性质与公式： m
m （1）分数指数：a
n
=a
-
n
=
1m =
0, m , n ∈N
*
, n >1)
a
n
(a >（2
）同次公式：
n
=a =⎧⎨
a , n 为奇数
⎩a , n 为偶数
m （3）运算法则：a m
a n
=a
m +n
；a m -n a
n =a ； (a m )n
=a mn ；(ab )m
=a m b m ；(a >0, b >0, m , n ∈Z )
2． 对数运算性质与公式： （1）常用公式：
①log a 1=0；log a a =1(a >0, a ≠1)
②两个恒等式：log a a b =b ；a
log a N
=N (a >0, a ≠1)
③常用对数：log 10N =lg N ； 自然对数：log e N =ln N ④换底公式：log a N =
log m N
log m a
推论：log a b =
m 1
log a n b m =log a b (N >0, a >0, b >0, a ≠1, b ≠1, m ≠0, n ≠0) ；
log b a
n （2）运算性质：
log (MN ) =log ⎛M
a a M +log a N ；log a
⎫
⎝N ⎪⎭
=log a M -log a N ； log a M n =n log a M ；(M >0, N >0, a >0, a ≠1, n ∈R )
3． 函数图像间的对称公式：以y =f (x ) 为例，其： （1）关于y 轴对称的函数：y =f (-x ) ； （2）关于x 轴对称的函数：y =-f (x ) ； （3）关于原点对称的函数：y =-f (-x ) ；
（4）关于y =x 的函数：y =f -1
(x ) ； （5）关于y =-x 的函数：y =-f -1
(-x ) ；
（6）关于x =m 的函数：y =f (2m -x ) ； （7）关于y =n 的函数：y =2n -f (x ) ； （8）关于(m , n ) 的函数：y =2n -f (2m -x ) ； 4．几个重要的数列极限： （1）lim n →∞
C =C (C 为常数) ；
（2）lim
C
n →∞n
=0(C 为常数) ； （3）lim n
n →∞
q =0(q
（4）无穷递缩等比数列的各项和：S =lim S a 1
n →∞
n =
1-q
a 0n p +a 1n p -1+P (n )
=lim （5）lim F (n ) =lim
n →∞n →∞Q (n ) n →∞b n q +b n q -1+01
⎧a 0
⎪b , n =m 0
+a p ⎪⎪
=⎨0, n >m +b q ⎪
∞, n
5．有关导数的若干公式： （1）导数的定义式：f '(x ) =lim
∆y f (x +∆x ) -f (x )
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
（2）基本初等函数的导数公式：
①C ' =0 ②(x m )' =mx m -1(m ∈Q ) ③(sinx )' =cos x ④(cosx )' =-sin x ⑤(e )' =e ⑥(a )' =a ln a ⑦(lnx ) ' =（3）导数四则运算法则：
x
x
x
x
11
⑧(loga x )' = x x ln a
'
⎛u ⎫u ' v -uv '
①(u ±v )' =u ' ±v ' ； ②(uv )' =u ' v +uv ' ； ③ ⎪=(v ≠0) 2
v v ⎝⎭
（4）复合函数求导法则： y ' x =y ' u u ' x
三、数列 不等式
1．等差数列公式与性质：若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则： （1）通项公式：a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ； （2）前n 项和公式：S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d d
=na 1+d =n 2+(a 1-) n (n ∈N *) 2222
*
（3）等差中项性质：2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N ) （4）首尾项性质： a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2= ;
2．等差数列公式与性质：若数列{a n }是公比为q (q ≠0) 的等比数列，则： （1）通项公式：a n =a 1q
n -1
(n ∈N *) ；
⎧a 1(1-q n )
(q ≠1) ⎪
(n ∈N *) （2）前n 项和公式：S n =⎨1-q
⎪ na (q =1) ⎩1
（3）等比中项性质：a n +1=a n a n +2 (n ∈N ) （4）首尾项性质： a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2= .
2
*
3．a n 与S n 的关系：若数列{a n }的前n 项和为S n ，则
a ⎧S 1
, n =1
n =⎨⎩S n -S n -1 , n ≥2
4．数列求和中常用的裂项公式： （1）
1n n +1=1n -
1
n +1
（2）
1
12n -12n +1=⎛2 1⎝2n -1-1⎫2n +1⎪⎭
（3）1n n +1n +2=1⎡2⎢1n +1-1
⎤n ＋1n ＋2⎥
⎣n ⎦
5．常用基本不等式 （1）均值不等式
a 2+b 22≥a +b 2
≥ab ≥2
(a , b ∈R +)
a +b
（2）a 2+b 2+c 2
≥ab +bc +ca （3）a 3
+b 3
+c 3
≥3abc (a , b , c ∈R +)
（4）a +b +c ≥3⋅abc ，abc ≤(
a +b +c 3
3
) ；(a , b , c ∈R +) （5）a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，(a , b , c ∈R ) 6．几个重要放缩不等式
（1）a >b >0, a >m >0, 则b -m b b +m
a -m 0, 若b d b b +d a
a +c
c
（3
（4）
1n -1n +1
n 2
(n ∈N *, n >1) 7．几类不等式的解法 （1）绝对值不等式：（大于取两边，小于取中间） ①x 0) ⇔{x -a ； ②x >a (a >0) ⇔{x x >a 或x
（2）一元二次不等式：若ax 2+bx +c =0(∆>0) 的两根为x 1, x 2，且x 10, ∆>0) ⇔x x 10(a >0, ∆>0) ⇔x x >x 2或x 1时，
{}
{}
a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x ) >g (x )
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
②当0
a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x )
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
四、三角函数 平面向量
1．三解函数的概念：
（1）弧长公式：l =αr （r 为半径，α为圆心角的弧度数） （2）扇形面积公式：S =
11
lr =αr 2（r 为半径，l 为弧长，α为圆心角的弧度数） 22
（3）角度制与弧度制的换算：①180=π rad ②1=
π
180
rad ≈0.01745 rad
③1 rad = 2．三解函数常用五大类公式：
（1）诱导公式：
①“奇变偶不变，符号看象限” ② α不论大小，一定看成锐角 （2）同角三角函数基本关系式： ① 倒数关系：tan αcot α=1 ② 平方关系：sin α+cos α=1
2
2
⎛180⎫
⎪≈57.30 ⎝π⎭
③ 商数关系：tan α=（3）两角和差公式：
sin αc o αs
t =； c o α
cos αsin α
①sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β ②cos(α±β) =cos αcos β③tan(α±β) =
sin αsin β
tan α±tan β
1tan αtan β
（4）二倍角公式：
①sin 2α=2sin αcos α
②cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α（*由此导出降幂公式） ③tan 2α=
2
2
2
2
2tan α
1-tan 2α
（5）辅助角公式：
a sin α+b cos α=α+ϕ) （a 、b 不同时为零）
其中，cos ϕ=
sin ϕ=
3．三解函数图象性质： 周期公式：T =4． 平面向量：
（1）平面向量基本定理：a =λ1e 1+λ2e 2（e 1, e 2是平面内一组基底，λ1, λ2存在唯一） （2）两个向量平行：a //b ⇔a =λb ⇔x 1y 2=x 2y 1（其中a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ） （3）两个向量垂直：（其中a =(x 1, y 1) ， a ⊥b ⇔a ∙b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0b =(x 2, y 2) ）（4
）两点间距离公式：AB =（5）平面向量的数量积：
①定义式：a ∙b =a b cos a , b =(x 1, y 1) ∙(x 2, y 2) =x 1y 1+x 2y 2
②模长公式：a =
2ππ
（正余弦函数）； T =（正余切函数） w w
A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ）
=a =(x , y ) ）
③向量夹角公式：cos a , b =（6）重心坐标公式：
a ∙b
=a ∙b
若G 为∆ABC 的重心⇔GA +GB +GC =0⇔G 其中A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，C (x 3, y 3) （7）定比分点公式： ①向量式：PP 1=λPP 2
⎛x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3⎫
, ⎪ 33⎝⎭
⎧
x =⎪⎪
②坐标式：⎨
⎪y =⎪⎩
x 1+λx 2x 1+x 2⎧
x =⎪⎪1+λ2
，特别地，中点坐标公式：⎨
y 1+λy 2y +y 2⎪y =1
⎪1+λ⎩2
其中P (x , y ) ，P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) （8）平移公式：
⎧x ' =x +h
，其中P '(x ', y ') 为P (x , y ) 按向量a 平移后的坐标，a =(h , k ) 称为平移向量 ⎨
⎩y ' =y +k
5． 解斜三角形的公式定理：
∆ABC 中角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c
（1）正弦定理：
a b c
===2R （其中R 为外接圆半径） sin A sin B sin C
⎧b 2+c 2-a 2⎪cos A =2bc ⎪⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A
a 2+c 2-b 2⎪⎪222
（2）余弦定理：⎨b =a +c -2ac cos B ⇔⎨cos B =
2ac ⎪c 2=a 2+b 2-2ab cos C ⎪
⎩⎪a 2+b 2-c 2
⎪cos C =
2bc ⎩
（3）三角形内角和定理：A +B +C =π （4）三角形面积公式：S =
111
ab sin C =ac sin B =bc sin A 222
五、直线与圆方程 圆锥曲线方程
1．直线方程
（1）直线的斜率：
①定义式：k =tan α ②坐标表示：k =（2）直线方程的解析式： ①点斜式：y -y 0=k (x -x 0)
y 2-y 1
x 2-x 1
②斜截式：y =kx +b
③两点式：
y -y 1x -x 1
=
y 2-y 1x 2-x 1x y
+=1 a b
④截距式：
⑤一般式：Ax +By +C =0 2．两条直线的位置关系 （1）平行：
①l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，l 1//l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2 ②l 1：A 1x +BY 1+C 1=0，l 2：A 2x +B 2Y +C 2=0，l 1//l 2⇔⎨（2）垂直：
①l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1
②l 1：A 1x +BY 1+C 1=0，l 2：A 2x +B 2Y +C 2=0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0 （3）两直线所成角： ①方向角：tan θ=（4）距离：
①点到直线的距离：d =
⎧A 1B 2=A 2B 1
⎩AC 12≠A 2C 1
k -k 1k 2-k 1⎛π⎤
②夹角：tan θ=2，θ∈ 0, ⎥
1+k 1k 21+k 1k 2⎝2⎦
d 为点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =0的距离）
②两平行直线的距离：d =
（d 为直线A 1x +B 1y +C 1=0到直线Ax +By +C =0的距离）
3．圆的方程
（1）圆方程的解析式：
①标准式：(x -a ) +(y -b ) =r （以(a , b ) 为圆心，r 为半径的圆）
22
②一般式：x +y +Dx +Ey +F =0，D +E -4F >0
2
2
222
③参数式：⎨
2
⎧x =a +r cos θ
（以(a , b ) 为圆心，r 为半径的圆）
⎩y =b +r sin θ
2
2
（2）圆x +y =r 上一点P (x 0, y 0) 的切线方程：x 0x +y 0y =r
2
（3）以A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 为直径的圆的方程：(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0 4．椭圆方程
（1）椭圆方程的解析式：（焦点分别在x 轴和y 轴上）
x 2y 2y 2x 2
①标准方程：2+2=1(a >b >0) ，2+2=1(a >b >0)
a b a b
②参数方程：⎨
⎧x =a cos θ⎧y =a cos θ
， ⎨
⎩y =b sin θ⎩x =b sin θ
2
2
2
（2）基本性质：①c =a -b ②离心率：e =
c
∈(0,1) a
x 2y 2
（3）椭圆2+2=1(a >b >0) 焦半径公式:
a b
a 2a 2
PF 1=e (+x 0) =a +ex 0，PF 2=e (-x 0) =a -ex 0；
c c
5．双曲线方程
（1）双曲线方程的解析式：（焦点分别在x 轴和y 轴上）
x 2y 2y 2x 2
标准方程：2-2=1(a >0, b >0) ，2-2=1(a >0, b >0)
a b a b
（2）基本性质：①c =a +b ②离心率：e =
2
2
2
c
∈(1,+∞) a
x 2y 2
（3）又曲线2-2=1(a >0, b >0) 焦半径公式:
a b
a 2a 2
①若P 在右支上，PF 1=e (x 0+) =ex 0+a ，PF 2=e (x 0-) =ex 0-a
c c a 2a 2
②若P 在左支上，PF 1=e (-x 0-) =-ex 0-a ，PF 2=e (-x 0+) =-ex 0+a
c c
6．抛物线方程
（1）抛物线方程的解析式：（焦点分别在x 轴和y 轴上）
⎧y 2=2px (p >0) ⎧x 2=2py (p >0) 标准方程：⎨2，⎨2
⎩y =-2px (p >0) ⎩x =-2py (p >0)
2
（2）椭圆y =2px (p >0) 焦半径公式: PF =x 0+
p 2
7
．弦长公式：AB =
=x 1-x =y 1-y
=
==
其中，直线与圆锥曲线交于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点，直线AB 的斜率为k
六、直线、平面、简单几何体
1．空间向量
a =(x 1, y 1, z 1) ，b =(x 2, y 2, z 2)
（1）加减法：a ±b =(x 1±x 2, y 1±y 2, z 1±z 2) （2）数乘：λa =(λx 1, λy 1, λz 1)
（3）数量积：a ∙b =a b cos a , b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 （4）平行：a //b ⇔a //λb ⇔x 1=λx 2, y 1=λy 2, z 1=λz 2 （5）垂直：a ⊥b ⇔a ∙b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0 （6
）模公式：a ==
（7
）夹角公式：cos a , b =（8）定比分点公式： ①向量式：AP =λPB
⎧⎪x =x 1+λx 2⎧
x ⎪1+λ
⎪x =1+x 2②坐标式：⎪
⎨y =
y ⎪
21+λy 2⎪1+λ，特别地，中点坐标公式：⎪
⎨y =y 1+y 2⎪⎪z z ⎪
2
1+λ2⎪z 1+z 2⎩
z =1+λ⎪⎩
z =2其中P (x , y , z ) ，A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) （9）重心坐标公式： 若G 为∆ABC 的重心⇔G
⎛x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y ⎝3, 33, z 1+z 2+z 3⎫
3⎪⎭
其中A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，C (x 3, y 3, z 3) 2．空间角
（1）异面直线所成角公式：cos θ=a ∙b （a,b 为异面直线的方向向量） a ∙b
a ∙n a ∙n （2）线面角公式：sin θ=cos a , n =
（a 为直线的方向向量，n 为平面的法向量，θ为线面角）
（3）二面角公式：cos n 1, n 2=n 1∙n 2 n 1∙n 2
n 1, n 2为两个半平面的法向量，θ为面面角，θ=n 1, n 2或π-n 1, n 2（同补异等）
3．空间距离
（1）两点间距离公式：
AB =AB ==
（其中A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ）
（2）点线距离公式：d =AB sin AB , e
在直线l 上取一点B ，取直线l 的一个方向向量e ，则A 到l 的距离为d
（3）点面距离公式：d =a ∙n
n （*线面距离和面面距离可以转化为点面距离）
a =BP （B 为过P 的斜线与平面的交点），n 为平面的法向量，d 为P 到平面的距离 （4）异面直线距离公式：d =a ∙n
n
a 为两异面直线上两点相连得到的向量，n 为两异面直线的公共法向量
4．棱柱与棱锥
（1）体积公式：V 棱柱=Sh V
棱锥=1S h 3
1Ch ' 2（2）侧面积公式：S 直棱柱=Ch S 正棱锥=
5．球
（1）面心距公式：d （3）体积公式：V =
（2）表面积公式：S =4πR 2 4πR 3 （4）球面距离公式：l =R θ 3
七、排列、组合和二项式定理 概率与统计
1．排列数公式
m （1）第一公式：A n =n (n -1) (n -m +1)
（2）第二公式：A n =
2．组合数公式
（1）第一公式：C n =
（2）第二公式：C n =m m m n ! (n -m )! n (n -1) (n -m +1) m ! n ! m !(n -m )!
m m +1m +1m n -m （3）性质：C n ， C n +C n =C n =C n +1
3．二项式定理
0n 1n -1（1）展开式：(a +b ) n =C n a +C n a b +r n -r r （2）通项：T r +1=C n a b ，(0≤r ≤n ) n n +C n b ，(n ∈N )
（3）二项式系数性质：
01①C n +C n +n +C n =2n
135=C n +C n +C n +024②C n +C n +C n +=2n -1
m n -m ③对称性：C n =C n
4．概率与统计
（1）等可能事件的概率（古典概型）：
P (A ) =m ，其中n 为一次试验可能出现的结果，m 为A 事件包含的结果 n
（2）互斥事件（事件A , B 不可能同时发生）：
P (A +B ) =P (A ) +P (B ) 特别地，若事件A , B 对立，P (A +A ) =P (A ) +P (A ) =1
（3）相互独立事件（事件A 或B 是否发生，相互之间没有影响）：
P (A ∙B ) =P (A ) ∙P (B )
（4）独立重复事件（贝努利概型）
如果在1次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )
① 公式：P n (k ) =C n p (1-p )
② 性质：P n (0)+P n (1)+k k n -k ，其中k =0,1,2, , n +P n (n ) =1
5．随机变量与统计
（1）离散型随机变量的期望：
①公式：E ξ=x 1p 1+x 2p 2+
②性质：E (a ξ+b ) =aE ξ+b
（2）离散型随机变量的方差： +x n p n +
①公式：D ξ=(x 1-E ξ) 2∙p 1+(x 2-E ξ) 2∙p 2++(x n -E ξ) 2∙p n + ②性质：D (a ξ+b ) =a 2D ξ
③标准差：δξ=（3）二项分布：ξB (n , p )
①概率分布：P (ξ=k ) =C k
n ∙p k ∙(1-p ) n -k ，其中k =0,1,2, , n
②性质：E ξ=np ， D ξ=n p (1-p )