第十讲 图形的平移与旋转
前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科． 几何变换是指把一个几何图形F l 变换成另一个几何图形F 2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．
如图1，若把平面图形F l 上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F 2后，则由的变换叫平移变换． 平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．
如图2，若把平面图F l 绕一定点旋转一个角度得到图形F 2，则由F l 到F 2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．
旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．
通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．
注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变' 而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．
例题求解
【例1】如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA ：PB ：PC ＝1：2：3，则∠APD= ．
思路点拨 通过旋转，把PA 、PB 、PC 或关联的线段集中到同一个三角形．
【例2】 如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN=45°，记AM ＝m ，MN= x，DN=n，则以线段x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x 、m 、n 的变化而改变
思路点拨 把△ACN 绕C 点顺时针旋转45°，得△CBD ，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN 相等的角，在一条直线上的m 、x 、n 集中为△DNB ，只需判定△DNB 的形状即可．
注 下列情形，常实施旋转变换：
(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；
(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；
(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
【例3】 如图，六边形ADCDEF 中，AN ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF ＝ED —AB ＝AF —CD>0，求证：该六边形的各角相等．
(全俄数学奥林匹克竞赛题)
思路点拨 设法将复杂的条件BC —FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．
注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．
【例4】 如图，在等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上分别取点E 和F ，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF ≥1． (西安市竞赛题)
思路点拨 本例实际上就是证明2EF ≥BC ，不便直接证明，通过平移把BC 与EF 集
中到同一个三角形中．
注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：
(1)两点间线段最短，垂线段最短；
(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边) ，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
【例5】 如图，等边△ABC 的边长为a =25+，点P 是△ABC 内的一点，且PA +PB＝PC ，若PC=5，求PA 、PB 的长． (“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 题设条件满足勾股关系PA +PB＝PC 的三边PA 、PB 、PC 不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关
键．
222222
学历训练
1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，现将△ABP 绕点B 顾时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．
2．如图，P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB=8，PC ＝10，则∠APB ．
3．如图，四边形ABC D 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，若AD=a，AB=b，则CD 的长为 ．
4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C' 的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分) 的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA' 是( )
A ．2 1 B．12 C．l D． (2002年荆州市中考题) 22
5．如图，已知△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =1S △ABC ；④EF=AP． 2
当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合) ，上述结论中始终正确的有( )
A．1个 B．2个 C ．3个 D．4个
(2003年江苏省苏州市中考题)
6．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ， S四边形ABCD d=8，则BE 的长为( )
A．2 B．3 C． D．22 (2004年武汉市选拔赛试题)
7．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为2和2，对角线BD 、FH 都在直线l 上，O 1、O 2分别为正方形的中心，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有变化．
(1)计算：O 1D= ，O 2F= ；
(2)当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2= ；
(3)随着中心O 2在直线l 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化? 并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程) ． (徐州市中考题
)
8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）：
在图a 中，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2, 得到封闭图形A 1A 2B 1B 2（即阴影部分）；
在图b 中， 将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3B 1B 2B 3（即阴影部分）；
（1） 在图c 中, 请你类似地画一条有两个折点的折线, 同样向右平移1个单位, 从而得到一个封闭图形,
并用斜线画出阴影；
（2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S 1= ，, S 2= ，S 3= ；
（3） 联想与探索：
如图d ，在一块矩形草地上, 有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
(2002年河北省中考题)
9．如图，已知点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，求证：AN ＝BM ．
说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：
(1)将△ACM 绕C 点按逆时针方向旋转180°，使A 点落在CB 上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹) ．
(2)在①所得的图形中，结论“AN ＝BM ”是否还成立? 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)在①得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并证明你的结论．
10．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3cm ，AC=4cm，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm．
11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E 在DC 上，AE 、BC 的延长线交于点F ，若AE=10，则S △ADE +S△CEF 的值是 ．
(绍兴市中考题)
12．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )
A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC
C ． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定
13．如图，设P 到等边三角形ABC 两顶点A 、B 的距离分别为2、3，则PC 所能达到的最大值为( )
A ． B． C ．5 D．6
(2004年武汉市选拔赛试题)
14．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE，连DE ，求证：DE>DC．
15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA +PB=PC，设PA=m，n 为大于5的实数，满m 2n +30m +9n ≤5m 2+6mn +45，求△ABC 的面积．
16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，l 1∥l 2表示小河甲，l 3∥l 4表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)
2222
17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ．
(1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形；
(2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)
18．(1)操作与证明：如图1，O 是边长为a 的正方形ACBD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．
(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正三角形或正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．
(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转．当扇形纸板的圆心角为 时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；这时正n 边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值? 若为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系；若不是定值，请说明理由．
(江苏省连云港市中考题)
第十讲 图形的平移与旋转
前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科． 几何变换是指把一个几何图形F l 变换成另一个几何图形F 2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．
如图1，若把平面图形F l 上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F 2后，则由的变换叫平移变换． 平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．
如图2，若把平面图F l 绕一定点旋转一个角度得到图形F 2，则由F l 到F 2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．
旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．
通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．
注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变' 而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．
例题求解
【例1】如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA ：PB ：PC ＝1：2：3，则∠APD= ．
思路点拨 通过旋转，把PA 、PB 、PC 或关联的线段集中到同一个三角形．
【例2】 如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN=45°，记AM ＝m ，MN= x，DN=n，则以线段x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x 、m 、n 的变化而改变
思路点拨 把△ACN 绕C 点顺时针旋转45°，得△CBD ，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN 相等的角，在一条直线上的m 、x 、n 集中为△DNB ，只需判定△DNB 的形状即可．
注 下列情形，常实施旋转变换：
(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；
(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；
(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
【例3】 如图，六边形ADCDEF 中，AN ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF ＝ED —AB ＝AF —CD>0，求证：该六边形的各角相等．
(全俄数学奥林匹克竞赛题)
思路点拨 设法将复杂的条件BC —FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．
注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．
【例4】 如图，在等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上分别取点E 和F ，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF ≥1． (西安市竞赛题)
思路点拨 本例实际上就是证明2EF ≥BC ，不便直接证明，通过平移把BC 与EF 集
中到同一个三角形中．
注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：
(1)两点间线段最短，垂线段最短；
(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边) ，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
【例5】 如图，等边△ABC 的边长为a =25+，点P 是△ABC 内的一点，且PA +PB＝PC ，若PC=5，求PA 、PB 的长． (“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 题设条件满足勾股关系PA +PB＝PC 的三边PA 、PB 、PC 不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关
键．
222222
学历训练
1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，现将△ABP 绕点B 顾时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．
2．如图，P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB=8，PC ＝10，则∠APB ．
3．如图，四边形ABC D 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，若AD=a，AB=b，则CD 的长为 ．
4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C' 的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分) 的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA' 是( )
A ．2 1 B．12 C．l D． (2002年荆州市中考题) 22
5．如图，已知△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =1S △ABC ；④EF=AP． 2
当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合) ，上述结论中始终正确的有( )
A．1个 B．2个 C ．3个 D．4个
(2003年江苏省苏州市中考题)
6．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ， S四边形ABCD d=8，则BE 的长为( )
A．2 B．3 C． D．22 (2004年武汉市选拔赛试题)
7．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为2和2，对角线BD 、FH 都在直线l 上，O 1、O 2分别为正方形的中心，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有变化．
(1)计算：O 1D= ，O 2F= ；
(2)当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2= ；
(3)随着中心O 2在直线l 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化? 并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程) ． (徐州市中考题
)
8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）：
在图a 中，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2, 得到封闭图形A 1A 2B 1B 2（即阴影部分）；
在图b 中， 将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3B 1B 2B 3（即阴影部分）；
（1） 在图c 中, 请你类似地画一条有两个折点的折线, 同样向右平移1个单位, 从而得到一个封闭图形,
并用斜线画出阴影；
（2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S 1= ，, S 2= ，S 3= ；
（3） 联想与探索：
如图d ，在一块矩形草地上, 有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
(2002年河北省中考题)
9．如图，已知点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，求证：AN ＝BM ．
说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：
(1)将△ACM 绕C 点按逆时针方向旋转180°，使A 点落在CB 上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹) ．
(2)在①所得的图形中，结论“AN ＝BM ”是否还成立? 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)在①得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并证明你的结论．
10．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3cm ，AC=4cm，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm．
11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E 在DC 上，AE 、BC 的延长线交于点F ，若AE=10，则S △ADE +S△CEF 的值是 ．
(绍兴市中考题)
12．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )
A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC
C ． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定
13．如图，设P 到等边三角形ABC 两顶点A 、B 的距离分别为2、3，则PC 所能达到的最大值为( )
A ． B． C ．5 D．6
(2004年武汉市选拔赛试题)
14．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE，连DE ，求证：DE>DC．
15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA +PB=PC，设PA=m，n 为大于5的实数，满m 2n +30m +9n ≤5m 2+6mn +45，求△ABC 的面积．
16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，l 1∥l 2表示小河甲，l 3∥l 4表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)
2222
17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ．
(1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形；
(2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)
18．(1)操作与证明：如图1，O 是边长为a 的正方形ACBD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．
(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正三角形或正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．
(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转．当扇形纸板的圆心角为 时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；这时正n 边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值? 若为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系；若不是定值，请说明理由．
(江苏省连云港市中考题)