第二章有理数及其运算概念复习

一、正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数: 。 正数: 。 既不是正数,也不是负数 注意:①字母a 可以表示任意数,当a 表示正数时,-a 是 ;当a 表示负数时,-a 是a 表示0时,-a 仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如: 零上8℃表示为: ;零下8℃表示为: 3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人; ⑵0是 和 的分界线,0既不是正数,也不是负数。

二、有理数 1. 有理数的概念

⑴ 、 、 统称为整数(0和正整数统称为自然数)

⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。 理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式, 不是有理数。② 注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8„也是偶数, -1,-3,-5„也是奇数。 2. 有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分

总结:① 、 统称为非负整数(也叫自然数) ②、 ③、 ④、

三、数轴 ⒈数轴的概念

规定了 、 、 的直线叫做数轴。

注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2. 数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点 边的点表示,负有理数可用原点 边的点表示,0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数) 3. 利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较, 边的数总比 边的数大; ⑵ 都大于0, 都小于0, 大于 ; ⑶两个负数比较,距离原点 的数比距离原点 的数小。 4. 数轴上特殊的最大(小)数 ⑴最小的自然数是 , 最大的自然数;(填“有、无”) ⑵最小的正整数是 , 最大的正整数;(填“有、无”) ⑶最大的负整数是 , 最小的负整数。(填“有、无”) 5.a 可以表示什么数 ⑴a>0表示a 是 ;反之,a 是 ,则a>0; ⑵a

根据点的移动,向左移动几个单位长度则 去几,向右移动几个单位长度则 上几,从而得到所需的点的位置。

四、相反数 ⒈相反数

只有 不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。 注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负; ⑶ 的相反数是它本身;相反数为本身的数是 。 2. 相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数,且只有一个;⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a ,b 互为相反数,则 3. 相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是 ;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4. 相反数的求法

⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5); ⑵求多个数的和或差的相反数是,要用 括起来再添“-”,然后再化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b );

⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5) 5. 相反数的表示方法

⑴一般地,数a 的相反数是 ,其中a 是任意有理数,可以是正数、负数或0。 当a>0时,-a0(负数的相反数是正数) 当a=0时,-a=0,(0的相反数是0) 6. 多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。

五、绝对值

⒈绝对值的几何定义

叫做a 的绝对值,记作|。 2. 绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是 ; ⑵一个负数的绝对值是 ; ⑶0的绝对值是 . 可用字母表示为:

①如果a>0,那么|a|= ; ②如果a

①a ≥0, |a|= (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。) ②a ≤0, |a|= (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)

3. 绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是 ,也就是说绝对值具有 性。所以,a 取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0. 即:a=0 |a|=0; ⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0. 即:|a|≥0; ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a ;

⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a ; ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|; ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。 (非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0) 4. 有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较, 边的总比 边的小; ⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小, 大的反而小; 异号两数比较大小,。 5. 绝对值的化简

①当a ≥0时, |a|= ; ②当a ≤0时, |a|= 6. 已知一个数的绝对值,求这个数

一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。

六、有理数的加减法 1. 有理数的加法法则

⑴ ;

⑵ ⑶ ,和为零;

⑷ ,仍得这个数。 2. 有理数加法的运算律

⑴加法交换律:

⑵加法结合律:

在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律: ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”; ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”; ④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”; ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3. 加法性质

一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。 即:⑴当b>0时,a+b>a ⑵当ba-b=a+(-b)。 5. 有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。 在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=

和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“ 的和” ②按运算意义读作“”

6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: Ⅰ. 把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式= (将减法转换成加法) (省略加号和括号)

(把符号相同的加数相结合) (运用加法法则一进行运算) (运用加法法则二进行运算)

Ⅱ. 把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式= (将减法转换成加法) (省略加号和括号)

(把和为整数的加数相结合) (运用加法法则进行运算)

(把符号相同的加数相结合,并进行运算) (得出结论) Ⅲ. 把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法) -35-132172+4-5+2-8 原式=

Ⅳ. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 原式=

Ⅴ. 把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)

(+0.125)-(-3312

4)+(-38)-(-103

)-(+1.25)

原式=

Ⅵ. 分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9„+66-67-68+69 原式=

Ⅶ. 先拆项后结合

(1+3+5+7„+99)-(2+4+6+8„+100) 原式=

七、有理数的乘除法 1. 有理数的乘法法则

法则一: (“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)

法则二: ;

法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是 时,积是正数; 负因数的个数是

法则四:几个数相乘,如果其中有因数为 , 则积等于 .

2. 倒数

的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为 a =1(a ≠0),就是说a 和a 是a 的倒数。 注意:① 没有倒数;

②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为 ,再把分子、分母颠倒位置; ③正数的倒数是 数,负数的倒数是 数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); ④倒数等于它本身的数是 。 3. 有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律:

一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即 ⑵乘法结合律:

三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即 . ⑶乘法分配律:

一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即 4. 有理数的除法法则

(1)除以一个不等0的数,等于 。 (2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 0除以的数,都得0 5. 有理数的乘除混合运算

(1)乘除混合运算往往先将 化成乘法,然后确定积的 ,最后求出结果。 (2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先 , 后’的顺序进行。

八、有理数的乘方 1. 乘方的概念

在中,a 叫做底数,n 叫做指数。

2. 乘方的性质

(1)负数的 次幂是负数,负数的 次幂的正数。

(2)正数的任何次幂都是 数,0的任何正整数次幂都是0。

九、有理数的混合运算

做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序: 1. 先,最后 运算,从左到右进行;

3. 如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。

十、科学记数法

把一个大于10的数表示成 的形式(其中, ),这种记数法是科学记数法。

十一、近似数

精确度表示 的接近程度。判断一个近似数的精确度就是看这个数的 最 位数字在什么数位上就说精确到哪一位;对于带记数单位的近似数的精确度应看单位前的数字最末一位在 的数的哪一位上;科学记数法也看a 中的最末一位在 的数的哪一位上就是精确到哪一位。按要求取近似值就是将要求精确到的数位后一位四舍五入,对于要求精确到的数位比个位高时应先化为科学记数法再取近似值,如:35780000(精确到百万位)应为35.780000= ≈ .

一、正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数: 。 正数: 。 既不是正数,也不是负数 注意:①字母a 可以表示任意数,当a 表示正数时,-a 是 ;当a 表示负数时,-a 是a 表示0时,-a 仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如: 零上8℃表示为: ;零下8℃表示为: 3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人; ⑵0是 和 的分界线,0既不是正数,也不是负数。

二、有理数 1. 有理数的概念

⑴ 、 、 统称为整数(0和正整数统称为自然数)

⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。 理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式, 不是有理数。② 注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8„也是偶数, -1,-3,-5„也是奇数。 2. 有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分

总结:① 、 统称为非负整数(也叫自然数) ②、 ③、 ④、

三、数轴 ⒈数轴的概念

规定了 、 、 的直线叫做数轴。

注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2. 数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点 边的点表示,负有理数可用原点 边的点表示,0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数) 3. 利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较, 边的数总比 边的数大; ⑵ 都大于0, 都小于0, 大于 ; ⑶两个负数比较,距离原点 的数比距离原点 的数小。 4. 数轴上特殊的最大(小)数 ⑴最小的自然数是 , 最大的自然数;(填“有、无”) ⑵最小的正整数是 , 最大的正整数;(填“有、无”) ⑶最大的负整数是 , 最小的负整数。(填“有、无”) 5.a 可以表示什么数 ⑴a>0表示a 是 ;反之,a 是 ,则a>0; ⑵a

根据点的移动,向左移动几个单位长度则 去几,向右移动几个单位长度则 上几,从而得到所需的点的位置。

四、相反数 ⒈相反数

只有 不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。 注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负; ⑶ 的相反数是它本身;相反数为本身的数是 。 2. 相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数,且只有一个;⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a ,b 互为相反数,则 3. 相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是 ;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4. 相反数的求法

⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5); ⑵求多个数的和或差的相反数是,要用 括起来再添“-”,然后再化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b );

⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5) 5. 相反数的表示方法

⑴一般地,数a 的相反数是 ,其中a 是任意有理数,可以是正数、负数或0。 当a>0时,-a0(负数的相反数是正数) 当a=0时,-a=0,(0的相反数是0) 6. 多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。

五、绝对值

⒈绝对值的几何定义

叫做a 的绝对值,记作|。 2. 绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是 ; ⑵一个负数的绝对值是 ; ⑶0的绝对值是 . 可用字母表示为:

①如果a>0,那么|a|= ; ②如果a

①a ≥0, |a|= (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。) ②a ≤0, |a|= (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)

3. 绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是 ,也就是说绝对值具有 性。所以,a 取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0. 即:a=0 |a|=0; ⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0. 即:|a|≥0; ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a ;

⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a ; ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|; ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。 (非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0) 4. 有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较, 边的总比 边的小; ⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小, 大的反而小; 异号两数比较大小,。 5. 绝对值的化简

①当a ≥0时, |a|= ; ②当a ≤0时, |a|= 6. 已知一个数的绝对值,求这个数

一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。

六、有理数的加减法 1. 有理数的加法法则

⑴ ;

⑵ ⑶ ,和为零;

⑷ ,仍得这个数。 2. 有理数加法的运算律

⑴加法交换律:

⑵加法结合律:

在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律: ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”; ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”; ④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”; ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3. 加法性质

一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。 即:⑴当b>0时,a+b>a ⑵当ba-b=a+(-b)。 5. 有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。 在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=

和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“ 的和” ②按运算意义读作“”

6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: Ⅰ. 把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式= (将减法转换成加法) (省略加号和括号)

(把符号相同的加数相结合) (运用加法法则一进行运算) (运用加法法则二进行运算)

Ⅱ. 把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式= (将减法转换成加法) (省略加号和括号)

(把和为整数的加数相结合) (运用加法法则进行运算)

(把符号相同的加数相结合,并进行运算) (得出结论) Ⅲ. 把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法) -35-132172+4-5+2-8 原式=

Ⅳ. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 原式=

Ⅴ. 把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)

(+0.125)-(-3312

4)+(-38)-(-103

)-(+1.25)

原式=

Ⅵ. 分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9„+66-67-68+69 原式=

Ⅶ. 先拆项后结合

(1+3+5+7„+99)-(2+4+6+8„+100) 原式=

七、有理数的乘除法 1. 有理数的乘法法则

法则一: (“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)

法则二: ;

法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是 时,积是正数; 负因数的个数是

法则四:几个数相乘,如果其中有因数为 , 则积等于 .

2. 倒数

的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为 a =1(a ≠0),就是说a 和a 是a 的倒数。 注意:① 没有倒数;

②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为 ,再把分子、分母颠倒位置; ③正数的倒数是 数,负数的倒数是 数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); ④倒数等于它本身的数是 。 3. 有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律:

一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即 ⑵乘法结合律:

三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即 . ⑶乘法分配律:

一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即 4. 有理数的除法法则

(1)除以一个不等0的数,等于 。 (2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 0除以的数,都得0 5. 有理数的乘除混合运算

(1)乘除混合运算往往先将 化成乘法,然后确定积的 ,最后求出结果。 (2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先 , 后’的顺序进行。

八、有理数的乘方 1. 乘方的概念

在中,a 叫做底数,n 叫做指数。

2. 乘方的性质

(1)负数的 次幂是负数,负数的 次幂的正数。

(2)正数的任何次幂都是 数,0的任何正整数次幂都是0。

九、有理数的混合运算

做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序: 1. 先,最后 运算,从左到右进行;

3. 如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。

十、科学记数法

把一个大于10的数表示成 的形式(其中, ),这种记数法是科学记数法。

十一、近似数

精确度表示 的接近程度。判断一个近似数的精确度就是看这个数的 最 位数字在什么数位上就说精确到哪一位;对于带记数单位的近似数的精确度应看单位前的数字最末一位在 的数的哪一位上;科学记数法也看a 中的最末一位在 的数的哪一位上就是精确到哪一位。按要求取近似值就是将要求精确到的数位后一位四舍五入,对于要求精确到的数位比个位高时应先化为科学记数法再取近似值,如:35780000(精确到百万位)应为35.780000= ≈ .


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