第四章 曲线运动知识点详细归纳
第一模块：曲线运动、运动的合成和分解
■考点一、曲线运动
1、定义：运动轨迹为曲线的运动。 2、物体做曲线运动的方向：
曲线运动，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。 3、曲线运动的性质： 曲线运动一定是变速运动。
由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。
4、物体做曲线运动的条件： （1）物体做一般曲线运动的条件
物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。 （2）物体做平抛运动的条件： 物体只受重力，初速度方向为水平方向。
可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。
（3）物体做圆周运动的条件：物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）
总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的内侧。
5、分类：匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。
非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变) 作用下所做的曲线运动，如圆周运动。
■考点二、运动的合成与分解
1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。 2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。 3、合运动与分运动的关系：
⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）； ⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等
⑶独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。
⑷运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。） 4、运动的性质和轨迹
⑴物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。 ⑵物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。 常见的类型有：（1）a =0：匀速直线运动或静止。 （2）a 恒定：性质为匀变速运动，分为：
①v 、a 同向，匀加速直线运动；②v 、a 反向，匀减速直线运动；③v 、a 成角度，匀变速曲线运动
（3）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。 具体如：①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。
②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，
不共线时为匀变速曲线运动。
③两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。
第二模块：平抛运动
1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。 2、条件： a 、只受重力；b 、初速度与重力垂直．
3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g ，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。a =g
4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性． 5、平抛运动的规律
①水平速度：v x =v 0，竖直速度：v y =gt 合速度（实际速度）的大小：v =
v 2x +v 2
y
物体的合速度v 与x 轴之间的夹角为：tan α=v y
gt
v =
x v 0②水平位移：x =v 10t ，竖直位移y =
2gt 2合位移（实际位移）的大小：s =x 2+y 2
物体的总位移s 与x 轴之间的夹角为： t a n θ=
y x =
gt
2v 0
可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。 而且tan α=2tan θ而α≠2θ 轨迹方程：由x =v 10t 和y =2gt 2
消去t 得到：y =g 22v 2x 。可见平抛运动的轨迹为抛物线。 0
6、平抛运动的几个结论
①落地时间由竖直方向分运动决定： 由h =12gt 2得：t =2h
g
②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：x =v 2h
0t =v 0
g
③平抛物体任意时刻瞬时速度v 与平抛初速度v 0夹角θa 的正切值为位移s 与水平位移x 夹角θ正切值的两倍。
④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等
1于水平位移的一半。证明：tan α=gt gt 2v =⇒s =x 0s 2
⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv ＝gΔt，方向恒为竖直向下（与g
意相同时间内的
Δv 都相同（包括大小、方向），如右图。 ⑥以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a 相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）
v y
如右图：所以t =2v 0g tan θt a n a (+θ) =gt
v =
x v 0所以tan(a +θ) =2tan θ，θ为定值故a 也是定值与速度无关。
⑦速度v 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，tan θ变大，θ↑，速度v 与重
力的方向越来越靠近，但永远不能到达。
⑧从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。 7、平抛运动的实验探究
①如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A 球沿水平方向抛出，同时B 球松开，自由下落，A 、B 两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A 在竖直方向上的运动为自由落体运动。
②如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A 、B 两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A 、B 两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线
运动。 8、类平抛运动
（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。
2、类平抛运动的受力特点： 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
3、类平抛运动的处理方法：在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加
速度a =F 合
m
。处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个分运动的直线规律来
处理。 第三模块：圆周运动 匀速圆周运动 1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。
2、分类：⑴匀速圆周运动：
质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。 物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。
注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘
上的物体等．
⑵变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平
面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直．
3、描述匀速圆周运动的物理量（1）轨道半径（r ）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。
（2）线速度（v ）：①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S 和所用时间t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。 ②定义式：v =
s
t
③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。 （3）角速度（ω，又称为圆频率）：
①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。 ②大小：ω
=ϕt =
2T
(φ是t 时间内半径转过的圆心角)
③单位：弧度每秒（rad/s） ④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢 （4）周期（T ）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。 （5）频率（f ，或转速n ）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。
v =
s 2各物理量之间的关系：t =πr T
=2πrf ⎫
⎪
⎪θr =ωω=θ⎬⇒v =
r t =2πT =2πf ⎪
t ⎪⎭
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。 （6）圆周运动的向心加速度
①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。
2
②大小：a v 2n =r =ω2r （还有其它的表示形式，如：a v ω=⎛ 2π⎫
n =⎝T ⎪⎭
r =(2πf )2r ） ③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度a τ，表征速度大小改变的快慢 （7）圆周运动的向心力
匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力F n 提供向心加速度（下式仍然
适用），切向分力F m v 2
τ提供切向加速度。 向心力的大小为：F n =ma n =r
=m ω2r （还有其它的表示形式，如： 2
F ⎛ 2π⎫2
n =mv ω=m ⎝T ⎪⎭
r =m (2πf )r ）
；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。
实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。
第四章 曲线运动知识点详细归纳
第一模块：曲线运动、运动的合成和分解
■考点一、曲线运动
1、定义：运动轨迹为曲线的运动。 2、物体做曲线运动的方向：
曲线运动，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。 3、曲线运动的性质： 曲线运动一定是变速运动。
由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。
4、物体做曲线运动的条件： （1）物体做一般曲线运动的条件
物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。 （2）物体做平抛运动的条件： 物体只受重力，初速度方向为水平方向。
可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。
（3）物体做圆周运动的条件：物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）
总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的内侧。
5、分类：匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。
非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变) 作用下所做的曲线运动，如圆周运动。
■考点二、运动的合成与分解
1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。 2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。 3、合运动与分运动的关系：
⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）； ⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等
⑶独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。
⑷运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。） 4、运动的性质和轨迹
⑴物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。 ⑵物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。 常见的类型有：（1）a =0：匀速直线运动或静止。 （2）a 恒定：性质为匀变速运动，分为：
①v 、a 同向，匀加速直线运动；②v 、a 反向，匀减速直线运动；③v 、a 成角度，匀变速曲线运动
（3）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。 具体如：①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。
②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，
不共线时为匀变速曲线运动。
③两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。
第二模块：平抛运动
1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。 2、条件： a 、只受重力；b 、初速度与重力垂直．
3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g ，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。a =g
4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性． 5、平抛运动的规律
①水平速度：v x =v 0，竖直速度：v y =gt 合速度（实际速度）的大小：v =
v 2x +v 2
y
物体的合速度v 与x 轴之间的夹角为：tan α=v y
gt
v =
x v 0②水平位移：x =v 10t ，竖直位移y =
2gt 2合位移（实际位移）的大小：s =x 2+y 2
物体的总位移s 与x 轴之间的夹角为： t a n θ=
y x =
gt
2v 0
可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。 而且tan α=2tan θ而α≠2θ 轨迹方程：由x =v 10t 和y =2gt 2
消去t 得到：y =g 22v 2x 。可见平抛运动的轨迹为抛物线。 0
6、平抛运动的几个结论
①落地时间由竖直方向分运动决定： 由h =12gt 2得：t =2h
g
②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：x =v 2h
0t =v 0
g
③平抛物体任意时刻瞬时速度v 与平抛初速度v 0夹角θa 的正切值为位移s 与水平位移x 夹角θ正切值的两倍。
④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等
1于水平位移的一半。证明：tan α=gt gt 2v =⇒s =x 0s 2
⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv ＝gΔt，方向恒为竖直向下（与g
意相同时间内的
Δv 都相同（包括大小、方向），如右图。 ⑥以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a 相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）
v y
如右图：所以t =2v 0g tan θt a n a (+θ) =gt
v =
x v 0所以tan(a +θ) =2tan θ，θ为定值故a 也是定值与速度无关。
⑦速度v 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，tan θ变大，θ↑，速度v 与重
力的方向越来越靠近，但永远不能到达。
⑧从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。 7、平抛运动的实验探究
①如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A 球沿水平方向抛出，同时B 球松开，自由下落，A 、B 两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A 在竖直方向上的运动为自由落体运动。
②如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A 、B 两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A 、B 两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线
运动。 8、类平抛运动
（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。
2、类平抛运动的受力特点： 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
3、类平抛运动的处理方法：在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加
速度a =F 合
m
。处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个分运动的直线规律来
处理。 第三模块：圆周运动 匀速圆周运动 1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。
2、分类：⑴匀速圆周运动：
质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。 物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。
注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘
上的物体等．
⑵变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平
面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直．
3、描述匀速圆周运动的物理量（1）轨道半径（r ）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。
（2）线速度（v ）：①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S 和所用时间t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。 ②定义式：v =
s
t
③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。 （3）角速度（ω，又称为圆频率）：
①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。 ②大小：ω
=ϕt =
2T
(φ是t 时间内半径转过的圆心角)
③单位：弧度每秒（rad/s） ④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢 （4）周期（T ）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。 （5）频率（f ，或转速n ）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。
v =
s 2各物理量之间的关系：t =πr T
=2πrf ⎫
⎪
⎪θr =ωω=θ⎬⇒v =
r t =2πT =2πf ⎪
t ⎪⎭
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。 （6）圆周运动的向心加速度
①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。
2
②大小：a v 2n =r =ω2r （还有其它的表示形式，如：a v ω=⎛ 2π⎫
n =⎝T ⎪⎭
r =(2πf )2r ） ③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度a τ，表征速度大小改变的快慢 （7）圆周运动的向心力
匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力F n 提供向心加速度（下式仍然
适用），切向分力F m v 2
τ提供切向加速度。 向心力的大小为：F n =ma n =r
=m ω2r （还有其它的表示形式，如： 2
F ⎛ 2π⎫2
n =mv ω=m ⎝T ⎪⎭
r =m (2πf )r ）
；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。
实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。