[黄金分割]教学设计

骨干教师培训作业

一节数学概念教学课

阜蒙县第一中学 卜大伟

2015.4.20

黄 金 分 割

阜蒙县第一中学 卜大伟

设计意图

“黄金分割”是北师大版数学八年级下第四章第二节的内容,学习黄金分割不仅仅是实现线段比例学习的要求,更是体现了数学的文化价值,体现黄金分割是数学与建筑学、美容医学和艺术等一些列学科的纽带,使学生认识到数学不是孤立的、干巴巴的数学,它是文化的一部分,它也促进了文化的发展.黄金分割的价值存在于两个方面:美学价值和实用价值,本节课主要围绕这两个层面来进行设计,通过创设丰富的现实情境,让学生通过直观感受体会到黄金分割的美学价值,然后提出问题,引导学生进行探究,最后解决问题.让学生认识到数学是那样的富有魅力,0.618这个神奇的数字.只要留心,就会在生活的方方面面发现其“魅影”.

设计方案

一、情境创设:

1. 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演, 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗?” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗?”让学生有了强烈的求知欲.

2. 展示四个国家的国旗.

中华人民共和国 新西兰 朝鲜 新加坡

师:请问这四面国旗中有共同图案吗?若有,请指出来.

生:有,是五角星.

师:为什么都会选择五角星这个图案呢?除了政治因素外,还有一个非常重要的原因就是:五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言:“凡是美的东西,都具有共同的特征,这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系. (通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”,就会使同学们认识到五角星这个图案不一般,也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望,就会很乐意完成下面的做一做.)

二、做一做: 度量点C到点A、B的距离,计算AC和BC的值,你发现了什么? ABAC

(通过学生亲自动手操作、计算,最终发现了AC=BC,即部分与部分之比等于部分与整

ABAC

体之比,符合毕达哥拉斯的审美观点,很自然地就引出了黄金分割的概念.) 师:下面就让我们来解决刚才的问题,若由黄金分割点来看,理想身材的黄金分割点是肚脐,即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618,就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜,一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右(腿长的人会有较高的比值),由此可见,芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值,增加美感.现实生活中这样的例子也很多,比如:女性穿高跟鞋,会让人体看起来更美些.

黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的,古希腊人把它广泛应用于艺术创

作当中,其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神,她的上半身和下半身的比率正是0.618.(当学生了解了黄金分割的概念之后,再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题,并欣赏雕像-----维纳斯女神,能使学生感受到黄金分割的美学价值.)

三、再做一做:

已知:线段AB.

求作:线段AB的黄金分割点C.

问:(1)猜一猜:点C是线段AB的黄金分割点吗?

(2)如果点C是线段AB的黄金分割点,点C应满足怎样的条件?

(3)设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?

(由于结论的导出涉及到较复杂的分母有理化的方法,而新教材在讲根式这部分内容时,是不作要求的,如果要求学生通过讨论得出结论,我认为是违背课程标准的要求的,也超出了绝大多数学生的能力,所以我上课时只要求学生能够认识到:若点C是线段AB的黄金分割点,则应有AC=BC成立.当学生得出BD,AD,AC,BC分别等于多少时,我就直接ABAC

告诉学生确实AC=BC,由于我们所学知识有限,具体理由暂不说明.) ABAC

四、想一想:

1. 线段AB有没有除点C以外的黄金分割点呢?

2. 点D应满足怎样的条件?3. 在五角星中点D是线段AB的黄金分割点吗?

4. 你还发现了什么?

(想一想的设置是与情境创设2相呼应的.这四个问题是有层次性的,问题1的结论是显然的,但学生得到的方法却是多样的,有的是凭直觉,有的是利用轴对称得到的,有的是采用旋转方法得到的;问题2进一步强化了黄金分割的概念;有了问题1的铺垫,问题3、4的结论很容易得出,这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形,进一步感受到了黄金分割的美.)

师:下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.

请同学们观察两幅照片,哪一更具有美感呢?

生:第二幅.(大部分)

师:你们知道这是为什么吗?

(因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉,为了打破这种感觉,我们在构图的时候,就需要灵活地运用黄金分割来构图,把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线,人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方,被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”,在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.学生选择图(2)完全是一种直觉,并不明白其中的原因,当把上述道理讲给学生听时,他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.)

师:下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.

(展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片,讲述其中蕴涵的黄金分割比例,体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.)

五、(创设情境三):

师:同学们已经了解到线段的黄金分割是完美

的分割,事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中找出

你看起来最和谐的矩形.

(请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形,最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩

这四个矩形上,此时告诉他们这四个矩形分别是5×8,8×13,13×21,21×34的矩形,请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值(结果保

留3个有效数字),结果分别是:0.625,0.615,0.619,0.618,这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比,从而引出黄金矩形的概念.黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的,而是通过亲身经历这么一个活动过程,自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.)

结论:矩形的宽与长的比为黄金比,这样的矩形称之为黄金矩形.

师:古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形,他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状,其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的发现,BCAB,点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? BEBC

(这里涉及到比例变形的一些技巧,要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形,展示了黄金分割的文化价值.)

师:黄金矩形之所以称为黄金矩形,并不仅仅因为

它的宽与长的比等于黄金比,更重要的是:由上述方法

作图后得到的新的矩形BCFE也为黄金矩形(原因留给同

学们课后思考).巴特农神庙之所以神奇,并不仅仅因为

它的的轮廓恰好为黄金为矩形,它有更深层次的美.(动

画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现

象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金

矩形的神奇现象,同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服,使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.)

六、小 结:

问题1:你认为环境温度为多少度时,人的感觉最舒适?

(人的正常体温36.2℃~ 37.2℃.)

问题2:电信公司通往某地的通信信号突然中断,通信电缆有10千米长,现在公司要派人

检测,找到故障发生地,请你提供一种你认为速度较快的检测方案?

问题3:你还有什么疑问?

问题4:你还想了解什么?

(本节课的小结没有采用传统的“通过这节课的学习,你掌握了哪些知识?”来进行,而是以问题串的形式来实施,问题1和问题2的目的是引导学生运用今天所学到的知识来解决问题,感受到黄金分割的实用价值,同时培养他们用数学的意识和能力.问题3和4主要想了解通过今天这节课的学习,学生自己的想法是什么,事实是学生确实有一些想法老师是想不到的,如有学生提出“有没有完美的梯形呢?”“有没有比黄金分割和黄金矩形更完美的现象呢?”等等,进一步激发了学生的探究的欲望.)

作 业:

1. 课本P99 随堂练习.

2. 课本P101 Ex1、Ex2.

3. 通过上网调查,了解黄金分割在实际生活中的应用.

教学反思

本课教学设计注重揭示数学的文化价值,所选用的教学素材、所创设的问题情境有利于学生体会黄金分割的美学价值,对黄金分割的实用价值也有一定的了解.本人对课本做一做中的第二问“点C是线段AB的黄金分割点吗?”作了淡化处理,没有要学生去思考为什么按前面所述方法作出的点C是线段AB的黄金分割点,而是直接给出肯定的结论;书本上的随堂练习本身具有一定难度,现在把它当成了一道作业题,这样处理的目的是不与《数学课程标准》的要求相冲突,同时在一堂课有限的时间内能够更加突出本节课的主题.怎样将黄金分割背后的数学思考挖掘得更全面一些,值得认真思考.

骨干教师培训作业

一节数学概念教学课

阜蒙县第一中学 卜大伟

2015.4.20

黄 金 分 割

阜蒙县第一中学 卜大伟

设计意图

“黄金分割”是北师大版数学八年级下第四章第二节的内容,学习黄金分割不仅仅是实现线段比例学习的要求,更是体现了数学的文化价值,体现黄金分割是数学与建筑学、美容医学和艺术等一些列学科的纽带,使学生认识到数学不是孤立的、干巴巴的数学,它是文化的一部分,它也促进了文化的发展.黄金分割的价值存在于两个方面:美学价值和实用价值,本节课主要围绕这两个层面来进行设计,通过创设丰富的现实情境,让学生通过直观感受体会到黄金分割的美学价值,然后提出问题,引导学生进行探究,最后解决问题.让学生认识到数学是那样的富有魅力,0.618这个神奇的数字.只要留心,就会在生活的方方面面发现其“魅影”.

设计方案

一、情境创设:

1. 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演, 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗?” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗?”让学生有了强烈的求知欲.

2. 展示四个国家的国旗.

中华人民共和国 新西兰 朝鲜 新加坡

师:请问这四面国旗中有共同图案吗?若有,请指出来.

生:有,是五角星.

师:为什么都会选择五角星这个图案呢?除了政治因素外,还有一个非常重要的原因就是:五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言:“凡是美的东西,都具有共同的特征,这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系. (通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”,就会使同学们认识到五角星这个图案不一般,也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望,就会很乐意完成下面的做一做.)

二、做一做: 度量点C到点A、B的距离,计算AC和BC的值,你发现了什么? ABAC

(通过学生亲自动手操作、计算,最终发现了AC=BC,即部分与部分之比等于部分与整

ABAC

体之比,符合毕达哥拉斯的审美观点,很自然地就引出了黄金分割的概念.) 师:下面就让我们来解决刚才的问题,若由黄金分割点来看,理想身材的黄金分割点是肚脐,即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618,就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜,一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右(腿长的人会有较高的比值),由此可见,芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值,增加美感.现实生活中这样的例子也很多,比如:女性穿高跟鞋,会让人体看起来更美些.

黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的,古希腊人把它广泛应用于艺术创

作当中,其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神,她的上半身和下半身的比率正是0.618.(当学生了解了黄金分割的概念之后,再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题,并欣赏雕像-----维纳斯女神,能使学生感受到黄金分割的美学价值.)

三、再做一做:

已知:线段AB.

求作:线段AB的黄金分割点C.

问:(1)猜一猜:点C是线段AB的黄金分割点吗?

(2)如果点C是线段AB的黄金分割点,点C应满足怎样的条件?

(3)设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?

(由于结论的导出涉及到较复杂的分母有理化的方法,而新教材在讲根式这部分内容时,是不作要求的,如果要求学生通过讨论得出结论,我认为是违背课程标准的要求的,也超出了绝大多数学生的能力,所以我上课时只要求学生能够认识到:若点C是线段AB的黄金分割点,则应有AC=BC成立.当学生得出BD,AD,AC,BC分别等于多少时,我就直接ABAC

告诉学生确实AC=BC,由于我们所学知识有限,具体理由暂不说明.) ABAC

四、想一想:

1. 线段AB有没有除点C以外的黄金分割点呢?

2. 点D应满足怎样的条件?3. 在五角星中点D是线段AB的黄金分割点吗?

4. 你还发现了什么?

(想一想的设置是与情境创设2相呼应的.这四个问题是有层次性的,问题1的结论是显然的,但学生得到的方法却是多样的,有的是凭直觉,有的是利用轴对称得到的,有的是采用旋转方法得到的;问题2进一步强化了黄金分割的概念;有了问题1的铺垫,问题3、4的结论很容易得出,这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形,进一步感受到了黄金分割的美.)

师:下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.

请同学们观察两幅照片,哪一更具有美感呢?

生:第二幅.(大部分)

师:你们知道这是为什么吗?

(因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉,为了打破这种感觉,我们在构图的时候,就需要灵活地运用黄金分割来构图,把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线,人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方,被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”,在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.学生选择图(2)完全是一种直觉,并不明白其中的原因,当把上述道理讲给学生听时,他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.)

师:下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.

(展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片,讲述其中蕴涵的黄金分割比例,体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.)

五、(创设情境三):

师:同学们已经了解到线段的黄金分割是完美

的分割,事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中找出

你看起来最和谐的矩形.

(请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形,最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩

这四个矩形上,此时告诉他们这四个矩形分别是5×8,8×13,13×21,21×34的矩形,请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值(结果保

留3个有效数字),结果分别是:0.625,0.615,0.619,0.618,这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比,从而引出黄金矩形的概念.黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的,而是通过亲身经历这么一个活动过程,自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.)

结论:矩形的宽与长的比为黄金比,这样的矩形称之为黄金矩形.

师:古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形,他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状,其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的发现,BCAB,点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? BEBC

(这里涉及到比例变形的一些技巧,要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形,展示了黄金分割的文化价值.)

师:黄金矩形之所以称为黄金矩形,并不仅仅因为

它的宽与长的比等于黄金比,更重要的是:由上述方法

作图后得到的新的矩形BCFE也为黄金矩形(原因留给同

学们课后思考).巴特农神庙之所以神奇,并不仅仅因为

它的的轮廓恰好为黄金为矩形,它有更深层次的美.(动

画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现

象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金

矩形的神奇现象,同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服,使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.)

六、小 结:

问题1:你认为环境温度为多少度时,人的感觉最舒适?

(人的正常体温36.2℃~ 37.2℃.)

问题2:电信公司通往某地的通信信号突然中断,通信电缆有10千米长,现在公司要派人

检测,找到故障发生地,请你提供一种你认为速度较快的检测方案?

问题3:你还有什么疑问?

问题4:你还想了解什么?

(本节课的小结没有采用传统的“通过这节课的学习,你掌握了哪些知识?”来进行,而是以问题串的形式来实施,问题1和问题2的目的是引导学生运用今天所学到的知识来解决问题,感受到黄金分割的实用价值,同时培养他们用数学的意识和能力.问题3和4主要想了解通过今天这节课的学习,学生自己的想法是什么,事实是学生确实有一些想法老师是想不到的,如有学生提出“有没有完美的梯形呢?”“有没有比黄金分割和黄金矩形更完美的现象呢?”等等,进一步激发了学生的探究的欲望.)

作 业:

1. 课本P99 随堂练习.

2. 课本P101 Ex1、Ex2.

3. 通过上网调查,了解黄金分割在实际生活中的应用.

教学反思

本课教学设计注重揭示数学的文化价值,所选用的教学素材、所创设的问题情境有利于学生体会黄金分割的美学价值,对黄金分割的实用价值也有一定的了解.本人对课本做一做中的第二问“点C是线段AB的黄金分割点吗?”作了淡化处理,没有要学生去思考为什么按前面所述方法作出的点C是线段AB的黄金分割点,而是直接给出肯定的结论;书本上的随堂练习本身具有一定难度,现在把它当成了一道作业题,这样处理的目的是不与《数学课程标准》的要求相冲突,同时在一堂课有限的时间内能够更加突出本节课的主题.怎样将黄金分割背后的数学思考挖掘得更全面一些,值得认真思考.


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