集合
一、集合的概念
1. 集合的概念
（1）到一个定点的距离等于定长的所有点的全体
（2）到线段两端点距离相等的点的全体
（3）满足x 7 3的所有解的全体
（4）中国男子篮球队的所有队员的全体
一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
定义说明：①集合是一个整体
②构成集合的对象必须是“确定”的，其中“确定”是指
构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模
棱两可的。
以上两条是判定某些对象能否构成集合的标准。
例题1下列各项中不能组成集合的是 （ ）
A 所有正三角形 B 《数学》教材中所有的习题
C 所有数学难题 D 所有无理数
例题解析：观察以上四个选项是否符合定义的两条说明：是一个整体和对象是确定的，A,B,D 中对象是确定的而且是一个整体，其对象分别为正三角形，习题，无理数，而C 选项中数学难题未界定出一个具体的范围，所有不是确定的。故答案为C
例题2下列给出的对象中，能表示集合的是( )
A 、一切很大的数 B 、无限接近零的数
C 、聪明的人 D 、方程x 2=-2的实数根
例题解析：依照例题1，看是否符合集合的两点说明，可看出，A,B,C 的对象均是不确定的，只有D 符合题意。故答案为D
2. 集合中元素的三个特点：确定性，互异性，无序性。
注意正确理解其意义：
（1）．确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．
（2）．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素．
（3）．无序性：由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关．
其中最易出错的是元素的互异性。
例1 下列命题正确的有哪几个？
⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；⑷由1，32，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合有5个元素． 4261
思路分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断． 解：⑴“很小”是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定
某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错．
⑵｛1，5｝是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5，1｝是同一个集合，故⑵错．
⑶｛（1，5）｝是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，
5）与（5，1）表示两个不同的点，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的两个集合，故⑶错． ⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，∣－∣，0.5 这[1**********]1
些数组成的集合为｛1，，0.5｝，共有3个元素．因此，⑷也错． 23
例2 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 其中a ≠0，Ａ＝Ｂ，求q q 2｝，的值．
思路分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出q 的值，这显然违背了集合的无序性． 解：∵Ａ＝Ｂ，及集合元素的无序性 ，∴有以下两种情形：
① ⎧a +b =aq
⎨
⎩a +2b =aq 2
q 2 消去b ，解得q ＝1，此时a ＝a q ＝a
性矛盾，∴q
≠，与集合中元素的互异1．
1⎧a +b =aq 2②⎨⎩a +2b =aq 1
2消去b ，解得q ＝－，或q ＝1（舍去），故q 的值为－． 2
评注：本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出q 值后，又利用了集合元
素的互异性进行检验，保证了所求的结果的准确性．
例3 设Ａ＝｛ｘ∣x 2＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和．
错解：由x 2＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０得 （ｘ＋1）（ｘ＋ｂ＋1）＝０
（1）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －1，此时Ａ中的元素之和为－2．
（2）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－2．
思路分析：上述解法错在（1）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－1，集合Ａ＝｛－1｝，故元素之和为－1，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．
例4 方程组⎨⎧x +y =3
⎩x -y =1的解组合的集合是（ ）
A {2, 1} B {(2, 1) } C （2，1） D {-1, 2}
解析：方程组的解为x=2,y=1，因为这是一个整体，是坐标系中的点集，不是数集，而且集合一般用花括号表示，所以答案为B 。
例5 由a 2，2-a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是 （ ）
A 1 B -2 C 6 D 2
思路分析：因为只有三个数组成集合，而且A 中含有3个元素，这表明这三个数是互异的，根据互异性接触解出。
解析：因为A 中含有3个元素，所以依据元素的三个特点中的互异性知a 2 ≠4, ，2-a ≠4，a 2 ≠2-a ，即a ≠±2，-1。答案为C 。
例6 已知x 2∈{1,0,x},求实数x 的值。
思路分析：分别让其等于集合中的三个元素，求出x 的值，根据元素的三个特征把不符合题意的舍去。
解析：若x 2=0，则x=0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去。
若x 2=1，则x=±1
当x=1时，集合为{1,0,1}，舍去
当x=-1时，集合为{1,0，-1}，符合
若x 2=x，则x=0或x=1，由上可知，x=0和x=1都舍去
综上x=-1.
3. 常用的数集及其表示
全体非负整数组成的集合-----非负整数集（自然数集） N
所有正整数组成的集合-----正整数集 N *
全体整数组成的集合------整数集 Z
全体有理数组成的集合------有理数集 Q
全体实数组成的集合-----实数集 R
例题1 若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是
A. 3．14 B. -5 C. 3
7
解析：考察常用数集的表示，题意反映的是a 是无理数。即答案为D 。 例题2给出下列关系：
（1）1
2∈R （2） 2∉Q （3）-3∉N （4）-3∈Q
其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
解析：考察数集的表示。答案为B 。
4. 集合的表示方法
总的方面讲，集合通常用大写的拉丁字母A,B,C ……. 表示，元素用小写的拉丁字母a,b,c ….. 表示。
元素与集合之间只有属于与不属于的关系，用符号表示为∈， 。 集合的表示方法常见的有
（1）列举法：一般适用于有限集或元素间存在明显规律的无限集。 注意问题：①元素与元素间用“，”分隔开
②元素的三个特征要符合
③集合中的元素可以代表任意具体的事物
④x 与{x}表示的含义不同，x 表示集合{x}的元素，即x ∈{x},而{x}表示只含一个元素x 的单元素集合。
例题1 由方程x(x2－2x －3) ＝0的所有实数根组成的集合；
例题分析：方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，
（2） 描述法：通过将集合中的元素的也只有这个集合才有的共同特
征描述出来，这种方法我们把它称为描述法。用符号表示为{x∈A|P(x)},其中x 表示集合中的代表元素，A 指的是代表元素x 的范围；P(x)则是表示代表元素x 的共同特征，其中“|”表示将代表元素与其特征分隔开来，使得意思明确。
例题2 （1）大于2且小于6的有理数；
(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点
组成的集合．
例题解析：（1）由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q |2
(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x，y)|y＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为
{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
注意：①写清楚该集合中的代表元素的代号。
②集合与它的代表元素所采用的字母名称无关，只与代表元素的形式有关。
③多层描述时，应当准确使用且，或等表示元素之间的关系的词汇。 ④集合中不能出现未被说明的符号。
⑤所有的描述内容都要写在集合符号内。
⑥如果从上下文的关系来看，表示代表元素的范围，如x ∈R 是明确的，可以省略，以求简洁。
例题3 （1）用列举法表示下列集合：
①{(x , y ) |0≤
②x
P ={x |x =a +b , a , b ∈M , a ≠b }=___________;
⑵用特征性质描述法表示下列集合
①所有正偶数组成的集合 ； ②被9除余2的数组成的集合 。 例题解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。
答案：⑴①{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) }；
②P ={0, 1, 2, 3, 4}
⑵①{x |x =2k , k ∈N *}
②{x |x =9k +2, k ∈Z }
5. 集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。当这两个集合相等时，这两个集合的元素是完全相同的：个数相等；对于其中一个集合的任一个元素，在另一个集合中也都可以找到这个元素。
注意：两个集合是否相等，不能从集合的形式上看，而应判断出这两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断。
例题1 设a,b ∈R ，集合{1，a+b,a}={0,,b},则b-a=（ ） a b
A 1 B -1 C 2 D -2。
例题解析：主要考察集合的性质以及两个集合相等的定义。由题意知a ≠0且b ≠0, 所以a+b=0这时=-1.又1∈{0,,b}，∴b=1,a=-1, ∴a a b b
b-a=2,答案为C 。
例题2 设集合A ＝{x，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y. 例题解析：从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.
(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1. 由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.
二、集合与集合的关系
1. 子集
集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B ，这时我们也说集合A 是集合B 的子集。
注意：①集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素。
②当A 不是B 的子集时，我们记作A ⊄B ，读作A 不包含于B 。 ③任何一个集合是它本身的子集
④不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定空集是任何集合的子集，即对于任意集合A ，有φ⊆A 。
以上两条说明，在求某一集合的子集时，不要漏掉空集和它本身两种特殊情况。
⑤在子集的定义中，不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合。因为若A=φ，则A 中不含任何元素；若A=B，则A 中含有B 中的所有元素，但都说集合A 是集合B 的子集。
⑥子集的传递性：若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
例题1 集合{a，b}的子集有( )
A ．1个 B ．2个
C ．3个 D ．4个
例题解析：集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选
D
例题2 集合B ＝{a，b ，c}，C ＝{a，b ，d}，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C. 则集合A 的个数是________．
例题解析：若A ＝Ø，则满足A ⊆B ，A ⊆C ；若A ≠Ø，由A ⊆B ，A ⊆C 知A 是由属于B 且属于C 的元素构成，此时集合A 可能为{a}，{b}，{a，b}．故答案为4.
例题3 已知集合A ＝{x|1≤x例题解析：
将数集A 表示在数轴上(如图所示) ，要满足A ⊆B ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a 的集合为{a|a≥4}．
例题4 已知集合A={x ax
的范围。
例题解析：∵B={x|-1＜x ＜1}
当a=0时，A=φ，满足A ⊆B ;
当a ＞0时，A={x|＜x ＜} a a 12 2}，B=x x 1{}，满足A ⊆B ，求实数a
⎧1≥-1⎪⎪a ∵A ⊆B , ∴⎨, ∴a ≥2; 2⎪≤1⎪⎩a
当a ＜0时，A={x|＜x ＜ } a a 21
⎧2
≥-1⎪⎪a
∵A ⊆B , ∴⎨, ∴a ≤-2.
⎪1≤1⎪⎩a
综上，a=0或a ≥2或a ≤-2。 例题5 若不等式x 求a 的取值范围。
例题解析：A={x||x|＜1}={x|-1＜x ＜1}
B={x|[x-(a+1)][x-(a+4)]＜0}={x|a+1＜x ＜a+4}
由题意知，A ⊆B ，在数轴上作出包含关系的图像，可得出
⎧a +1≤-1
，解得-3≤a ≤-2. ⎨
a +4≥1⎩
1成立，则不等式[x -(a +1) ]⋅[x -(a +4) ] 0也成立，
2. 真子集
集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B , x ∉A （A 是B 的子集，且B 中至少还有一个元素不属于A ），称集合A 为集合B 的真子集。 注意：①空集是任何非空集合的真子集。 ②真子集也具有传递性。
例题1 设集合A = {x | x2＋4x = 0，x ∈R}，B = {x | x2＋2(a＋1)x ＋a 2－1= 0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围。 例题解析：B ⊆A 可分为B =φ，B ⊂≠A ，B = A三种情况讨论。 ∵A = {0，－4}，∴B ⊆A 分以下三种情况：
⑴当B = A时，B= {0，－4}，由此知：0和－4是方程x 2＋2(a＋1)x ＋a 2－1= 0的两个根，由根与系数之间的关系，得：
⎧∆=4(a +1) 2-4(a 2-1) >0, ⎪
⇒⎨-2(a +1) =-4,
⎪2
⎩a -1=0.
a = 1。
⑵当B ⊂≠A 时，又可分为：
①B =φ时，△= 4(a＋1) 2－4(a2－1) ＜0，解得a ＜－1； ②B ≠φ时，B = {0}或B = {－4}，并且△= 4(a＋1) 2－4(a2－1) = 0，解得a=－1，此时B = {0}满足题意。 综合⑴、⑵知，所求实数a 的值为a ≤－1或a = 1。 评析：解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子
⊂集，因此，B =φ时也满足B ⊂≠A ．所以B ≠A 中就应考虑B =φ与B ≠φ
两种情况，就是说，正是空集φ引法的分类讨论． 3. 相等 A ⊆B 且B ⊆A （A 、B 中元素完全一样）
例题1 若A ={x |x =2n ，n ∈Z }，B ={x |x =2n -2，n ∈Z }，试问A ，B 是否相等． 错解：
∵2n ≠2n -2
∴A ≠B
剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上A 是偶数集，B 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．
A ={x |x =2n ，n ∈Z }={x |x =2⨯整数}
B ={x |x =2n -2，x ∈Z }={x |x =2(n -1) ，n ∈Z }=
{x |x =2⨯整数}
换句话说C ={x |x =n ，n ∈Z }={x |x =整数}，
D ={x |x =n -1，n ∈Z }={x |x =整数}
两集合中所含元素完全相同，C =D ⇔
A =B
例题2 已知集合A ＝{x，xy ，x －y}，B ＝{0，|x|，y}，且A ＝B ，则x ＝________，y ＝________.
例题解析： ∵0∈B ，A ＝B ，∴0∈A.
∵集合中元素具有互异性，∴x ≠xy ，∴x ≠0. 又∵0∈B ，y ∈B ，∴y ≠0. 从而x －y ＝0，即x ＝y. 这时A ＝{x，x 2, 0}，B ＝{0，|x|，x}，
∴x 2＝|x|，则x ＝0(舍去) ，或x ＝1(舍去) ，或x ＝－1. 经检验，x ＝y ＝－1是本题的解．
4. 空集 方程x 2
+1=0的实数根组成的集合中有＿＿个元素。
集合是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 忽视空集的特殊性
例题1 已知A ={x |(m -1) x +1=0}，B ={x |x 为 ．
错解： 由(m -1) x +1=0 得x =
由x
2
2
-2x -3=0}，若A ⊆B ，则m 的值
11-m
-2x -3=0
得x =-1或x =3
B ={-1，3}
1⎫⎧
∴A =⎨|x =⎬
1-m ⎭⎩
∵A ⊆B
=-1
∴
11-m
或3
3
∴m =2
或m =2
剖析：由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，
m =1
． ∴m 的值为2，1，2．
3
忽视集合中的元素的互异性这一特征 ．．．例题2 已知集合A ={2，3，a 求a 的值． 错解：
7}∵A B ={3，∴
2
且A B ={3，7}，+4a +2}，B ={0，7，a +4a -2，2-a }，
2
，
+5a ) (-
必有a
2
2
+4a +2=7
=0
∴a +4a -5⇔a (
1=) 0
∴a =-5
或a =1
剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出
a
的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．
2
事实上，（1）当a =-5时，a
+4a -2=3
，2-a =7不满足B 中元素应互异
这一特征，故a =-5应舍去．
（2）当a =1时，a
2
+4a -2=3
7}且集合B 中元，2-a =1满足A B ={3，
素互异． ∴a 的值为1． 例题3 下列命题： （1） 空集没有子集
（2） 任何集合至少有两个子集 （3） 空集是任何集合的真子集 （4） 若φ
⊆A ，则A ≠φ
其中正确的个数（ ）
A 1 B 2 C 3 D 0
例题解析：D 。考察空集的基本概念常识。 5. 有限集合的子集个数
①由n 个元素构成的集合有2n 个子集。 ②由n 个元素构成的集合有2n -1个真子集 ③由n 个元素构成的集合有2n -1个非空子集 ④由n 个元素构成的集合有2n -2个非空真子集 三、集合的运算 1. 并集
一般的，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ⋃B
A ⋃B
={x ∣x ∈A ，或x ∈B }
注意：①并集中或指的是只要满足其中的一个条件就可以，而不必要同时成立。
②由于元素的互异性，两个集合的并集中，两个集合的公共元素只能出现一次。
例题1 A={4，5，6，7}，B={3，5，7，8}，求A ⋃B 例题解析：由定义知，求A ⋃B 是集合A 与B 中的所有元素
即求A ⋃B ={3,4,5,6,7,8}
例题2 设集合A={x -1
x 2}，B={x x 3}，求A ⋃B
例题解析：在数轴上画出两个集合所表示的区间，取涵盖的整个区间， 即A ⋃B ={x|-1＜x ＜3}. 2. 交集
由属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ⋂B
A ⋂B ={x ∣x ∈A ，且
x ∈B}
A ={(x ，y ) |x +
y =}0
例题1 （混淆集合中元素的形成）集合
B ={(x ，y ) |x -y =2}
，
，则A B =．
x =1
⎩x -y =2
⎩y =-1
x +y =0
错解：解方程组⎧ 得⎧⎨⎨
∴A B ={1，-1}
剖析： 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A ，B 中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A ，B 是点集，而不是数集．
∴A B ={(1，-1) }
3. 补集
如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。
对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A
C U A={x|x∈U ，且x ∉A}
例题1 U=｛x ︱x 是小于9的正整数｝，A=｛1，2，3｝，则C U A=＿＿＿＿
例题解析：{4,5,6,7,8}。考察补集的定义
例题2 A=｛x ︱x 2+x-6=0｝,B=｛x ︱mx+1=0｝, 且A ∪B=A,则m 的取值范围为
A. ｛,
3
112
｝ B. ｛0,-, -｝ C. { 0,, -｝ D. ｛-,-｝
3
2
3
2
3
2
111111
例题解析：由题意解得集合A={-3,2}, ∵A ∪B=A, ∴可知B ⊆A ，首先B 为空集时也符合题意，即m=0时，B 为空集，符合题意，当x=-3时，m=
13
1
，当x=2时，m=-2
，即答案为C 。
例题3 已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若A∩B ={-3}, 则实数a 的值为_____
例题解析：∵A∩B ={-3}，所以可知B 中三个元素之一为3，且三元素互不相同，A 中已有元素3，可知剩余两个元素不等的同时也不为3，计算得a=-1.
4. 并集，交集，补集的综合题型
例题1 已知集合A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|1＜x ＜6}，C ＝{x|x＞a}，
U ＝R.
(1)求A ∪B ，(∁U A) ∩B ；
(2)若A ∩C ≠Ø，求a 的取值范围．
例题解析： (1)A∪B
＝{x|2≤x ≤8}∪{x|1＜x ＜6} ＝{x|1＜x ≤8}． ∁U A ＝{x|x＜2或x ＞8}． ∴(∁U A) ∩B ＝{x|1＜x ＜2}． (2)∵A ∩C ≠Ø，∴a ＜8.
例题
2
集合
C ={|x
2
A ={x |x -ax +a -19=0}
2
2
，
B ={|x
2
x -5
+x 6}=，0
x +2
-x 8}，满足=0A B ≠φ, ，A C =φ, 求实数a
的值。
例题解析：B ={2, 3}，C ={-4, 2}，而A B ≠φ，则2,3至少有一个元素在A
中，又A C
a =5或-2
=φ
，∴2∉A ，3∈A ，即9-3a +a 2-
A C =φ
19=0，得
而a =5时，A =B 与∴a =-2
例题3 设U
=R
矛盾，
，集合A ={x |x 2+3x +2=0}，B ={x |x 2+(m +1) x +m =0}；
=φ
若(C U A ) B
，求m 的值。
例题解析：A ={-2, -1}，由(C U A ) B =φ, 得B ⊆A ，
当m =1时，B ={-1}，符合B ⊆A ； 当m ≠1时，B ={-1, -m }，而B ⊆A ，∴-m ∴m =1或2。
3，a 例题4设全集S ={2，
2
=-2
，即m
=2
+2a -3}，A ={2a -1，2}
，C
S
A ={5}
，求a 的值．
错解：
∵C S A ={5}
∴5∈S
22
且5∉A
3=8=
∴a +2a -∴a +2a -
∴a =2
5
或a =-4
剖析：没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨．．论集合中的一切元素，所以还须检验．
（1）当a =2时，2a -1=3，此时满足3∈S ．
（2）当a =-4时，2a -1=9∉S ，∴a =-4应舍去，∴a =2．
集合
一、集合的概念
1. 集合的概念
（1）到一个定点的距离等于定长的所有点的全体
（2）到线段两端点距离相等的点的全体
（3）满足x 7 3的所有解的全体
（4）中国男子篮球队的所有队员的全体
一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
定义说明：①集合是一个整体
②构成集合的对象必须是“确定”的，其中“确定”是指
构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模
棱两可的。
以上两条是判定某些对象能否构成集合的标准。
例题1下列各项中不能组成集合的是 （ ）
A 所有正三角形 B 《数学》教材中所有的习题
C 所有数学难题 D 所有无理数
例题解析：观察以上四个选项是否符合定义的两条说明：是一个整体和对象是确定的，A,B,D 中对象是确定的而且是一个整体，其对象分别为正三角形，习题，无理数，而C 选项中数学难题未界定出一个具体的范围，所有不是确定的。故答案为C
例题2下列给出的对象中，能表示集合的是( )
A 、一切很大的数 B 、无限接近零的数
C 、聪明的人 D 、方程x 2=-2的实数根
例题解析：依照例题1，看是否符合集合的两点说明，可看出，A,B,C 的对象均是不确定的，只有D 符合题意。故答案为D
2. 集合中元素的三个特点：确定性，互异性，无序性。
注意正确理解其意义：
（1）．确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．
（2）．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素．
（3）．无序性：由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关．
其中最易出错的是元素的互异性。
例1 下列命题正确的有哪几个？
⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；⑷由1，32，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合有5个元素． 4261
思路分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断． 解：⑴“很小”是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定
某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错．
⑵｛1，5｝是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5，1｝是同一个集合，故⑵错．
⑶｛（1，5）｝是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，
5）与（5，1）表示两个不同的点，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的两个集合，故⑶错． ⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，∣－∣，0.5 这[1**********]1
些数组成的集合为｛1，，0.5｝，共有3个元素．因此，⑷也错． 23
例2 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 其中a ≠0，Ａ＝Ｂ，求q q 2｝，的值．
思路分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出q 的值，这显然违背了集合的无序性． 解：∵Ａ＝Ｂ，及集合元素的无序性 ，∴有以下两种情形：
① ⎧a +b =aq
⎨
⎩a +2b =aq 2
q 2 消去b ，解得q ＝1，此时a ＝a q ＝a
性矛盾，∴q
≠，与集合中元素的互异1．
1⎧a +b =aq 2②⎨⎩a +2b =aq 1
2消去b ，解得q ＝－，或q ＝1（舍去），故q 的值为－． 2
评注：本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出q 值后，又利用了集合元
素的互异性进行检验，保证了所求的结果的准确性．
例3 设Ａ＝｛ｘ∣x 2＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和．
错解：由x 2＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０得 （ｘ＋1）（ｘ＋ｂ＋1）＝０
（1）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －1，此时Ａ中的元素之和为－2．
（2）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－2．
思路分析：上述解法错在（1）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－1，集合Ａ＝｛－1｝，故元素之和为－1，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．
例4 方程组⎨⎧x +y =3
⎩x -y =1的解组合的集合是（ ）
A {2, 1} B {(2, 1) } C （2，1） D {-1, 2}
解析：方程组的解为x=2,y=1，因为这是一个整体，是坐标系中的点集，不是数集，而且集合一般用花括号表示，所以答案为B 。
例5 由a 2，2-a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是 （ ）
A 1 B -2 C 6 D 2
思路分析：因为只有三个数组成集合，而且A 中含有3个元素，这表明这三个数是互异的，根据互异性接触解出。
解析：因为A 中含有3个元素，所以依据元素的三个特点中的互异性知a 2 ≠4, ，2-a ≠4，a 2 ≠2-a ，即a ≠±2，-1。答案为C 。
例6 已知x 2∈{1,0,x},求实数x 的值。
思路分析：分别让其等于集合中的三个元素，求出x 的值，根据元素的三个特征把不符合题意的舍去。
解析：若x 2=0，则x=0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去。
若x 2=1，则x=±1
当x=1时，集合为{1,0,1}，舍去
当x=-1时，集合为{1,0，-1}，符合
若x 2=x，则x=0或x=1，由上可知，x=0和x=1都舍去
综上x=-1.
3. 常用的数集及其表示
全体非负整数组成的集合-----非负整数集（自然数集） N
所有正整数组成的集合-----正整数集 N *
全体整数组成的集合------整数集 Z
全体有理数组成的集合------有理数集 Q
全体实数组成的集合-----实数集 R
例题1 若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是
A. 3．14 B. -5 C. 3
7
解析：考察常用数集的表示，题意反映的是a 是无理数。即答案为D 。 例题2给出下列关系：
（1）1
2∈R （2） 2∉Q （3）-3∉N （4）-3∈Q
其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
解析：考察数集的表示。答案为B 。
4. 集合的表示方法
总的方面讲，集合通常用大写的拉丁字母A,B,C ……. 表示，元素用小写的拉丁字母a,b,c ….. 表示。
元素与集合之间只有属于与不属于的关系，用符号表示为∈， 。 集合的表示方法常见的有
（1）列举法：一般适用于有限集或元素间存在明显规律的无限集。 注意问题：①元素与元素间用“，”分隔开
②元素的三个特征要符合
③集合中的元素可以代表任意具体的事物
④x 与{x}表示的含义不同，x 表示集合{x}的元素，即x ∈{x},而{x}表示只含一个元素x 的单元素集合。
例题1 由方程x(x2－2x －3) ＝0的所有实数根组成的集合；
例题分析：方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，
（2） 描述法：通过将集合中的元素的也只有这个集合才有的共同特
征描述出来，这种方法我们把它称为描述法。用符号表示为{x∈A|P(x)},其中x 表示集合中的代表元素，A 指的是代表元素x 的范围；P(x)则是表示代表元素x 的共同特征，其中“|”表示将代表元素与其特征分隔开来，使得意思明确。
例题2 （1）大于2且小于6的有理数；
(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点
组成的集合．
例题解析：（1）由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q |2
(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x，y)|y＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为
{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
注意：①写清楚该集合中的代表元素的代号。
②集合与它的代表元素所采用的字母名称无关，只与代表元素的形式有关。
③多层描述时，应当准确使用且，或等表示元素之间的关系的词汇。 ④集合中不能出现未被说明的符号。
⑤所有的描述内容都要写在集合符号内。
⑥如果从上下文的关系来看，表示代表元素的范围，如x ∈R 是明确的，可以省略，以求简洁。
例题3 （1）用列举法表示下列集合：
①{(x , y ) |0≤
②x
P ={x |x =a +b , a , b ∈M , a ≠b }=___________;
⑵用特征性质描述法表示下列集合
①所有正偶数组成的集合 ； ②被9除余2的数组成的集合 。 例题解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。
答案：⑴①{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) }；
②P ={0, 1, 2, 3, 4}
⑵①{x |x =2k , k ∈N *}
②{x |x =9k +2, k ∈Z }
5. 集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。当这两个集合相等时，这两个集合的元素是完全相同的：个数相等；对于其中一个集合的任一个元素，在另一个集合中也都可以找到这个元素。
注意：两个集合是否相等，不能从集合的形式上看，而应判断出这两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断。
例题1 设a,b ∈R ，集合{1，a+b,a}={0,,b},则b-a=（ ） a b
A 1 B -1 C 2 D -2。
例题解析：主要考察集合的性质以及两个集合相等的定义。由题意知a ≠0且b ≠0, 所以a+b=0这时=-1.又1∈{0,,b}，∴b=1,a=-1, ∴a a b b
b-a=2,答案为C 。
例题2 设集合A ＝{x，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y. 例题解析：从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.
(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1. 由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.
二、集合与集合的关系
1. 子集
集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B ，这时我们也说集合A 是集合B 的子集。
注意：①集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素。
②当A 不是B 的子集时，我们记作A ⊄B ，读作A 不包含于B 。 ③任何一个集合是它本身的子集
④不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定空集是任何集合的子集，即对于任意集合A ，有φ⊆A 。
以上两条说明，在求某一集合的子集时，不要漏掉空集和它本身两种特殊情况。
⑤在子集的定义中，不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合。因为若A=φ，则A 中不含任何元素；若A=B，则A 中含有B 中的所有元素，但都说集合A 是集合B 的子集。
⑥子集的传递性：若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
例题1 集合{a，b}的子集有( )
A ．1个 B ．2个
C ．3个 D ．4个
例题解析：集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选
D
例题2 集合B ＝{a，b ，c}，C ＝{a，b ，d}，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C. 则集合A 的个数是________．
例题解析：若A ＝Ø，则满足A ⊆B ，A ⊆C ；若A ≠Ø，由A ⊆B ，A ⊆C 知A 是由属于B 且属于C 的元素构成，此时集合A 可能为{a}，{b}，{a，b}．故答案为4.
例题3 已知集合A ＝{x|1≤x例题解析：
将数集A 表示在数轴上(如图所示) ，要满足A ⊆B ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a 的集合为{a|a≥4}．
例题4 已知集合A={x ax
的范围。
例题解析：∵B={x|-1＜x ＜1}
当a=0时，A=φ，满足A ⊆B ;
当a ＞0时，A={x|＜x ＜} a a 12 2}，B=x x 1{}，满足A ⊆B ，求实数a
⎧1≥-1⎪⎪a ∵A ⊆B , ∴⎨, ∴a ≥2; 2⎪≤1⎪⎩a
当a ＜0时，A={x|＜x ＜ } a a 21
⎧2
≥-1⎪⎪a
∵A ⊆B , ∴⎨, ∴a ≤-2.
⎪1≤1⎪⎩a
综上，a=0或a ≥2或a ≤-2。 例题5 若不等式x 求a 的取值范围。
例题解析：A={x||x|＜1}={x|-1＜x ＜1}
B={x|[x-(a+1)][x-(a+4)]＜0}={x|a+1＜x ＜a+4}
由题意知，A ⊆B ，在数轴上作出包含关系的图像，可得出
⎧a +1≤-1
，解得-3≤a ≤-2. ⎨
a +4≥1⎩
1成立，则不等式[x -(a +1) ]⋅[x -(a +4) ] 0也成立，
2. 真子集
集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B , x ∉A （A 是B 的子集，且B 中至少还有一个元素不属于A ），称集合A 为集合B 的真子集。 注意：①空集是任何非空集合的真子集。 ②真子集也具有传递性。
例题1 设集合A = {x | x2＋4x = 0，x ∈R}，B = {x | x2＋2(a＋1)x ＋a 2－1= 0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围。 例题解析：B ⊆A 可分为B =φ，B ⊂≠A ，B = A三种情况讨论。 ∵A = {0，－4}，∴B ⊆A 分以下三种情况：
⑴当B = A时，B= {0，－4}，由此知：0和－4是方程x 2＋2(a＋1)x ＋a 2－1= 0的两个根，由根与系数之间的关系，得：
⎧∆=4(a +1) 2-4(a 2-1) >0, ⎪
⇒⎨-2(a +1) =-4,
⎪2
⎩a -1=0.
a = 1。
⑵当B ⊂≠A 时，又可分为：
①B =φ时，△= 4(a＋1) 2－4(a2－1) ＜0，解得a ＜－1； ②B ≠φ时，B = {0}或B = {－4}，并且△= 4(a＋1) 2－4(a2－1) = 0，解得a=－1，此时B = {0}满足题意。 综合⑴、⑵知，所求实数a 的值为a ≤－1或a = 1。 评析：解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子
⊂集，因此，B =φ时也满足B ⊂≠A ．所以B ≠A 中就应考虑B =φ与B ≠φ
两种情况，就是说，正是空集φ引法的分类讨论． 3. 相等 A ⊆B 且B ⊆A （A 、B 中元素完全一样）
例题1 若A ={x |x =2n ，n ∈Z }，B ={x |x =2n -2，n ∈Z }，试问A ，B 是否相等． 错解：
∵2n ≠2n -2
∴A ≠B
剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上A 是偶数集，B 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．
A ={x |x =2n ，n ∈Z }={x |x =2⨯整数}
B ={x |x =2n -2，x ∈Z }={x |x =2(n -1) ，n ∈Z }=
{x |x =2⨯整数}
换句话说C ={x |x =n ，n ∈Z }={x |x =整数}，
D ={x |x =n -1，n ∈Z }={x |x =整数}
两集合中所含元素完全相同，C =D ⇔
A =B
例题2 已知集合A ＝{x，xy ，x －y}，B ＝{0，|x|，y}，且A ＝B ，则x ＝________，y ＝________.
例题解析： ∵0∈B ，A ＝B ，∴0∈A.
∵集合中元素具有互异性，∴x ≠xy ，∴x ≠0. 又∵0∈B ，y ∈B ，∴y ≠0. 从而x －y ＝0，即x ＝y. 这时A ＝{x，x 2, 0}，B ＝{0，|x|，x}，
∴x 2＝|x|，则x ＝0(舍去) ，或x ＝1(舍去) ，或x ＝－1. 经检验，x ＝y ＝－1是本题的解．
4. 空集 方程x 2
+1=0的实数根组成的集合中有＿＿个元素。
集合是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 忽视空集的特殊性
例题1 已知A ={x |(m -1) x +1=0}，B ={x |x 为 ．
错解： 由(m -1) x +1=0 得x =
由x
2
2
-2x -3=0}，若A ⊆B ，则m 的值
11-m
-2x -3=0
得x =-1或x =3
B ={-1，3}
1⎫⎧
∴A =⎨|x =⎬
1-m ⎭⎩
∵A ⊆B
=-1
∴
11-m
或3
3
∴m =2
或m =2
剖析：由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，
m =1
． ∴m 的值为2，1，2．
3
忽视集合中的元素的互异性这一特征 ．．．例题2 已知集合A ={2，3，a 求a 的值． 错解：
7}∵A B ={3，∴
2
且A B ={3，7}，+4a +2}，B ={0，7，a +4a -2，2-a }，
2
，
+5a ) (-
必有a
2
2
+4a +2=7
=0
∴a +4a -5⇔a (
1=) 0
∴a =-5
或a =1
剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出
a
的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．
2
事实上，（1）当a =-5时，a
+4a -2=3
，2-a =7不满足B 中元素应互异
这一特征，故a =-5应舍去．
（2）当a =1时，a
2
+4a -2=3
7}且集合B 中元，2-a =1满足A B ={3，
素互异． ∴a 的值为1． 例题3 下列命题： （1） 空集没有子集
（2） 任何集合至少有两个子集 （3） 空集是任何集合的真子集 （4） 若φ
⊆A ，则A ≠φ
其中正确的个数（ ）
A 1 B 2 C 3 D 0
例题解析：D 。考察空集的基本概念常识。 5. 有限集合的子集个数
①由n 个元素构成的集合有2n 个子集。 ②由n 个元素构成的集合有2n -1个真子集 ③由n 个元素构成的集合有2n -1个非空子集 ④由n 个元素构成的集合有2n -2个非空真子集 三、集合的运算 1. 并集
一般的，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ⋃B
A ⋃B
={x ∣x ∈A ，或x ∈B }
注意：①并集中或指的是只要满足其中的一个条件就可以，而不必要同时成立。
②由于元素的互异性，两个集合的并集中，两个集合的公共元素只能出现一次。
例题1 A={4，5，6，7}，B={3，5，7，8}，求A ⋃B 例题解析：由定义知，求A ⋃B 是集合A 与B 中的所有元素
即求A ⋃B ={3,4,5,6,7,8}
例题2 设集合A={x -1
x 2}，B={x x 3}，求A ⋃B
例题解析：在数轴上画出两个集合所表示的区间，取涵盖的整个区间， 即A ⋃B ={x|-1＜x ＜3}. 2. 交集
由属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ⋂B
A ⋂B ={x ∣x ∈A ，且
x ∈B}
A ={(x ，y ) |x +
y =}0
例题1 （混淆集合中元素的形成）集合
B ={(x ，y ) |x -y =2}
，
，则A B =．
x =1
⎩x -y =2
⎩y =-1
x +y =0
错解：解方程组⎧ 得⎧⎨⎨
∴A B ={1，-1}
剖析： 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A ，B 中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A ，B 是点集，而不是数集．
∴A B ={(1，-1) }
3. 补集
如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。
对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A
C U A={x|x∈U ，且x ∉A}
例题1 U=｛x ︱x 是小于9的正整数｝，A=｛1，2，3｝，则C U A=＿＿＿＿
例题解析：{4,5,6,7,8}。考察补集的定义
例题2 A=｛x ︱x 2+x-6=0｝,B=｛x ︱mx+1=0｝, 且A ∪B=A,则m 的取值范围为
A. ｛,
3
112
｝ B. ｛0,-, -｝ C. { 0,, -｝ D. ｛-,-｝
3
2
3
2
3
2
111111
例题解析：由题意解得集合A={-3,2}, ∵A ∪B=A, ∴可知B ⊆A ，首先B 为空集时也符合题意，即m=0时，B 为空集，符合题意，当x=-3时，m=
13
1
，当x=2时，m=-2
，即答案为C 。
例题3 已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若A∩B ={-3}, 则实数a 的值为_____
例题解析：∵A∩B ={-3}，所以可知B 中三个元素之一为3，且三元素互不相同，A 中已有元素3，可知剩余两个元素不等的同时也不为3，计算得a=-1.
4. 并集，交集，补集的综合题型
例题1 已知集合A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|1＜x ＜6}，C ＝{x|x＞a}，
U ＝R.
(1)求A ∪B ，(∁U A) ∩B ；
(2)若A ∩C ≠Ø，求a 的取值范围．
例题解析： (1)A∪B
＝{x|2≤x ≤8}∪{x|1＜x ＜6} ＝{x|1＜x ≤8}． ∁U A ＝{x|x＜2或x ＞8}． ∴(∁U A) ∩B ＝{x|1＜x ＜2}． (2)∵A ∩C ≠Ø，∴a ＜8.
例题
2
集合
C ={|x
2
A ={x |x -ax +a -19=0}
2
2
，
B ={|x
2
x -5
+x 6}=，0
x +2
-x 8}，满足=0A B ≠φ, ，A C =φ, 求实数a
的值。
例题解析：B ={2, 3}，C ={-4, 2}，而A B ≠φ，则2,3至少有一个元素在A
中，又A C
a =5或-2
=φ
，∴2∉A ，3∈A ，即9-3a +a 2-
A C =φ
19=0，得
而a =5时，A =B 与∴a =-2
例题3 设U
=R
矛盾，
，集合A ={x |x 2+3x +2=0}，B ={x |x 2+(m +1) x +m =0}；
=φ
若(C U A ) B
，求m 的值。
例题解析：A ={-2, -1}，由(C U A ) B =φ, 得B ⊆A ，
当m =1时，B ={-1}，符合B ⊆A ； 当m ≠1时，B ={-1, -m }，而B ⊆A ，∴-m ∴m =1或2。
3，a 例题4设全集S ={2，
2
=-2
，即m
=2
+2a -3}，A ={2a -1，2}
，C
S
A ={5}
，求a 的值．
错解：
∵C S A ={5}
∴5∈S
22
且5∉A
3=8=
∴a +2a -∴a +2a -
∴a =2
5
或a =-4
剖析：没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨．．论集合中的一切元素，所以还须检验．
（1）当a =2时，2a -1=3，此时满足3∈S ．
（2）当a =-4时，2a -1=9∉S ，∴a =-4应舍去，∴a =2．