阵列天线分析与综合_1

阵列天线分析与综合

前言

任何无线电设备都需要用到天线。天线的基本功能是能量转换和电磁波的定向辐射或接收。天线的性能直接影响到无线电设备的使用。现代无线电设备，不管是通讯、雷达、导航、微波着陆、干扰和抗干扰等系统的应用中，越来越多地采用阵列天线。阵列天线是根据电磁波在空间相互干涉的原理，把具有相同结构、相同尺寸的某种基本天线按一定规律排列在一起组成的。如果按直线排列，就构成直线阵；如果排列在一个平面内，就为平面阵。平面阵又分矩形平面阵、圆形平面阵等；还可以排列在飞行体表面以形成共形阵。

在无线电系统中为了提高工作性能，如提高增益，增强方向性，往往需要天线将能量集中于一个非常狭窄的空间辐射出去。例如精密跟踪雷达天线，要求其主瓣宽度只有1/3度；接收天体辐射的射电天文望远镜的天线，其主瓣宽度只有1/30度。天线辐射能量的集中程度如此之高，采用单个的振子天线、喇叭天线等，甚至反射面天线或卡塞格伦天线是不能胜任的，必须采用阵列天线。

对一些雷达设备、飞机着陆系统等，其天线要求辐射能量集中程度不是很高，其主瓣宽度也只有几度，虽然采用一副天线就能完成任务，但是为了提高天线增益和辐射效率，降低副瓣电平，形成赋形波束和多波束等，往往也需要采用阵列天线。

在雷达应用中，其天线即需要有尖锐的辐射波束又希望有较宽的覆盖范围，则需要波束扫描，若采用机械扫描则反应时间较慢，必须采用电扫描，如相控扫描，因此就需要采用相控阵天线。

在多功能雷达系统中，既需要在俯仰面进行波束扫描，又需要改变相位展宽波束，还需要仅改变相位进行波束赋形，实现这些功能的天线系统只有相控阵天线才能完成。

随着各项技术的发展，天线馈电网络与单元天线进行一体化设计成为可能，高集成度的T/R组件的成本越来越低，使得在阵列天线中的越来越广泛的采用，阵列天线实现低副瓣和极低副瓣越来越容易，功能越来越强。等等。

综上所述，采用阵列天线的原因大致有如下几点：

■容易实现极窄波束，以提高天线的方向性和增益；

■易于实现赋形波束和多波束；

■易于实现波束的相控扫描；

■易于实现低副瓣电平的方向图。

对上面的第一点，可采用大型阵列天线来实现；对后三点，可采用阵列天线的口径幅度分布和相位分布来控制，并考虑馈电网络与辐射单元天线的一体化设计，甚至采用含T/R组件的有源相控阵。

现在的无线电通讯系统和雷达系统中愈来愈多地采用阵列天线，例如，在民用移动通讯系统中，作为基站天线的平板阵列天线、航管雷达天线等，军用的远程警戒雷达天线、预警机载雷达天线、一些炮瞄雷达天线、导弹制导雷达天线，微波着陆系统天线等。

由于阵列天线易于实现窄波束、低副瓣和相控波束扫描，使得发现目标和跟踪目标的可靠性、稳定性和实时性等性能得以提高，原来的一些采用反射面机械扫描的天线有的也改用阵列天线来实现。

阵列中的单元天线通常是相同类型、相同尺寸的天线。例如，由半波振子天线组成的阵列，称为半波振子天线阵列。此外还有喇叭天线阵列、开口波导天线阵列、微带天线阵列、波导缝隙天线阵、八木天线阵等等。阵列天线采用何种形式的单元天线完全取决于工作频率、频带宽度、环境、制造成本等诸多其它因素。 ■ 阵列天线的分析

阵列天线的分析是在已知如下四个参数的情况下分析确定阵列天线的辐射特性，包括阵列天线的方向图、半功率波瓣宽度、方向性系数、副瓣电平等。

(1) 单元总数； (如直线阵的N ，平面阵的M ×N )

(2) 单元在空间的分布；(如直线阵的d ，平面阵的d x 、d y )

(3) 各单元的激励幅度分布；(如直线阵的I n ，平面阵的I xm 、I yn 或I mn )

(4) 各单元的激励相位分布；(如直线阵的αn ，平面阵的αxm 、αyn )

■ 阵列天线的综合

阵列天线的综合则是其分析的逆问题，即在给定辐射特性的情况下综合出阵列天线的如上四个参数，使阵列的某些辐射特性满足给定的要求，或使阵列的方向图尽可能地逼近预定的方向图。

第一章直线阵列的分析

§1.1 引言

为了增强天线的方向性，提高天线的增益或方向性系数，或者为了得到所需的辐射特性，我们可以采用天线阵，以形成阵列天线。天线阵是由多个天线单元按照一定方式排列在一起而组成的。组成阵列天线的独立单元，称为天线单元、单元天线或阵元。

直线阵列的分析方法是平面阵列分析的基础。对于可分离型的矩形网格矩形边界的平面阵列，可以看作是一些直线阵列按行或按列排列在一起构成的。导出直线阵列阵因子的方法大致有两种，一种是求解面电流源的辐射场，然后根据阵列为离散源组合在一起的特点对面电流源进行抽样，就可得到直线阵列的阵因子；一种是先确定单元天线的远区辐射场的表示，然后考虑波程差，把阵列中所有单元天线的辐射场叠加起来，求得阵列的总辐射场，从而求得阵因子。

§1.2 电流源的辐射场

假设在xz 平面上有一个面积为S 的面电流源，其面电流密度为ˆJ z (x ', z ') ，如图1-1所示，求远区辐射场。

J (r ) =z

图1-1 面电流源及坐标系

这种模型对分析阵列天线有用，阵列天线中电流分布是离散的分布，可以把阵列中各单元的电流值视为连续电流分布的抽样值。

求面电流源辐射场的方法如下：

(1) 求矢量位A

面电流源在空间某点产生的矢量位为

μA =4πe -jkR ⎰⎰s J (r ') R ds ' (1.1)

式中，k =2π/λ，对于远区，r , R λ，可作如下近似：

1/R ≈1r /

e -jkR =e -jkr e -jk (R -r )

ˆ=x ˆs i n 且由 r θc o ϕs +ˆy

ˆx +z ˆ' z r '=x 's θi n ϕs +i ˆn z θc o s

ˆr ⋅'可得其中波程差： R -r =-r

则式(1.1)可写作 's i θ=(-x n 'c ϕo s +z s ) (1.2) c θo

μe -jkr

ˆA =z 4πr ⎰⎰S ˆz (1.3) J z (x ', z ') e jk (x 'sin θcos ϕ+z 'cos θ) dx 'dz '=zA

(2) 把直角坐标系下的矢量分量转化为球坐标系下的矢量分量

A θ=-A z sin θ (1.4)

(3) 由远场公式 E =-j ωA 求远区电场

E θ=-ωj θA =ωj z s A i θn

ωμe -jkr =j sin θ⎰⎰J z (x ', z ') e jk (x 'sin θcos ϕ+z 'cos θ) dx 'dz ' S 4πr

ηe -jkr

=j F (θ, ϕ) ⇐4πr ωμ=k η (1.5)

式中，η=

F (θ, ϕ) =k sin θ⎰⎰J z (x ', z ') e jk (x 'sin θcos ϕ+z 'cos θ) dx 'dz ' (1.6) s

(4) E面和H 面方向图函数

天线的方向图一般是一个空间的立体图，在天线分析中为了方便起见，一般只研究两个主面内的方向图，这两个主面是相互垂直的E 面和H 面。

E 面：是指通过最大辐射方向并平行于电场矢量的平面；

H 面：是指通过最大辐射方向并垂直于电场矢量的平面；

对前面图1-1所示的面电流源天线，其E 面和H 面方向图分别为:

E 面(即yz 平面，ϕ=π/2)

F E (θ) =k sin θ⎰⎰J z (x ', z ') e jkz 'cos θdx 'dz ' (1.7) s

H 面(即xy 平面，θ=π/2)

F H (ϕ) =k ⎰⎰J z (x ', z ') e jkx 'cos ϕdx 'dz ' (1.8) s

§1.3 直线阵列

为简单起见，这里主要讨论由对称振子组成的直线阵。对称振子组成的直线阵主要有两种排列形式，一种是平行振子直线阵，如图1-2所示，一种是共轴振子直线阵，如图1-3所示。

图1-2 并排振子直线阵图1-3 共轴振子直线阵

1.3.1 并排振子直线阵

设阵列中有N 个相同振子单元天线，长度为2L ，各振子平行排列在x 轴上，位置分别为x 0, x 1, x 2,..., x N -1，阵列天线的电流分布可看作是图1-1平面连续电流

密度的抽样。即

J z (x ', z ') =∑I n g (z ') δ(x '-x n ) (1.9)

n =0N -1

式中，I n =I n e jn α，I n 表示单元馈电振幅，α表示相邻单元间的馈电相位差，或

称均匀递变相位。g (z ') 表示振子上电流沿z 轴变化的函数，其近似为

g (z ') =sin k (L -|z '|) , (1.10)

δ(x '-x n ) 为delta 函数。

把式(1.9)代入(1.6)，并利用关系⎰f (x ) δ(x -x n ) dx =f (x n ) ，得

F (θ, ϕ) =k sin θ∑I n e jkx n sin θcos ϕ⎰g (z ') e jkz 'cos θdz '

n =0L N -1

=kf 0(θ) S (θ, ϕ) (1.11)

式中，f 0(θ) 为单元方向图函数，代入式(1.10)得

f 0(θ) =sin θ⎰g (z ') e jkz 'cos θdz '=L 2cos(kL cos θ) -cos(kL ) ⋅ (1.12) k sin θ

阵因子方向图函数为

S (θ, ϕ) =N -1

n =0∑I n e jkx n sin θcos ϕN -1=n =0j (kx n cos θx +n α) (1.13) I e ∑n

式中， c o θs x =s i θn s (1.14) c ϕo

为阵轴与射线之间的夹角，见图1-2。

式(1.11)表示了阵列天线的方向图相乘原理，即阵列天线的方向图为单元方向图与阵因子方向图的乘积。由式(1.13)可见，阵因子与单元数N ，单元的空间分布x n ，激励幅度I n 和激励相位α有关。阵因子S (θ, ϕ) 可视为由理想的无方向性的点源组成的阵列方向图函数。一般情况下，单元方向图是已知的，因此，研究阵因子的特点便能获得阵列的辐射特性。

对于均匀直线阵，单元为等间距d 排列，激励幅度相同I n =I 0，激励相位按

α均匀递变(递增或递减) 。设无论是奇数还是偶数单元的阵列，其坐标原点均设在阵列中点，如图1-4所示。

这两种情况均有如下关系

x n =(n +1-N +1. . -. , (1.15) ) d ， n =0, 1, 2, N 2

N +1) d cos θx N -12e jnu

n =0代入式(1.13)可得均匀直线阵的阵因子为 S (θ, ϕ) =I 0e jk (1-∑ (1.16)

式中， u =k d c o θs x +α (1.16a)

N -1

令 t =

n =0∑e j n u =1+e j u 2+e j u +(-j 1N ) +e u

te ju =e ju +e j 2u +e j 3u ++e jNu

两式相减得： t (1-e j u ) =1-e j N u

1-e j N u j (则得： t ==e ju 1-e N -1) u /s 2i n Nu (/2) (1.17) s i n u (/2)

把式(1.17)代入(1.16)，并取阵因子的模值，得

|S (u ) |=I 0sin(Nu /2) sin[N (kd cos θx +α) /2] (1.18) =I 0sin(u /2) sin[(kd cos θx +α) /2]

对于并排振子均匀直线阵，见图1-2，由式(1.11)可得其 yz 面(ϕ=π/2) 方向图函数为

|F (θ) |=kI 0f 0(θ) sin(N α/2) (1.19) sin(α/2)

式中用了关系cos θx =sin θcos ϕ|ϕ=π/2=0。当α=0时，上式就为E 面方向图。H 面方向图(xy面，θ=π/2) 函数为

|F H (ϕ) |=kI 0f 0(π/2) sin[N (kd cos ϕ+α) /2] (1.20) sin[(kd cos ϕ+α) /2]

1.3.2 共轴振子直线阵

同样设单元数为N ，单元振子长度为2L ，各振子共轴置于z 轴上，振子中心位置分别为z 0, z 1, z 2, , z N -1。共轴振子线阵的电流密度函数为

N -1

n =0J z (x ', z ') =δ(x ') ∑I n g (z '-z n ) (1.21)

此式代入式(1.6)得

F (θ) =k sin θ∑I n ⎰g (z '-z n ) e jkz 'cos θdz ' (1.22)

n =0L N -1

令 z 0=z '-z n ，则z '=z 0+z n ，上式变为

F (θ) =k sin θ⎰g (z 0) e L jkz 0cos θdz 0⋅∑I n e jkz n cos θ

n =0N -1

=kf 0(θ) ⋅S (θ) (1.23)

式中，单元振子的方向图函数为

f 0(θ) =sin θ⎰g (z 0) e jkz 0cos θdz 0 L

与前面式(1.12)表示相同。阵因子为

S (θ) =N -1

n =0∑I n e j kz n cos θN -1=n =0∑I n e j(kz cos θ+n α) n

与式(1.13)表示相同。

由式(1.23)可见，共轴振子线阵的方向图函数与ϕ无关，说明F (θ) 是关于z 轴旋转对称的。

其E 面方向图函数为：F E (θ) =kf 0(θ) ⋅S (θ)

在波束不扫描的情况下(α=0)，H 面(θ=π/2) 方向图函数为：F E (θ) |θ=π/2=常数，为一个圆。

不论是平行振子线阵还是共轴振子线阵，只要是直线阵，它们的阵因子表达式在形式上是相同的，而且不论排列在哪个坐标轴上。

沿x 轴排列的直线阵

S (θx ) =N -1

n =0∑I n e j(kx cos θ+n α) n x , cos θx =sin θcos ϕ (1.24a)

沿y 轴排列的直线阵

S (θy ) =N -1

n =0∑I n e j(ky n cos θy +n α) , cos θy =sin θsin ϕ (1.24b)

沿z 轴排列的直线阵

S (θz ) =N -1

n =0∑I n e j (kz n c θo z +s n α) , c θo z s = s (1.24c) θc o

阵因子中的θx , θy , θz 均表示射线与阵轴之间的夹角；θ, ϕ为球坐标系中的角坐标变量；x n , y n , z n 则表示阵列单元分别沿x 轴、y 轴和z 轴排列的位置分布。

为了通用性，设阵轴与射线之间的夹角为β，沿阵轴排列的位置分布为ξn ，则直线阵的阵因子通用表示为

N -1

n =0S (β) =∑I n e j(k ξcos β+n α) (1.25) n

1.3.3 直线阵阵因子的简单导出方法

前面在单元为对称振子的情况下导出了直线阵阵因子式(1.25)。其它形式单元天线组成的直线阵同样可得到式(1.25)表示的直线阵阵因子。除对称振子外，单元天线有开口波导、喇叭、微带天线、八木天线、螺旋天线、波导缝隙天线等。这里我们采用一种简单方法导出直线阵阵因子。

任意形式单元天线构成的直线阵如下图1-6所示。

图1-5 任意形式的单元天线组成的直线阵

阵中第n 个单元的远区辐射场可表示为如下形式

e -jkR n (1.26) E n =A n f 0(θ, ϕ) R n

式中，A n =A n e j αn ，A n 和αn 分别表示单元天线的激励幅度和相位，f 0(θ, ϕ) 为单元天线的方向图函数。则阵列的远区总场为：

N -1e -j kR n e -j kr

E T =∑E n =f 0(θ, ϕ) ∑A n =f 0(θ, ϕ) ∑A n e -j k (R n -r ) (1.27) R n r n n =0n =0N -1

波程差为：R n -r =-ξn cos β，得

e -j kr

E T =f 0(θ, ϕ) ⋅S (β) (1.28) r

式中阵因子为： S (β) =N -1

n =0∑A n e j(k ξcos β+α) (1.29) n n

若αn =n α，即相位为均匀递变，且取A n =I n ，则上式与(1.25)完全一样。对于均匀直线阵，即相位为均匀递变，等间距d 排列，激励幅度相同I n =I 0，其通用阵因子为

N Nu (kd cos β+α)]sin() (1.30) S (β) =I 0=I 0sin[(kd cos β+α)]sin() 22sin[

Nu s i ) 或写作 S (u ) =I 0 u sin() 2

式中，u =kd cos β+α。

1.3.4 均匀直线阵分析

均匀直线阵阵因子由式(1.30)给出，由此可对均匀直线阵进行分析。

1、主瓣最大值及最大指向

由式(1.30)可见，u =0时阵因子将出现主瓣最大值S max ，对应的方向为最大指向βm 。

主瓣最大值为： S m a x =l i m S (。 (1.31) u =) I 0N u →0

最大指向为： βm =a r c o s -(α

kd ) (1.32)

Nu ) S (u ) (1.33) =归一化阵因子为：(u ) =S max N sin() 2sin(

2、侧射阵、端射阵与扫描阵

主瓣最大指向由式(1.32)给出，由其可见：

■当α=0时，βm =90o ，即最大指向与阵轴垂直，为侧射阵。

■当α=±kd 时，βm =0,180o ，即最大指向在阵轴方向，称为端射阵。 ■当α为其它可变值时，最大指向由式(1.32)表示，称为扫描阵。

由式(1.32)解出α，α=-kd cos βm ，代入式(1.30)得

Nkd sin[(cosβ-cos βm )]S (β) =I 0 (1.34) sin[(cosβ-cos βm )]2

3、可见区与非可见区

从数学上看，阵因子S (u ) 是在-∞

-kd +α≤u ≤kd +α (1.35)

该范围为可见区，范围之外为非可见区，如图1-6所示为单元数为N ＝5，单元间距为d =λ/2，均匀递变相位为α=π/6时的归一化阵因子S (u ) 随u 变化的图形。α的改变是使可见区移动，单元间距的变化将使可见区范围增大或缩小。

图1-6 均匀直线阵阵因子归一化函数图

4、栅瓣及其抑制条件

前面介绍了阵因子主瓣最大值出现在u =0处。由于阵因子S (u ) 是周期为2π

的周期函数，则其最大值将呈周期出现，即最大值出现在：

u =2m π，m =0, ±

1, ±2,

■m =0时，u =0，对应为主瓣。

■m 为其它值时为栅瓣(见图1-6) 。

栅瓣的出现是人们不希望的，它不但使辐射能量分散，增益下降，而且会造成对目标定位、测向造成错误判断等，应当给予抑制。

S (u ) 的第二个最大值出现在u =kd (cosβ-cos βm ) =±2π时。

抑制条件是：|u |max

|cos β-cos βm |max

，因β=0~π，

|cos β-cos βm |max =1+|cos βm |，则得

1+|cos βm |

(1.36)

此式即为均匀直线阵的抑制栅瓣条件，该式也可以作为非均匀直线阵(如泰勒阵、切比雪夫阵等) 的抑制栅瓣条件。 ■对侧射阵，βm =π/2，抑制栅瓣条件为 d

■对波束扫描阵，βm 应为最大扫描角。例如，在正侧向两边±30o 内扫描，取

βm =90o -30o =60o 得抑制栅瓣条件为：d

在均匀直线阵列中一般就分为这三种情况即：(1)均匀侧射阵；(2)均匀端射阵；(3)均匀扫描阵。

■均匀直线阵是指单元排列为等间距，激励幅度相等，激励相位为均匀递变的直线阵。

■均匀直线式侧射阵是指方向图主瓣最大指向与阵轴垂直的均匀直线阵列。此时要求各单元激励相位同相，即α=0，βm =π/2。

■均匀直线式端射阵是指方向图主瓣最大指向在阵轴方向的均匀直线阵列。此时要求各单元激励相位为α=±kd ，βm =0, π。

■均匀直线式扫描阵是指方向图主瓣最大指向随α的变化而变化的均匀直

线阵列。此时βm =arc cos(-) 。

5、均匀侧射阵、扫描阵及端射阵的方向图

如下图1-7(a)(b)(c)给出的是间距为λ/2的4元阵侧射(α=0) 方向图和扫描

(α=π/3，α=π/2) 方向图，图(d)给出的是间距为λ/4的8元阵端射(α=kd =π/2) 方向图。并给出了对应的三维方向图。

当间距d =λ/2，均匀递变相位α>3π/2时将出现栅瓣，要继续增大扫描角，则必须减少单元间距。

图1-7 均匀直线式侧射阵、扫描阵和端射阵的极坐标方向图

6、零点位置

零点是指方向图两个波瓣之间的节点。令归一化方向图函数

S (u ) =sin(Nu /2) /sin(u /2) =0，即可得方向图的零点位置。除u =0外，方向图

零点可由sin(Nu /2) =0确定。有

Nu /2=±n π, n =1,2,... (1.37)

即： N k d (c o βs 0-

c o β) =/±2n π m s

n λ

β0=c o βm s ±得： c o s (1.38)

n λ

■对侧射阵(βm =π/2) ， cos β0n =± (1.39)

Nd n =1时为主瓣两侧的第一个零点。在可见区内，零点数目与单元数N 、间距d 和最大指向βm 有关。例如，d =0.5λ时的侧射阵，其零点个数为N -1。图1-8给出了N=7和N=8时的侧射阵归一化方向图。

图1-8 侧射阵方向图的零点个数

■对端射阵，βm =0，cos β0n =1±

n λ

■对波束扫描阵，零点位置由式(1.38)确定。

7、主瓣零点宽度(BW ) b0

指主瓣两边第一零点之间的夹角，如图1-9所示，(BW ) b 0=2∆β。

图1-9 主瓣零点宽度示意图

图中 ∆β=|β01-βm | 则 sin(∆β) =sin |β01-βm |

■对侧射阵，βm =π/2，sin(∆β) =sin(π-βλ

01) =cos(β01) =

得 (BW ) b 0

=2∆β=2a r c Nd

( ) 当Nd λ时

(BW ) λ

b 0≈2Nd

■对端射阵，βm =0，∆β=β01

由 c o βs

n λ

0n =±1Nd

(1.40) (1.41) (1.42)

n =1时 β01=arc cos(1- 当Nd

) Nd 12λ

λ时，cos β01=1-β01=1-

2Nd

即

β01=

(1.43) 得

(BW ) β01≈b 0=2

8、主瓣宽度(BW ) bh

又称半功率波瓣宽度或3dB 波瓣宽度，它是天线的一个重要技术指标。所谓半功率波瓣宽度，在功率方向图中是指最大辐射功率下降一半所对应的角宽度，

或在场强方向图中其场强为最大值的=0.707所对应的波瓣角宽度，如图1-10所示。

图1-10 主瓣宽度示意图

由归一化阵因子：(u ) =

sin(Nu /2)

N sin(u /2)

对于主瓣窄的大阵列，上式分母取sin(u /2) ≈u /2，则 (u ) ≈式中，u =kd (cosβ-cos βm ) 查图1-10(b)得 Nu h /2=±1. 3 92即

kd (c o βs h -2

c βo m s =±)

1 . 3 9 2 (1.44)

s i n Nu (/2)

=0.707

Nu /2

■对侧射阵(βm =π/2，上式取正)

βh =1. = c o s

N k d

4 3 ←k =2π/λ N d

由图1-10(a)有 s i n ∆(βh =) s i βn -βm =|πs i n (-βh |h /2= ) βh

=2∆β=2a r c s i n 4 4得 (BW ) 3 ) (1.45) b h h

Nd 当Nd

λ时，sin(∆βh ) ≈∆βh

则得 (BW ) bh

=0. 8λ

Nd rad ( ) =50.77λNd (o ) ≈51λ

(o ) ←L =Nd 为阵列长度侧射阵的主瓣宽度与阵列长度L 成反比。 ■对侧射阵(βm =0，式(1.44)取负)

cos βλ

h =1-0.443

得 (BW ) b h =β2h =2a r c c -o s (1λ

4 43)

当Nd

λ时，β12λ

h 很小，cos βh ≈1-2βh =1-0.443Nd

即

βh ==

得

(B W ) b h =2

βh =

r (a d

) =o ) =o ) 端射阵的主瓣宽度与阵列长度平方根成反比。

■对扫描阵(0

由式(1.44)得

cos βλ

1-cos βm =-0.443L cos β2-cos βm =0.443

主瓣宽度为：

(BW ) h =2βh =β1-β2

=arc cos(cosβm -0.443λ/L ) -arc cos(cosβm +0.443λ/L ) (1.46) (1.47)

(1.48a) (1.48b)

(1.49)

对大阵列，上式可作如下简化。由式(1.48b)－(1.48a)得：

cos β2-cos β1=0.886 (1.50)

当波束很窄，且扫描角不是很宽时

β+β2β-β2

cos β2-cos β1=2sin(1)sin(1) ≈(β1-β2)sin βm =2βh sin βm

(BW ) h =2βh =0.886

L sin βm

=51

L sin βm

(o ) (1.51)

当βm =π/2时，上式与侧射阵的主瓣宽度公式相同。如果在正侧向两边±φm 内扫描，取βm =90o ±φm 得：

(BW ) h =0.886

L cos φm

=51

L cos φm

(o ) (1.52)

由此式可见，与侧射阵相比，波束最大值发生偏移时半功率波瓣宽度将变宽。

9、副瓣位置和副瓣电平

(1) 副瓣位置βsn

指副瓣最大值对应的角度βsn 。它可由

(/=2) N t a n u

t N a n u (

dS (u )

=0解得，即可由下式 du

确定所有副瓣位置。但这种做法较繁。考察归一化阵因子(u ) =

sin(Nu /2)

，当

N sin(u /2)

N 较大时，其分子的变化比分母快得多，因此，副瓣最大值发生在sin(Nu /2) =±1处，即

Nu sn /2=±(2n +1) π/2，n =1,2,…。

u sn =±(2n +1) π/N (1.53)

或

kd (c o βs sn -2

c βo m s =±) n +(2 1)

2n (+2

βs n =c o βs m ±得 c o s

(1.54)

2Nd

由此可确定侧射阵(βm =π/2) 和端射阵(βm =0) 的副瓣位置。

(2) 副瓣电平SLL

副瓣电平也是天线的重要技术指标之一。其定义为

SLL =20lg

|E sm ||S (u s 1) |

(1.55) =20lg

|E m ||S max |

式中，E sm =C ⋅S (u s 1) 为副瓣场强最大值；E m =C ⋅S max 为主瓣场强最大值。C 为常数；S (u ) 为阵因子函数；S max 为阵因子最大值。

对于均匀直线阵，紧靠主瓣的第一副瓣最大值比其它远旁瓣的幅度都大，因此，阵列的副瓣电平以其第一副瓣电平为准。

由式(1.53)得第一副瓣位置对应的u 值为：u s 1=±3π/N

N 3πsin(⋅)

|S (u s 1) |sin(Nu s 1/2) 12===≈=0.212

|S max |N sin(u s 1/2) 3πN sin() N sin() 2N 2N 得 SLL =20lg

|E sm |

＝－13.5 (dB) (1.56) |E m |

10、方向性系数D

方向性系数是表征天线辐射功率集中程度的一个重要参数。在工程上，其定义是：在总辐射功率相同的情况下，主瓣最大方向上的功率密度与全空间的平均功率密度之比。即

D =

4π|F max |2

⎰

2π

d ϕ⎰d θ|F (θ, ϕ) |sin θ

(1.57)

式中，F (θ, ϕ) =kf 0(θ, ϕ) S (θ, ϕ) ，F max 是其最大值。若单元天线为无方向性的理想点源，f 0(θ, ϕ) =1，则对于阵轴为z 轴的阵列

N -1n =0

F (θ, ϕ) =k ⋅S (θ) =k ∑I n e jn (kd cos θ+α)

=k ∑I n e jnu ←u =kd cos θ+α (1.58)

n =0N -1

其最大值出现在u =0处， F max =kS max =k ∑I n (1.59)

n =0

N -1

得 D =

4π|S max |2

2π⎰|S (θ) |sin θd θ

(1.60)

⎡N -1jnu ⎤⎡N -1-jmu ⎤式中， |S (θ) |=S (u ) ⋅S (u ) =k ⎢∑I n e ⎥⎢∑I m e ⎥

⎣n =0⎦⎣m =0⎦

∑∑I I

n =0m =0

N -1N -1

n m

e j (n -m ) u (1.61)

因u =kd cos θ+α，du =-kd sin θd θ，且积分上下限变为

⎧θ1=0, u 1=kd +α

⎨

θ=π, u =-kd +α⎩22

由式(1.60)得

2kd |∑I n |

n =0N -1

D =

∑∑I I ⎰

n m

n =0m =0

N -1N -1

kd +α

|∑I n |2

n =0

N -1

-kd +α

e j (n -m ) u du

∑∑I I

n =0m =0

N -1N -1

n m

e j (n -m ) α

sin[(n -m ) kd ]

(n -m ) kd

(1.62)

这是不等幅激励直线阵方向性系数的一般计算公式。当单元间距d =λ/2时，kd =π，有

sin[(n -m ) π]⎧0,

=⎨

(n -m ) π⎩1,

此时式(1.62)为如下简单形式

|∑I n |2

n =0N -1n =0N -1

n ≠m n =m

D = (1.63)

∑I

若为等幅激励I n =I m =I 0，引入新的序号l =n -m >0，则上式可简化为

D =

Nkd

(1.64) N -1

N -l

kd +2∑cos(l α)sin(kld )

Nl l =1

■当d =λ/2，kd =π，sin(lkd ) =0，则 D =N ■当α=0时，得侧射阵的方向性系数公式

D =

Nkd

(1.65) N -1

N -l

kd +2∑sin(kld )

Nl l =1

■当α=-kd 时，得端射阵的方向性系数公式

D =

Nkd

(1.66) N -l

kd +∑sin(2kld )

Nl l =1

★均匀直线阵方向性系数的另一种计算方法

由 D =

4π

⎰

2π

d ϕ⎰(θ)sin θd θ

⎰

2(θ)sin θd θ

(1.67) W

式中， W =⎰2(θ) s i θ (1.68) n d θ

■对侧射阵：

(θ) =

sin(Nkd cos θ/2) sin(Nkd cos θ/2)

|N >>1≈

N sin(kd cos θ/2) Nkd cos θ/2

当N =10，d =λ/2时，绘出了归一化方向图函数和近似归一化方向图函数的图形，见下图1-11。可以看出，当N 较大时，两者只在远副瓣略有差异。

图1-11 归一化阵因子与其近似表示的比较

N N

kd cos θ， dZ =-kd sin θd θ 22

N N

积分限 θ=0~π，变成 Z =kd ~-kd

由式(1.68)得

πs i n N (k d c θo s 2/2) 2Nkd /2sin(Z ) 2

]s i θn d θ=[]dZ W =⎰[⎰0-Nkd /2Nkd c o θs /2Nkd Z

2∞sin(Z ) 22λ≈[]dZ =⋅π= (1.69) ⎰-∞Nkd Z Nkd Nd

令 Z =

式中用了条件：Nkd /2→∞，即πNd >>λ。把上式代入式(1.67)得侧射阵方向性系数

D =2

， L =Nd (1.70)

例：有一个单元数为N =10，间距为d =λ/2的侧射阵，求D 。解：L =Nd =N λ/2，由式(1.70)，D =N =10，或D =10lg D =10(dB )

■对端射阵

(θ) =

sin[Nkd (1-cos θ) /2]sin[Nkd (1-cos θ) /2]sin(Z )

|N >>1≈=

N sin[kd (1-cos θ) /2]Nkd (1-cos θ) /2Z

kd (1-cos θ) 2

2Nkd /2sin(Z ) 2

[]dZ 由式(1.68)得： W =⎰0Nkd Z 2∞sin(Z ) 22πλ≈[]dZ =⋅= (1.71) Nkd ⎰0Z Nkd 22Nd

上式代入式(1.67)得端射阵方向性系数

Nd L D =4=4， L =Nd (1.72)

式中，Z =

λλ

比较式(1.70)和(1.72)，在阵长L 相同的情况下，端射阵的方向性系数是侧射阵的两倍。

■侧射阵：这种形式容易实现，工程上多采用这种形式的阵列。

■端射阵：采用各单元分别馈电以进行相位控制来实现端射阵，在工程上是很

难实现的。典型的端射阵有八木天线、对数周期振子天线等。

■扫描直线阵：要求天线辐射波束能在空间有规律地移动，这种波束的移动

称为波束扫描。波束扫描有机械扫描和电控扫描两种方式。

(1) 机械扫描是天线辐射波束不变而使天线本体运动，从而使天线波束随之作规律性的运动。其优点是扫描过程中天线性能不变，缺点是波束扫描速度慢。天线可以是阵列天线和反射面天线。

(2) 电控扫描简称电扫描，是天线本体固定不动，通过改变馈电相位或频率来实现波束扫描。改变馈电相位实现波束扫描的阵列称为相控扫描阵列；改变频率实现波束扫描的阵列称为频率扫描阵列。

电控扫描的优点是波束扫描速度快，可以及时发现和跟踪高速运动目标，缺点是电控扫描过程中，天线的辐射特性会改变，造价高。天线只能是阵列天线。

例如，在相控扫描过程中，天线方向图主瓣宽度随扫描角的增大而变宽，增益下降，单元间的互耦随扫描角的增大而变大，大扫描角时，天线性能可能会急剧下降。所以工程上一般不采用相位控制来实现所谓的端射阵。但端射阵有一定的理论价值，象八木天线、轴向模螺旋天线等端射天线，可用端射阵的理论进行一定的分析设计和解释。

§1.4 强方向性端射阵

均匀直线阵的阵因子为

Nkd s i (c θo -s θm c o s

S (θ) =I 0 sin[(cosθ-cos θm )]

) ]

式中，cos θm =-

。 kd

对于普通端射阵，其相邻单元之间的相位差为α=±kd 。 α=-kd 时，最大指向为 θm =0

α=kd 时，最大指向为 θm =π

Nd L

=4， L =Nd

端射阵的方向性系数为：D =4λλ端射阵的主瓣宽度为：(BW ) h =(o )

说明端射阵的方向图主瓣很胖。我们能否使端射阵的波瓣变窄，而使它的其它辐射特性基本不变，使端射阵的方向性系数进一步提高呢？回答是肯定的。早在1938年，汉森(Hansen)和伍德亚德(Woodyard)就提出，在普通端射阵的均匀递变相位的基础上再附加一个均匀递变的滞后相位δ，可以提高端射阵的方向性系数。这种阵列称为强方向性端射阵，或汉森－伍德亚德端射阵。当α=-kd -δ时，得归一化端射阵阵因子

[kd (cosθ-1) -δ]}sin(Nu /2) (θ) == (1.73)

N sin(u /2) N sin{[kd (cosθ-1) -δ]}2

(c o θs -式中， u =k d

-1δ) (1.74)

在如图1-12中给出了10元阵列不同附加相位δ的端射阵方向图。

图1-12 10元端射阵不同附加相位δ的方向图(N =10，d =λ/4)

δ=0时为普通端射阵，δ=π/15,π/10,π/8时端射阵方向图的主瓣宽度越来越窄，但副瓣电平越来越高。主瓣宽度变窄将使方向性系数D 变大，而副瓣电平增高将使方向性系数降低。因此，总可找到一个合适的δ值，使得方向性系数最大。

1.4.1 汉森—伍德亚德条件

是使端射阵方向性系数最大的条件。为了讨论的方便，我们把式(1.73)改写作如下形式

(θ) =

sin(Nu /2) sin(Nu /2) sin(Z )

(1.75) ≈=

N sin(u /2) Nu /2Z

式中， Z =

Nu Nd δ=(k cos θ-k -) =q (k cos θ-p ) (1.76a) 22d

q =Nd /2， p =k +δ/d (1.76b)

由前面图1-12可见端射阵方向图最大值出现在θ=0处，因此令

Z 0=Z |θ=0=q (k -p ) (1.77)

max =

sin(Z 0)

Z 0

由方向性系数公式

D =

4π|max |2

⎰

2π

d ϕ⎰2(θ)sin θd θ

4π

(1.78) ΩA

2π

式中，ΩA =⎰d ϕ⎰

2ππ

(θ)

sin θd θ=⎰d ϕ⎰200max

⎛Z 0sin Z ⎫

⋅ ⎪sin θd θ

⎝sin Z 0Z ⎭

2π2πZ 02-q (k +p ) sin Z 2

g (Z 0) (1.79) () ⎰() dZ =

q (k -p ) qk qk sin Z 0Z

式中， g (Z 0) =(

S i (x ) =⎰

⎤Z 02⎡πcos(2Z 0) -1) ⎢++S i (2Z 0) ⎥ (1.80) sin Z 0⎣22Z 0⎦

sin(t )

dt (1.81) t

把式(1.79)代入(1.78)得： D =

2qk

(1.82) g (Z 0)

只要求得适当的Z 0使g (Z 0) 最小，则D 就最大。由式(1.80)可绘出g (Z 0) ～Z 0

的曲线如图1-13所示。

图1-13 g(z0) 随z 0的变化曲线

由图可见，当Z 0=-1.47时出现最小值g min =0.871。由式(1.77)可得

Z 0=q (k -p ) =-1.47 (1.83)

把式(1.76b)表示的q =Nd /2代入上式，于是得汉森—伍德亚德条件

2.94π

pd =kd +≈kd + (1.84)

N N 上式可写作：pNd =kNd +π，或

(1.84)

此式表明，当电磁波从阵列的始端传播到末端时，以行波相速传播的相位pL ，减去以光速传播时的相位kL 等于π时，阵列的方向性系数最大。

由式(1.76b)和(1.83)解得：

δ=π/N

当N=10时，正是图1-12中红线所示的端射阵方向图，这个方向图就是10单元强方向性端射阵的方向图。

1.4.2 强方向性端射阵的方向性系数

由式(1.76b) 得到的q =Nd /2，和式(1.82)

D =

2qk

，取

g (Z 0)

g (Z =0)

D e =

m i n

g = 0. ，可得强方向性端射阵的方向性系数为871

2qk 2Nd 2πNd L

=⋅⋅=7.213=1.8⨯(4) =1.8D (1.86) g (Z 0) 0.8712λλλL

式中，D =4

为普通端射阵的方向性系数。

1.4.3 强方向性端射阵的其它参数

强方向性端射阵的阵因子为

sin{[kd (1-cos θ) +δ]}sin(Nu /2) = (θ) =

N sin(u /2) N [kd (1-cos θ) +δ]}2

式中，u =kd (1-cos θ) +δ，且 δ=。

1. 主瓣零点宽度

令sin(Nu /2) =0，可得 Nu /2=i π, 端射阵的零点位置为

2Nd

取i =1，可得第一零点位置和主瓣的零点波瓣宽度

(BW ) e 0=2θ1=2arccos(1-

i =1,2, ; i ≠N ,2N , 。得强方向性

θi =arccos[1+(1-2i )

] (1.87)

2Nd

) (1.88)

2. 副瓣位置

令sin(Nu /2) =1，即 Nu s /2=(2+1) 在

, =1, 2, 。得各副瓣最大值发生

λ- θ=a r c c o s Nd 第一副瓣位置(

=1) u s1=3π/N

=) , 1 , 2 , (1.89)

3. 主瓣最大值

强方向性端射阵的最大值为

[kd (1-cos θ) +δ]}

1==

1N sin{[kd (1-cos θ) +δ]}N sin()

θ=022N δ=π/N

max

N >>1

4. 副瓣电平

由副瓣电平公式：SLL =20lg 式中，|(u s 1) |=|

|(u s 1) ||副瓣最大值|

=20lg

|主瓣最大值||max |

sin(Nu /2) 12

|u =3π/N =|N >>1=

3N sin(u /2) 3πN sin() 2N

则

|(u s 1) |1

=-9. 54d B =，得 S L L

|max |3

5. 主瓣宽度

令

(θ) s i n N (u /π2)

==0. 70 7m a x N s i n (u /2) 2

s i n Nu (/2) 2

=0. 7=0 . 45

Nu /2π

上式可近似为

查前面图1-10(b)可得 Nu h /2=±2. 0 1

π4. 02

θh s +=上式取正得 u h =kd (1-c o

N N

-(109解出半功率点位置 θh =a r c c o s 8 ) (1.90)

则强方向性端射阵的半功率波束宽度为

(BW ) eh =2θh =2arccos(1-0.1398) (1.91a)

Nd 当Nd >>λ时，cos θh =1-

θ2

=1-0.1398

，θh 2=0.2796

，则

(BW ) eh =2θh =(rad ) =(o ) (1.91b)

应当指出，汉森—伍德亚德条件是在阵列很大N >>1、单元间距较小d

§1.5 用Z 变换法分析阵列特性

前面我们主要分析了等幅激励的均匀直线阵，得到了简单的阵因子表示

S (θ) =I 0

sin(Nu /2)

， u =kd cos θ+α (1.92)

sin(u /2)

其副瓣电平为－13.5dB 。然而在许多实际场合下，为了降低天线的副瓣电平，常采用不等幅激励阵列。由于各单元的馈电幅度不同，不能得到均匀直线阵阵因子那样的简单表达式。于是我们面临着要分析一个N 项多项式的任务。这个多项式为

N -1

S (u ) =

n =0

∑I n e jnu ， u =kd cos θ+α (1.93)

我们能否把不等幅激励的非均匀分布的阵列多项式化为一个简单的分式表达式呢？

早在1960年郑均(D.K.cheng)和马祖涵(M.T.Ma)把Z 变换应用于阵列分析中，使得能够把一些典型的不等幅激励的阵列多项式简化为一个以分式表达的简单公式。这就使一些典型的阵列分析变得更为方便。

现在计算机使用已经普及，采用计算机分析计算非均匀分布的阵列多项式，并由计算结果绘制方向图已经很容易。采用Z 变换进行阵列分析，作为一种方法，在此作简单介绍。

用Z 变换理论分析阵因子函数，要求辐射单元为等间距直线排列，相位为均匀递变规律变化，激励幅度的包络函数存在Z 变换。

1.6.1 Z 变换与阵因子函数

Z 变换也是信号与系统分析中处理离散时间信号的一种方法。设有一个分布序列f (n ) ，其Z 变换定义为

F (z )

n =-∞

∑

∞

f (n ) z -n 记作⇒Z [f (ζ)] (1.94)

式中，z 是一个复变量，此式为双边Z 变换。

还有一种单边Z 变换，其定义为

F (z )

∑f (n ) z

n =0

∞

-n

(1.95)

显然，若n

设有一个N 单元等间距排列的直线阵，其中第n 个单元的激励幅度和相位为I n e jn α，则阵因子为

N -1

S =

n =0

N -1n =0

∑I n e jnu ,

u =kd cos θ+α

=∑I n z -n (1.96)

式中，z =e -ju 。设激励幅度I n =f (nd ) ，f (ζ) 为激励幅度的包络函数，

0≤ζ≤(N -1) d 。则式(1.96)可以写成Z 变换形式

S (z ) =∑f (nd ) z

n =0

N -1

-n

=∑f (nd ) z

n =0

∞

-n

-∑f (nd ) z -z

∞

=F (z ) -G (z ) (1.97)

-n

式中， F (z ) =∑f (n d ) z =

n =0∞

Z [ζf ( ) ] (1.98)

为单边Z 变换；

G (z ) =∑f (nd ) z -n =Z [f (ζ) U (ζ-Nd )] (1.99)

n =N ∞

⎧1, ζ≥Nd

(1.100) U (ζ-Nd ) =⎨

0, ζ

为位移的单位阶跃函数。若引入单位闸门函数

γn (ζ) =U (ζ) -U (ζ-Nd ) =⎨

则阵因子可写成Z 变换的简洁形式

S (z ) =Z [f (ζ) γn (ζ)]=

⎧1, 0≤ζ

(1.101)

⎩0, ζ≥Nd

Q 1(z )

(1.102) Q 2(z )

引入闸门函数后，限制了求和上限，因此，上式称为f (ζ) 的有限Z 变换。

在式(1.97)中，如果把G (z ) 也写成单边Z 变换形式，有限Z 变换S (z ) 就容易求得。把G (z ) 改写为

G (z ) =Z [f (ζ) U (ζ-Nd )]=∑f (nd ) U (nd -Nd ) z -n (1.103)

n =N ∞

令k =n -N ，

则 G (z ) =∑f (kd +Nd ) U (kd ) z -(k +N ) ←U (kd ) =1

k =0∞

=z -N Z [f (ζ+Nd )] (1.104)

于是， S (z ) =F (z ) -G (z ) =Z [f (ζ)]-z -N Z [f (ζ+Nd )]=

Q 1(z )

(1.105) Q 2(z )

求阵列幅度分布的有限Z 变换(阵因子) 时将用到如下两个定理。

(1) 线性变换定理

若Z [f 1(ζ)]=F 1(z ) ，Z [f 2(ζ

)]=F 2(z ) ,

则 Z [c 1f 1(ζ) +c 2f 2(ζ) +]=c 1F 1(z ) +c 2F 2(z ) +

式中，c 1, c 2,

，为常数。

(2) 位移定理

右位移时：Z [f (ζ-md )]=z -m Z [f (ζ)]=z -m F (z ) 1

左位移时：Z [f (ζ+md )]=z m

m -[F (z ) -∑f (id ) z -i ]

i =0例1. 求Z [U (ζ)]=?

解：U (ζ) =⎧⎨1, ζ≥0

⎩0, ζ

为单位阶跃函数。

∞

Z [U (ζ)]=∑z -n =1+z -1+z -2+

z -1

n =0例2. 求Z [ζ]=?

解：ζ=nd

Z [ζ]=∑∞

(nd ) z

-n

∞

=zd n =0

∑nz -(n +1) =d (0+z -1+2z -2+3z -3+

)

n =0

∞∞

=(z d ) ∑d z n -x (n +1)

d =x z -n

∞

z -(

d d -n

n =0d z

⎰∞

() d n =0d z

=d z ∑( z )

n =0

=-(zd )

d dz (z z -1) =zd

(z -1) 2

例3. 求Z [e ±a ζ]=?

解：ζ=nd

±a ζ

∞

Z []=∑e

±and z

-n

=n =0

∑(e

z )

-n

=ze ad 1

ze ad -1=1-e ±ad z

-1

n =0

同理可导出其它几个函数的Z 变换。

Z [ζ2

d 2z (z +1)

(z -1) Z [sin(a ζ)]=

z sin(ad )

z 2-2z cos(ad ) +1

Z [cos(a ζ)]=

z [z -cos(ad )]

z 2

-2z cos(ad ) +1

(1.106) (1.107) (1.108) (1.109) (1.110)

(1.111)

以上式(1.106)~(1.111)是单边Z 变换(0≤ ζ ≤∞)结果。而常用的阵列激励幅度分布ζ是有限的，应该采用式(1.105)来确定阵列函数。

对一些简单的阵列激励分布，如后面图1-14的N 为奇数的三角形幅度分布，图 1-16的N 为偶数的三角形幅度分布，以及图1-18的反相激励的N 为偶数的三角形分布，也可得到其Z 变换。它们的分布函数为分别为

N -1⎧

ζ, 0≤ζ≤d ⎪⎪2

f 1(ζ) =⎨ (1.112)

⎪-ζ+(N -1) d , N -1d ≤ζ≤(N -1) d ⎪⎩2N ⎧ζ, 0≤ζ≤(-1) d ⎪⎪2

f 2(ζ) =⎨ (1.113)

N ⎪-ζ+(N -1) d , d ≤ζ≤(N -1) d

⎪⎩2N ⎧ζ, 0≤ζ≤(-1) d ⎪⎪2

f 3(ζ) =⎨ (1.114)

N ⎪ζ-(N -1) d , d ≤ζ≤(N -1) d

⎪⎩2

由式(1.105)不难求出对应的Z 变换阵列函数分别为

Z [f 1(ζ)]=

zd [1-z ]

(1.115)

(z -1) 2

N -122

zd [1-z -N /2][1-z -(N -2) /2]

(1.116) Z [f 2(ζ)]=2

(z -1) z [1+(N -1)(1-z ) z -N /2-z -(N -1) ]

(1.117) Z [f 3(ζ)]=d

(z -1) 2

如何求得这些幅度分布函数的Z 变换(阵列函数) 的过程，本课程不作要求，但要求在已知阵列函数的情况下，能分析阵列特性。一些典型的阵列分布对应的阵列函数如下表1-1给出。

表1-1 典型阵列分布对应的阵列函数

1.6.2 Z 变换法分析阵列

这里列举几种简单分布的阵列，分别采用多项式级数表示和Z 变换法得到的阵列函数表示来分析阵列。Z 变换法得到的阵列函数一般是一个简单的分式表达式，更便于阵列特性的分析。

一、N 为奇数的三角形幅度分布

如图1-14所示。

图1-14 N 为奇数的三角形幅度分布

1. 直接相加法

采用直接相加法是为了与Z 变换法所得结果进行比较。上图中ζ=nd 。

N -1

-12n =0

N -1

N -1j N 2-1u +de +∑[-nd +(N -1) d ]e jnu ←m =N -n -1

2N -1

n =+1

S =

∑(nd ) e

jnu

N -1

de 2

N -1j u 2

N -1

-12n =0

∑(nd ) e

N -1

-12n =0

jnu

N -1

-12m =0

∑(md ) e

N -1

-12m =0

j (N -m -1) u

N -1

) u 2

N -1{d +2N -1

+2∑(nd ) e

N -1j (n -) u

∑(md ) e

-j (m -

}

=de

N -1j u 2

N -1

-12

∑

n cos[(n -

N -1

) u ]} (1.118a) 2

n =0

式中，u =kd cos θ+α

对上式取绝对值得

N -1

-1|S (u ) |=d |

N -1

+2∑

n cos[(n -

N -1

) u ]| n =0

2. Z 变换法

由式(1.115)可得三角形分布的阵列函数为

N -1S =

zd [1-z -

2]2

(z -1) 2

←z =e -ju

-1N -1N -1

N - =d

z ⋅z

-N 2

-z

N -14]

-j N -14u 2

-j

-e

j 4

u 1

]

2z (z

1/2

-z

-1/2)

=de

-j u u

(e 2

-e j

N -1

=de -j N -1sin 2(

u ) sin 2( 2

)

s i 2n N -1u 取其绝对值 |S (u ) =|d )

| s i 2n 2

) ■主瓣最大值

出现在u =0处，由式(1.118b)和式(1.119b)均可得到

|S u →0S (u ) =(N -12

) 2

max |=lim d ■零点位置

令sin(N -14u ) =0 ⇒N -1

u 0i =i π, i =±

1, ±2,

即 kd cos θ+α=i 4π

0i N -1

θλ0i =arccos[i

2(N -1) d -α

i =±1, ±

(1.118b) (1.119a) (1.119b) (1.120)

(1.121)

由第一零点位置i =1时的θ01可确定主瓣零点宽度。

对单元数为N =11、间距为d =λ/2的三角形分布的侧射直线阵(α=0) ，可见区内的零点有四个。列出如下

■方向图

归一化阵因子函数为：

F (θ) =|

S (θ)

| S m a x

分贝表示为 F (θ) =20lg |

S (θ)

| (1.122) S m a x

其阵轴所在平面内的方向图如图1-15所示。

阵因子的级数表示和Z 变换的简单阵列函数表示得到的结果完全相同。

垂直于阵轴的平面内(θ=π/2) 的方向图为一个圆。

(a) 直角坐标方向图 (b) 极坐标方向图

图1-15 N ＝11，d=λ/2，α=0时的三角形幅度分布阵列方向图

■副瓣电平

由上图可得副瓣电平为：SLL =-24.1 (dB)

=-13.5 (dB) 而均匀直线阵 S L L

■主瓣宽度

上图中-3dB 对应的主瓣宽度为：(BW ) h =15o 均匀直线阵 (BW ) h =51o

|N =9=11.3o

d =λ/2

■方向性系数

由前面式(1.64)：

N -1

D =

∑n =0N -1。

n ∑I

式中，I =⎧⎨nd ,

n ≤(N -1) /2n ⎩

(N -1-n ) d , (N -1) /2

可计算得方向性系数为 D |N =11=7.353 或 D =8.665(dB)

均匀直线阵 D =2

|N =9=9 或 D =9.542(dB)

d =λ/2

二、N 为偶数的三角形幅度分布

如图1-16所示。

图1-16 N 为偶数的三角形幅度分布

1. 直接相加法

N /2-1

S =

∑(nd ) e

jnu

n =0

n =∑N -1

[-nd +(N -1) d ]e jnu

N /2N /2-1

∑(nd ) e

jnu

+∑-/21

(md ) e

j (N -m -1u )

←m =N -n -1

n =0

m =0

N ∑/2-1

j (n -

N -1

N /2-1

N -2

u ⋅[

(nd ) e

2) u +

(md ) e

-j (m -

N -1

) u ]

n =0m ∑=0

N -1

N /2-1

=de

u ⋅2

∑

n cos[(n -

N -1

n =0

) u ] 式中，u =kd cos θ+α。对上式取绝对值得

N ∑

/2-1

|S |=2d |

n cos[(n -

N -1

) u ]| n =0

2. Z 变换法

由式(1.116)可得偶数单元的三角形分布阵列函数为

(1.123) (1.124)

zd [1-z -N /2][1-z -(N -2) /2]

S =

(z -1) 2

4-N /4-N -(2N ) -/4(-2N

z ⋅z -N /4[z N /-z ]⋅z z [-z ) -/

z (z 1/2-z -1) /22

](2) /4-ju

←z =e

=de j (N /2-1) u

sin(Nu /4)sin[(N -2) u /4]

(1.125a) 2

取其绝对值

sin (u /2)

|S |=d |

sin(Nu /4)sin[(N -2) u /4]

sin 2

(u /2)

| 34

(1.125b)

阵列天线分析与综合

前言

综上所述，采用阵列天线的原因大致有如下几点：

■容易实现极窄波束，以提高天线的方向性和增益；

■易于实现赋形波束和多波束；

■易于实现波束的相控扫描；

■易于实现低副瓣电平的方向图。

阵列天线的分析是在已知如下四个参数的情况下分析确定阵列天线的辐射特性，包括阵列天线的方向图、半功率波瓣宽度、方向性系数、副瓣电平等。

(1) 单元总数； (如直线阵的N ，平面阵的M ×N )

(2) 单元在空间的分布；(如直线阵的d ，平面阵的d x 、d y )

(3) 各单元的激励幅度分布；(如直线阵的I n ，平面阵的I xm 、I yn 或I mn )

(4) 各单元的激励相位分布；(如直线阵的αn ，平面阵的αxm 、αyn )

■ 阵列天线的综合

第一章直线阵列的分析

§1.1 引言

§1.2 电流源的辐射场

假设在xz 平面上有一个面积为S 的面电流源，其面电流密度为ˆJ z (x ', z ') ，如图1-1所示，求远区辐射场。

J (r ) =z

图1-1 面电流源及坐标系

这种模型对分析阵列天线有用，阵列天线中电流分布是离散的分布，可以把阵列中各单元的电流值视为连续电流分布的抽样值。

求面电流源辐射场的方法如下：

(1) 求矢量位A

面电流源在空间某点产生的矢量位为

μA =4πe -jkR ⎰⎰s J (r ') R ds ' (1.1)

式中，k =2π/λ，对于远区，r , R λ，可作如下近似：

1/R ≈1r /

e -jkR =e -jkr e -jk (R -r )

ˆ=x ˆs i n 且由 r θc o ϕs +ˆy

ˆx +z ˆ' z r '=x 's θi n ϕs +i ˆn z θc o s

ˆr ⋅'可得其中波程差： R -r =-r

则式(1.1)可写作 's i θ=(-x n 'c ϕo s +z s ) (1.2) c θo

μe -jkr

ˆA =z 4πr ⎰⎰S ˆz (1.3) J z (x ', z ') e jk (x 'sin θcos ϕ+z 'cos θ) dx 'dz '=zA

(2) 把直角坐标系下的矢量分量转化为球坐标系下的矢量分量

A θ=-A z sin θ (1.4)

(3) 由远场公式 E =-j ωA 求远区电场

E θ=-ωj θA =ωj z s A i θn

ωμe -jkr =j sin θ⎰⎰J z (x ', z ') e jk (x 'sin θcos ϕ+z 'cos θ) dx 'dz ' S 4πr

ηe -jkr

=j F (θ, ϕ) ⇐4πr ωμ=k η (1.5)

式中，η=

F (θ, ϕ) =k sin θ⎰⎰J z (x ', z ') e jk (x 'sin θcos ϕ+z 'cos θ) dx 'dz ' (1.6) s

(4) E面和H 面方向图函数

天线的方向图一般是一个空间的立体图，在天线分析中为了方便起见，一般只研究两个主面内的方向图，这两个主面是相互垂直的E 面和H 面。

E 面：是指通过最大辐射方向并平行于电场矢量的平面；

H 面：是指通过最大辐射方向并垂直于电场矢量的平面；

对前面图1-1所示的面电流源天线，其E 面和H 面方向图分别为:

E 面(即yz 平面，ϕ=π/2)

F E (θ) =k sin θ⎰⎰J z (x ', z ') e jkz 'cos θdx 'dz ' (1.7) s

H 面(即xy 平面，θ=π/2)

F H (ϕ) =k ⎰⎰J z (x ', z ') e jkx 'cos ϕdx 'dz ' (1.8) s

§1.3 直线阵列

图1-2 并排振子直线阵图1-3 共轴振子直线阵

1.3.1 并排振子直线阵

密度的抽样。即

J z (x ', z ') =∑I n g (z ') δ(x '-x n ) (1.9)

n =0N -1

式中，I n =I n e jn α，I n 表示单元馈电振幅，α表示相邻单元间的馈电相位差，或

称均匀递变相位。g (z ') 表示振子上电流沿z 轴变化的函数，其近似为

g (z ') =sin k (L -|z '|) , (1.10)

δ(x '-x n ) 为delta 函数。

把式(1.9)代入(1.6)，并利用关系⎰f (x ) δ(x -x n ) dx =f (x n ) ，得

F (θ, ϕ) =k sin θ∑I n e jkx n sin θcos ϕ⎰g (z ') e jkz 'cos θdz '

n =0L N -1

=kf 0(θ) S (θ, ϕ) (1.11)

式中，f 0(θ) 为单元方向图函数，代入式(1.10)得

f 0(θ) =sin θ⎰g (z ') e jkz 'cos θdz '=L 2cos(kL cos θ) -cos(kL ) ⋅ (1.12) k sin θ

阵因子方向图函数为

S (θ, ϕ) =N -1

n =0∑I n e jkx n sin θcos ϕN -1=n =0j (kx n cos θx +n α) (1.13) I e ∑n

式中， c o θs x =s i θn s (1.14) c ϕo

为阵轴与射线之间的夹角，见图1-2。

对于均匀直线阵，单元为等间距d 排列，激励幅度相同I n =I 0，激励相位按

α均匀递变(递增或递减) 。设无论是奇数还是偶数单元的阵列，其坐标原点均设在阵列中点，如图1-4所示。

这两种情况均有如下关系

x n =(n +1-N +1. . -. , (1.15) ) d ， n =0, 1, 2, N 2

N +1) d cos θx N -12e jnu

n =0代入式(1.13)可得均匀直线阵的阵因子为 S (θ, ϕ) =I 0e jk (1-∑ (1.16)

式中， u =k d c o θs x +α (1.16a)

N -1

令 t =

n =0∑e j n u =1+e j u 2+e j u +(-j 1N ) +e u

te ju =e ju +e j 2u +e j 3u ++e jNu

两式相减得： t (1-e j u ) =1-e j N u

1-e j N u j (则得： t ==e ju 1-e N -1) u /s 2i n Nu (/2) (1.17) s i n u (/2)

把式(1.17)代入(1.16)，并取阵因子的模值，得

|S (u ) |=I 0sin(Nu /2) sin[N (kd cos θx +α) /2] (1.18) =I 0sin(u /2) sin[(kd cos θx +α) /2]

对于并排振子均匀直线阵，见图1-2，由式(1.11)可得其 yz 面(ϕ=π/2) 方向图函数为

|F (θ) |=kI 0f 0(θ) sin(N α/2) (1.19) sin(α/2)

式中用了关系cos θx =sin θcos ϕ|ϕ=π/2=0。当α=0时，上式就为E 面方向图。H 面方向图(xy面，θ=π/2) 函数为

|F H (ϕ) |=kI 0f 0(π/2) sin[N (kd cos ϕ+α) /2] (1.20) sin[(kd cos ϕ+α) /2]

1.3.2 共轴振子直线阵

同样设单元数为N ，单元振子长度为2L ，各振子共轴置于z 轴上，振子中心位置分别为z 0, z 1, z 2, , z N -1。共轴振子线阵的电流密度函数为

N -1

n =0J z (x ', z ') =δ(x ') ∑I n g (z '-z n ) (1.21)

此式代入式(1.6)得

F (θ) =k sin θ∑I n ⎰g (z '-z n ) e jkz 'cos θdz ' (1.22)

n =0L N -1

令 z 0=z '-z n ，则z '=z 0+z n ，上式变为

F (θ) =k sin θ⎰g (z 0) e L jkz 0cos θdz 0⋅∑I n e jkz n cos θ

n =0N -1

=kf 0(θ) ⋅S (θ) (1.23)

式中，单元振子的方向图函数为

f 0(θ) =sin θ⎰g (z 0) e jkz 0cos θdz 0 L

与前面式(1.12)表示相同。阵因子为

S (θ) =N -1

n =0∑I n e j kz n cos θN -1=n =0∑I n e j(kz cos θ+n α) n

与式(1.13)表示相同。

由式(1.23)可见，共轴振子线阵的方向图函数与ϕ无关，说明F (θ) 是关于z 轴旋转对称的。

其E 面方向图函数为：F E (θ) =kf 0(θ) ⋅S (θ)

在波束不扫描的情况下(α=0)，H 面(θ=π/2) 方向图函数为：F E (θ) |θ=π/2=常数，为一个圆。

不论是平行振子线阵还是共轴振子线阵，只要是直线阵，它们的阵因子表达式在形式上是相同的，而且不论排列在哪个坐标轴上。

沿x 轴排列的直线阵

S (θx ) =N -1

n =0∑I n e j(kx cos θ+n α) n x , cos θx =sin θcos ϕ (1.24a)

沿y 轴排列的直线阵

S (θy ) =N -1

n =0∑I n e j(ky n cos θy +n α) , cos θy =sin θsin ϕ (1.24b)

沿z 轴排列的直线阵

S (θz ) =N -1

n =0∑I n e j (kz n c θo z +s n α) , c θo z s = s (1.24c) θc o

为了通用性，设阵轴与射线之间的夹角为β，沿阵轴排列的位置分布为ξn ，则直线阵的阵因子通用表示为

N -1

n =0S (β) =∑I n e j(k ξcos β+n α) (1.25) n

1.3.3 直线阵阵因子的简单导出方法

任意形式单元天线构成的直线阵如下图1-6所示。

图1-5 任意形式的单元天线组成的直线阵

阵中第n 个单元的远区辐射场可表示为如下形式

e -jkR n (1.26) E n =A n f 0(θ, ϕ) R n

式中，A n =A n e j αn ，A n 和αn 分别表示单元天线的激励幅度和相位，f 0(θ, ϕ) 为单元天线的方向图函数。则阵列的远区总场为：

N -1e -j kR n e -j kr

E T =∑E n =f 0(θ, ϕ) ∑A n =f 0(θ, ϕ) ∑A n e -j k (R n -r ) (1.27) R n r n n =0n =0N -1

波程差为：R n -r =-ξn cos β，得

e -j kr

E T =f 0(θ, ϕ) ⋅S (β) (1.28) r

式中阵因子为： S (β) =N -1

n =0∑A n e j(k ξcos β+α) (1.29) n n

N Nu (kd cos β+α)]sin() (1.30) S (β) =I 0=I 0sin[(kd cos β+α)]sin() 22sin[

Nu s i ) 或写作 S (u ) =I 0 u sin() 2

式中，u =kd cos β+α。

1.3.4 均匀直线阵分析

均匀直线阵阵因子由式(1.30)给出，由此可对均匀直线阵进行分析。

1、主瓣最大值及最大指向

由式(1.30)可见，u =0时阵因子将出现主瓣最大值S max ，对应的方向为最大指向βm 。

主瓣最大值为： S m a x =l i m S (。 (1.31) u =) I 0N u →0

最大指向为： βm =a r c o s -(α

kd ) (1.32)

Nu ) S (u ) (1.33) =归一化阵因子为：(u ) =S max N sin() 2sin(

2、侧射阵、端射阵与扫描阵

主瓣最大指向由式(1.32)给出，由其可见：

■当α=0时，βm =90o ，即最大指向与阵轴垂直，为侧射阵。

■当α=±kd 时，βm =0,180o ，即最大指向在阵轴方向，称为端射阵。 ■当α为其它可变值时，最大指向由式(1.32)表示，称为扫描阵。

由式(1.32)解出α，α=-kd cos βm ，代入式(1.30)得

Nkd sin[(cosβ-cos βm )]S (β) =I 0 (1.34) sin[(cosβ-cos βm )]2

3、可见区与非可见区

从数学上看，阵因子S (u ) 是在-∞

-kd +α≤u ≤kd +α (1.35)

图1-6 均匀直线阵阵因子归一化函数图

4、栅瓣及其抑制条件

前面介绍了阵因子主瓣最大值出现在u =0处。由于阵因子S (u ) 是周期为2π

的周期函数，则其最大值将呈周期出现，即最大值出现在：

u =2m π，m =0, ±

1, ±2,

■m =0时，u =0，对应为主瓣。

■m 为其它值时为栅瓣(见图1-6) 。

栅瓣的出现是人们不希望的，它不但使辐射能量分散，增益下降，而且会造成对目标定位、测向造成错误判断等，应当给予抑制。

S (u ) 的第二个最大值出现在u =kd (cosβ-cos βm ) =±2π时。

抑制条件是：|u |max

|cos β-cos βm |max

，因β=0~π，

|cos β-cos βm |max =1+|cos βm |，则得

1+|cos βm |

(1.36)

■对波束扫描阵，βm 应为最大扫描角。例如，在正侧向两边±30o 内扫描，取

βm =90o -30o =60o 得抑制栅瓣条件为：d

在均匀直线阵列中一般就分为这三种情况即：(1)均匀侧射阵；(2)均匀端射阵；(3)均匀扫描阵。

■均匀直线阵是指单元排列为等间距，激励幅度相等，激励相位为均匀递变的直线阵。

■均匀直线式侧射阵是指方向图主瓣最大指向与阵轴垂直的均匀直线阵列。此时要求各单元激励相位同相，即α=0，βm =π/2。

■均匀直线式端射阵是指方向图主瓣最大指向在阵轴方向的均匀直线阵列。此时要求各单元激励相位为α=±kd ，βm =0, π。

■均匀直线式扫描阵是指方向图主瓣最大指向随α的变化而变化的均匀直

线阵列。此时βm =arc cos(-) 。

5、均匀侧射阵、扫描阵及端射阵的方向图

如下图1-7(a)(b)(c)给出的是间距为λ/2的4元阵侧射(α=0) 方向图和扫描

(α=π/3，α=π/2) 方向图，图(d)给出的是间距为λ/4的8元阵端射(α=kd =π/2) 方向图。并给出了对应的三维方向图。

当间距d =λ/2，均匀递变相位α>3π/2时将出现栅瓣，要继续增大扫描角，则必须减少单元间距。

图1-7 均匀直线式侧射阵、扫描阵和端射阵的极坐标方向图

6、零点位置

零点是指方向图两个波瓣之间的节点。令归一化方向图函数

S (u ) =sin(Nu /2) /sin(u /2) =0，即可得方向图的零点位置。除u =0外，方向图

零点可由sin(Nu /2) =0确定。有

Nu /2=±n π, n =1,2,... (1.37)

即： N k d (c o βs 0-

c o β) =/±2n π m s

n λ

β0=c o βm s ±得： c o s (1.38)

n λ

■对侧射阵(βm =π/2) ， cos β0n =± (1.39)

图1-8 侧射阵方向图的零点个数

■对端射阵，βm =0，cos β0n =1±

n λ

■对波束扫描阵，零点位置由式(1.38)确定。

7、主瓣零点宽度(BW ) b0

指主瓣两边第一零点之间的夹角，如图1-9所示，(BW ) b 0=2∆β。

图1-9 主瓣零点宽度示意图

图中 ∆β=|β01-βm | 则 sin(∆β) =sin |β01-βm |

■对侧射阵，βm =π/2，sin(∆β) =sin(π-βλ

01) =cos(β01) =

得 (BW ) b 0

=2∆β=2a r c Nd

( ) 当Nd λ时

(BW ) λ

b 0≈2Nd

■对端射阵，βm =0，∆β=β01

由 c o βs

n λ

0n =±1Nd

(1.40) (1.41) (1.42)

n =1时 β01=arc cos(1- 当Nd

) Nd 12λ

λ时，cos β01=1-β01=1-

2Nd

即

β01=

(1.43) 得

(BW ) β01≈b 0=2

8、主瓣宽度(BW ) bh

或在场强方向图中其场强为最大值的=0.707所对应的波瓣角宽度，如图1-10所示。

图1-10 主瓣宽度示意图

由归一化阵因子：(u ) =

sin(Nu /2)

N sin(u /2)

对于主瓣窄的大阵列，上式分母取sin(u /2) ≈u /2，则 (u ) ≈式中，u =kd (cosβ-cos βm ) 查图1-10(b)得 Nu h /2=±1. 3 92即

kd (c o βs h -2

c βo m s =±)

1 . 3 9 2 (1.44)

s i n Nu (/2)

=0.707

Nu /2

■对侧射阵(βm =π/2，上式取正)

βh =1. = c o s

N k d

4 3 ←k =2π/λ N d

由图1-10(a)有 s i n ∆(βh =) s i βn -βm =|πs i n (-βh |h /2= ) βh

=2∆β=2a r c s i n 4 4得 (BW ) 3 ) (1.45) b h h

Nd 当Nd

λ时，sin(∆βh ) ≈∆βh

则得 (BW ) bh

=0. 8λ

Nd rad ( ) =50.77λNd (o ) ≈51λ

(o ) ←L =Nd 为阵列长度侧射阵的主瓣宽度与阵列长度L 成反比。 ■对侧射阵(βm =0，式(1.44)取负)

cos βλ

h =1-0.443

得 (BW ) b h =β2h =2a r c c -o s (1λ

4 43)

当Nd

λ时，β12λ

h 很小，cos βh ≈1-2βh =1-0.443Nd

即

βh ==

得

(B W ) b h =2

βh =

r (a d

) =o ) =o ) 端射阵的主瓣宽度与阵列长度平方根成反比。

■对扫描阵(0

由式(1.44)得

cos βλ

1-cos βm =-0.443L cos β2-cos βm =0.443

主瓣宽度为：

(BW ) h =2βh =β1-β2

=arc cos(cosβm -0.443λ/L ) -arc cos(cosβm +0.443λ/L ) (1.46) (1.47)

(1.48a) (1.48b)

(1.49)

对大阵列，上式可作如下简化。由式(1.48b)－(1.48a)得：

cos β2-cos β1=0.886 (1.50)

当波束很窄，且扫描角不是很宽时

β+β2β-β2

cos β2-cos β1=2sin(1)sin(1) ≈(β1-β2)sin βm =2βh sin βm

(BW ) h =2βh =0.886

L sin βm

=51

L sin βm

(o ) (1.51)

当βm =π/2时，上式与侧射阵的主瓣宽度公式相同。如果在正侧向两边±φm 内扫描，取βm =90o ±φm 得：

(BW ) h =0.886

L cos φm

=51

L cos φm

(o ) (1.52)

由此式可见，与侧射阵相比，波束最大值发生偏移时半功率波瓣宽度将变宽。

9、副瓣位置和副瓣电平

(1) 副瓣位置βsn

指副瓣最大值对应的角度βsn 。它可由

(/=2) N t a n u

t N a n u (

dS (u )

=0解得，即可由下式 du

确定所有副瓣位置。但这种做法较繁。考察归一化阵因子(u ) =

sin(Nu /2)

，当

N sin(u /2)

N 较大时，其分子的变化比分母快得多，因此，副瓣最大值发生在sin(Nu /2) =±1处，即

Nu sn /2=±(2n +1) π/2，n =1,2,…。

u sn =±(2n +1) π/N (1.53)

或

kd (c o βs sn -2

c βo m s =±) n +(2 1)

2n (+2

βs n =c o βs m ±得 c o s

(1.54)

2Nd

由此可确定侧射阵(βm =π/2) 和端射阵(βm =0) 的副瓣位置。

(2) 副瓣电平SLL

副瓣电平也是天线的重要技术指标之一。其定义为

SLL =20lg

|E sm ||S (u s 1) |

(1.55) =20lg

|E m ||S max |

式中，E sm =C ⋅S (u s 1) 为副瓣场强最大值；E m =C ⋅S max 为主瓣场强最大值。C 为常数；S (u ) 为阵因子函数；S max 为阵因子最大值。

对于均匀直线阵，紧靠主瓣的第一副瓣最大值比其它远旁瓣的幅度都大，因此，阵列的副瓣电平以其第一副瓣电平为准。

由式(1.53)得第一副瓣位置对应的u 值为：u s 1=±3π/N

N 3πsin(⋅)

|S (u s 1) |sin(Nu s 1/2) 12===≈=0.212

|S max |N sin(u s 1/2) 3πN sin() N sin() 2N 2N 得 SLL =20lg

|E sm |

＝－13.5 (dB) (1.56) |E m |

10、方向性系数D

D =

4π|F max |2

⎰

2π

d ϕ⎰d θ|F (θ, ϕ) |sin θ

(1.57)

式中，F (θ, ϕ) =kf 0(θ, ϕ) S (θ, ϕ) ，F max 是其最大值。若单元天线为无方向性的理想点源，f 0(θ, ϕ) =1，则对于阵轴为z 轴的阵列

N -1n =0

F (θ, ϕ) =k ⋅S (θ) =k ∑I n e jn (kd cos θ+α)

=k ∑I n e jnu ←u =kd cos θ+α (1.58)

n =0N -1

其最大值出现在u =0处， F max =kS max =k ∑I n (1.59)

n =0

N -1

得 D =

4π|S max |2

2π⎰|S (θ) |sin θd θ

(1.60)

⎡N -1jnu ⎤⎡N -1-jmu ⎤式中， |S (θ) |=S (u ) ⋅S (u ) =k ⎢∑I n e ⎥⎢∑I m e ⎥

⎣n =0⎦⎣m =0⎦

∑∑I I

n =0m =0

N -1N -1

n m

e j (n -m ) u (1.61)

因u =kd cos θ+α，du =-kd sin θd θ，且积分上下限变为

⎧θ1=0, u 1=kd +α

⎨

θ=π, u =-kd +α⎩22

由式(1.60)得

2kd |∑I n |

n =0N -1

D =

∑∑I I ⎰

n m

n =0m =0

N -1N -1

kd +α

|∑I n |2

n =0

N -1

-kd +α

e j (n -m ) u du

∑∑I I

n =0m =0

N -1N -1

n m

e j (n -m ) α

sin[(n -m ) kd ]

(n -m ) kd

(1.62)

这是不等幅激励直线阵方向性系数的一般计算公式。当单元间距d =λ/2时，kd =π，有

sin[(n -m ) π]⎧0,

=⎨

(n -m ) π⎩1,

此时式(1.62)为如下简单形式

|∑I n |2

n =0N -1n =0N -1

n ≠m n =m

D = (1.63)

∑I

若为等幅激励I n =I m =I 0，引入新的序号l =n -m >0，则上式可简化为

D =

Nkd

(1.64) N -1

N -l

kd +2∑cos(l α)sin(kld )

Nl l =1

■当d =λ/2，kd =π，sin(lkd ) =0，则 D =N ■当α=0时，得侧射阵的方向性系数公式

D =

Nkd

(1.65) N -1

N -l

kd +2∑sin(kld )

Nl l =1

■当α=-kd 时，得端射阵的方向性系数公式

D =

Nkd

(1.66) N -l

kd +∑sin(2kld )

Nl l =1

★均匀直线阵方向性系数的另一种计算方法

由 D =

4π

⎰

2π

d ϕ⎰(θ)sin θd θ

⎰

2(θ)sin θd θ

(1.67) W

式中， W =⎰2(θ) s i θ (1.68) n d θ

■对侧射阵：

(θ) =

sin(Nkd cos θ/2) sin(Nkd cos θ/2)

|N >>1≈

N sin(kd cos θ/2) Nkd cos θ/2

当N =10，d =λ/2时，绘出了归一化方向图函数和近似归一化方向图函数的图形，见下图1-11。可以看出，当N 较大时，两者只在远副瓣略有差异。

图1-11 归一化阵因子与其近似表示的比较

N N

kd cos θ， dZ =-kd sin θd θ 22

N N

积分限 θ=0~π，变成 Z =kd ~-kd

由式(1.68)得

πs i n N (k d c θo s 2/2) 2Nkd /2sin(Z ) 2

]s i θn d θ=[]dZ W =⎰[⎰0-Nkd /2Nkd c o θs /2Nkd Z

2∞sin(Z ) 22λ≈[]dZ =⋅π= (1.69) ⎰-∞Nkd Z Nkd Nd

令 Z =

式中用了条件：Nkd /2→∞，即πNd >>λ。把上式代入式(1.67)得侧射阵方向性系数

D =2

， L =Nd (1.70)

例：有一个单元数为N =10，间距为d =λ/2的侧射阵，求D 。解：L =Nd =N λ/2，由式(1.70)，D =N =10，或D =10lg D =10(dB )

■对端射阵

(θ) =

sin[Nkd (1-cos θ) /2]sin[Nkd (1-cos θ) /2]sin(Z )

|N >>1≈=

N sin[kd (1-cos θ) /2]Nkd (1-cos θ) /2Z

kd (1-cos θ) 2

2Nkd /2sin(Z ) 2

[]dZ 由式(1.68)得： W =⎰0Nkd Z 2∞sin(Z ) 22πλ≈[]dZ =⋅= (1.71) Nkd ⎰0Z Nkd 22Nd

上式代入式(1.67)得端射阵方向性系数

Nd L D =4=4， L =Nd (1.72)

式中，Z =

λλ

比较式(1.70)和(1.72)，在阵长L 相同的情况下，端射阵的方向性系数是侧射阵的两倍。

■侧射阵：这种形式容易实现，工程上多采用这种形式的阵列。

■端射阵：采用各单元分别馈电以进行相位控制来实现端射阵，在工程上是很

难实现的。典型的端射阵有八木天线、对数周期振子天线等。

■扫描直线阵：要求天线辐射波束能在空间有规律地移动，这种波束的移动

称为波束扫描。波束扫描有机械扫描和电控扫描两种方式。

§1.4 强方向性端射阵

均匀直线阵的阵因子为

Nkd s i (c θo -s θm c o s

S (θ) =I 0 sin[(cosθ-cos θm )]

) ]

式中，cos θm =-

。 kd

对于普通端射阵，其相邻单元之间的相位差为α=±kd 。 α=-kd 时，最大指向为 θm =0

α=kd 时，最大指向为 θm =π

Nd L

=4， L =Nd

端射阵的方向性系数为：D =4λλ端射阵的主瓣宽度为：(BW ) h =(o )

[kd (cosθ-1) -δ]}sin(Nu /2) (θ) == (1.73)

N sin(u /2) N sin{[kd (cosθ-1) -δ]}2

(c o θs -式中， u =k d

-1δ) (1.74)

在如图1-12中给出了10元阵列不同附加相位δ的端射阵方向图。

图1-12 10元端射阵不同附加相位δ的方向图(N =10，d =λ/4)

1.4.1 汉森—伍德亚德条件

是使端射阵方向性系数最大的条件。为了讨论的方便，我们把式(1.73)改写作如下形式

(θ) =

sin(Nu /2) sin(Nu /2) sin(Z )

(1.75) ≈=

N sin(u /2) Nu /2Z

式中， Z =

Nu Nd δ=(k cos θ-k -) =q (k cos θ-p ) (1.76a) 22d

q =Nd /2， p =k +δ/d (1.76b)

由前面图1-12可见端射阵方向图最大值出现在θ=0处，因此令

Z 0=Z |θ=0=q (k -p ) (1.77)

max =

sin(Z 0)

Z 0

由方向性系数公式

D =

4π|max |2

⎰

2π

d ϕ⎰2(θ)sin θd θ

4π

(1.78) ΩA

2π

式中，ΩA =⎰d ϕ⎰

2ππ

(θ)

sin θd θ=⎰d ϕ⎰200max

⎛Z 0sin Z ⎫

⋅ ⎪sin θd θ

⎝sin Z 0Z ⎭

2π2πZ 02-q (k +p ) sin Z 2

g (Z 0) (1.79) () ⎰() dZ =

q (k -p ) qk qk sin Z 0Z

式中， g (Z 0) =(

S i (x ) =⎰

⎤Z 02⎡πcos(2Z 0) -1) ⎢++S i (2Z 0) ⎥ (1.80) sin Z 0⎣22Z 0⎦

sin(t )

dt (1.81) t

把式(1.79)代入(1.78)得： D =

2qk

(1.82) g (Z 0)

只要求得适当的Z 0使g (Z 0) 最小，则D 就最大。由式(1.80)可绘出g (Z 0) ～Z 0

的曲线如图1-13所示。

图1-13 g(z0) 随z 0的变化曲线

由图可见，当Z 0=-1.47时出现最小值g min =0.871。由式(1.77)可得

Z 0=q (k -p ) =-1.47 (1.83)

把式(1.76b)表示的q =Nd /2代入上式，于是得汉森—伍德亚德条件

2.94π

pd =kd +≈kd + (1.84)

N N 上式可写作：pNd =kNd +π，或

(1.84)

此式表明，当电磁波从阵列的始端传播到末端时，以行波相速传播的相位pL ，减去以光速传播时的相位kL 等于π时，阵列的方向性系数最大。

由式(1.76b)和(1.83)解得：

δ=π/N

当N=10时，正是图1-12中红线所示的端射阵方向图，这个方向图就是10单元强方向性端射阵的方向图。

1.4.2 强方向性端射阵的方向性系数

由式(1.76b) 得到的q =Nd /2，和式(1.82)

D =

2qk

，取

g (Z 0)

g (Z =0)

D e =

m i n

g = 0. ，可得强方向性端射阵的方向性系数为871

2qk 2Nd 2πNd L

=⋅⋅=7.213=1.8⨯(4) =1.8D (1.86) g (Z 0) 0.8712λλλL

式中，D =4

为普通端射阵的方向性系数。

1.4.3 强方向性端射阵的其它参数

强方向性端射阵的阵因子为

sin{[kd (1-cos θ) +δ]}sin(Nu /2) = (θ) =

N sin(u /2) N [kd (1-cos θ) +δ]}2

式中，u =kd (1-cos θ) +δ，且 δ=。

1. 主瓣零点宽度

令sin(Nu /2) =0，可得 Nu /2=i π, 端射阵的零点位置为

2Nd

取i =1，可得第一零点位置和主瓣的零点波瓣宽度

(BW ) e 0=2θ1=2arccos(1-

i =1,2, ; i ≠N ,2N , 。得强方向性

θi =arccos[1+(1-2i )

] (1.87)

2Nd

) (1.88)

2. 副瓣位置

令sin(Nu /2) =1，即 Nu s /2=(2+1) 在

, =1, 2, 。得各副瓣最大值发生

λ- θ=a r c c o s Nd 第一副瓣位置(

=1) u s1=3π/N

=) , 1 , 2 , (1.89)

3. 主瓣最大值

强方向性端射阵的最大值为

[kd (1-cos θ) +δ]}

1==

1N sin{[kd (1-cos θ) +δ]}N sin()

θ=022N δ=π/N

max

N >>1

4. 副瓣电平

由副瓣电平公式：SLL =20lg 式中，|(u s 1) |=|

|(u s 1) ||副瓣最大值|

=20lg

|主瓣最大值||max |

sin(Nu /2) 12

|u =3π/N =|N >>1=

3N sin(u /2) 3πN sin() 2N

则

|(u s 1) |1

=-9. 54d B =，得 S L L

|max |3

5. 主瓣宽度

令

(θ) s i n N (u /π2)

==0. 70 7m a x N s i n (u /2) 2

s i n Nu (/2) 2

=0. 7=0 . 45

Nu /2π

上式可近似为

查前面图1-10(b)可得 Nu h /2=±2. 0 1

π4. 02

θh s +=上式取正得 u h =kd (1-c o

N N

-(109解出半功率点位置 θh =a r c c o s 8 ) (1.90)

则强方向性端射阵的半功率波束宽度为

(BW ) eh =2θh =2arccos(1-0.1398) (1.91a)

Nd 当Nd >>λ时，cos θh =1-

θ2

=1-0.1398

，θh 2=0.2796

，则

(BW ) eh =2θh =(rad ) =(o ) (1.91b)

应当指出，汉森—伍德亚德条件是在阵列很大N >>1、单元间距较小d

§1.5 用Z 变换法分析阵列特性

前面我们主要分析了等幅激励的均匀直线阵，得到了简单的阵因子表示

S (θ) =I 0

sin(Nu /2)

， u =kd cos θ+α (1.92)

sin(u /2)

N -1

S (u ) =

n =0

∑I n e jnu ， u =kd cos θ+α (1.93)

我们能否把不等幅激励的非均匀分布的阵列多项式化为一个简单的分式表达式呢？

用Z 变换理论分析阵因子函数，要求辐射单元为等间距直线排列，相位为均匀递变规律变化，激励幅度的包络函数存在Z 变换。

1.6.1 Z 变换与阵因子函数

Z 变换也是信号与系统分析中处理离散时间信号的一种方法。设有一个分布序列f (n ) ，其Z 变换定义为

F (z )

n =-∞

∑

∞

f (n ) z -n 记作⇒Z [f (ζ)] (1.94)

式中，z 是一个复变量，此式为双边Z 变换。

还有一种单边Z 变换，其定义为

F (z )

∑f (n ) z

n =0

∞

-n

(1.95)

显然，若n

设有一个N 单元等间距排列的直线阵，其中第n 个单元的激励幅度和相位为I n e jn α，则阵因子为

N -1

S =

n =0

N -1n =0

∑I n e jnu ,

u =kd cos θ+α

=∑I n z -n (1.96)

式中，z =e -ju 。设激励幅度I n =f (nd ) ，f (ζ) 为激励幅度的包络函数，

0≤ζ≤(N -1) d 。则式(1.96)可以写成Z 变换形式

S (z ) =∑f (nd ) z

n =0

N -1

-n

=∑f (nd ) z

n =0

∞

-n

-∑f (nd ) z -z

∞

=F (z ) -G (z ) (1.97)

-n

式中， F (z ) =∑f (n d ) z =

n =0∞

Z [ζf ( ) ] (1.98)

为单边Z 变换；

G (z ) =∑f (nd ) z -n =Z [f (ζ) U (ζ-Nd )] (1.99)

n =N ∞

⎧1, ζ≥Nd

(1.100) U (ζ-Nd ) =⎨

0, ζ

为位移的单位阶跃函数。若引入单位闸门函数

γn (ζ) =U (ζ) -U (ζ-Nd ) =⎨

则阵因子可写成Z 变换的简洁形式

S (z ) =Z [f (ζ) γn (ζ)]=

⎧1, 0≤ζ

(1.101)

⎩0, ζ≥Nd

Q 1(z )

(1.102) Q 2(z )

引入闸门函数后，限制了求和上限，因此，上式称为f (ζ) 的有限Z 变换。

在式(1.97)中，如果把G (z ) 也写成单边Z 变换形式，有限Z 变换S (z ) 就容易求得。把G (z ) 改写为

G (z ) =Z [f (ζ) U (ζ-Nd )]=∑f (nd ) U (nd -Nd ) z -n (1.103)

n =N ∞

令k =n -N ，

则 G (z ) =∑f (kd +Nd ) U (kd ) z -(k +N ) ←U (kd ) =1

k =0∞

=z -N Z [f (ζ+Nd )] (1.104)

于是， S (z ) =F (z ) -G (z ) =Z [f (ζ)]-z -N Z [f (ζ+Nd )]=

Q 1(z )

(1.105) Q 2(z )

求阵列幅度分布的有限Z 变换(阵因子) 时将用到如下两个定理。

(1) 线性变换定理

若Z [f 1(ζ)]=F 1(z ) ，Z [f 2(ζ

)]=F 2(z ) ,

则 Z [c 1f 1(ζ) +c 2f 2(ζ) +]=c 1F 1(z ) +c 2F 2(z ) +

式中，c 1, c 2,

，为常数。

(2) 位移定理

右位移时：Z [f (ζ-md )]=z -m Z [f (ζ)]=z -m F (z ) 1

左位移时：Z [f (ζ+md )]=z m

m -[F (z ) -∑f (id ) z -i ]

i =0例1. 求Z [U (ζ)]=?

解：U (ζ) =⎧⎨1, ζ≥0

⎩0, ζ

为单位阶跃函数。

∞

Z [U (ζ)]=∑z -n =1+z -1+z -2+

z -1

n =0例2. 求Z [ζ]=?

解：ζ=nd

Z [ζ]=∑∞

(nd ) z

-n

∞

=zd n =0

∑nz -(n +1) =d (0+z -1+2z -2+3z -3+

)

n =0

∞∞

=(z d ) ∑d z n -x (n +1)

d =x z -n

∞

z -(

d d -n

n =0d z

⎰∞

() d n =0d z

=d z ∑( z )

n =0

=-(zd )

d dz (z z -1) =zd

(z -1) 2

例3. 求Z [e ±a ζ]=?

解：ζ=nd

±a ζ

∞

Z []=∑e

±and z

-n

=n =0

∑(e

z )

-n

=ze ad 1

ze ad -1=1-e ±ad z

-1

n =0

同理可导出其它几个函数的Z 变换。

Z [ζ2

d 2z (z +1)

(z -1) Z [sin(a ζ)]=

z sin(ad )

z 2-2z cos(ad ) +1

Z [cos(a ζ)]=

z [z -cos(ad )]

z 2

-2z cos(ad ) +1

(1.106) (1.107) (1.108) (1.109) (1.110)

(1.111)

以上式(1.106)~(1.111)是单边Z 变换(0≤ ζ ≤∞)结果。而常用的阵列激励幅度分布ζ是有限的，应该采用式(1.105)来确定阵列函数。

N -1⎧

ζ, 0≤ζ≤d ⎪⎪2

f 1(ζ) =⎨ (1.112)

⎪-ζ+(N -1) d , N -1d ≤ζ≤(N -1) d ⎪⎩2N ⎧ζ, 0≤ζ≤(-1) d ⎪⎪2

f 2(ζ) =⎨ (1.113)

N ⎪-ζ+(N -1) d , d ≤ζ≤(N -1) d

⎪⎩2N ⎧ζ, 0≤ζ≤(-1) d ⎪⎪2

f 3(ζ) =⎨ (1.114)

N ⎪ζ-(N -1) d , d ≤ζ≤(N -1) d

⎪⎩2

由式(1.105)不难求出对应的Z 变换阵列函数分别为

Z [f 1(ζ)]=

zd [1-z ]

(1.115)

(z -1) 2

N -122

zd [1-z -N /2][1-z -(N -2) /2]

(1.116) Z [f 2(ζ)]=2

(z -1) z [1+(N -1)(1-z ) z -N /2-z -(N -1) ]

(1.117) Z [f 3(ζ)]=d

(z -1) 2

表1-1 典型阵列分布对应的阵列函数

1.6.2 Z 变换法分析阵列

一、N 为奇数的三角形幅度分布

如图1-14所示。

图1-14 N 为奇数的三角形幅度分布

1. 直接相加法

采用直接相加法是为了与Z 变换法所得结果进行比较。上图中ζ=nd 。

N -1

-12n =0

N -1

N -1j N 2-1u +de +∑[-nd +(N -1) d ]e jnu ←m =N -n -1

2N -1

n =+1

S =

∑(nd ) e

jnu

N -1

de 2

N -1j u 2

N -1

-12n =0

∑(nd ) e

N -1

-12n =0

jnu

N -1

-12m =0

∑(md ) e

N -1

-12m =0

j (N -m -1) u

N -1

) u 2

N -1{d +2N -1

+2∑(nd ) e

N -1j (n -) u

∑(md ) e

-j (m -

}

=de

N -1j u 2

N -1

-12

∑

n cos[(n -

N -1

) u ]} (1.118a) 2

n =0

式中，u =kd cos θ+α

对上式取绝对值得

N -1

-1|S (u ) |=d |

N -1

+2∑

n cos[(n -

N -1

) u ]| n =0

2. Z 变换法

由式(1.115)可得三角形分布的阵列函数为

N -1S =

zd [1-z -

2]2

(z -1) 2

←z =e -ju

-1N -1N -1

N - =d

z ⋅z

-N 2

-z

N -14]

-j N -14u 2

-j

-e

j 4

u 1

]

2z (z

1/2

-z

-1/2)

=de

-j u u

(e 2

-e j

N -1

=de -j N -1sin 2(

u ) sin 2( 2

)

s i 2n N -1u 取其绝对值 |S (u ) =|d )

| s i 2n 2

) ■主瓣最大值

出现在u =0处，由式(1.118b)和式(1.119b)均可得到

|S u →0S (u ) =(N -12

) 2

max |=lim d ■零点位置

令sin(N -14u ) =0 ⇒N -1

u 0i =i π, i =±

1, ±2,

即 kd cos θ+α=i 4π

0i N -1

θλ0i =arccos[i

2(N -1) d -α

i =±1, ±

(1.118b) (1.119a) (1.119b) (1.120)

(1.121)

由第一零点位置i =1时的θ01可确定主瓣零点宽度。

对单元数为N =11、间距为d =λ/2的三角形分布的侧射直线阵(α=0) ，可见区内的零点有四个。列出如下

■方向图

归一化阵因子函数为：

F (θ) =|

S (θ)

| S m a x

分贝表示为 F (θ) =20lg |

S (θ)

| (1.122) S m a x

其阵轴所在平面内的方向图如图1-15所示。

阵因子的级数表示和Z 变换的简单阵列函数表示得到的结果完全相同。

垂直于阵轴的平面内(θ=π/2) 的方向图为一个圆。

(a) 直角坐标方向图 (b) 极坐标方向图

图1-15 N ＝11，d=λ/2，α=0时的三角形幅度分布阵列方向图

■副瓣电平

由上图可得副瓣电平为：SLL =-24.1 (dB)

=-13.5 (dB) 而均匀直线阵 S L L

■主瓣宽度

上图中-3dB 对应的主瓣宽度为：(BW ) h =15o 均匀直线阵 (BW ) h =51o

|N =9=11.3o

d =λ/2

■方向性系数

由前面式(1.64)：

N -1

D =

∑n =0N -1。

n ∑I

式中，I =⎧⎨nd ,

n ≤(N -1) /2n ⎩

(N -1-n ) d , (N -1) /2

可计算得方向性系数为 D |N =11=7.353 或 D =8.665(dB)

均匀直线阵 D =2

|N =9=9 或 D =9.542(dB)

d =λ/2

二、N 为偶数的三角形幅度分布

如图1-16所示。

图1-16 N 为偶数的三角形幅度分布

1. 直接相加法

N /2-1

S =

∑(nd ) e

jnu

n =0

n =∑N -1

[-nd +(N -1) d ]e jnu

N /2N /2-1

∑(nd ) e

jnu

+∑-/21

(md ) e

j (N -m -1u )

←m =N -n -1

n =0

m =0

N ∑/2-1

j (n -

N -1

N /2-1

N -2

u ⋅[

(nd ) e

2) u +

(md ) e

-j (m -

N -1

) u ]

n =0m ∑=0

N -1

N /2-1

=de

u ⋅2

∑

n cos[(n -

N -1

n =0

) u ] 式中，u =kd cos θ+α。对上式取绝对值得

N ∑

/2-1

|S |=2d |

n cos[(n -

N -1

) u ]| n =0

2. Z 变换法

由式(1.116)可得偶数单元的三角形分布阵列函数为

(1.123) (1.124)

zd [1-z -N /2][1-z -(N -2) /2]

S =

(z -1) 2

4-N /4-N -(2N ) -/4(-2N

z ⋅z -N /4[z N /-z ]⋅z z [-z ) -/

z (z 1/2-z -1) /22

](2) /4-ju

←z =e

=de j (N /2-1) u

sin(Nu /4)sin[(N -2) u /4]

(1.125a) 2

取其绝对值

sin (u /2)

|S |=d |

sin(Nu /4)sin[(N -2) u /4]

sin 2

(u /2)

| 34

(1.125b)

阵列天线分析与综合_1

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