ω2n
22
s +2ξωs +ωn n 三、设系统的闭环传递函数为Gc(s)=
，试求最
大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。
-ξπ解：∵∵t p =
六、某系统如下图所示，试求其无阻尼自然频率ωn，阻尼比ζ，超调量σ％，峰值时间，调整时间s (△=0.02)。
解： 对于上图所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。
t p t
σ%=e
π
2
-ξ2
⨯100%=9.6% ∴ξ=0.6
＝0.2
ωn -ξ
∴ωn =
πt p -ξ
2
=
314. 0. 2-0. 6
2
=19.6rad/s
四、设一系统的闭环传递函数为G c (s)=
ω2n
22100
X o (s )1002s 50s +4
===2
X i s 1+⋅0. 02s 50s +4+2s +0. 08s +0. 04
s 50s +4，试求最大
与标准形式对比，可知
2ξw n =0. 08 ，
s +2ξωn s +ωn
超调量σ％=5%、调整时间t s =2秒(△=0.05)时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。
-ξπ解：∵
σ%=e
-ξ2
⨯100%=5% ∴ξ
=0.69 ∵t 3
s =
ωn ξ
＝2 ∴ωn =2.17 rad/s
五、设单位负反馈系统的开环传递函数为 G =25
k (s ) s (s +6)
求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn ；
（2）系统的峰值时间t p 、超调量σ％、 调整时间t S (△=0.02)； 解：系统闭环传递函数
25
G s (s +6) 2525B (s ) =1+
=
s (s +6) +25=s 2
+6s +25s (s +6)
与标准形式对比，可知 2ξw 6 ，w 2
n =n =25 故 w n =5 ， ξ=0. 6 又 w =w ξ2
=5⨯-0. 62
d n -=
4
t π
π
p =
w =
d
4
=0. 785 -ξπ-0. 6π
σ%=e
1-ξ
2
⨯100%=e
1-0. 62
⨯100%=9. 5%
t 4s =ξw =1. 33
n
七、已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
G (s ) =
100
K s (s +2)
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ； （2）试求输入为r (t ) =1+3t 时，系统的稳态误差。
解：（1）将传递函数化成标准形式
G K (s ) =
100s (s +2) =50
s (0. 5s +1)
可见，v ＝1，这是一个I 型系统 开环增益K ＝50； （2）讨论输入信号，r (t ) =1+3t ，即A ＝1，B ＝3
根据表3—4，误差
e ss =
A 1+K +B =1+3
=0+0. 06=0. 06
p K V 1+∞50
1
w 2n =0. 04
ωn =0. 2(rad /s )ς=0. 2
-
πςσ-
π⨯0. 2%=e
-ς
2
=e
-0. 2≈52. 7%
t ππ
p =ω-ς
2
=
n 0. 2-0. 2
2
≈16. 03(s )
t 4
4
s ≈
ςω=
n
0. 2⨯0. 2
=100(s )
八、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
G K (s ) =
2
s 2
(s +0. 1)(s +0. 2)
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；
（ 2 ）试求输入为 r (t ) =5+2t +4t 2
时，系统的稳态误差。
解：（1）将传递函数化成标准形式
G ( s ) =
2
K 2
=
100
s (s +0. 1)(s +0. 2)
s 2(10s +1)(5s +1)
可见，v ＝2，这是一个II 型系统 开环增益K ＝100； （2）讨论输入信号，
r (t ) =5+2t +4t 2，即A ＝5，B ＝2, C=4
根据表3—4，误差
e A 1+K +B +C =51+∞+2∞+4
ss =
100
=0+0+0. 04=0. 04p K V K a
九、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
G K (s ) =
20
(0. 2s +1)(0. 1s +1)
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ； （2）试求输入为
r (t ) =2+5t +2t 2时，系统的稳态误差。 解：（1）该传递函数已经为标准形式
可见，v ＝0，这是一个0型系统 开环增益K ＝20； （2）讨论输入信号，r (t ) =2+5t +2t 2，即A ＝2，B ＝5，C=2
根据表3—4，误差
e A ss =
1+K +B K +C =2+5+2=2
+∞+∞=∞
p V Ka 1+200021
十、设系统特征方程为 s 4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=2，a 2=3，a 1=4，a 0=5均大于零，且有
2400
∆=2>0 ∆=2⨯3-1⨯4=2>0
1
2
十四、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。
G (s ) =
30
s (0. 02s +1)
350∆4=
02400135
解：该系统开环增益K ＝30；
有一个积分环节，即v ＝1；低频渐近线通过（1，20lg30）这点，斜率为－20dB/dec；
有一个惯性环节，对应转折频率为w 1
=
1
=50，斜率增加－
0. 02
∆3=2⨯3⨯4-2⨯2⨯5-4⨯1⨯4=-12
∆4=5∆3=5⨯(-12) =-60
432
十一、设系统特征方程为，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有
20dB/dec。
系统对数幅频特性曲线如下所示。
十五、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。
s +6s +12s +10s +3=0
G (s ) =
100
s (0. 1s +1)(0. 01s +1)
6100123∆4=
00
00
解：该系统开环增益K ＝100；
有一个积分环节，即v ＝1；低频渐近线通过（1，20lg100）这点，即通过（1，40）这点斜率为－20dB/dec； 有两个惯性环节，对应转折频率为w 1
∆1=6>0
=
1
=10，0. 1
61001123
w 2=
∆2=6⨯12-1⨯10=62>0
∆3=6⨯12⨯10-6⨯6⨯3-10⨯1⨯10=512>0 ∆4=3∆3=3⨯512=1536>0
所以，此系统是稳定的。
十二、设系统特征方程为，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=5，a 2=2，a 1=4，a 0=3均大于零，
s 4+5s 3+2s 2+4s +3=0
率分别增加－20dB/dec
系统对数幅频特性曲线如下所
示。
/
十六、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性稳态误差不变，响应速度降低曲线。
1
=100，斜
0. 01
G (s ) =0. 1s +1
解：该系统开环增益K ＝1；
无积分、微分环节，即v ＝0，低频渐近线通过（1，20lg1
）这点，即通过
（1，0）这点斜率为0dB/dec； 有一个一阶微分环节，对应转折频
/
400
且有
1
=10，斜率增率为w 1=0. 1
230 ∆4=
540123
∆1=5>0
∆2=5⨯2-1⨯4=6>0
∆3=5⨯2⨯4-5⨯5⨯3-4⨯1⨯4=-51
所以，此系统是不稳定的。
十三、设系统特征方程为 ，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。 解：（1）用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 3=2,a2=4,a1=6,a0=1均大于零，且有
加20dB/dec。
系统对数幅频特性曲线如下所示。
二． 图1为利用加热器控制炉温的反馈系统（10分）
试求系统的输出量、输入量、被控对象和系统各部分的组成，且画出原理方框图，说明其工作原理。
解答：输出量：炉温。输入量：给定电压信号。被控对象：电炉。
系统包括：电位器、放大器、电机、减速器以及自藕调压器、热电偶。
原理方框图：
2s 3+4s 2+6s +1=0
410∆3=260
041
∆1=4>0
∆2=4⨯6-2⨯1=22>0
∆3=4⨯6⨯1-4⨯4⨯0-1⨯2⨯1=6>0
所以，此系统是稳定的。
2
三．如图2为电路。求输入电压
u i 与输出电压u 0之间的微分方程，并
求出该电路的传递函数。（10分）
u i R u 0
解答：跟据电压定律得 (b)(a)1 u 0dt +u 0=u i RC 2
d 2u i 1du 00 u i L C d u +=
dt 20RC dt dt 2
RCs
(c)G (s ) =
RCs +1
四、求拉氏变换与反变换
⎰
七、图示机械系统由质量m 、阻尼系数C 、弹簧刚度K 和外力f (t ) 组成的机械动力系统。图(a)中o 是输出位移。当外力f (t ) 施加3牛顿阶跃力后，记录仪上记录质量m 物体的时间响应曲线如（b ）图所示。试求：
1）该系统的微分方程数学模型和传递函数；(4分)
2）该系统的弹簧刚度质量m 、阻尼系数C 、弹簧刚度k ；（3分）
3）时间响应性能指标：上升时间s 、调整时间r 、振荡频数N 、稳态误差ss （5分）。
x (t )
e
t t
x 0
1.0
1． 求
[0.5-te t ] 解答：
11
-2
2s (s -1)
图(a) 机械系统
图（b ）响应曲线 解答：解：1）对于该系统有：
0(t )+c x 0(t )+kx 0(t )=f (t ) m x
2． 求
t 3s -1
[] 解答：=-3e -t +6te -2(s +1)(s +2)
1
故 G (s )=
ms 2+cs +k
2）求k 由Laplace 变换的终值定理可知：
t →∞
s →0
八、已知某系统是单位负反馈系统，其开环传递函数G k
=
10
，
5s +1
x 0(∞)=lim x 0(t )=lim s ⋅X 0(s )
s →0
则该系统在单位脉冲、单位阶跃和单位恒速信号作用下的ss 分别是多少？（8分）
解答：该系统为单位负反馈且为0型系统，k=11, 所以该系统在单位阶跃
e
=lim s
而0得：
1
和单位恒速信号作用下的e ss 分别是、∞。
11
在单位脉冲信号作用下的稳态误差为
x (t )-x 0(∞)因此k=3.求m ， 由M =0p x (∞)=1.0，⨯100%p
x 0∞M p =
0. 095
⨯100%=9. 5% 1. 0
133
=⋅
ms 2+cs +k s k
e ss =lim s ⋅
s →0
1
⋅X i (s ) =lim s ⋅
s →0H (s )[1+G (s ) H (s )]
1
⋅1=0101+
5s +1
-ξπ
又由式M p 将p
=e
1-ξ2
⨯100%求得ξ
p
=0.6
中，得
九、设有如图所示的反馈控制系统，试求根据劳斯判据确定传递函数k 值的取值范围
t =2, ξ=0.6代入t
=
ππ=
ωd ωn -ξ2
)
ωn =1.96。
再由X =) ωn 2求得m=0.78。求c 由2ξωn
s t s
=，求得c=1.83.
Ts +13）求t
=
3
k 解答：G (s ) =
s (s+1)(s+5) +k
系统的特征方程：
3
ξωn
=2.55 (取∆=0.05时) t s =
4
ξωn
=3.40
(取∆=0.02时) 求r
s (s+1)(s+5) +k =0
2
可展开为：s +s 列出劳斯数列：
+5s +k =0
t
-ξ2
β=a r c t =0.91
ξ
s
3
16
30-k 6k
5k
t r =
s 2s
1
π-β
=2.323
ωd
N =
1. 5-ξ2
求N 取∆=0.05时，
πξ
=0.64 取∆=0.02时，
s 0
k>0,30-k>0
N =
2-ξ2
πξ
e
=0.85
求ss 当输入为阶跃信号时，系统的稳态误差为：
e ss =
11+K p
对于0型系统
K p =K =1，代入式中求得： e ss =0.5
3
二．设有一个系统如图1所示，k 1=1000N/m, k 2=2000N/m, D=10N/(m/s)，当系统受到输入信号出
x i (t ) =5sin t 的作用时，试求系统的稳态输
五．已知系统结构如图4所示, 试求：(15分) 1. 绘制系统的信号流图。(5分) 2. 求传递函数
x o (t ) 。(15分)
x i X o (s ) X o (s )
及。(10分)
X i (s ) N (s )
K D
x o
K 解：
X o s k 1Ds 0. 01s
==
X i s k 1+k 2Ds +k 1k 20. 015s +1
L 1=-G 2H 1, L 2=-G 1G 2H 2 P 1=G 1G 2∆1=1
然后通过频率特性求出
x o (t )=0. 025sin t +89. 14
()
三．一个未知传递函数的被控系统，构成单位反馈闭环。经过测试，得知
闭环系统的单位阶跃响应如图2所示。(10分) 问：(1) 系统的开环低频增益K 是多少？(5分)
(2) 如果用主导极点的概念用低阶系统近似该系统，试写出其近似闭环传递函数；(5分)
1
X o (s ) G 1G 2
=
X i (s ) 1+G 2H 1+G 1G 2H 2
P 1=1
∆1=1+G 2H 1
X o (s ) 1+G 2H 1
=
N (s ) 1+G 2H 1+G 1G 2H 2
六．系统如图5所示，r (t ) =1(t ) 为单位阶跃函数，试求：(10分) 1. 系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率ωn 。(5分)
解：（1）
(2)
X o (s )7 =
X i s 0. 025s +8
2. 动态性能指标：超调量M p 和调节时间s
K 07
=1+K 08
，
K 0=7
四．已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图3所示。(10分) 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式；(5分) 2. 概略绘制系统的Nyquist 图。(5分) 1．G (s ) =
t (∆=5%)。(5分)
K
s (
+1)(+1) 0. 01100
=
100
s (s +0. 01)(s +100)
4ω2n
=1．
S (S +2) s (s +2ξωn )
K ⎧
⎪20lg =80dB ⎨ω⎪∴K =100⎩
2．
七．如图6所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下
⎧ωn =2⎪∴⎨→ξ=0. 5
⎪⎩2ξωn =2
-ξπ
2．
M p =e
-ξ2
⨯100%=16. 5%
e ss ≤2. 25时，K 的数值。(10分)
t s =
33
==3(s ) ξωn 0. 5⨯2
D (s ) =s (s +3) 2+K =s 3+6s 2+9s +K =0
s 32
由劳斯判据： s
s 1
s 0
1654-K 6K
9K 0
八．已知单位反馈系统的闭环传递函数Φ(s )
=
第一列系数大于零，则系统稳定得0
相位裕量γ。(10分)
解：系统的开环传递函数为G (s )
2
，试求系统的
s +3
9
e ss =≤2.25
K
可得：K ≥4
=
W (s )
2
=
1
-W
(s ) s +1
∴ 4≤K ＜54
|G (j ωc ) |=
2
2ωc
+1
=1，解得ωc =3
γ=180︒+ϕ(ωc ) =180︒-tg -1ωc =180︒-60︒=120︒
4
1
36. 二阶系统的传递函数为，试在左图中标出系统的特征根
s 2+s +1
在S 平面上的位置，在右图中标出单位阶跃曲线。 解：
ωn =12ξωn =1
ξ=0. 5
40. （7分）机械系统如图所示，其中，外力f(t)为系统的输入，位移x(t)为系统的输出，m 为小车质量，k 为弹簧的弹性系数，B 为阻尼器的阻尼系数，试求系统的传递函数（忽略小车与地面的摩擦）。
解：系统的微分方程为
dx d 2x
f (t ) -B -Kx (t ) =m
dt dt d 2x dx m +B +Kx (t ) =f (t )
dt dt
拉氏变换得：（零初始条件）
ms 2X (s ) +BsX (s ) +KX (s ) =F (s )
X (s ) 1∴=
F (s ) m s 2+Bs +K
41. （7分）已知系统结构如图，试求传递函数
C (s ) C (s )
及
R (s ) N (s )
解：.
L 1=-G 2H 1, L 2=-G 1G 2H 2 P 1=G 1G 2∆1=1
C (s ) G G =
R (s ) 1+G 2H 1+G 1G 2H 2P 1=1∆1=1+G 2H 1 C (s ) 1+G 2H 1
=
N (s ) 1+G 2H 1+G 1G 2H 2
45. （8分）已知单位反馈系统的闭环传递函数W (s ) 系统的相位裕量
=
γ和幅值裕量kg
=
2
，试求
s +3
解：系统的开环传递函数为G (s )
W (s ) 2
=
1-W (s ) s +1
|G (j ωc ) |=
2
2ωc
+1
=1，解得ωc =3
γ=180︒+ϕ(ωc ) =180︒-tg -1ωc =180︒-60︒=120︒又 ωg =∞ ∴K g =∞
5
42. （7分）系统如图所示，r (t ) =1[t ]为单位阶跃函数，试求：
1. 系统的阻尼比
ξ和无阻尼自然频率ωn
4ω2n
=1．
S (S +2) s (s +2ξωn )
∴⎪
⎧ωn =2
→ξ=0. 5 ⎨
⎪⎩2ξωn =2
2. 动态性能指标：超调量M p 和调节时间t s (δ
-ξπ
=5)
2．M p
=e
-ξ2
⨯100%=16. 5%
t s =
33
==3(s ) ξωn 0. 5⨯2
43. （8分）如图所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下
e ss ≤2. 25时，K 的数值。
.
D (s ) =s (s +3) 2+K =s 3+6s 2+9s +K =0
由劳斯判据：
s 3s 2
s 1s 0
1654-K 6K
9K 0
第一列系数大于零，则系统稳定得0
K
=
9
≤2.25 可得：K ≥4 ∴ 4≤K ＜54 K K
100
s (s +0. 01)(s +100)
44. （7分）已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图所示。 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式； 1．G (s )
=
s s s (+1)(+1) 0. 01100
=
K ⎧
⎪20lg =80dB
⎨ω
⎪⎩∴K =100
2. 概略绘制系统的乃奈斯特图。
6
ω2n
22
s +2ξωs +ωn n 三、设系统的闭环传递函数为Gc(s)=
，试求最
大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。
-ξπ解：∵∵t p =
六、某系统如下图所示，试求其无阻尼自然频率ωn，阻尼比ζ，超调量σ％，峰值时间，调整时间s (△=0.02)。
解： 对于上图所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。
t p t
σ%=e
π
2
-ξ2
⨯100%=9.6% ∴ξ=0.6
＝0.2
ωn -ξ
∴ωn =
πt p -ξ
2
=
314. 0. 2-0. 6
2
=19.6rad/s
四、设一系统的闭环传递函数为G c (s)=
ω2n
22100
X o (s )1002s 50s +4
===2
X i s 1+⋅0. 02s 50s +4+2s +0. 08s +0. 04
s 50s +4，试求最大
与标准形式对比，可知
2ξw n =0. 08 ，
s +2ξωn s +ωn
超调量σ％=5%、调整时间t s =2秒(△=0.05)时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。
-ξπ解：∵
σ%=e
-ξ2
⨯100%=5% ∴ξ
=0.69 ∵t 3
s =
ωn ξ
＝2 ∴ωn =2.17 rad/s
五、设单位负反馈系统的开环传递函数为 G =25
k (s ) s (s +6)
求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn ；
（2）系统的峰值时间t p 、超调量σ％、 调整时间t S (△=0.02)； 解：系统闭环传递函数
25
G s (s +6) 2525B (s ) =1+
=
s (s +6) +25=s 2
+6s +25s (s +6)
与标准形式对比，可知 2ξw 6 ，w 2
n =n =25 故 w n =5 ， ξ=0. 6 又 w =w ξ2
=5⨯-0. 62
d n -=
4
t π
π
p =
w =
d
4
=0. 785 -ξπ-0. 6π
σ%=e
1-ξ
2
⨯100%=e
1-0. 62
⨯100%=9. 5%
t 4s =ξw =1. 33
n
七、已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
G (s ) =
100
K s (s +2)
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ； （2）试求输入为r (t ) =1+3t 时，系统的稳态误差。
解：（1）将传递函数化成标准形式
G K (s ) =
100s (s +2) =50
s (0. 5s +1)
可见，v ＝1，这是一个I 型系统 开环增益K ＝50； （2）讨论输入信号，r (t ) =1+3t ，即A ＝1，B ＝3
根据表3—4，误差
e ss =
A 1+K +B =1+3
=0+0. 06=0. 06
p K V 1+∞50
1
w 2n =0. 04
ωn =0. 2(rad /s )ς=0. 2
-
πςσ-
π⨯0. 2%=e
-ς
2
=e
-0. 2≈52. 7%
t ππ
p =ω-ς
2
=
n 0. 2-0. 2
2
≈16. 03(s )
t 4
4
s ≈
ςω=
n
0. 2⨯0. 2
=100(s )
八、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
G K (s ) =
2
s 2
(s +0. 1)(s +0. 2)
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；
（ 2 ）试求输入为 r (t ) =5+2t +4t 2
时，系统的稳态误差。
解：（1）将传递函数化成标准形式
G ( s ) =
2
K 2
=
100
s (s +0. 1)(s +0. 2)
s 2(10s +1)(5s +1)
可见，v ＝2，这是一个II 型系统 开环增益K ＝100； （2）讨论输入信号，
r (t ) =5+2t +4t 2，即A ＝5，B ＝2, C=4
根据表3—4，误差
e A 1+K +B +C =51+∞+2∞+4
ss =
100
=0+0+0. 04=0. 04p K V K a
九、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
G K (s ) =
20
(0. 2s +1)(0. 1s +1)
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ； （2）试求输入为
r (t ) =2+5t +2t 2时，系统的稳态误差。 解：（1）该传递函数已经为标准形式
可见，v ＝0，这是一个0型系统 开环增益K ＝20； （2）讨论输入信号，r (t ) =2+5t +2t 2，即A ＝2，B ＝5，C=2
根据表3—4，误差
e A ss =
1+K +B K +C =2+5+2=2
+∞+∞=∞
p V Ka 1+200021
十、设系统特征方程为 s 4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=2，a 2=3，a 1=4，a 0=5均大于零，且有
2400
∆=2>0 ∆=2⨯3-1⨯4=2>0
1
2
十四、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。
G (s ) =
30
s (0. 02s +1)
350∆4=
02400135
解：该系统开环增益K ＝30；
有一个积分环节，即v ＝1；低频渐近线通过（1，20lg30）这点，斜率为－20dB/dec；
有一个惯性环节，对应转折频率为w 1
=
1
=50，斜率增加－
0. 02
∆3=2⨯3⨯4-2⨯2⨯5-4⨯1⨯4=-12
∆4=5∆3=5⨯(-12) =-60
432
十一、设系统特征方程为，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有
20dB/dec。
系统对数幅频特性曲线如下所示。
十五、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。
s +6s +12s +10s +3=0
G (s ) =
100
s (0. 1s +1)(0. 01s +1)
6100123∆4=
00
00
解：该系统开环增益K ＝100；
有一个积分环节，即v ＝1；低频渐近线通过（1，20lg100）这点，即通过（1，40）这点斜率为－20dB/dec； 有两个惯性环节，对应转折频率为w 1
∆1=6>0
=
1
=10，0. 1
61001123
w 2=
∆2=6⨯12-1⨯10=62>0
∆3=6⨯12⨯10-6⨯6⨯3-10⨯1⨯10=512>0 ∆4=3∆3=3⨯512=1536>0
所以，此系统是稳定的。
十二、设系统特征方程为，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=5，a 2=2，a 1=4，a 0=3均大于零，
s 4+5s 3+2s 2+4s +3=0
率分别增加－20dB/dec
系统对数幅频特性曲线如下所
示。
/
十六、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性稳态误差不变，响应速度降低曲线。
1
=100，斜
0. 01
G (s ) =0. 1s +1
解：该系统开环增益K ＝1；
无积分、微分环节，即v ＝0，低频渐近线通过（1，20lg1
）这点，即通过
（1，0）这点斜率为0dB/dec； 有一个一阶微分环节，对应转折频
/
400
且有
1
=10，斜率增率为w 1=0. 1
230 ∆4=
540123
∆1=5>0
∆2=5⨯2-1⨯4=6>0
∆3=5⨯2⨯4-5⨯5⨯3-4⨯1⨯4=-51
所以，此系统是不稳定的。
十三、设系统特征方程为 ，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。 解：（1）用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 3=2,a2=4,a1=6,a0=1均大于零，且有
加20dB/dec。
系统对数幅频特性曲线如下所示。
二． 图1为利用加热器控制炉温的反馈系统（10分）
试求系统的输出量、输入量、被控对象和系统各部分的组成，且画出原理方框图，说明其工作原理。
解答：输出量：炉温。输入量：给定电压信号。被控对象：电炉。
系统包括：电位器、放大器、电机、减速器以及自藕调压器、热电偶。
原理方框图：
2s 3+4s 2+6s +1=0
410∆3=260
041
∆1=4>0
∆2=4⨯6-2⨯1=22>0
∆3=4⨯6⨯1-4⨯4⨯0-1⨯2⨯1=6>0
所以，此系统是稳定的。
2
三．如图2为电路。求输入电压
u i 与输出电压u 0之间的微分方程，并
求出该电路的传递函数。（10分）
u i R u 0
解答：跟据电压定律得 (b)(a)1 u 0dt +u 0=u i RC 2
d 2u i 1du 00 u i L C d u +=
dt 20RC dt dt 2
RCs
(c)G (s ) =
RCs +1
四、求拉氏变换与反变换
⎰
七、图示机械系统由质量m 、阻尼系数C 、弹簧刚度K 和外力f (t ) 组成的机械动力系统。图(a)中o 是输出位移。当外力f (t ) 施加3牛顿阶跃力后，记录仪上记录质量m 物体的时间响应曲线如（b ）图所示。试求：
1）该系统的微分方程数学模型和传递函数；(4分)
2）该系统的弹簧刚度质量m 、阻尼系数C 、弹簧刚度k ；（3分）
3）时间响应性能指标：上升时间s 、调整时间r 、振荡频数N 、稳态误差ss （5分）。
x (t )
e
t t
x 0
1.0
1． 求
[0.5-te t ] 解答：
11
-2
2s (s -1)
图(a) 机械系统
图（b ）响应曲线 解答：解：1）对于该系统有：
0(t )+c x 0(t )+kx 0(t )=f (t ) m x
2． 求
t 3s -1
[] 解答：=-3e -t +6te -2(s +1)(s +2)
1
故 G (s )=
ms 2+cs +k
2）求k 由Laplace 变换的终值定理可知：
t →∞
s →0
八、已知某系统是单位负反馈系统，其开环传递函数G k
=
10
，
5s +1
x 0(∞)=lim x 0(t )=lim s ⋅X 0(s )
s →0
则该系统在单位脉冲、单位阶跃和单位恒速信号作用下的ss 分别是多少？（8分）
解答：该系统为单位负反馈且为0型系统，k=11, 所以该系统在单位阶跃
e
=lim s
而0得：
1
和单位恒速信号作用下的e ss 分别是、∞。
11
在单位脉冲信号作用下的稳态误差为
x (t )-x 0(∞)因此k=3.求m ， 由M =0p x (∞)=1.0，⨯100%p
x 0∞M p =
0. 095
⨯100%=9. 5% 1. 0
133
=⋅
ms 2+cs +k s k
e ss =lim s ⋅
s →0
1
⋅X i (s ) =lim s ⋅
s →0H (s )[1+G (s ) H (s )]
1
⋅1=0101+
5s +1
-ξπ
又由式M p 将p
=e
1-ξ2
⨯100%求得ξ
p
=0.6
中，得
九、设有如图所示的反馈控制系统，试求根据劳斯判据确定传递函数k 值的取值范围
t =2, ξ=0.6代入t
=
ππ=
ωd ωn -ξ2
)
ωn =1.96。
再由X =) ωn 2求得m=0.78。求c 由2ξωn
s t s
=，求得c=1.83.
Ts +13）求t
=
3
k 解答：G (s ) =
s (s+1)(s+5) +k
系统的特征方程：
3
ξωn
=2.55 (取∆=0.05时) t s =
4
ξωn
=3.40
(取∆=0.02时) 求r
s (s+1)(s+5) +k =0
2
可展开为：s +s 列出劳斯数列：
+5s +k =0
t
-ξ2
β=a r c t =0.91
ξ
s
3
16
30-k 6k
5k
t r =
s 2s
1
π-β
=2.323
ωd
N =
1. 5-ξ2
求N 取∆=0.05时，
πξ
=0.64 取∆=0.02时，
s 0
k>0,30-k>0
N =
2-ξ2
πξ
e
=0.85
求ss 当输入为阶跃信号时，系统的稳态误差为：
e ss =
11+K p
对于0型系统
K p =K =1，代入式中求得： e ss =0.5
3
二．设有一个系统如图1所示，k 1=1000N/m, k 2=2000N/m, D=10N/(m/s)，当系统受到输入信号出
x i (t ) =5sin t 的作用时，试求系统的稳态输
五．已知系统结构如图4所示, 试求：(15分) 1. 绘制系统的信号流图。(5分) 2. 求传递函数
x o (t ) 。(15分)
x i X o (s ) X o (s )
及。(10分)
X i (s ) N (s )
K D
x o
K 解：
X o s k 1Ds 0. 01s
==
X i s k 1+k 2Ds +k 1k 20. 015s +1
L 1=-G 2H 1, L 2=-G 1G 2H 2 P 1=G 1G 2∆1=1
然后通过频率特性求出
x o (t )=0. 025sin t +89. 14
()
三．一个未知传递函数的被控系统，构成单位反馈闭环。经过测试，得知
闭环系统的单位阶跃响应如图2所示。(10分) 问：(1) 系统的开环低频增益K 是多少？(5分)
(2) 如果用主导极点的概念用低阶系统近似该系统，试写出其近似闭环传递函数；(5分)
1
X o (s ) G 1G 2
=
X i (s ) 1+G 2H 1+G 1G 2H 2
P 1=1
∆1=1+G 2H 1
X o (s ) 1+G 2H 1
=
N (s ) 1+G 2H 1+G 1G 2H 2
六．系统如图5所示，r (t ) =1(t ) 为单位阶跃函数，试求：(10分) 1. 系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率ωn 。(5分)
解：（1）
(2)
X o (s )7 =
X i s 0. 025s +8
2. 动态性能指标：超调量M p 和调节时间s
K 07
=1+K 08
，
K 0=7
四．已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图3所示。(10分) 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式；(5分) 2. 概略绘制系统的Nyquist 图。(5分) 1．G (s ) =
t (∆=5%)。(5分)
K
s (
+1)(+1) 0. 01100
=
100
s (s +0. 01)(s +100)
4ω2n
=1．
S (S +2) s (s +2ξωn )
K ⎧
⎪20lg =80dB ⎨ω⎪∴K =100⎩
2．
七．如图6所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下
⎧ωn =2⎪∴⎨→ξ=0. 5
⎪⎩2ξωn =2
-ξπ
2．
M p =e
-ξ2
⨯100%=16. 5%
e ss ≤2. 25时，K 的数值。(10分)
t s =
33
==3(s ) ξωn 0. 5⨯2
D (s ) =s (s +3) 2+K =s 3+6s 2+9s +K =0
s 32
由劳斯判据： s
s 1
s 0
1654-K 6K
9K 0
八．已知单位反馈系统的闭环传递函数Φ(s )
=
第一列系数大于零，则系统稳定得0
相位裕量γ。(10分)
解：系统的开环传递函数为G (s )
2
，试求系统的
s +3
9
e ss =≤2.25
K
可得：K ≥4
=
W (s )
2
=
1
-W
(s ) s +1
∴ 4≤K ＜54
|G (j ωc ) |=
2
2ωc
+1
=1，解得ωc =3
γ=180︒+ϕ(ωc ) =180︒-tg -1ωc =180︒-60︒=120︒
4
1
36. 二阶系统的传递函数为，试在左图中标出系统的特征根
s 2+s +1
在S 平面上的位置，在右图中标出单位阶跃曲线。 解：
ωn =12ξωn =1
ξ=0. 5
40. （7分）机械系统如图所示，其中，外力f(t)为系统的输入，位移x(t)为系统的输出，m 为小车质量，k 为弹簧的弹性系数，B 为阻尼器的阻尼系数，试求系统的传递函数（忽略小车与地面的摩擦）。
解：系统的微分方程为
dx d 2x
f (t ) -B -Kx (t ) =m
dt dt d 2x dx m +B +Kx (t ) =f (t )
dt dt
拉氏变换得：（零初始条件）
ms 2X (s ) +BsX (s ) +KX (s ) =F (s )
X (s ) 1∴=
F (s ) m s 2+Bs +K
41. （7分）已知系统结构如图，试求传递函数
C (s ) C (s )
及
R (s ) N (s )
解：.
L 1=-G 2H 1, L 2=-G 1G 2H 2 P 1=G 1G 2∆1=1
C (s ) G G =
R (s ) 1+G 2H 1+G 1G 2H 2P 1=1∆1=1+G 2H 1 C (s ) 1+G 2H 1
=
N (s ) 1+G 2H 1+G 1G 2H 2
45. （8分）已知单位反馈系统的闭环传递函数W (s ) 系统的相位裕量
=
γ和幅值裕量kg
=
2
，试求
s +3
解：系统的开环传递函数为G (s )
W (s ) 2
=
1-W (s ) s +1
|G (j ωc ) |=
2
2ωc
+1
=1，解得ωc =3
γ=180︒+ϕ(ωc ) =180︒-tg -1ωc =180︒-60︒=120︒又 ωg =∞ ∴K g =∞
5
42. （7分）系统如图所示，r (t ) =1[t ]为单位阶跃函数，试求：
1. 系统的阻尼比
ξ和无阻尼自然频率ωn
4ω2n
=1．
S (S +2) s (s +2ξωn )
∴⎪
⎧ωn =2
→ξ=0. 5 ⎨
⎪⎩2ξωn =2
2. 动态性能指标：超调量M p 和调节时间t s (δ
-ξπ
=5)
2．M p
=e
-ξ2
⨯100%=16. 5%
t s =
33
==3(s ) ξωn 0. 5⨯2
43. （8分）如图所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下
e ss ≤2. 25时，K 的数值。
.
D (s ) =s (s +3) 2+K =s 3+6s 2+9s +K =0
由劳斯判据：
s 3s 2
s 1s 0
1654-K 6K
9K 0
第一列系数大于零，则系统稳定得0
K
=
9
≤2.25 可得：K ≥4 ∴ 4≤K ＜54 K K
100
s (s +0. 01)(s +100)
44. （7分）已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图所示。 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式； 1．G (s )
=
s s s (+1)(+1) 0. 01100
=
K ⎧
⎪20lg =80dB
⎨ω
⎪⎩∴K =100
2. 概略绘制系统的乃奈斯特图。
6