2 张量和连续介质力学引论
2.1矢量与张量
我们经常遇到的物理量可用标量、矢量、张量表示。
）等。标量（Scalars ）：温度（T ），能量（E ），体积（V ），时间（t ），表观剪切速率（γ
，速度（），加速度（），动量（m ），力（）矢量（Vectors ）：位置矢量（）等。
张量（Tensors ）：应力张量（），应变速率张量（），旋转张量（），取向张量（），，界面张量（），面积张量（）等。 构象张量（）
2.1.1 矢量
2.1.1.1 矢量的表述方法
用黑体字母表示矢量（或在字母上加一横），称为Gibbs 表示法。例如，，，。另一种表示法称为指标表述法。位置矢量可表示如下：
=p 11+p 22+p 33=∑p i i （2-1）
i =1
3
式中1、2和3是单位矢量，p 1、p 2和p 3是矢量在三个坐标方向的分量。式（2-1）可以简化为：
=p i i （2-2）
式中i 称为哑指标，又称求和指标。再作简化，式（2-2）可以写成：
=p i （2-3）
式中i 称为自由指标。式（2-2）和（2-3）都属于指标表示法，但式（2-2）称为实体表示法，
式（2-3）称为分量表示法。式（2-2）中采用爱因斯坦求和约定，式中i 是重复指标，i =1, 2, 3，表示三项之和，因此式（2-2）与式（2-1）相当。
Gibbs 表述法直观，不依赖坐标体系，书写简明，易于图示。但是，在进行数值运算时，矢量必须通过在给定坐标体系中的投影值，即坐标分量来表示。而指标表述法可直接将分量值简明地表示出来，便于数学推导，适于数值计算。
指标表述法举例：
① a i b i =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3，i =1, 2, 3
② a k b i c k =a k c k b i =(a 1c 1+a 2c 2+a 3c 3)b i ，i , k =1, 2, 3 式中下标k 是求和指标，i 是自由指标。 ③ a i =a i ，i =1, 2, 3
等式两边的自由指标必须相同，如果写成a i =a j 就错了。 2.1.1.2
δij 和e ijk 的定义
① δij 称作克罗内克算符（Kronecker Delta）
0δij ≡⎧⎨1 ⎩
当i ≠j 时当i =j 时
其定义为i ⋅j ≡δij 。因此δij 是个单位张量。
⎡100⎤δij =⎢010⎥
⎢001⎥⎦⎣
② e ijk 称作排列符 （顺序算符） （permutation symbol）
e 123=e 231=e 312=1 e 132=e 321=e 213=−1
其余皆为零。
2.1.1.3 矢量运算指标表述法
① 矢量的点积
即：
+
③
①
顺时针排列为正
–
②
逆时针排列为负 其余排列为零
⎞33⎛3⎞⎛3
⋅=cos θ=⎜∑a i i ⎟⋅⎜∑b j j ⎟=∑∑(i ⋅j )a i b j
⎝i =1⎠⎝j =1⎠i =1j =1
=∑∑δij a i b j =∑a i b i [=]a i b i =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
i
j
i
也可简化地写作：
⋅=(a i i )⋅(b j j )=a i b j i ⋅j =a i b j δij =a i b i =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
所以，矢量的点积为标量。
② 矢量的数值
==
2
⋅=
p i p i =p 1p 1+p 2p 2+p 3p 3=
22
p 12+p 2+p 3
③ 矢量的微分
设矢量为(x 1, x 2, x 3)，则
d =
单位矢量为
∂∂∂∂dx i =, i dx i dx 3=dx 2+dx 1+
∂x i ∂x 3∂x 2∂x 1
∂ ∂p i
i =
④ 矢量的叉积
×= ×=w i =e ijk u j v k
w i =e i 1k u 1v k +e i 2k u 2v k +e i 3k u 3v k
=(e i 11u 1v 1+e i 12u 1v 2+e i 13u 1v 3)+(e i 21u 2v 1+e i 22u 2v 2+e i 23u 2v 3)+(e i 31u 3v 1+e i 32u 3v 2+e i 33u 3v 3)
=(e i 12u 1v 2+e i 13u 1v 3)+(e i 21u 2v 1+e i 23u 2v 3)+(e i 31u 3v 1+e i 32u 3v 2)
当i =1时，w 1=u 2v 3−u 3v 2 当i =2时，w 2=u 3v 1−u 1v 3 当i =3时，w 3=u 1v 2−u 2v 1 因此
×=(u 2v 3−u 3v 2)1+(u 3v 1−u 1v 3)2+(u 1v 2−u 2v 1)3
12
×=u 1u 2
v 1v 2
3u 3 v 3
上面两种表述的结果相同，但是采用e ijk 符号的表达式较简明，便于运算。 ⑤ e −δ恒等式
e ijk e ist =δjs δkt −δjt δks （2-4）
式中i 是求和指标，j , k , s , t 皆为自由指标。
注意：
（a ）式中不同项中的指标若相同，不可认为是求和指标。只有在同一项中相同的指标才能定义为求和指标。
（b ）等式两边的自由指标必须一致。 ⑥ 交换律
⋅=⋅
δji δkt =δkt δji
a ij B ij =B ij a ij
⑦
δij 的置换性质
a i δij =a j a i δji =a j a ijklmn δkr =a ijrlmn
如果我们想把a k 变成a i ，可以乘以δik ，即a k δik =a i ，或者a k δki =a i 。 2.1.1.4 矢量在不同坐标中的表示法
如图2-1所示，把坐标轴旋转θ度后，若矢量在原来坐标体系中的表达式为=p i i ，则在新坐标体系中应为=p i i ′。作为位置矢量并没有改变，所以p i i =p i ′i ′。两边乘以
j ，得
p i i ⋅j =p i ′i ′⋅j p i δij =p i ′βij =p j
式中βij =i ⋅j ，称为方向余弦。方向余弦表示矢量在不同坐标间的转换关系：
x 1
1
图2-1 坐标轴旋转示意图
2
p j =p i ′βij =βij p i ′，j =1, 2, 3
即p j =
′+β2j p 2′+β3j p 3′。 β1j p 1
同样可对式p i i =p i ′i ′两边乘以j ，得
′′′p i i ⋅′j =p i i ⋅j
所以p i βji =p i ′δij =p ′j
这样一矢量在不同坐标中的转换可写成
p i =βji ⋅p ′j （2-5） p i ′=βij ⋅p j （2-6）
式中βji =′j ⋅i ，βij =i ⋅j 。注意：βji 中写在前面的下标代表新坐标。
按照矢量点积的定义，方向余弦可表示为
βij =i ′⋅j =j ⋅i =cos i ′, j )
表2-1列出了βij 的九个分量，可用矩阵表示。
–' e 1–' e
2
表2-1 方向余弦表
– – e e
β11 β21 β31
β12 β22 β32
– e β13 β23 β33
–' e βij 是个特殊的张量，具有以下特性： βij ≠βji ，因此不是一个对称张量；
βij =1 βji =(βij )T βji =(βij )−1
所以，βij =
T
βij −1
（2-7）
凡是满足式（2-7）条件的矩阵称为正交矩阵。由正交矩阵实施的变换称为正交变换，
也即能使坐标发生旋转。
对正交矩阵，可以证明：
(βik )(βkj )
即δij =
T
=(βik )(βkj )=δij
（2-8）
−1
βik βjk
2.1.2 张量简介
2.1.2.1 标量、矢量、张量的定义
当直角坐标系改变（即从一个坐标系变换成另一个坐标系）时，满足如下转换关系的分量所组成的集合分别是标量、矢量和张量：
′, x 2′, x 3′) 标量：φ(x 1, x 2, x 3)=φ(x 1
式中一个分量相等。
（2-9）
′, x 2′, x 3′)βki 矢量：F i (x 1, x 2, x 3)=F k ′(x 1
′, x 2′, x 3′)=F k (x 1, x 2, x 3)βik （2-10） F i ′(x 1
式中三个分量乘以转换因子后分别相等。
′(x 1′, x 2′, x 3′)βmi βnj 张量：t ij (x 1, x 2, x 3)=t mn
′(x 1′, x 2′, x 3′)=t mn (x 1, x 2, x 3)βim βjn （2-11） t ij
式中九个分量乘以转换因子后分别相等。
张量是由数个元素组成的集合体，可用矩阵表示。在聚合物加工中，重要的张量如应力张量τij ，速度梯度张量∂u i ∂x j ，应变速率张量Δij ，取向张量S ijkl ，构象张量C ij ，界面张量q ij 等。
从上面定义可知，标量与坐标系无关，而矢量、张量与坐标系有关。通过指标表述变量的换算，可以证明上面定义的有效性。例如⋅是标量，那么当坐标系改变后，是否还是同一标量值呢？
′)=β′ji βki p ′j p k ′=δjk p ′j p k ′=p ′j p ′j ⋅=p i p i =(β′ji p ′j )(βki p k
再如，并矢是张量，在另一个坐标系中应如何表述呢？
′=βji βkl p ′j p k ′ p i p l =βji p ′j βkl p k
可见此张量在新坐标系中的并矢需乘以转换因子才能与原来的相等。
张量的阶数与分量数归纳如下：
T =T ′ T i =βri T r ′
′ T ij =βri βsj T rs
阶数N 分量数
0 1 1 3 2 9 3 27 N 3N
′ T ijk =βri βsj βtk T rst
′ T ijkl =βri βsj βtk βul T rstu
′ =βir βjs βkt βlu T ijkl T rstu
2.1.2.2 张量的运算
① 转置：
T τij =τji
对称：
τij =τji
反对称：
τij =−τji
求逆：
−1τik τkj =δij ；
求迹：
tr τ=τii =τ11+τ22+τ33
② 加减法：
③ 乘法：
标量－矢量相乘：
标量－张量相乘：
矢量点积：
矢量叉积：
并矢：
张量的单点积：
张量的双点积：
张量－矢量点积：
矢量－张量点积：
张量－矢量叉积：
矢量－张量叉积：
④ 张量的缩并：
±=u i ±v i
+=τij +σij
a =au i
a =a τij
⋅=u i v i
×=e ijk u j v k
=u i v j
⋅=τik σkj
:=τij σji
⋅=τij v j
⋅=v i τij
×=e jkl τij v k
×=e ijl v i τjk
T ⎯缩并⎯→T ⎯缩并
ijkl ijjl ⎯→T ijji 四阶张量
二阶张量
标量
2.1.2.3 运算符号的定义
运算符号的定义见表2-2。
表2-2 各种运算符号的定义
Gibbs 表示法 矢量
点积（内积） ⋅ 叉积（矢积） × 并矢（外积） ⊗=标量梯度 grad φ=∇φ 矢量梯度 grad =∇ 散度 div =∇⋅ 旋度 curl =∇× ∇=∇⋅∇=Δ ∇2φ=∇⋅∇φ=Δφ
2
指标表示法
v i u i v i e ijk u j v k
u i v j ∂φ∂x i =φ, i
张量的阶数
1 0 1
2 1 2 0 1 1 0
∂v i ∂x j =v i , j ∂v i
=v i , i ∂x i ∂v
e ijk k =e ijk v k , j ∂x j
∂∂x i
2
⎛∂v j ⎞∂v j
⎜⎜∂x ⎟⎟=∂x ∂x =v j , ii
i i ⎝i ⎠
∂⎛∂φ⎞∂2φ⎜⎟==φ, ii ⎜⎟∂x i ⎝∂x i ⎠∂x i ∂x i
注：（a ） ∇=
∂∂∂∂
1+2+3=i 称为det 算子或哈密顿算子；（b ） Δ=∇⋅∇∂x 1∂x 2∂x 3∂x i
称为拉普拉斯算子。
2.2 连续介质中的应力
2.2.1 应力简介
根据连续介质力学的观点，不管是什么原因引起的，物体所受的力都可以分成三种类型： ⑴ 外力，例如，地球吸引力（称为体力）、静电与磁性吸引力等，都是作用在物体上的非接触力。因此这类外力也被称作长程力。
⑵ 表面力，指施加在物体外表面的接触力。因为施加在物体的外表面上，故常作为边界条件处理。
⑶ 内部应力，我们可以想象将一物体分割成为许多宏观尺度足够小而微观尺度足够大的单元，单元表面存在着相互作用力（此单元被称作微元体，也叫做体积元。），这种作用力被称作应力；换句话说，应力就是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体表面的接触力，因此，应力又被称作近程力。图2-2给出了单元表面作用力的示意图。
图2-2 单元表面的作用力
图中δS 是截面积，δ是作用力，为法向单位矢量。P 点应力()
的定义为
()=lim
δ （2-12）
δS →0δS
。
为了进一步分析P 点微元体受力情况，我们采用一立方体表示这一微元体（见图2-3）
x 2
1
图2-3 微元体P 受力分析
图中(−2)
=(2)，即(−2)与(2)绝对值相等，方向相反。P 微元体受到了三个独立作用
(1)
力的作用：，(2)
，(3)
；每个作用力又可按图2-3的直角坐标系分解成三个分量。所
以对于微元体P 来说，总共受到独立的九个分量的作用：
垂直于x 1的平面上的单位面积作用力为
(1)=τ111+τ212+τ313 （2-13）
垂直于x 2的平面上的单位面积作用力为
(2)=τ121+τ222+τ323 （2-14）
垂直于x 3的平面上的单位面积作用力为
(3)=τ131+τ232+τ333 （2-15）
上式中τ11，τ12，τ13，τ21……为应力分量；前面一个下标表示作用力方向，后一个下标表示作用面。
式（2-13）、（2-14）、（2-15）可合并为
(j )
=τij i （2-16）
式中τij 是个二阶张量，有九个分量，可以写成矩阵形式：
⎡τ11τ12τ13⎤
τij =⎢τ21τ22τ23⎥
⎢τ⎥⎣31τ32τ33⎦
现在的问题是应力τij 是否能完全表示物体内部的受力情况。也就是说，如果物体内部某点的τij 已知，那么该点在任何作用面上的作用力是否已经可求？答案是肯定的。下面来证明这一点。
任取一P 点，并任取一作用面δS ，受力分析见图2-4。已知τij ，νj ，求()
。
设图中四面体的高为h ，四面体体积V =当h →0，V →0，此时作用在P 点3h δS 。上的力应达到平衡。即
()dS +(−1)(δS ⋅1)+(−2)(δS ⋅2)+(−3)(δS ⋅3)=0
∵ ⋅
1=cos (1)≡ν1
⋅2=cos (2)≡ν2
⋅3=cos (3)≡ν3
∴ ()=−(−1)ν1−(−2)ν2−(−3)ν3
因为所以()
(−j )
=−(j )
=(1)ν1+(2)ν2+(3)ν3
()=j νj
将式（2-16）与()
)
=t j j 代入上式得
t i ()=νj τij （2-17）
()
上式称作Cauchy 公式。若用矩阵表示，可写成
t i ()=(ν1ν2
⎡τ11τ12τ13⎤
⎥ （2-18）
ν3)⎢τττ212223⎥⎢⎢⎦⎣τ31τ32τ33⎥
由于物体受力后角动量守恒，故τij 是个对称张量，τij =τji 。
2.2.2 主应力与主轴
当一物体受力后，其内部某一微元体各个面上的作用力的方向不一定与坐标轴相一致。
但是，我们可以通过旋转使得它们相一致。
1
x 旋转
1
τij [=]τ' ij
x' 3
图2-5 微元体旋转示意图
′表示旋转后坐标中的应力，即 图中τij 是原坐标轴中应力表示值，τij
′00⎤⎡σ100⎤⎡τ11τ12τ13⎤⎡τ11
′=⎢0τ22′τij =⎢τ21τ22τ23⎥→τij 0⎥=⎢0σ20⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
′⎥0τ33⎢⎢⎣τ31τ32τ33⎥⎦⎣0⎦⎢⎣00σ3⎥⎦
T j =νi τij ，T 1=νi τi 1，T 2=νi τi 2，T 3=
νi τi 3
′，T 1′=νi τi ′1，T 2′=νi τi ′2，T 3′=νi τi ′3 T j ′=νi τij
′，x 2′，x 3′是旋转后新坐标系的三′的三个分量，被称为主应力。x 1σ1，σ2，σ3是τij
个轴，称为主轴。与主轴相垂直的三个平面称作主平面。νi 是主平面的单位法向矢量。
2.3 动力学方程
在聚合物加工中，基本守恒方程包括：连续性方程，动力学方程，能量方程，传质方程。其中，能量方程与传质方程将在第五章中讲述。连续性方程表现了质量守恒原理。动力学方程也叫运动方程，表达了动量守恒原理。
2.3.1 质量守恒
根据图2-6所示的质量守恒原理，我们可以建立一体积元的质量平衡表达式如下：
体积元
图2-6 质量守恒原理
流进质量＝流出质量＋质量变化率
设质量变化率增加为正，减少为负。则
（流出质量－流进质量）＋质量变化率=0
为了推导连续性方程，首先把一体积元的外表面分成两组平面，每一组由三个平面组成。质量从一组平面流进，从另一组平面流出。（见图2-7）
（1） 质量变化率
∂ρ
dx 1dx 2dx 3，其中ρ为密度。
∂t
图 2-7 体积元的两组平面
（2） 流动引起的质量变化（流体携带的质量）
x 1分量（通过与x 1垂直的平面的量）为
[ρu 1dx 2dx 3]x =dx −[ρu 1dx 2dx 3]x =0
=[(ρu 1)x =dx 1−(ρu 1)x =0]dx 2dx 3
=δ(ρu 1)dx 2dx 3
∂(ρu 1)dx dx dx =
1
1
1
1
1
∂x 1
123
式中ρu 1称为质量通量，其量纲为⎢
⎡M ⎤
。 2⎣L t ⎦
∂(ρu 2)dx 1dx 2dx 3
∂x 2
同样可以求得x 2分量的表达式：
x 3分量的表达式：
∂(ρu 3)dx 1dx 2dx 3 ∂x 3
根据上述质量平衡表达式，可得
⎡∂(ρu 1)∂(ρu 2)∂(ρu 3)⎤∂ρ
dx dx dx +++⎥123∂t dx 1dx 2dx 3=0 ⎢∂x x x ∂∂123⎦⎣
∂ρ∂(ρu 1)∂(ρu 2)∂(ρu 3)+++=0
∂t ∂x 1∂x 2∂x 3
得到连续性方程式
∂ρ∂(ρu i )+=0 （2-19）
∂t ∂x i
用矢量表述法表示，连续性方程可写成：
∂ρ
+∇⋅ρ=0 ∂t
∂ρ
+ρ∇⋅+⋅∇ρ=0 （2-20） ∂t
令
∂ρD ρ
，连续性方程可写成： +⋅∇ρ≡
∂t Dt
D ρ
+ρ∇⋅=0 Dt
∂u D ρ
+ρi =0 （2-21） Dt ∂x i
式中
D ∂∂∂
=+u i =+⋅∇，称为随体时间导数（物质导数），又称Stokes 导数（微Dt ∂t ∂x i ∂t
D ρ∂ρ
=0，则=0，得出不可压缩流体的连续性方∂t Dt
∇⋅=0
商）。
对于不可压缩流体，∇ρ=0，程：
∂u i
=0 （2-22） ∂x i
从式（2-20）可知域变化，u i
D ρ∂ρ
是由两项组成。在一流场中，代表场的非定常性所引起的局Dt ∂t
∂ρ∂ρ为场的非均匀性所引起的变化，或称为u i 引起的对流项。=0，表示局
∂t ∂x i
域不变；u i
∂ρ∂ρ∂ρ=0，表示对流不变。+u i =0，表示随体不变。不可压缩流体具
∂t ∂x i ∂x i
D ρ
=0。 Dt
有随体不变的性质，即
2.3.2 动量平衡
与推导连续性方程同样，先把流体的一个体积元外表面分成两组平面，每组包括三个平
第一组平面
图 2-8 两组平面上的应力
11
1
x 1
x 第二组平面
面（见图2-8）。图中应力张量下标约定为第一个下标表示作用力方向，第二个下标表示作用面。作用于一体积元的可能的力包括：（1）表面应力；（2）重力；（3）流体携带的动量通量；（4）体积元内动量变化率；（5）其它力，如电力、磁力等。把所有作用于流体体积元的力分解成x 1、x 2、x 3三个方向，分别求平衡。
x 1方向的平衡：
（1）表面应力S 1
S 1=[(T 11+dT 11)−T 11]dx 2dx 3+[(T 12+dT 12)−T 12]dx 1dx 3+[(T 13+dT 13)−T 13]dx 1dx 2
==
∂T ∂T 11∂T
dx 1dx 2dx 3+12dx 1dx 2dx 3+13dx 1dx 2dx 3∂x 1∂x 2∂x 3∂T 1i
dV ∂x i
（2）重力B 1
设f 1是x 1方向的单位质量的重力（重力加速度）
B 1=ρf 1dx 1dx 2dx 3=ρf 1dV
（3）流体携带的动量通量C 1
动量通量等于动量密度乘以速度。已知动量密度为ρ，则动量通量为(ρ)。在x 1方
向的动量密度为ρ1，流进第一组平面的动量流为：
[(ρu 1)u 1dx 2dx 3]x 1
=0+[(ρu 1)u 2dx 1dx 3]x 2
=0+[(ρu 1)u 3dx 2dx 1]x 3
=0
流出第一组平面的动量为：
[(ρu 1)u 1dx 2dx 3]x 1
=dx 1
+[(ρu 1)u 2dx 1dx 3]x 2
=dx
2
+[(ρu 1)u 3dx 2dx 1]x 3=dx
3C 1=流进的动量流−流出的动量流
=−⎡⎢
∂⎣∂x (ρu )dx ∂⎤
1u 11dx 2dx 3+1∂x (ρu 1u 2)dx ∂1dx 2dx 3+(ρu 1u 3)dx 1dx 2dx 3⎥ 2∂x 3⎦
=−∂
∂x [ρu 1u i ]dV i
（4）体积元内动量的变化率R
R =
∂
∂t (ρu 1dx 1dx 2dx 3)=∂∂t
(ρu 1)dV 假设其它力可以忽略不计，则由力的平衡可得
R =S 1+B 1+C 1
∂
∂t (ρu ∂x u ∂T j 1)dV +∂(ρ1u j )dV =1dV +ρf 1dV j ∂x j
同样，可求得学x 2方向与x 3方向的力的平衡方程：
x 2方向
∂
∂t (ρu ∂T 2)dV +∂∂x (ρu 2u j )dV =2j ∂x dV +ρf 2dV j j
x 3方向
∂
(ρu dV +∂x (ρu ∂T 3j ∂t 3)∂3u j )dV =dV +ρf 3dV j ∂x j
合并x 1、x 2、x 3三个方向的平衡方程，得到流体的动力学方程：
∂
(ρu )+∂(ρu ∂T ij ∂t i ∂x i u j )=+ρf i ，i =1, 2, 3 j ∂x j
因为
∂
(ρu i t i )=ρ∂u ∂t +u ∂ρ∂i ∂t
∂
∂x (ρu ∂u i i u j )=ρu j +u ∂i j ∂x j
∂x (ρu j )
j 2-23） （
所以
⎛∂u i ∂u ∂
(ρu i )+∂(ρu i u j )=⎜+ρu j i ρ⎜∂t ∂t ∂x j ∂x j
⎝
⎛∂u ∂u =⎜ρi +ρu j i ⎜∂t ∂x j ⎝
式（2-23）可以写成
⎞⎤⎡
⎟+u i ⎢∂ρ+∂(ρu j )⎥⎟⎥⎢⎠⎦ ⎣∂t ∂x j ⎞⎟⎟⎠
⎛∂u i ∂T ∂u i ⎞⎜⎟=ij +ρf i +u j ρ⎜
∂x j ⎟⎝∂t ⎠∂x j
惯性项
在惯性项中，ρ
（2-24）
粘性项重力项
d (mu i )∂u i ∂u 是加速度的贡献，相当于。ρu j i 是对流造成的，又称为
∂t Vdt ∂x j
对流项。因此惯性项是由加速度项和对流项组成。
注意：（a ）方程（2-24）并没有规定流体是不可压缩的，因此对于可压缩流体同样适用；（b ）对流项的存在使得方程变成非线性。采用解析法不能解非线性微分方程，只有求助数值方法才可解；（3）ρ为常数时，上面方程也被称为Cauchy 应力方程。
如果在式（2-24）中采用物质导数形式表达，则可改写为
ρ
∂u Du i ∂u i
+u j i =∂t Dt ∂x j
设ρf i −ρ
Du i ∂T ij
+ρf i （2-25） =
Dt ∂x j
式中
Du i
=F i ，得 Dt
∂T ij ∂x j
+F i =0 （2-26）
式（2-26）与工程力学中的力平衡方程具有相同的表达形式。但在静力学平衡方程中，
ρ
Du i
=0，F i =ρf i 。 Dt
在上述方程中，T ij 可分解为两项：
T ij =−p δij +τij （2-27）
式中T ij 是Cauchy 应力张量，p 是压力。根据压力的定义，压缩方向为正，这与力的符号定义刚好相反，故在p 前面加负号。又称为偏应力张量。当i =j τij 称为动力学应力张量，时，τij 表示法向应力；当i ≠j 时，τij 表示剪切应力。
注意：（a ）根据Stokes 的定义，式（2-27）只适用于不可压缩流体；（b ）式（2-27）中
的τii =0，所以τij 是个零迹张量。
将式（2-27）代入式（2-25），得到动力学方程的常用形式：
⎛∂u i ∂u
ρ⎜+u j i ⎜∂t ∂x j ⎝⎞∂τ
⎟=−∂p +ij +ρf i （2-28） ⎟∂x i ∂x j ⎠
表2-1列出了动力学方程与连续性方程分别在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中的表达式。
如果流体是牛顿流体，粘度η为常数，将τij =η⎜Navier-Stokes 方程：
⎛∂u i ∂u j
+⎜∂x
⎝j ∂x i ⎞
⎟代入式（2-28），得到⎟⎠
Du i ∂2u i ∂p ρ=−+η+ρf i （2-29） Dt ∂x i ∂x j ∂x j
D 1η
=−∇p +∇2+ （2-30）
ρρDt
∂2
式中∇=，称为Laplacian 算子。 2
∂x
2
表2-1 动力学方程和连续性方程（其中速度皆为物理分量）
直角坐标系x , y , z 动力学方程：
ρ⎜⎜
x 分量
⎛∂u x ∂u ∂u ∂u ⎞∂p ⎛∂τxx ∂τyx ∂τzx ⎞
⎟+ρg x +⎜++=−+u x x +u y x +u z x ⎟⎟⎟⎜∂x ⎝∂x ∂y ∂z ⎠∂x ∂y ∂z ⎠⎝∂t
ρ⎜⎜
y 分量
∂u ∂u ∂u ⎞⎛∂u y ∂p ⎛∂τxy ∂τyy ∂τzy ⎞
+ρg y =−+⎜+++u x y +u y y +u z y ⎟⎟⎟⎟⎜∂y ⎝∂x ∂y ∂z ⎠∂x ∂y ∂z ⎠⎝∂t
ρ⎜⎜
z 分量
⎛∂u z ∂u ∂u ∂p ⎛∂τxz ∂τyz ∂τzz ⎞∂u ⎞
+u x z +u y z +u z z ⎟=−+⎜++ρg z +⎟⎟⎟⎜∂x ∂y ∂z ⎝∂x ∂z ⎠∂y ∂z ⎠⎝∂t
∂u x ∂u y ∂u z
++=0 ∂x ∂y ∂z
连续性方程：
柱坐标系r , θ, z
动力学方程： r 分量
⎛∂u r ∂p ⎛1∂∂u r ⎞∂u r u θ∂u r u θ2
(r τrr )+1∂τr θ−τθθ+∂τrz ⎞⎟ρ⎜u u =−+⎜−+++⎟+ρg r r z ⎟⎜∂t r ∂θr ∂z ⎠r ∂θr ∂r ⎝r ∂r ∂z ⎠∂r ⎝
ρ⎜⎜
θ分量 z 分量
⎛∂u θu ∂u u u ∂u ⎞∂u 1∂p ⎛1∂21∂τθθ∂τθz ⎞
()r τ+++=−+u r θ+θθ+r θ+u z θ⎟⎜⎟+ρg θ θr 2⎟r ∂θ⎝r ∂r r ∂θ∂z ⎠r ∂θr ∂z ⎠∂r ⎝∂t
ρ⎜
∂p ⎛1∂∂u u ∂u ∂u ⎞⎛∂u z
(r τrz )+1∂τθz +∂τzz ⎞+u r z +θz +u z z ⎟=−+⎜⎟+ρg z
r ∂θr ∂θ∂z ⎝r ∂r ∂z ⎠∂r ∂z ⎠⎝∂t
1∂
(ru r )+1∂u θ+∂u z =0
∂z r ∂r r ∂θ
连续性方程：
球坐标系r , θ, φ
动力学方程： r 分量
22
⎛∂u r u φ∂u r u θ+u φu u u ∂∂θr r ρ⎜−+++u r ⎜∂t r r θr θφr ∂∂∂sin ⎝⎞
⎟⎟⎠
⎞⎟⎟+ρg r ⎠
=−
∂∂p ⎛1∂1∂τr φτθθ+τφφ1
()()r ττθ+−++⎜sin rr r θ2
r r r θ∂θr θ∂φr ∂∂r ⎜sin sin ⎝
θ分量
⎞
⎟⎟⎠
⎛∂u θu φ2ctg θu ∂∂∂u u u u u u φr θθθθθ
+u r ++ρ⎜−+⎜∂t sin ∂∂θr θ∂φr r r r ⎝
=−
⎞1∂p ⎛1∂11∂τθφτr θctg θ∂
()()sin r ττθτ+⎜+++−θr θθφφ⎟2⎟+ρg θ
r ∂θ⎜r sin θ∂θr sin θ∂φr r ⎝r ∂r ⎠
φ分量
⎛∂u φ∂u φu θ∂u φu φ∂u φu r u φu φu θctg θ⎞⎜⎟ρ+u r ++++⎜∂t ⎟∂r r ∂θr θ∂φr r sin ⎝⎠
⎞1∂p ⎛1∂21∂τθφ1∂τφφτr φ2ctg θ
()r ττ=−+⎜++++r φθφ⎟2⎟+ρg φ
r sin θ∂φ⎜r ∂θr sin θ∂φr r ⎝r ∂r ⎠
连续性方程：
1∂21∂1∂u φ
()()r u u θ+sin +=0 θr 2
r ∂r r sin θ∂θr sin φ∂φ
2.4 运动学
2.4.1 速度梯度
动力学研究的是运动与力的关系，而运动学则是分析运动速度与空间位置的关系。设一连续介质流动时，o 点的速度为u Oi ，其邻点的速度可用Taylor 展开写成：
⎛∂u i
u i =u Oi +⎜
⎜∂x ⎝j ⎞
⎟du j +O (dx j )2 ⎟⎠O
⎞
⎟du j （2-31） ⎟⎠O
∂u i
进行分解，∂x j
⎛∂u
u i −u Oi =⎜i
⎜∂x ⎝j
因此，从纯粹运动学的角度看，上式中速度梯度是关键的变量。对于可得：
∂u i 1⎛∂u i ∂u j
⎜=+
∂x j 2⎜∂x ⎝j ∂x i
定义：Δij ≡⎜
⎞1⎛∂u i ∂u j
⎟+⎜−⎟2⎜∂x ⎠⎝j ∂x i ⎞
⎟ ⎟⎠
（2-32）
⎛∂u i ∂u j
+⎜∂x
⎝j ∂x i ⎞⎟ ⎟⎠⎞⎟ ⎟⎠
⎛∂u i ∂u j
−W ij ≡⎜⎜∂x
⎝j ∂x i
（2-33）
那么，速度梯度的表达式应为
∂u i 11
=Δij +W ij （2-34） ∂x j 22
这样，式（2-31）可以写成
1⎞⎛1
u i −u Oi =⎜Δij +W ij ⎟du j （2-35）
2⎠⎝2
如果采用Gibbs 表述法表示，式（2-32）、（2-33）、（2-34）可写成
=∇+∇T （2-36） =∇−∇T （2-37） ∇=
式（2-34）也可写成
11
+ （2-38） 22
⎡∂u 1⎢∂x ⎢1
∂u i ⎢∂u 2
=∂x j ⎢⎢∂x 1
⎢∂u 3⎢∂x ⎢⎣1
∂u 1
∂x 2∂u 2∂x 2∂u 3∂x 2
∂u 1⎤∂x 3⎥⎥∂u 2⎥∂x 3⎥∂u 3⎥∂x 3⎥⎦
1⎛∂u 1∂u 3⎞⎤⎡
+0⎜⎟⎥⎢2⎝∂x 3∂x 1⎠⎥⎢
1⎛∂u 2∂u 3⎞⎥⎢1⎛∂u 2∂u 1⎞
+−⎜⎟⎥+⎢⎜⎟2⎝
∂x 3∂x 2⎠⎥⎢2⎝∂x 1∂x 2⎠
⎥⎢
∂u 3⎥⎢1⎛∂u
3−∂u 1⎞
⎟⎥⎢2⎜∂x 3
⎦⎣⎝∂x 1∂x 3⎠
W 13⎤W 23⎥⎥0⎥⎦
1⎛∂u 1∂u 2⎞
−⎜⎟2⎝∂x 2∂x 1⎠
01⎛∂u 3∂u 2⎞
−⎜⎟2⎝∂x 2∂x 3⎠
1⎛∂u 1∂u 3⎞⎤
−⎜⎟⎥2⎝∂x 3∂x 1⎠⎥1⎛∂u 2∂u 3⎞⎥
−⎜⎟⎥2⎝∂x 3∂x 2⎠⎥
⎥⎥0
⎥⎦
⎡∂u 11⎛∂u 1∂u 2⎞
+⎢⎜⎟
∂∂∂x 1⎠x x 212⎝⎢
⎢1⎛∂u ∂u ⎞∂u 2=⎢⎜2+1⎟
∂x 2⎢2⎝∂x 1∂x 2⎠
⎢
⎢1⎛∂u 3+∂u 1⎞1⎛∂u 3+∂u 2⎞
⎟⎜⎟⎢2⎜
⎣⎝∂x 1∂x 3⎠2⎝∂x 2∂x 3⎠⎡Δ11Δ12Δ13⎤⎡0W 12
11⎢
=Δ21Δ22Δ23⎥+⎢W 210
⎥2⎢2
⎢
ΔΔΔ⎢⎥⎢313233⎣⎦⎣W 31W 32
式（2-34）中，Δij 是
∂u i ∂u
的极性部分，具有对称性质。W ij 是i 的轴向部分，具有反对∂x j ∂x j
∂u i ∂u
并不一定是对称的。如果是不可压缩流体，Δij 与i ∂x j ∂x j
称性质，是个零迹张量。应注意也都是零迹张量。
x 2
x 2
速度u 1
x 2
速度u ∂u ∂x 2––– ∂x 1
, 速度u 1
（1） 纯剪切变形运动
图2-9 流体微元体运动示意图
1, 速度u 1
（2） 绕Z 轴旋转
2.4.2 运动变量的物理含义
如图2-9所示，在一般情况下，流体微元体在xoy 平面兼有剪切变形和转动两种运动。对于纯剪切变形运动，可用
∂u 1∂u 2
+表示，即采用Δij 表示剪切变形引起的微元体的变形∂x 2∂x 1
∂u 1∂u 2
−表示，即采用W ij 表示微元体的转∂x 2∂x 1
与平动程度。对于绕Z 轴旋转的运动，可以用
动。我们称Δij 形变速率张量，称W ij 为旋转速率张量（或涡度张量）。
旋转速率张量有一个孪生的矢量W k ，称为旋转矢量（或涡度矢量）。
⎛∂u ∂u ⎞
W k =e kij W ij =e kij ⎜i −j ⎟ （2-39）
⎜∂x ⎟⎝j ∂x i ⎠
式（2-39）也可写成
=2Curl （2-40）
对上述内容进行归纳可知，流体运动变量包括速度u i ，速度梯度张量
∂u i
，形变速率∂x j
张量Δij ，旋转速率张量W ij ，旋转矢量W k 等。流体在流动体系中两点之间的相对运动可用速度梯度张量
∂u i
来描述。速度梯度张量可以分解为依赖于旋转速率张量W ij 的刚性转动部∂x j
分和采用形变速率张量Δij 描述的变形平动部分。对于很多聚合物流体来说，应力张量T ij 只依赖于形变速率张量Δij 。换句话说，动力学变量与运动学变量之间的关系可通过Δij 来建立。
表2-2给出了在三个常用坐标体系中的形变速率张量Δij 的分量表达式。
表2-2形变速率张量的分量
直角坐标系x , y , z
∂u y ∂u x ∂u x ，
Δxy =Δyx =+∂x ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u
Δyy =2y ，Δxz =Δzx =z +x
∂z ∂x ∂y
∂u ∂u ∂u
Δzz =2z ，Δyz =Δzy =y +z
∂z ∂z ∂y
Δxx =2
柱坐标系(r , θ, z )
Δrr =2
∂u r ，∂⎛u ⎞1∂u r
Δr θ=Δθr =r ⎜θ⎟+∂r ∂r ⎝r ⎠r ∂θ
球坐标系(r , θ, φ)
Δrr =2
⎛1∂u θu r ⎞
Δθθ=2⎜+⎟，Δθz =Δz θ=∂u θ+1∂u z
r ⎠⎝r ∂θ∂z r ∂θ
∂u ∂u ∂u
Δzz =2z ，Δzr =Δrz =r +z
∂z ∂r ∂z
∂u r ，∂⎛u
Δr θ=Δθr =r ⎜θ
∂r ∂x ⎝r
⎞，
⎟Δθφ=Δφθ⎠
⎞1∂u r ⎟+
⎠r ∂θsin θ∂=
r ∂θ
⎛1∂u θu r
Δθθ=2⎜+
θ⎝r ∂θ
⎛u φ
⎜⎜sin θ⎝⎞1∂u θ ⎟⎟+r sin θ∂φ⎠
⎞ ⎟⎟⎠
⎛1∂u φu r u θctg θΔφφ=2⎜⎜r sin θ∂φ+r +r
⎝⎞，1∂u r ∂⎛u φ⎟⎜Δ=Δ=+r r r φφ⎜r ⎟sin θφr ∂∂r ⎝⎠
2.5 边界条件
聚合物加工的主要对象是聚合物熔体与溶液，即聚合物液体，故加工时的边界可以分为三类：
(1) 液－固边界，即聚合物在输运与成型时与固体壁面所接触的界面。例如注塑成型时
模具型腔壁、挤出口模内壁、压延辊表面、涂层时基材表面、电缆挤出包覆时的金属导线表面等。
(2) 液－气边界，指聚合物熔体离开口模后或在模具内与气体相接触的自由表面，或者
发泡中的气壁。在挤出成型、吹塑成型、旋转成型、气辅注塑成型、发泡成型中都会遇到液－气边界问题。
(3) 液－液边界，指在多层挤出复合时，聚合物层与层之间的界面。例如在多层吹塑、
多组分注塑、多元复合、界面缩聚、聚合物共混过程中，都有一个液－液边界问题。 因此，在聚合物加工中所谓的边界，就是指各种界面。边界条件，即界面条件对于加工流场以及聚合物内部结构的形成至关重要。另一方面，我们在上节中推导的动力学方程必须在确定了边界条件以后才能求解。因此，很有必要把在边界上的一些物理含义用数学式子表达出来。
2.5.1 运动学边界条件
在液－固与液－液界面，存在着无滑移与滑移两种可能。是否滑移取决于流场，又与聚合物粘弹性能有关。但在绝大多数情况下，我们可以假设为界面是无滑移的。迄今，测粘流动的计算是建立在无滑移概念与假设的基础上的。因此，我们可以采用无滑移假设建立运动学边界条件。
2.5.1.1 液－固界面
如图2-10所示，一矩形槽中充满了聚合物流体，矩形槽上部平板的平移速度为u s ，根据无滑移假设，
当x
=0,0≤y ≤H 以及x =W ,0≤y ≤H =0, u y =0；
=0, u y =0；
时，u x
当y =0, 0≤x ≤W 时，u x 当y
=H ,0≤x ≤W 时，u x =u s 。
图2-10 2-D矩形流道上固体面移动
这样，产生了两个奇异点(0, H )与(W , H )。在这
两个点上，按固定边界条件，速度应为零，但按移动平板边界条件，速度应为u s 。这个问题正是无滑移边界条件的局限性。不过，这种个别点上的问题，对于工程计算不会带来大的影响。
2.5.1.2 液－液界面
图2-11表示流体1带动流体2运动的情况。无滑移边界条件意味：
当r =R 0, 0≤z ≤L ，z =0, R B ≤r ≤R 0，z =L , R A ≤r ≤R 0时，u 2=0；在液－液界面，u 2=u 1。即在固体内壁面的速度为零。液－液界面处的速度相同。但界面的位置预先并不知道，需要求得。通常，具有这类边的问题比较难解。
2.5.2 动力学边界条件
在上例（图2-11）中，除了运动学边界条件外，还存在动力学边界条件。设u 1z 为流体1的轴向速度，
u 1r 是流体1的径向速度。由于流动具有轴对称性，则
∂u 1z ∂r
图2-11 流体1带动流体2流动
=0，u 1r
r =0
r =0
=0
下面再举两个例子对动力学边界条件进行说明。
例1 对浸没在聚合物流体中的圆柱体施加一力矩，使圆柱体绕着其本身轴线以角速度
Ω旋转（见图2-12）。设圆柱体表面给其周围的聚合物流体的作用力矩为τ，则流体给圆柱体表面的反作用力矩应为−τ。
τ=−T θr
R
⋅2πRL ⋅R
式中T θr 为作用在θ方向上的应力。如果L >>R ，那么流体作用在圆柱体两端面的力矩可忽略不计。若已知作用力矩与圆柱体尺寸，即可求得动力学边界面条件 T θr
R
u
θ
=
−τ
2πR 2L
图2-12 在流体中旋转的
圆柱体
本例中的运动学边界条件应为： u θ
R
=R Ω （Ω的单位为rad s ）
但是，这个运动学边界条件与上面的动
力学边界条件是相关的。也就是说它们并不相互独立。只要已知其中一组边界条件，问题就可求解。
例2 图2-13中，一片材从聚合物流体中以等速U 抽出。在固－液界面，运动学边界条件为
当x =x s 1或x =x s 2时，u x =0，
固体气体
xx
s2 s yx
u y =U 。
在液－气界面，存在着动力学边界
图2-13 一片材夹带聚合物液体
条件：
(1) 剪切应力
T yx
因为气体的粘度极低，故
x s
(液体)=T yx x (气体)
s
T yx
得到气－液边界条件
x s
(气体)=0 (液体)=0
T yx
(2) 法向应力T xx
x s
x s
=−p ，即法向应力与表面气压大小相等，方向相反。
对于以上例子进行归纳可以得出以下结论：运动学边界条件遵循界面速度连续原理（假设无滑移前提存在）；动力学边界条件遵循界面应力连续原理。
2.5.3 界面张力
在界面处，除了剪切应力、法向应力，还可能存在界面张力。所以，关于界面应力连续性的动力学边界条件必须把界面张力也考虑进去。
从热力学的角度来看，如果界面处的分子间作用力相同，界面张力应为零。但当两相分子间作用力与纯组分分子间的作用力不相同时，需要消耗能量以创造一个界面，这个可逆功等于界面张力。设ΔG 为Gibbs 自由能，A 为界面面积，界面张力Γ的热力学定义为
⎛∂G ⎞
（2-41） Γ=⎜⎟
⎝∂A ⎠T , P , n
式中T 是温度，P 为压力，n 是分子数。
设界面上所受的力为F ，dS i 为微元面的边长，则F i =ΓdS i ，i =1, 2。图2-14中，边长dS 1=R 1d θ1，d θ1=
dS 1⎛1⎞1
。当d θ1非常小时，sin ⎜d θ1⎟=d θ1。下面我们来建立R ⎝2⎠2
法向矢量方向上的力平衡关系。对于边dS 1的向下作用力
Γ1⎛1⎞
F 2=2ΓdS 2sin ⎜d θ1⎟=2ΓdS 2d θ1=dS 1dS 2
22R ⎝⎠1
对于边dS 2的向下作用力
⎛1⎞Γ
F 1=2ΓdS 1sin ⎜d θ2⎟=dS 1dS 2
⎝2⎠R 2
由界面张力作用产生的向下的合力为
⎛11⎞
⎟+F =F 1+F 2=Γ⎜⎜R ⎟dS 1dS 2 R 2⎠⎝1
如果流体界面的法向应力差为ΔT rr ，则
⎡⎛11⎞⎤
⎜ΔT −Γ+⎢rr ⎜R R ⎟⎟⎥dS 1dS 2=0
2⎠⎦⎝1⎣
⎛11⎞
⎟ΔT rr =Γ⎜+⎜R ⎟ （2-42） R 2⎠⎝1
式（2-42）即为动力学边界条件的一种表达式。
参照式（2-27）得
ΔT rr =−(p o −p i ) +σrr （2-43）
式中，p i 为内压，p o 为外压。设内外压差Δp =p i −p o ，则
ΔT rr =Δp +σrr （2-44）
因此，界面法向应力差ΔT rr 为内外压力差Δp 与动力学法向应力之和。当σrr =0时，
ΔT rr =Δp （2-45）
那么，式（2-42）可写成
⎛11⎞
⎟ （2-46） Δp =Γ⎜+⎜R ⎟
⎝1R 2⎠⎛11⎞
⎟p i =p o +Γ⎜+⎜R ⎟ （2-47） R 2⎠⎝1
当R 1=R 2时，即得常用的表达式
Δp =2ΓR （2-48）
需注意的是在具有粘弹特性的聚合物加工中，两种聚合物熔体相界面处的大分子链形态的改变往往导致σrr ≠0。因此，由式（2-42）求得的界面张力已不是平衡热力学意义上的值，而是包含了动力学因素。我们把它定义为动力学界面张力。
主要参考文献
[1] Fung YC, A First Course in Continuum Mechanics, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1977. [2] Middleman S, Fundamentals of Polymer Processing, McGraw-Hill Book Co., New York, 1977.
2 张量和连续介质力学引论
2.1矢量与张量
我们经常遇到的物理量可用标量、矢量、张量表示。
）等。标量（Scalars ）：温度（T ），能量（E ），体积（V ），时间（t ），表观剪切速率（γ
，速度（），加速度（），动量（m ），力（）矢量（Vectors ）：位置矢量（）等。
张量（Tensors ）：应力张量（），应变速率张量（），旋转张量（），取向张量（），，界面张量（），面积张量（）等。 构象张量（）
2.1.1 矢量
2.1.1.1 矢量的表述方法
用黑体字母表示矢量（或在字母上加一横），称为Gibbs 表示法。例如，，，。另一种表示法称为指标表述法。位置矢量可表示如下：
=p 11+p 22+p 33=∑p i i （2-1）
i =1
3
式中1、2和3是单位矢量，p 1、p 2和p 3是矢量在三个坐标方向的分量。式（2-1）可以简化为：
=p i i （2-2）
式中i 称为哑指标，又称求和指标。再作简化，式（2-2）可以写成：
=p i （2-3）
式中i 称为自由指标。式（2-2）和（2-3）都属于指标表示法，但式（2-2）称为实体表示法，
式（2-3）称为分量表示法。式（2-2）中采用爱因斯坦求和约定，式中i 是重复指标，i =1, 2, 3，表示三项之和，因此式（2-2）与式（2-1）相当。
Gibbs 表述法直观，不依赖坐标体系，书写简明，易于图示。但是，在进行数值运算时，矢量必须通过在给定坐标体系中的投影值，即坐标分量来表示。而指标表述法可直接将分量值简明地表示出来，便于数学推导，适于数值计算。
指标表述法举例：
① a i b i =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3，i =1, 2, 3
② a k b i c k =a k c k b i =(a 1c 1+a 2c 2+a 3c 3)b i ，i , k =1, 2, 3 式中下标k 是求和指标，i 是自由指标。 ③ a i =a i ，i =1, 2, 3
等式两边的自由指标必须相同，如果写成a i =a j 就错了。 2.1.1.2
δij 和e ijk 的定义
① δij 称作克罗内克算符（Kronecker Delta）
0δij ≡⎧⎨1 ⎩
当i ≠j 时当i =j 时
其定义为i ⋅j ≡δij 。因此δij 是个单位张量。
⎡100⎤δij =⎢010⎥
⎢001⎥⎦⎣
② e ijk 称作排列符 （顺序算符） （permutation symbol）
e 123=e 231=e 312=1 e 132=e 321=e 213=−1
其余皆为零。
2.1.1.3 矢量运算指标表述法
① 矢量的点积
即：
+
③
①
顺时针排列为正
–
②
逆时针排列为负 其余排列为零
⎞33⎛3⎞⎛3
⋅=cos θ=⎜∑a i i ⎟⋅⎜∑b j j ⎟=∑∑(i ⋅j )a i b j
⎝i =1⎠⎝j =1⎠i =1j =1
=∑∑δij a i b j =∑a i b i [=]a i b i =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
i
j
i
也可简化地写作：
⋅=(a i i )⋅(b j j )=a i b j i ⋅j =a i b j δij =a i b i =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
所以，矢量的点积为标量。
② 矢量的数值
==
2
⋅=
p i p i =p 1p 1+p 2p 2+p 3p 3=
22
p 12+p 2+p 3
③ 矢量的微分
设矢量为(x 1, x 2, x 3)，则
d =
单位矢量为
∂∂∂∂dx i =, i dx i dx 3=dx 2+dx 1+
∂x i ∂x 3∂x 2∂x 1
∂ ∂p i
i =
④ 矢量的叉积
×= ×=w i =e ijk u j v k
w i =e i 1k u 1v k +e i 2k u 2v k +e i 3k u 3v k
=(e i 11u 1v 1+e i 12u 1v 2+e i 13u 1v 3)+(e i 21u 2v 1+e i 22u 2v 2+e i 23u 2v 3)+(e i 31u 3v 1+e i 32u 3v 2+e i 33u 3v 3)
=(e i 12u 1v 2+e i 13u 1v 3)+(e i 21u 2v 1+e i 23u 2v 3)+(e i 31u 3v 1+e i 32u 3v 2)
当i =1时，w 1=u 2v 3−u 3v 2 当i =2时，w 2=u 3v 1−u 1v 3 当i =3时，w 3=u 1v 2−u 2v 1 因此
×=(u 2v 3−u 3v 2)1+(u 3v 1−u 1v 3)2+(u 1v 2−u 2v 1)3
12
×=u 1u 2
v 1v 2
3u 3 v 3
上面两种表述的结果相同，但是采用e ijk 符号的表达式较简明，便于运算。 ⑤ e −δ恒等式
e ijk e ist =δjs δkt −δjt δks （2-4）
式中i 是求和指标，j , k , s , t 皆为自由指标。
注意：
（a ）式中不同项中的指标若相同，不可认为是求和指标。只有在同一项中相同的指标才能定义为求和指标。
（b ）等式两边的自由指标必须一致。 ⑥ 交换律
⋅=⋅
δji δkt =δkt δji
a ij B ij =B ij a ij
⑦
δij 的置换性质
a i δij =a j a i δji =a j a ijklmn δkr =a ijrlmn
如果我们想把a k 变成a i ，可以乘以δik ，即a k δik =a i ，或者a k δki =a i 。 2.1.1.4 矢量在不同坐标中的表示法
如图2-1所示，把坐标轴旋转θ度后，若矢量在原来坐标体系中的表达式为=p i i ，则在新坐标体系中应为=p i i ′。作为位置矢量并没有改变，所以p i i =p i ′i ′。两边乘以
j ，得
p i i ⋅j =p i ′i ′⋅j p i δij =p i ′βij =p j
式中βij =i ⋅j ，称为方向余弦。方向余弦表示矢量在不同坐标间的转换关系：
x 1
1
图2-1 坐标轴旋转示意图
2
p j =p i ′βij =βij p i ′，j =1, 2, 3
即p j =
′+β2j p 2′+β3j p 3′。 β1j p 1
同样可对式p i i =p i ′i ′两边乘以j ，得
′′′p i i ⋅′j =p i i ⋅j
所以p i βji =p i ′δij =p ′j
这样一矢量在不同坐标中的转换可写成
p i =βji ⋅p ′j （2-5） p i ′=βij ⋅p j （2-6）
式中βji =′j ⋅i ，βij =i ⋅j 。注意：βji 中写在前面的下标代表新坐标。
按照矢量点积的定义，方向余弦可表示为
βij =i ′⋅j =j ⋅i =cos i ′, j )
表2-1列出了βij 的九个分量，可用矩阵表示。
–' e 1–' e
2
表2-1 方向余弦表
– – e e
β11 β21 β31
β12 β22 β32
– e β13 β23 β33
–' e βij 是个特殊的张量，具有以下特性： βij ≠βji ，因此不是一个对称张量；
βij =1 βji =(βij )T βji =(βij )−1
所以，βij =
T
βij −1
（2-7）
凡是满足式（2-7）条件的矩阵称为正交矩阵。由正交矩阵实施的变换称为正交变换，
也即能使坐标发生旋转。
对正交矩阵，可以证明：
(βik )(βkj )
即δij =
T
=(βik )(βkj )=δij
（2-8）
−1
βik βjk
2.1.2 张量简介
2.1.2.1 标量、矢量、张量的定义
当直角坐标系改变（即从一个坐标系变换成另一个坐标系）时，满足如下转换关系的分量所组成的集合分别是标量、矢量和张量：
′, x 2′, x 3′) 标量：φ(x 1, x 2, x 3)=φ(x 1
式中一个分量相等。
（2-9）
′, x 2′, x 3′)βki 矢量：F i (x 1, x 2, x 3)=F k ′(x 1
′, x 2′, x 3′)=F k (x 1, x 2, x 3)βik （2-10） F i ′(x 1
式中三个分量乘以转换因子后分别相等。
′(x 1′, x 2′, x 3′)βmi βnj 张量：t ij (x 1, x 2, x 3)=t mn
′(x 1′, x 2′, x 3′)=t mn (x 1, x 2, x 3)βim βjn （2-11） t ij
式中九个分量乘以转换因子后分别相等。
张量是由数个元素组成的集合体，可用矩阵表示。在聚合物加工中，重要的张量如应力张量τij ，速度梯度张量∂u i ∂x j ，应变速率张量Δij ，取向张量S ijkl ，构象张量C ij ，界面张量q ij 等。
从上面定义可知，标量与坐标系无关，而矢量、张量与坐标系有关。通过指标表述变量的换算，可以证明上面定义的有效性。例如⋅是标量，那么当坐标系改变后，是否还是同一标量值呢？
′)=β′ji βki p ′j p k ′=δjk p ′j p k ′=p ′j p ′j ⋅=p i p i =(β′ji p ′j )(βki p k
再如，并矢是张量，在另一个坐标系中应如何表述呢？
′=βji βkl p ′j p k ′ p i p l =βji p ′j βkl p k
可见此张量在新坐标系中的并矢需乘以转换因子才能与原来的相等。
张量的阶数与分量数归纳如下：
T =T ′ T i =βri T r ′
′ T ij =βri βsj T rs
阶数N 分量数
0 1 1 3 2 9 3 27 N 3N
′ T ijk =βri βsj βtk T rst
′ T ijkl =βri βsj βtk βul T rstu
′ =βir βjs βkt βlu T ijkl T rstu
2.1.2.2 张量的运算
① 转置：
T τij =τji
对称：
τij =τji
反对称：
τij =−τji
求逆：
−1τik τkj =δij ；
求迹：
tr τ=τii =τ11+τ22+τ33
② 加减法：
③ 乘法：
标量－矢量相乘：
标量－张量相乘：
矢量点积：
矢量叉积：
并矢：
张量的单点积：
张量的双点积：
张量－矢量点积：
矢量－张量点积：
张量－矢量叉积：
矢量－张量叉积：
④ 张量的缩并：
±=u i ±v i
+=τij +σij
a =au i
a =a τij
⋅=u i v i
×=e ijk u j v k
=u i v j
⋅=τik σkj
:=τij σji
⋅=τij v j
⋅=v i τij
×=e jkl τij v k
×=e ijl v i τjk
T ⎯缩并⎯→T ⎯缩并
ijkl ijjl ⎯→T ijji 四阶张量
二阶张量
标量
2.1.2.3 运算符号的定义
运算符号的定义见表2-2。
表2-2 各种运算符号的定义
Gibbs 表示法 矢量
点积（内积） ⋅ 叉积（矢积） × 并矢（外积） ⊗=标量梯度 grad φ=∇φ 矢量梯度 grad =∇ 散度 div =∇⋅ 旋度 curl =∇× ∇=∇⋅∇=Δ ∇2φ=∇⋅∇φ=Δφ
2
指标表示法
v i u i v i e ijk u j v k
u i v j ∂φ∂x i =φ, i
张量的阶数
1 0 1
2 1 2 0 1 1 0
∂v i ∂x j =v i , j ∂v i
=v i , i ∂x i ∂v
e ijk k =e ijk v k , j ∂x j
∂∂x i
2
⎛∂v j ⎞∂v j
⎜⎜∂x ⎟⎟=∂x ∂x =v j , ii
i i ⎝i ⎠
∂⎛∂φ⎞∂2φ⎜⎟==φ, ii ⎜⎟∂x i ⎝∂x i ⎠∂x i ∂x i
注：（a ） ∇=
∂∂∂∂
1+2+3=i 称为det 算子或哈密顿算子；（b ） Δ=∇⋅∇∂x 1∂x 2∂x 3∂x i
称为拉普拉斯算子。
2.2 连续介质中的应力
2.2.1 应力简介
根据连续介质力学的观点，不管是什么原因引起的，物体所受的力都可以分成三种类型： ⑴ 外力，例如，地球吸引力（称为体力）、静电与磁性吸引力等，都是作用在物体上的非接触力。因此这类外力也被称作长程力。
⑵ 表面力，指施加在物体外表面的接触力。因为施加在物体的外表面上，故常作为边界条件处理。
⑶ 内部应力，我们可以想象将一物体分割成为许多宏观尺度足够小而微观尺度足够大的单元，单元表面存在着相互作用力（此单元被称作微元体，也叫做体积元。），这种作用力被称作应力；换句话说，应力就是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体表面的接触力，因此，应力又被称作近程力。图2-2给出了单元表面作用力的示意图。
图2-2 单元表面的作用力
图中δS 是截面积，δ是作用力，为法向单位矢量。P 点应力()
的定义为
()=lim
δ （2-12）
δS →0δS
。
为了进一步分析P 点微元体受力情况，我们采用一立方体表示这一微元体（见图2-3）
x 2
1
图2-3 微元体P 受力分析
图中(−2)
=(2)，即(−2)与(2)绝对值相等，方向相反。P 微元体受到了三个独立作用
(1)
力的作用：，(2)
，(3)
；每个作用力又可按图2-3的直角坐标系分解成三个分量。所
以对于微元体P 来说，总共受到独立的九个分量的作用：
垂直于x 1的平面上的单位面积作用力为
(1)=τ111+τ212+τ313 （2-13）
垂直于x 2的平面上的单位面积作用力为
(2)=τ121+τ222+τ323 （2-14）
垂直于x 3的平面上的单位面积作用力为
(3)=τ131+τ232+τ333 （2-15）
上式中τ11，τ12，τ13，τ21……为应力分量；前面一个下标表示作用力方向，后一个下标表示作用面。
式（2-13）、（2-14）、（2-15）可合并为
(j )
=τij i （2-16）
式中τij 是个二阶张量，有九个分量，可以写成矩阵形式：
⎡τ11τ12τ13⎤
τij =⎢τ21τ22τ23⎥
⎢τ⎥⎣31τ32τ33⎦
现在的问题是应力τij 是否能完全表示物体内部的受力情况。也就是说，如果物体内部某点的τij 已知，那么该点在任何作用面上的作用力是否已经可求？答案是肯定的。下面来证明这一点。
任取一P 点，并任取一作用面δS ，受力分析见图2-4。已知τij ，νj ，求()
。
设图中四面体的高为h ，四面体体积V =当h →0，V →0，此时作用在P 点3h δS 。上的力应达到平衡。即
()dS +(−1)(δS ⋅1)+(−2)(δS ⋅2)+(−3)(δS ⋅3)=0
∵ ⋅
1=cos (1)≡ν1
⋅2=cos (2)≡ν2
⋅3=cos (3)≡ν3
∴ ()=−(−1)ν1−(−2)ν2−(−3)ν3
因为所以()
(−j )
=−(j )
=(1)ν1+(2)ν2+(3)ν3
()=j νj
将式（2-16）与()
)
=t j j 代入上式得
t i ()=νj τij （2-17）
()
上式称作Cauchy 公式。若用矩阵表示，可写成
t i ()=(ν1ν2
⎡τ11τ12τ13⎤
⎥ （2-18）
ν3)⎢τττ212223⎥⎢⎢⎦⎣τ31τ32τ33⎥
由于物体受力后角动量守恒，故τij 是个对称张量，τij =τji 。
2.2.2 主应力与主轴
当一物体受力后，其内部某一微元体各个面上的作用力的方向不一定与坐标轴相一致。
但是，我们可以通过旋转使得它们相一致。
1
x 旋转
1
τij [=]τ' ij
x' 3
图2-5 微元体旋转示意图
′表示旋转后坐标中的应力，即 图中τij 是原坐标轴中应力表示值，τij
′00⎤⎡σ100⎤⎡τ11τ12τ13⎤⎡τ11
′=⎢0τ22′τij =⎢τ21τ22τ23⎥→τij 0⎥=⎢0σ20⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
′⎥0τ33⎢⎢⎣τ31τ32τ33⎥⎦⎣0⎦⎢⎣00σ3⎥⎦
T j =νi τij ，T 1=νi τi 1，T 2=νi τi 2，T 3=
νi τi 3
′，T 1′=νi τi ′1，T 2′=νi τi ′2，T 3′=νi τi ′3 T j ′=νi τij
′，x 2′，x 3′是旋转后新坐标系的三′的三个分量，被称为主应力。x 1σ1，σ2，σ3是τij
个轴，称为主轴。与主轴相垂直的三个平面称作主平面。νi 是主平面的单位法向矢量。
2.3 动力学方程
在聚合物加工中，基本守恒方程包括：连续性方程，动力学方程，能量方程，传质方程。其中，能量方程与传质方程将在第五章中讲述。连续性方程表现了质量守恒原理。动力学方程也叫运动方程，表达了动量守恒原理。
2.3.1 质量守恒
根据图2-6所示的质量守恒原理，我们可以建立一体积元的质量平衡表达式如下：
体积元
图2-6 质量守恒原理
流进质量＝流出质量＋质量变化率
设质量变化率增加为正，减少为负。则
（流出质量－流进质量）＋质量变化率=0
为了推导连续性方程，首先把一体积元的外表面分成两组平面，每一组由三个平面组成。质量从一组平面流进，从另一组平面流出。（见图2-7）
（1） 质量变化率
∂ρ
dx 1dx 2dx 3，其中ρ为密度。
∂t
图 2-7 体积元的两组平面
（2） 流动引起的质量变化（流体携带的质量）
x 1分量（通过与x 1垂直的平面的量）为
[ρu 1dx 2dx 3]x =dx −[ρu 1dx 2dx 3]x =0
=[(ρu 1)x =dx 1−(ρu 1)x =0]dx 2dx 3
=δ(ρu 1)dx 2dx 3
∂(ρu 1)dx dx dx =
1
1
1
1
1
∂x 1
123
式中ρu 1称为质量通量，其量纲为⎢
⎡M ⎤
。 2⎣L t ⎦
∂(ρu 2)dx 1dx 2dx 3
∂x 2
同样可以求得x 2分量的表达式：
x 3分量的表达式：
∂(ρu 3)dx 1dx 2dx 3 ∂x 3
根据上述质量平衡表达式，可得
⎡∂(ρu 1)∂(ρu 2)∂(ρu 3)⎤∂ρ
dx dx dx +++⎥123∂t dx 1dx 2dx 3=0 ⎢∂x x x ∂∂123⎦⎣
∂ρ∂(ρu 1)∂(ρu 2)∂(ρu 3)+++=0
∂t ∂x 1∂x 2∂x 3
得到连续性方程式
∂ρ∂(ρu i )+=0 （2-19）
∂t ∂x i
用矢量表述法表示，连续性方程可写成：
∂ρ
+∇⋅ρ=0 ∂t
∂ρ
+ρ∇⋅+⋅∇ρ=0 （2-20） ∂t
令
∂ρD ρ
，连续性方程可写成： +⋅∇ρ≡
∂t Dt
D ρ
+ρ∇⋅=0 Dt
∂u D ρ
+ρi =0 （2-21） Dt ∂x i
式中
D ∂∂∂
=+u i =+⋅∇，称为随体时间导数（物质导数），又称Stokes 导数（微Dt ∂t ∂x i ∂t
D ρ∂ρ
=0，则=0，得出不可压缩流体的连续性方∂t Dt
∇⋅=0
商）。
对于不可压缩流体，∇ρ=0，程：
∂u i
=0 （2-22） ∂x i
从式（2-20）可知域变化，u i
D ρ∂ρ
是由两项组成。在一流场中，代表场的非定常性所引起的局Dt ∂t
∂ρ∂ρ为场的非均匀性所引起的变化，或称为u i 引起的对流项。=0，表示局
∂t ∂x i
域不变；u i
∂ρ∂ρ∂ρ=0，表示对流不变。+u i =0，表示随体不变。不可压缩流体具
∂t ∂x i ∂x i
D ρ
=0。 Dt
有随体不变的性质，即
2.3.2 动量平衡
与推导连续性方程同样，先把流体的一个体积元外表面分成两组平面，每组包括三个平
第一组平面
图 2-8 两组平面上的应力
11
1
x 1
x 第二组平面
面（见图2-8）。图中应力张量下标约定为第一个下标表示作用力方向，第二个下标表示作用面。作用于一体积元的可能的力包括：（1）表面应力；（2）重力；（3）流体携带的动量通量；（4）体积元内动量变化率；（5）其它力，如电力、磁力等。把所有作用于流体体积元的力分解成x 1、x 2、x 3三个方向，分别求平衡。
x 1方向的平衡：
（1）表面应力S 1
S 1=[(T 11+dT 11)−T 11]dx 2dx 3+[(T 12+dT 12)−T 12]dx 1dx 3+[(T 13+dT 13)−T 13]dx 1dx 2
==
∂T ∂T 11∂T
dx 1dx 2dx 3+12dx 1dx 2dx 3+13dx 1dx 2dx 3∂x 1∂x 2∂x 3∂T 1i
dV ∂x i
（2）重力B 1
设f 1是x 1方向的单位质量的重力（重力加速度）
B 1=ρf 1dx 1dx 2dx 3=ρf 1dV
（3）流体携带的动量通量C 1
动量通量等于动量密度乘以速度。已知动量密度为ρ，则动量通量为(ρ)。在x 1方
向的动量密度为ρ1，流进第一组平面的动量流为：
[(ρu 1)u 1dx 2dx 3]x 1
=0+[(ρu 1)u 2dx 1dx 3]x 2
=0+[(ρu 1)u 3dx 2dx 1]x 3
=0
流出第一组平面的动量为：
[(ρu 1)u 1dx 2dx 3]x 1
=dx 1
+[(ρu 1)u 2dx 1dx 3]x 2
=dx
2
+[(ρu 1)u 3dx 2dx 1]x 3=dx
3C 1=流进的动量流−流出的动量流
=−⎡⎢
∂⎣∂x (ρu )dx ∂⎤
1u 11dx 2dx 3+1∂x (ρu 1u 2)dx ∂1dx 2dx 3+(ρu 1u 3)dx 1dx 2dx 3⎥ 2∂x 3⎦
=−∂
∂x [ρu 1u i ]dV i
（4）体积元内动量的变化率R
R =
∂
∂t (ρu 1dx 1dx 2dx 3)=∂∂t
(ρu 1)dV 假设其它力可以忽略不计，则由力的平衡可得
R =S 1+B 1+C 1
∂
∂t (ρu ∂x u ∂T j 1)dV +∂(ρ1u j )dV =1dV +ρf 1dV j ∂x j
同样，可求得学x 2方向与x 3方向的力的平衡方程：
x 2方向
∂
∂t (ρu ∂T 2)dV +∂∂x (ρu 2u j )dV =2j ∂x dV +ρf 2dV j j
x 3方向
∂
(ρu dV +∂x (ρu ∂T 3j ∂t 3)∂3u j )dV =dV +ρf 3dV j ∂x j
合并x 1、x 2、x 3三个方向的平衡方程，得到流体的动力学方程：
∂
(ρu )+∂(ρu ∂T ij ∂t i ∂x i u j )=+ρf i ，i =1, 2, 3 j ∂x j
因为
∂
(ρu i t i )=ρ∂u ∂t +u ∂ρ∂i ∂t
∂
∂x (ρu ∂u i i u j )=ρu j +u ∂i j ∂x j
∂x (ρu j )
j 2-23） （
所以
⎛∂u i ∂u ∂
(ρu i )+∂(ρu i u j )=⎜+ρu j i ρ⎜∂t ∂t ∂x j ∂x j
⎝
⎛∂u ∂u =⎜ρi +ρu j i ⎜∂t ∂x j ⎝
式（2-23）可以写成
⎞⎤⎡
⎟+u i ⎢∂ρ+∂(ρu j )⎥⎟⎥⎢⎠⎦ ⎣∂t ∂x j ⎞⎟⎟⎠
⎛∂u i ∂T ∂u i ⎞⎜⎟=ij +ρf i +u j ρ⎜
∂x j ⎟⎝∂t ⎠∂x j
惯性项
在惯性项中，ρ
（2-24）
粘性项重力项
d (mu i )∂u i ∂u 是加速度的贡献，相当于。ρu j i 是对流造成的，又称为
∂t Vdt ∂x j
对流项。因此惯性项是由加速度项和对流项组成。
注意：（a ）方程（2-24）并没有规定流体是不可压缩的，因此对于可压缩流体同样适用；（b ）对流项的存在使得方程变成非线性。采用解析法不能解非线性微分方程，只有求助数值方法才可解；（3）ρ为常数时，上面方程也被称为Cauchy 应力方程。
如果在式（2-24）中采用物质导数形式表达，则可改写为
ρ
∂u Du i ∂u i
+u j i =∂t Dt ∂x j
设ρf i −ρ
Du i ∂T ij
+ρf i （2-25） =
Dt ∂x j
式中
Du i
=F i ，得 Dt
∂T ij ∂x j
+F i =0 （2-26）
式（2-26）与工程力学中的力平衡方程具有相同的表达形式。但在静力学平衡方程中，
ρ
Du i
=0，F i =ρf i 。 Dt
在上述方程中，T ij 可分解为两项：
T ij =−p δij +τij （2-27）
式中T ij 是Cauchy 应力张量，p 是压力。根据压力的定义，压缩方向为正，这与力的符号定义刚好相反，故在p 前面加负号。又称为偏应力张量。当i =j τij 称为动力学应力张量，时，τij 表示法向应力；当i ≠j 时，τij 表示剪切应力。
注意：（a ）根据Stokes 的定义，式（2-27）只适用于不可压缩流体；（b ）式（2-27）中
的τii =0，所以τij 是个零迹张量。
将式（2-27）代入式（2-25），得到动力学方程的常用形式：
⎛∂u i ∂u
ρ⎜+u j i ⎜∂t ∂x j ⎝⎞∂τ
⎟=−∂p +ij +ρf i （2-28） ⎟∂x i ∂x j ⎠
表2-1列出了动力学方程与连续性方程分别在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中的表达式。
如果流体是牛顿流体，粘度η为常数，将τij =η⎜Navier-Stokes 方程：
⎛∂u i ∂u j
+⎜∂x
⎝j ∂x i ⎞
⎟代入式（2-28），得到⎟⎠
Du i ∂2u i ∂p ρ=−+η+ρf i （2-29） Dt ∂x i ∂x j ∂x j
D 1η
=−∇p +∇2+ （2-30）
ρρDt
∂2
式中∇=，称为Laplacian 算子。 2
∂x
2
表2-1 动力学方程和连续性方程（其中速度皆为物理分量）
直角坐标系x , y , z 动力学方程：
ρ⎜⎜
x 分量
⎛∂u x ∂u ∂u ∂u ⎞∂p ⎛∂τxx ∂τyx ∂τzx ⎞
⎟+ρg x +⎜++=−+u x x +u y x +u z x ⎟⎟⎟⎜∂x ⎝∂x ∂y ∂z ⎠∂x ∂y ∂z ⎠⎝∂t
ρ⎜⎜
y 分量
∂u ∂u ∂u ⎞⎛∂u y ∂p ⎛∂τxy ∂τyy ∂τzy ⎞
+ρg y =−+⎜+++u x y +u y y +u z y ⎟⎟⎟⎟⎜∂y ⎝∂x ∂y ∂z ⎠∂x ∂y ∂z ⎠⎝∂t
ρ⎜⎜
z 分量
⎛∂u z ∂u ∂u ∂p ⎛∂τxz ∂τyz ∂τzz ⎞∂u ⎞
+u x z +u y z +u z z ⎟=−+⎜++ρg z +⎟⎟⎟⎜∂x ∂y ∂z ⎝∂x ∂z ⎠∂y ∂z ⎠⎝∂t
∂u x ∂u y ∂u z
++=0 ∂x ∂y ∂z
连续性方程：
柱坐标系r , θ, z
动力学方程： r 分量
⎛∂u r ∂p ⎛1∂∂u r ⎞∂u r u θ∂u r u θ2
(r τrr )+1∂τr θ−τθθ+∂τrz ⎞⎟ρ⎜u u =−+⎜−+++⎟+ρg r r z ⎟⎜∂t r ∂θr ∂z ⎠r ∂θr ∂r ⎝r ∂r ∂z ⎠∂r ⎝
ρ⎜⎜
θ分量 z 分量
⎛∂u θu ∂u u u ∂u ⎞∂u 1∂p ⎛1∂21∂τθθ∂τθz ⎞
()r τ+++=−+u r θ+θθ+r θ+u z θ⎟⎜⎟+ρg θ θr 2⎟r ∂θ⎝r ∂r r ∂θ∂z ⎠r ∂θr ∂z ⎠∂r ⎝∂t
ρ⎜
∂p ⎛1∂∂u u ∂u ∂u ⎞⎛∂u z
(r τrz )+1∂τθz +∂τzz ⎞+u r z +θz +u z z ⎟=−+⎜⎟+ρg z
r ∂θr ∂θ∂z ⎝r ∂r ∂z ⎠∂r ∂z ⎠⎝∂t
1∂
(ru r )+1∂u θ+∂u z =0
∂z r ∂r r ∂θ
连续性方程：
球坐标系r , θ, φ
动力学方程： r 分量
22
⎛∂u r u φ∂u r u θ+u φu u u ∂∂θr r ρ⎜−+++u r ⎜∂t r r θr θφr ∂∂∂sin ⎝⎞
⎟⎟⎠
⎞⎟⎟+ρg r ⎠
=−
∂∂p ⎛1∂1∂τr φτθθ+τφφ1
()()r ττθ+−++⎜sin rr r θ2
r r r θ∂θr θ∂φr ∂∂r ⎜sin sin ⎝
θ分量
⎞
⎟⎟⎠
⎛∂u θu φ2ctg θu ∂∂∂u u u u u u φr θθθθθ
+u r ++ρ⎜−+⎜∂t sin ∂∂θr θ∂φr r r r ⎝
=−
⎞1∂p ⎛1∂11∂τθφτr θctg θ∂
()()sin r ττθτ+⎜+++−θr θθφφ⎟2⎟+ρg θ
r ∂θ⎜r sin θ∂θr sin θ∂φr r ⎝r ∂r ⎠
φ分量
⎛∂u φ∂u φu θ∂u φu φ∂u φu r u φu φu θctg θ⎞⎜⎟ρ+u r ++++⎜∂t ⎟∂r r ∂θr θ∂φr r sin ⎝⎠
⎞1∂p ⎛1∂21∂τθφ1∂τφφτr φ2ctg θ
()r ττ=−+⎜++++r φθφ⎟2⎟+ρg φ
r sin θ∂φ⎜r ∂θr sin θ∂φr r ⎝r ∂r ⎠
连续性方程：
1∂21∂1∂u φ
()()r u u θ+sin +=0 θr 2
r ∂r r sin θ∂θr sin φ∂φ
2.4 运动学
2.4.1 速度梯度
动力学研究的是运动与力的关系，而运动学则是分析运动速度与空间位置的关系。设一连续介质流动时，o 点的速度为u Oi ，其邻点的速度可用Taylor 展开写成：
⎛∂u i
u i =u Oi +⎜
⎜∂x ⎝j ⎞
⎟du j +O (dx j )2 ⎟⎠O
⎞
⎟du j （2-31） ⎟⎠O
∂u i
进行分解，∂x j
⎛∂u
u i −u Oi =⎜i
⎜∂x ⎝j
因此，从纯粹运动学的角度看，上式中速度梯度是关键的变量。对于可得：
∂u i 1⎛∂u i ∂u j
⎜=+
∂x j 2⎜∂x ⎝j ∂x i
定义：Δij ≡⎜
⎞1⎛∂u i ∂u j
⎟+⎜−⎟2⎜∂x ⎠⎝j ∂x i ⎞
⎟ ⎟⎠
（2-32）
⎛∂u i ∂u j
+⎜∂x
⎝j ∂x i ⎞⎟ ⎟⎠⎞⎟ ⎟⎠
⎛∂u i ∂u j
−W ij ≡⎜⎜∂x
⎝j ∂x i
（2-33）
那么，速度梯度的表达式应为
∂u i 11
=Δij +W ij （2-34） ∂x j 22
这样，式（2-31）可以写成
1⎞⎛1
u i −u Oi =⎜Δij +W ij ⎟du j （2-35）
2⎠⎝2
如果采用Gibbs 表述法表示，式（2-32）、（2-33）、（2-34）可写成
=∇+∇T （2-36） =∇−∇T （2-37） ∇=
式（2-34）也可写成
11
+ （2-38） 22
⎡∂u 1⎢∂x ⎢1
∂u i ⎢∂u 2
=∂x j ⎢⎢∂x 1
⎢∂u 3⎢∂x ⎢⎣1
∂u 1
∂x 2∂u 2∂x 2∂u 3∂x 2
∂u 1⎤∂x 3⎥⎥∂u 2⎥∂x 3⎥∂u 3⎥∂x 3⎥⎦
1⎛∂u 1∂u 3⎞⎤⎡
+0⎜⎟⎥⎢2⎝∂x 3∂x 1⎠⎥⎢
1⎛∂u 2∂u 3⎞⎥⎢1⎛∂u 2∂u 1⎞
+−⎜⎟⎥+⎢⎜⎟2⎝
∂x 3∂x 2⎠⎥⎢2⎝∂x 1∂x 2⎠
⎥⎢
∂u 3⎥⎢1⎛∂u
3−∂u 1⎞
⎟⎥⎢2⎜∂x 3
⎦⎣⎝∂x 1∂x 3⎠
W 13⎤W 23⎥⎥0⎥⎦
1⎛∂u 1∂u 2⎞
−⎜⎟2⎝∂x 2∂x 1⎠
01⎛∂u 3∂u 2⎞
−⎜⎟2⎝∂x 2∂x 3⎠
1⎛∂u 1∂u 3⎞⎤
−⎜⎟⎥2⎝∂x 3∂x 1⎠⎥1⎛∂u 2∂u 3⎞⎥
−⎜⎟⎥2⎝∂x 3∂x 2⎠⎥
⎥⎥0
⎥⎦
⎡∂u 11⎛∂u 1∂u 2⎞
+⎢⎜⎟
∂∂∂x 1⎠x x 212⎝⎢
⎢1⎛∂u ∂u ⎞∂u 2=⎢⎜2+1⎟
∂x 2⎢2⎝∂x 1∂x 2⎠
⎢
⎢1⎛∂u 3+∂u 1⎞1⎛∂u 3+∂u 2⎞
⎟⎜⎟⎢2⎜
⎣⎝∂x 1∂x 3⎠2⎝∂x 2∂x 3⎠⎡Δ11Δ12Δ13⎤⎡0W 12
11⎢
=Δ21Δ22Δ23⎥+⎢W 210
⎥2⎢2
⎢
ΔΔΔ⎢⎥⎢313233⎣⎦⎣W 31W 32
式（2-34）中，Δij 是
∂u i ∂u
的极性部分，具有对称性质。W ij 是i 的轴向部分，具有反对∂x j ∂x j
∂u i ∂u
并不一定是对称的。如果是不可压缩流体，Δij 与i ∂x j ∂x j
称性质，是个零迹张量。应注意也都是零迹张量。
x 2
x 2
速度u 1
x 2
速度u ∂u ∂x 2––– ∂x 1
, 速度u 1
（1） 纯剪切变形运动
图2-9 流体微元体运动示意图
1, 速度u 1
（2） 绕Z 轴旋转
2.4.2 运动变量的物理含义
如图2-9所示，在一般情况下，流体微元体在xoy 平面兼有剪切变形和转动两种运动。对于纯剪切变形运动，可用
∂u 1∂u 2
+表示，即采用Δij 表示剪切变形引起的微元体的变形∂x 2∂x 1
∂u 1∂u 2
−表示，即采用W ij 表示微元体的转∂x 2∂x 1
与平动程度。对于绕Z 轴旋转的运动，可以用
动。我们称Δij 形变速率张量，称W ij 为旋转速率张量（或涡度张量）。
旋转速率张量有一个孪生的矢量W k ，称为旋转矢量（或涡度矢量）。
⎛∂u ∂u ⎞
W k =e kij W ij =e kij ⎜i −j ⎟ （2-39）
⎜∂x ⎟⎝j ∂x i ⎠
式（2-39）也可写成
=2Curl （2-40）
对上述内容进行归纳可知，流体运动变量包括速度u i ，速度梯度张量
∂u i
，形变速率∂x j
张量Δij ，旋转速率张量W ij ，旋转矢量W k 等。流体在流动体系中两点之间的相对运动可用速度梯度张量
∂u i
来描述。速度梯度张量可以分解为依赖于旋转速率张量W ij 的刚性转动部∂x j
分和采用形变速率张量Δij 描述的变形平动部分。对于很多聚合物流体来说，应力张量T ij 只依赖于形变速率张量Δij 。换句话说，动力学变量与运动学变量之间的关系可通过Δij 来建立。
表2-2给出了在三个常用坐标体系中的形变速率张量Δij 的分量表达式。
表2-2形变速率张量的分量
直角坐标系x , y , z
∂u y ∂u x ∂u x ，
Δxy =Δyx =+∂x ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u
Δyy =2y ，Δxz =Δzx =z +x
∂z ∂x ∂y
∂u ∂u ∂u
Δzz =2z ，Δyz =Δzy =y +z
∂z ∂z ∂y
Δxx =2
柱坐标系(r , θ, z )
Δrr =2
∂u r ，∂⎛u ⎞1∂u r
Δr θ=Δθr =r ⎜θ⎟+∂r ∂r ⎝r ⎠r ∂θ
球坐标系(r , θ, φ)
Δrr =2
⎛1∂u θu r ⎞
Δθθ=2⎜+⎟，Δθz =Δz θ=∂u θ+1∂u z
r ⎠⎝r ∂θ∂z r ∂θ
∂u ∂u ∂u
Δzz =2z ，Δzr =Δrz =r +z
∂z ∂r ∂z
∂u r ，∂⎛u
Δr θ=Δθr =r ⎜θ
∂r ∂x ⎝r
⎞，
⎟Δθφ=Δφθ⎠
⎞1∂u r ⎟+
⎠r ∂θsin θ∂=
r ∂θ
⎛1∂u θu r
Δθθ=2⎜+
θ⎝r ∂θ
⎛u φ
⎜⎜sin θ⎝⎞1∂u θ ⎟⎟+r sin θ∂φ⎠
⎞ ⎟⎟⎠
⎛1∂u φu r u θctg θΔφφ=2⎜⎜r sin θ∂φ+r +r
⎝⎞，1∂u r ∂⎛u φ⎟⎜Δ=Δ=+r r r φφ⎜r ⎟sin θφr ∂∂r ⎝⎠
2.5 边界条件
聚合物加工的主要对象是聚合物熔体与溶液，即聚合物液体，故加工时的边界可以分为三类：
(1) 液－固边界，即聚合物在输运与成型时与固体壁面所接触的界面。例如注塑成型时
模具型腔壁、挤出口模内壁、压延辊表面、涂层时基材表面、电缆挤出包覆时的金属导线表面等。
(2) 液－气边界，指聚合物熔体离开口模后或在模具内与气体相接触的自由表面，或者
发泡中的气壁。在挤出成型、吹塑成型、旋转成型、气辅注塑成型、发泡成型中都会遇到液－气边界问题。
(3) 液－液边界，指在多层挤出复合时，聚合物层与层之间的界面。例如在多层吹塑、
多组分注塑、多元复合、界面缩聚、聚合物共混过程中，都有一个液－液边界问题。 因此，在聚合物加工中所谓的边界，就是指各种界面。边界条件，即界面条件对于加工流场以及聚合物内部结构的形成至关重要。另一方面，我们在上节中推导的动力学方程必须在确定了边界条件以后才能求解。因此，很有必要把在边界上的一些物理含义用数学式子表达出来。
2.5.1 运动学边界条件
在液－固与液－液界面，存在着无滑移与滑移两种可能。是否滑移取决于流场，又与聚合物粘弹性能有关。但在绝大多数情况下，我们可以假设为界面是无滑移的。迄今，测粘流动的计算是建立在无滑移概念与假设的基础上的。因此，我们可以采用无滑移假设建立运动学边界条件。
2.5.1.1 液－固界面
如图2-10所示，一矩形槽中充满了聚合物流体，矩形槽上部平板的平移速度为u s ，根据无滑移假设，
当x
=0,0≤y ≤H 以及x =W ,0≤y ≤H =0, u y =0；
=0, u y =0；
时，u x
当y =0, 0≤x ≤W 时，u x 当y
=H ,0≤x ≤W 时，u x =u s 。
图2-10 2-D矩形流道上固体面移动
这样，产生了两个奇异点(0, H )与(W , H )。在这
两个点上，按固定边界条件，速度应为零，但按移动平板边界条件，速度应为u s 。这个问题正是无滑移边界条件的局限性。不过，这种个别点上的问题，对于工程计算不会带来大的影响。
2.5.1.2 液－液界面
图2-11表示流体1带动流体2运动的情况。无滑移边界条件意味：
当r =R 0, 0≤z ≤L ，z =0, R B ≤r ≤R 0，z =L , R A ≤r ≤R 0时，u 2=0；在液－液界面，u 2=u 1。即在固体内壁面的速度为零。液－液界面处的速度相同。但界面的位置预先并不知道，需要求得。通常，具有这类边的问题比较难解。
2.5.2 动力学边界条件
在上例（图2-11）中，除了运动学边界条件外，还存在动力学边界条件。设u 1z 为流体1的轴向速度，
u 1r 是流体1的径向速度。由于流动具有轴对称性，则
∂u 1z ∂r
图2-11 流体1带动流体2流动
=0，u 1r
r =0
r =0
=0
下面再举两个例子对动力学边界条件进行说明。
例1 对浸没在聚合物流体中的圆柱体施加一力矩，使圆柱体绕着其本身轴线以角速度
Ω旋转（见图2-12）。设圆柱体表面给其周围的聚合物流体的作用力矩为τ，则流体给圆柱体表面的反作用力矩应为−τ。
τ=−T θr
R
⋅2πRL ⋅R
式中T θr 为作用在θ方向上的应力。如果L >>R ，那么流体作用在圆柱体两端面的力矩可忽略不计。若已知作用力矩与圆柱体尺寸，即可求得动力学边界面条件 T θr
R
u
θ
=
−τ
2πR 2L
图2-12 在流体中旋转的
圆柱体
本例中的运动学边界条件应为： u θ
R
=R Ω （Ω的单位为rad s ）
但是，这个运动学边界条件与上面的动
力学边界条件是相关的。也就是说它们并不相互独立。只要已知其中一组边界条件，问题就可求解。
例2 图2-13中，一片材从聚合物流体中以等速U 抽出。在固－液界面，运动学边界条件为
当x =x s 1或x =x s 2时，u x =0，
固体气体
xx
s2 s yx
u y =U 。
在液－气界面，存在着动力学边界
图2-13 一片材夹带聚合物液体
条件：
(1) 剪切应力
T yx
因为气体的粘度极低，故
x s
(液体)=T yx x (气体)
s
T yx
得到气－液边界条件
x s
(气体)=0 (液体)=0
T yx
(2) 法向应力T xx
x s
x s
=−p ，即法向应力与表面气压大小相等，方向相反。
对于以上例子进行归纳可以得出以下结论：运动学边界条件遵循界面速度连续原理（假设无滑移前提存在）；动力学边界条件遵循界面应力连续原理。
2.5.3 界面张力
在界面处，除了剪切应力、法向应力，还可能存在界面张力。所以，关于界面应力连续性的动力学边界条件必须把界面张力也考虑进去。
从热力学的角度来看，如果界面处的分子间作用力相同，界面张力应为零。但当两相分子间作用力与纯组分分子间的作用力不相同时，需要消耗能量以创造一个界面，这个可逆功等于界面张力。设ΔG 为Gibbs 自由能，A 为界面面积，界面张力Γ的热力学定义为
⎛∂G ⎞
（2-41） Γ=⎜⎟
⎝∂A ⎠T , P , n
式中T 是温度，P 为压力，n 是分子数。
设界面上所受的力为F ，dS i 为微元面的边长，则F i =ΓdS i ，i =1, 2。图2-14中，边长dS 1=R 1d θ1，d θ1=
dS 1⎛1⎞1
。当d θ1非常小时，sin ⎜d θ1⎟=d θ1。下面我们来建立R ⎝2⎠2
法向矢量方向上的力平衡关系。对于边dS 1的向下作用力
Γ1⎛1⎞
F 2=2ΓdS 2sin ⎜d θ1⎟=2ΓdS 2d θ1=dS 1dS 2
22R ⎝⎠1
对于边dS 2的向下作用力
⎛1⎞Γ
F 1=2ΓdS 1sin ⎜d θ2⎟=dS 1dS 2
⎝2⎠R 2
由界面张力作用产生的向下的合力为
⎛11⎞
⎟+F =F 1+F 2=Γ⎜⎜R ⎟dS 1dS 2 R 2⎠⎝1
如果流体界面的法向应力差为ΔT rr ，则
⎡⎛11⎞⎤
⎜ΔT −Γ+⎢rr ⎜R R ⎟⎟⎥dS 1dS 2=0
2⎠⎦⎝1⎣
⎛11⎞
⎟ΔT rr =Γ⎜+⎜R ⎟ （2-42） R 2⎠⎝1
式（2-42）即为动力学边界条件的一种表达式。
参照式（2-27）得
ΔT rr =−(p o −p i ) +σrr （2-43）
式中，p i 为内压，p o 为外压。设内外压差Δp =p i −p o ，则
ΔT rr =Δp +σrr （2-44）
因此，界面法向应力差ΔT rr 为内外压力差Δp 与动力学法向应力之和。当σrr =0时，
ΔT rr =Δp （2-45）
那么，式（2-42）可写成
⎛11⎞
⎟ （2-46） Δp =Γ⎜+⎜R ⎟
⎝1R 2⎠⎛11⎞
⎟p i =p o +Γ⎜+⎜R ⎟ （2-47） R 2⎠⎝1
当R 1=R 2时，即得常用的表达式
Δp =2ΓR （2-48）
需注意的是在具有粘弹特性的聚合物加工中，两种聚合物熔体相界面处的大分子链形态的改变往往导致σrr ≠0。因此，由式（2-42）求得的界面张力已不是平衡热力学意义上的值，而是包含了动力学因素。我们把它定义为动力学界面张力。
主要参考文献
[1] Fung YC, A First Course in Continuum Mechanics, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1977. [2] Middleman S, Fundamentals of Polymer Processing, McGraw-Hill Book Co., New York, 1977.