七年级数学下学生学习中值得探究的几个问题
问题一：如图①，在平面直角坐标系中，点A ．B 的坐标分别为(－1，0) ，(3，0) ，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向
右平移1个单位，分别
得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接A C ，B D ．
(1) 求点C ，D 的坐
标及四边形A B D C 的面积S 四边形A B D C ；
(2) 在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，P B ，使S △P A B ＝S 四边形A B D C ，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由；
(3) 如图②，点P 是线段B D 上的一个动点，连接P C ，P O ，当点P 在B D 上移动时(不与B ，D 重合，给出下列结论：①②
的值不变；
的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个
结论并求其值．
【思路分析】
（1）根据平移规律，直接得出点C ，D 的坐标，根据：四边形ABDC 的面积=AB×OC 求解；
（2）存在．设点P 到AB 的距离为h ，则S △PAB=×AB×h ，根据S △PAB =S四边形ABDC ，列方程求h 的值，确定P 点坐标；
（3）结论①正确，过P 点作PE ∥AB 交OC 与E 点，根据平行线的性质得∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO ，故比值为1．
【解析过程】
：（1）依题意，得C （0，2），D （4，2）， ∴S 四边形ABDC =AB×OC=4×2=8； （2）存在．
设点P 到AB 的距离为h ， S △PAB =×AB×h=2h，
由S △PAB =S四边形ABDC ，得2h=8，解得h=4， ∴P （0，4）或（0，-4）； （3）结论①正确，
过P 点作PE ∥AB 交OC 与E 点， ∵AB ∥PE ∥CD ，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO ， ∴
=1．
【答案】
（1）依题意，得C （0，2），D （4，2）， ∴S 四边形ABDC =AB×OC=4×2=8； （2）存在．
设点P 到AB 的距离为h ， S △PAB =×AB×h=2h，
由S △PAB =S四边形ABDC ，得2h=8，解得h=4， ∴P （0，4）或（0，-4）； （3）结论①正确，
过P 点作PE ∥AB 交OC 与E 点， ∵AB ∥PE ∥CD ，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO ， ∴
=1
【总结】
本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．
问题二：如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2012的位置，则点P 2012的横坐标为2011 ． 分析与解答
习题“如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P1，P2，P3，…，P2012的位置，则点P2012的横坐标为____．”的分析与解答如下所示：
分析
本题可根据图形的翻转，分别得出P 1、P 2、P 3…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标
解答
解：观察图形结合翻转的方法可以得出P 1、P 2的横坐标是1，P 3的横坐标是2.5，P 4、P 5的横坐标是4，P 6的横坐标是5.5…
依此类推下去，P 2005、P 2006的横坐标是2005，P 2007的横坐标是2006.5，P 2009的横坐标就是2008，p 2012的横坐标为2011． 故答案为2011．
点评
本题考查的是等边三角形多的性质及坐标与图形性质，根据题意得出P 1、P 2、P 3…的横坐标，得出规律是解答此题的关键． 训练
1、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A 4 ，A 8 ； （2）写出点A 4n 的坐标（n 为正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向．
分析
（1）观察图形可知，A 4，A 8都在x 轴上，求出OA 4、OA 8的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据（1）中规律写出点A 4n 的坐标即可；
（3）根据100是4的倍数，可知从点A 100到点A 101的移动方向与从点O 到A 1的方向一致．
解答
解：（1）由图可知，A 4，A 8都在x 轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA 4=2，OA 8=4，
∴A 4（2，0），A 8（4，0）； 故答案为：2，0；4，0；
（2）根据（1）OA 4n =4n÷2=2n， ∴点A 4n 的坐标（2n ，0）；
（3）∵100÷4=25， ∴100是4的倍数，
∴从点A 100到点A 101的移动方向与从点O 到A 1的方向一致，为↑．
点评
本题是对点的变化规律的考查，比较简单，仔细观察图形，确定出A 4n 都在x 轴上是解题的关键．
2、如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转48次，点P 依次落在点
P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 48的位置，则P 48的横坐标
x 48=47 ．
分析
根据正方形四条边，翻转4次点P 回到正方形的左上角的位置，同时一组翻转后点P 的横坐标向右前行4个单位，求出P 48的翻转组数与本组的次数，再根据初始点P 的横坐标解答即可．
解答
解：由图可知，点P 翻转4次到达点P 4的位置，以后每翻转4次为一个循环组， 点P （-1，1）从开始到点P 4（3，1）的位置，共前行了3-（-1）=4个单位， ∵48÷4=12，
∴点P 48是第12个翻转循环组的第4次落点， -1+12×4=-1+48=47， P 48的横坐标x 48=47． 故答案为：47．
点评
本题考查了点的坐标的规律变化，根据正方形的性质，判断出每翻转4次为一个循环组是解题的关键，要注意翻转一个循环组点P 向右前行4个单位．
七年级数学下学生学习中值得探究的几个问题
问题一：如图①，在平面直角坐标系中，点A ．B 的坐标分别为(－1，0) ，(3，0) ，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向
右平移1个单位，分别
得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接A C ，B D ．
(1) 求点C ，D 的坐
标及四边形A B D C 的面积S 四边形A B D C ；
(2) 在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，P B ，使S △P A B ＝S 四边形A B D C ，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由；
(3) 如图②，点P 是线段B D 上的一个动点，连接P C ，P O ，当点P 在B D 上移动时(不与B ，D 重合，给出下列结论：①②
的值不变；
的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个
结论并求其值．
【思路分析】
（1）根据平移规律，直接得出点C ，D 的坐标，根据：四边形ABDC 的面积=AB×OC 求解；
（2）存在．设点P 到AB 的距离为h ，则S △PAB=×AB×h ，根据S △PAB =S四边形ABDC ，列方程求h 的值，确定P 点坐标；
（3）结论①正确，过P 点作PE ∥AB 交OC 与E 点，根据平行线的性质得∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO ，故比值为1．
【解析过程】
：（1）依题意，得C （0，2），D （4，2）， ∴S 四边形ABDC =AB×OC=4×2=8； （2）存在．
设点P 到AB 的距离为h ， S △PAB =×AB×h=2h，
由S △PAB =S四边形ABDC ，得2h=8，解得h=4， ∴P （0，4）或（0，-4）； （3）结论①正确，
过P 点作PE ∥AB 交OC 与E 点， ∵AB ∥PE ∥CD ，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO ， ∴
=1．
【答案】
（1）依题意，得C （0，2），D （4，2）， ∴S 四边形ABDC =AB×OC=4×2=8； （2）存在．
设点P 到AB 的距离为h ， S △PAB =×AB×h=2h，
由S △PAB =S四边形ABDC ，得2h=8，解得h=4， ∴P （0，4）或（0，-4）； （3）结论①正确，
过P 点作PE ∥AB 交OC 与E 点， ∵AB ∥PE ∥CD ，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO ， ∴
=1
【总结】
本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．
问题二：如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2012的位置，则点P 2012的横坐标为2011 ． 分析与解答
习题“如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P1，P2，P3，…，P2012的位置，则点P2012的横坐标为____．”的分析与解答如下所示：
分析
本题可根据图形的翻转，分别得出P 1、P 2、P 3…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标
解答
解：观察图形结合翻转的方法可以得出P 1、P 2的横坐标是1，P 3的横坐标是2.5，P 4、P 5的横坐标是4，P 6的横坐标是5.5…
依此类推下去，P 2005、P 2006的横坐标是2005，P 2007的横坐标是2006.5，P 2009的横坐标就是2008，p 2012的横坐标为2011． 故答案为2011．
点评
本题考查的是等边三角形多的性质及坐标与图形性质，根据题意得出P 1、P 2、P 3…的横坐标，得出规律是解答此题的关键． 训练
1、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A 4 ，A 8 ； （2）写出点A 4n 的坐标（n 为正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向．
分析
（1）观察图形可知，A 4，A 8都在x 轴上，求出OA 4、OA 8的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据（1）中规律写出点A 4n 的坐标即可；
（3）根据100是4的倍数，可知从点A 100到点A 101的移动方向与从点O 到A 1的方向一致．
解答
解：（1）由图可知，A 4，A 8都在x 轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA 4=2，OA 8=4，
∴A 4（2，0），A 8（4，0）； 故答案为：2，0；4，0；
（2）根据（1）OA 4n =4n÷2=2n， ∴点A 4n 的坐标（2n ，0）；
（3）∵100÷4=25， ∴100是4的倍数，
∴从点A 100到点A 101的移动方向与从点O 到A 1的方向一致，为↑．
点评
本题是对点的变化规律的考查，比较简单，仔细观察图形，确定出A 4n 都在x 轴上是解题的关键．
2、如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转48次，点P 依次落在点
P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 48的位置，则P 48的横坐标
x 48=47 ．
分析
根据正方形四条边，翻转4次点P 回到正方形的左上角的位置，同时一组翻转后点P 的横坐标向右前行4个单位，求出P 48的翻转组数与本组的次数，再根据初始点P 的横坐标解答即可．
解答
解：由图可知，点P 翻转4次到达点P 4的位置，以后每翻转4次为一个循环组， 点P （-1，1）从开始到点P 4（3，1）的位置，共前行了3-（-1）=4个单位， ∵48÷4=12，
∴点P 48是第12个翻转循环组的第4次落点， -1+12×4=-1+48=47， P 48的横坐标x 48=47． 故答案为：47．
点评
本题考查了点的坐标的规律变化，根据正方形的性质，判断出每翻转4次为一个循环组是解题的关键，要注意翻转一个循环组点P 向右前行4个单位．