第八章 欧氏空间
8．1 欧氏空间与酉空间
1：欧氏空间的定义：设实数域R 上的向量空间V 带有一个正定的对称的双线性函数 (, )：V ×V →R ，则称V 是一个欧氏空间，函数(, )叫做内积.
等价于：欧氏空间是实数域R 上带有二元函数(, )V ×V →R 的向量空间∀ξ, η, ζ∈V , a ∈R , (, )满足下述条件：
(1)(ξ, η)=(η, ξ);(2)(ξ+ζ, η)=(ξ, η)+(ζ, η)（3）; ξ≠0时(ξ, ξ)f 0 (a ξ, η)=a (ξ, η（4）当)
对比：（酉空间的定义8.6）设V 是复数域C 上一个向量空间，在V 上定义了一个二元复函数，(, ):V ×V →C ，对于∀α, β, γ∈V ，满足下列条件：
(1) (α, β) =(β, α) ，这里(β, α) 是(β, α) 的共轭复数；
(2) (k α, β) =k (α, β) ；
(3) (α+β, γ) =(α, γ) +(β, γ) ；
(4) (α, α) ≥0，当且仅当α=0时，(α, α) =0。
则称V 是一个酉空间。函数(, )叫做酉空间的内积
2：向量长度的定义：设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数(ξ, ξ
)向量ξ的长度，记作ξ：ξ
叫做.
叫做向量ξ的长度，（对比）：设ξ是酉空间的一个向量，非负实数(ξ, ξ
)记作ξ：ξ
.
长度为1的向量叫做单位向量.任意一个非零向量ξ的一个单位向量表示为ξ ξ
3：重要不等式。（定理8.1.3） 在一个欧氏空间中。对于任意的向量ξ, η,有不等式 (ξ, η)2≤(ξ，ξ)(η，η)当且仅当ξ, η线性相关时等号成立
（对比）：在一个酉空间中。对于任意的向量ξ, η,有不等式(ξ, ηξ, η≤(η, η)(ξ, ξ)当且仅当ξ, η线性相关时等号成立。
4：夹角的定义:设ξ和η是欧氏空间的两个非零的向量.ξ与η的夹角θ 由一下的公式定义:cos θ=(ξ, η), 0≤θ≤π.说明：酉空间夹角没有定义 ξ
5：正交的定义:欧氏空间的两个向量ξ与η称为正交的,如果(η, ξ)=0 我们约定零向量与任意向量正交.
（对比）：酉空间的两个向量ξ与η称为正交的,如果(η, ξ)=0 我们约定零向量与任意向量正交.
6：在欧氏空间中,如果ξ与η1η2^ηn 中的每一向量都正交,那么ξ与η1η2^ηn 的任意线性组合都正交. 7，对于欧氏空间的两个向量α，β有α+β≤α+β,当且仅当α, β正交是等号成立.更一般地，(采用数学归纳法证明) 对于欧氏空间中两两正交的向量α1, α2, ^,αn 有α1+α2+^+αn =α1+α2+^+n
8.几个重要的不等式推论:设V 是欧氏空间.∀η, ξ，ζ∈V .则 222
（1）η≠ξ时，d (η, ξ) （2）d (ξ, η)=d(η, ξ) （3）d (ζ, η)≤d (ξ, η)+d(ξ, ζ)
（4）d (ζ, η)=d(ξ, η)+d(ξ, ζ) 222
8.2规范正交基
1：（基的度量矩阵）ε1, ε2, L , εn 是n 维欧氏空间V 的一组基，令αij =(εi , εj ), i , j =1, 2, L , n ，称A =(a ij ) nn 为基ε1, ε2, L , εn 的度量矩阵。度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的
2：规范正交基的定义:n 维欧氏空间的一组基{α1, α2, α3^αn }叫做规范正交基，如果
⎧0, 当i ≠j (αi , αj ) =⎨ 当=1, i j ⎩
（对比：）n 维酉空间的一组基{α1, α2, α3^αn }叫做规范正交基，如果
⎧0, 当i ≠j (αi , αj ) =⎨
⎩1, 当i =j
n
i n i 3：设{α1, α2, ^,αn }是n 维欧氏空间V 的一组规范正交基则∀ξ=∑x α, η=∑y α1i 1i ∈V ,
下述结论成立：（1）(ξ, αi )=x i , i =1, 2, ^n ； （2）(ξ, η)=∑y x ； i i
i n
（3）d (ξ, η)
= 4：（正交组的定义和规范正交组的定义）两两正交的非零向量组为V 的一个正交组,若正交组中的每个向量都是单位向量,则称为规范正交组.
5：（引理8.2.3）欧氏空间V 的任意正交组{α1, α2, ^,αn }是线性无关的
（对比：）酉空间V 中两两正交的非零的向量是线性无关的
6：（正交化方法，定理8.2.4）设V 是一个欧氏空间,{α1, α2, ^,αn }是V 的一个线性无关的向量组,那么可以求出V 的一个正交组{β1, β2, ^,βn },使得βk 是α1, α2, ^,αn 的线性组
合,k =1, 2^n .
（对比）：设V 是一个酉空间,{α1, α2, ^,αn }是V 的一个线性无关的向量组,那么可以求出V 的一个正交组{β1, β2, ^,βn },使得βk 是α1, α2, ^,αn 的线性组合,k =1, 2^n .
7：n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。
8：ε1, ε2, L , εn 是n 维欧氏空间的一组规范正交基
⎧0, 当i ≠j ⇔(εi , εj ) =⎨ ⎩1, 当i =j
⇔基ε1, ε2, L εn 的度量矩阵为单位矩阵。
⇔存在规范正交基e 1, e 2, L , e n 及正交矩阵Q ，使
(ε1, ε2, L , εn ) =(e 1, e 2, L , e n ) Q
8.3 正交矩阵与酉矩阵
1：（正交矩阵的定义8.3.1）一个n 阶实矩阵U 叫做正交矩阵. 若UU =U U=I （说明：）U T =U-1
对比：设U 是n 阶复矩阵，如果UU =U U=I，则称U 是一个酉矩阵。 T
2：设{α1, α2, α3^αn }是n 维欧氏空间的V 的一组规范正交基，(β1，β2，……，βn ) =(α1，α2，……，αn )U ，则{β1, β2, ^,βn }是V 的规范正交基，当且仅当U 是正交矩阵 （对比：）设{α1, α2, α3^αn }是n 维酉空间的V 的一组规范正交基，(β1，β2，……，βn ) =(α1，α2，……，αn )U ，则{β1, β2, ^,βn }是V 的规范正交基，当且仅当U 是酉矩阵。
3：A =(a ij ) nn 是正交矩阵⇔A T A =I ⇔AA T =I ⇔A −1=A T
⇔a 1i a 1j +a 2i a 2j +L +a ni a nj =⎨⎧0, 当i ≠j
⎩1, 当i =j
⎧0, 当i ≠j
⎩1, 当i =j ⇔a i 1a j 1+a i 2a j 2+L +a in a jn =⎨
⇔A 是n 维欧氏空间V 中两组标准正交基之间的过渡矩阵
⇔σ(ε1, ε2, L , εn ) =(ε1, ε2, L , εn ) A ，σ其中是正交变换，ε1, ε2, L , εn 是V 的一组标准正交基。
（2）4：称两个欧氏空间V 与V ⋅同构，如果（1）存在向量空间的一个同构映射σ：V →V ，
∀ξ，η∈V ，(ξ，η)=(σ(ξ)，σ(η))
5：任意有限维的欧氏空间同构的的充要条件是维数相同。特别地。任意一个n 维的欧氏空间同构于 F n
因而∀ξ，η∈V ，6：（命题8.3.5）令W 是欧式空间V 的一个有限维的子空间，则V=W⊕W ⊥，
ξ可以唯一表示成ξ=η+ς，其中η∈W ，ς∈W ⊥
（对比：）令W 是酉空间V 的一个有限维的子空间，则V=W⊕W ⊥，因而∀ξ，η∈V ，ξ可以唯一表示成ξ=η+ς，其中η∈W ，ς∈W
7：n 维欧氏空间V 的每一个子空间都有唯一的正交补。
8：如果子空间V 1, V 2, L , V s 两两正交，那么和V 1+V 2+L +V s 是直和。 ⊥
8.4 正交变换与酉变换
1：正交变换的定义：（8.4.1）欧式空间V 的一个线性变换σ叫做正交变换，如果∀ξ∈V ，都有σ(ξ)=ξ（正交变换的特点：保内积，保夹角，正交变换是可逆变换）
2：（定理8.4.2）设σ是n 维欧式空间V 的上的一个线性变换。则有下列等价关系：
(1) σ保持向量的长度不变，即α∈V ，(α) =α；
⇔ (2) σ保持内积不变，即对任意的α, β∈V ，都有 (σ(α), σ(β)) =(α, β) ； ⇔ (3) 如果ε1, ε2, L , εn 是规范正交基，那么σ(ε1), σ(ε2), L , σ(εn )也是规范正交基；
⇔ (4) σ在任一组规范正交基下的矩阵是正交矩阵。
（对比：）（命题8.6.6）设σ是n 维酉空间V 的上的一个线性变换。则有下列等价关系：
(1) σ保持向量的长度不变，即α∈V ，(α) =α；
⇔ (2) σ保持内积不变，即对任意的α, β∈V ，都有 (σ(α), σ(β)) =(α, β) ； ⇔ (3) 如果ε1, ε2, L , εn 是规范正交基，那么σ(ε1), σ(ε2), L , σ(εn )也是规范正交基；
⇔ (4) σ在任一组规范正交基下的矩阵是酉矩阵。
3：On 关于变换的合成构成一个群。
8.5 对称变换与厄米特变换
1：（8.5.1对称变换的定义）设σ欧氏空间V 的线性变换∀α, β∈V ，如果满足(σ(α), β) =(α, σ(β)) 则称σ为V 的一个对称变换。
（对比：）（定义8.6.7厄米特变换的定义：）设σ酉空间V 的线性变换∀α, β∈V ，如果满
足(σ(α), β) =(α, σ(β)) 则称σ为V 的一个厄米特变换。
2：（定理8.5.2）设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换，则σ是对称变换，当且仅当σ在V 的规范正交基下的矩阵是对称矩阵。
（对比：）（定理8.6.8）设σ是n 维酉空间V 的一个线性变换，则σ是厄米特变换，当且仅当σ在V 的规范正交基下的矩阵是厄米特矩阵。
3：（引理8.5.3）实对称矩阵的特征值都是实数。
（对比：）（定理8.6.9）厄米特矩阵的特征值都是实数。
4：(定理8.5.4)设σ是n 维欧式空间V 的一个对称变换。则存在一组规范正交基，使得σ关于这组基的矩阵是一个厄米特矩阵。（矩阵的语言）设A 是一个n 阶的实对称矩阵。则存在一个n 阶的正交矩阵U，使得U T AU 是一个实对角矩阵，对角线上的元素是A 的特征值。 （对比：）（定理8.6.10）σ是n 维欧式空间V 的一个厄米特变换。则存在一组规范正交基，
（矩阵的语言）设A 是一个n 阶的厄米特矩阵。使得σ关于这组基的矩阵是一个厄米特矩阵。
则存在一个n 阶的酉矩阵U，使得U T AU 是一个实对角矩阵，对角线上的元素是A 的特征值。
5：（引理8.5.5）设σ是n 维欧式空间V 的一个对称变换。则σ的属于不同的特征值的特征向量彼此正交。
第八章 欧氏空间
8．1 欧氏空间与酉空间
1：欧氏空间的定义：设实数域R 上的向量空间V 带有一个正定的对称的双线性函数 (, )：V ×V →R ，则称V 是一个欧氏空间，函数(, )叫做内积.
等价于：欧氏空间是实数域R 上带有二元函数(, )V ×V →R 的向量空间∀ξ, η, ζ∈V , a ∈R , (, )满足下述条件：
(1)(ξ, η)=(η, ξ);(2)(ξ+ζ, η)=(ξ, η)+(ζ, η)（3）; ξ≠0时(ξ, ξ)f 0 (a ξ, η)=a (ξ, η（4）当)
对比：（酉空间的定义8.6）设V 是复数域C 上一个向量空间，在V 上定义了一个二元复函数，(, ):V ×V →C ，对于∀α, β, γ∈V ，满足下列条件：
(1) (α, β) =(β, α) ，这里(β, α) 是(β, α) 的共轭复数；
(2) (k α, β) =k (α, β) ；
(3) (α+β, γ) =(α, γ) +(β, γ) ；
(4) (α, α) ≥0，当且仅当α=0时，(α, α) =0。
则称V 是一个酉空间。函数(, )叫做酉空间的内积
2：向量长度的定义：设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数(ξ, ξ
)向量ξ的长度，记作ξ：ξ
叫做.
叫做向量ξ的长度，（对比）：设ξ是酉空间的一个向量，非负实数(ξ, ξ
)记作ξ：ξ
.
长度为1的向量叫做单位向量.任意一个非零向量ξ的一个单位向量表示为ξ ξ
3：重要不等式。（定理8.1.3） 在一个欧氏空间中。对于任意的向量ξ, η,有不等式 (ξ, η)2≤(ξ，ξ)(η，η)当且仅当ξ, η线性相关时等号成立
（对比）：在一个酉空间中。对于任意的向量ξ, η,有不等式(ξ, ηξ, η≤(η, η)(ξ, ξ)当且仅当ξ, η线性相关时等号成立。
4：夹角的定义:设ξ和η是欧氏空间的两个非零的向量.ξ与η的夹角θ 由一下的公式定义:cos θ=(ξ, η), 0≤θ≤π.说明：酉空间夹角没有定义 ξ
5：正交的定义:欧氏空间的两个向量ξ与η称为正交的,如果(η, ξ)=0 我们约定零向量与任意向量正交.
（对比）：酉空间的两个向量ξ与η称为正交的,如果(η, ξ)=0 我们约定零向量与任意向量正交.
6：在欧氏空间中,如果ξ与η1η2^ηn 中的每一向量都正交,那么ξ与η1η2^ηn 的任意线性组合都正交. 7，对于欧氏空间的两个向量α，β有α+β≤α+β,当且仅当α, β正交是等号成立.更一般地，(采用数学归纳法证明) 对于欧氏空间中两两正交的向量α1, α2, ^,αn 有α1+α2+^+αn =α1+α2+^+n
8.几个重要的不等式推论:设V 是欧氏空间.∀η, ξ，ζ∈V .则 222
（1）η≠ξ时，d (η, ξ) （2）d (ξ, η)=d(η, ξ) （3）d (ζ, η)≤d (ξ, η)+d(ξ, ζ)
（4）d (ζ, η)=d(ξ, η)+d(ξ, ζ) 222
8.2规范正交基
1：（基的度量矩阵）ε1, ε2, L , εn 是n 维欧氏空间V 的一组基，令αij =(εi , εj ), i , j =1, 2, L , n ，称A =(a ij ) nn 为基ε1, ε2, L , εn 的度量矩阵。度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的
2：规范正交基的定义:n 维欧氏空间的一组基{α1, α2, α3^αn }叫做规范正交基，如果
⎧0, 当i ≠j (αi , αj ) =⎨ 当=1, i j ⎩
（对比：）n 维酉空间的一组基{α1, α2, α3^αn }叫做规范正交基，如果
⎧0, 当i ≠j (αi , αj ) =⎨
⎩1, 当i =j
n
i n i 3：设{α1, α2, ^,αn }是n 维欧氏空间V 的一组规范正交基则∀ξ=∑x α, η=∑y α1i 1i ∈V ,
下述结论成立：（1）(ξ, αi )=x i , i =1, 2, ^n ； （2）(ξ, η)=∑y x ； i i
i n
（3）d (ξ, η)
= 4：（正交组的定义和规范正交组的定义）两两正交的非零向量组为V 的一个正交组,若正交组中的每个向量都是单位向量,则称为规范正交组.
5：（引理8.2.3）欧氏空间V 的任意正交组{α1, α2, ^,αn }是线性无关的
（对比：）酉空间V 中两两正交的非零的向量是线性无关的
6：（正交化方法，定理8.2.4）设V 是一个欧氏空间,{α1, α2, ^,αn }是V 的一个线性无关的向量组,那么可以求出V 的一个正交组{β1, β2, ^,βn },使得βk 是α1, α2, ^,αn 的线性组
合,k =1, 2^n .
（对比）：设V 是一个酉空间,{α1, α2, ^,αn }是V 的一个线性无关的向量组,那么可以求出V 的一个正交组{β1, β2, ^,βn },使得βk 是α1, α2, ^,αn 的线性组合,k =1, 2^n .
7：n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。
8：ε1, ε2, L , εn 是n 维欧氏空间的一组规范正交基
⎧0, 当i ≠j ⇔(εi , εj ) =⎨ ⎩1, 当i =j
⇔基ε1, ε2, L εn 的度量矩阵为单位矩阵。
⇔存在规范正交基e 1, e 2, L , e n 及正交矩阵Q ，使
(ε1, ε2, L , εn ) =(e 1, e 2, L , e n ) Q
8.3 正交矩阵与酉矩阵
1：（正交矩阵的定义8.3.1）一个n 阶实矩阵U 叫做正交矩阵. 若UU =U U=I （说明：）U T =U-1
对比：设U 是n 阶复矩阵，如果UU =U U=I，则称U 是一个酉矩阵。 T
2：设{α1, α2, α3^αn }是n 维欧氏空间的V 的一组规范正交基，(β1，β2，……，βn ) =(α1，α2，……，αn )U ，则{β1, β2, ^,βn }是V 的规范正交基，当且仅当U 是正交矩阵 （对比：）设{α1, α2, α3^αn }是n 维酉空间的V 的一组规范正交基，(β1，β2，……，βn ) =(α1，α2，……，αn )U ，则{β1, β2, ^,βn }是V 的规范正交基，当且仅当U 是酉矩阵。
3：A =(a ij ) nn 是正交矩阵⇔A T A =I ⇔AA T =I ⇔A −1=A T
⇔a 1i a 1j +a 2i a 2j +L +a ni a nj =⎨⎧0, 当i ≠j
⎩1, 当i =j
⎧0, 当i ≠j
⎩1, 当i =j ⇔a i 1a j 1+a i 2a j 2+L +a in a jn =⎨
⇔A 是n 维欧氏空间V 中两组标准正交基之间的过渡矩阵
⇔σ(ε1, ε2, L , εn ) =(ε1, ε2, L , εn ) A ，σ其中是正交变换，ε1, ε2, L , εn 是V 的一组标准正交基。
（2）4：称两个欧氏空间V 与V ⋅同构，如果（1）存在向量空间的一个同构映射σ：V →V ，
∀ξ，η∈V ，(ξ，η)=(σ(ξ)，σ(η))
5：任意有限维的欧氏空间同构的的充要条件是维数相同。特别地。任意一个n 维的欧氏空间同构于 F n
因而∀ξ，η∈V ，6：（命题8.3.5）令W 是欧式空间V 的一个有限维的子空间，则V=W⊕W ⊥，
ξ可以唯一表示成ξ=η+ς，其中η∈W ，ς∈W ⊥
（对比：）令W 是酉空间V 的一个有限维的子空间，则V=W⊕W ⊥，因而∀ξ，η∈V ，ξ可以唯一表示成ξ=η+ς，其中η∈W ，ς∈W
7：n 维欧氏空间V 的每一个子空间都有唯一的正交补。
8：如果子空间V 1, V 2, L , V s 两两正交，那么和V 1+V 2+L +V s 是直和。 ⊥
8.4 正交变换与酉变换
1：正交变换的定义：（8.4.1）欧式空间V 的一个线性变换σ叫做正交变换，如果∀ξ∈V ，都有σ(ξ)=ξ（正交变换的特点：保内积，保夹角，正交变换是可逆变换）
2：（定理8.4.2）设σ是n 维欧式空间V 的上的一个线性变换。则有下列等价关系：
(1) σ保持向量的长度不变，即α∈V ，(α) =α；
⇔ (2) σ保持内积不变，即对任意的α, β∈V ，都有 (σ(α), σ(β)) =(α, β) ； ⇔ (3) 如果ε1, ε2, L , εn 是规范正交基，那么σ(ε1), σ(ε2), L , σ(εn )也是规范正交基；
⇔ (4) σ在任一组规范正交基下的矩阵是正交矩阵。
（对比：）（命题8.6.6）设σ是n 维酉空间V 的上的一个线性变换。则有下列等价关系：
(1) σ保持向量的长度不变，即α∈V ，(α) =α；
⇔ (2) σ保持内积不变，即对任意的α, β∈V ，都有 (σ(α), σ(β)) =(α, β) ； ⇔ (3) 如果ε1, ε2, L , εn 是规范正交基，那么σ(ε1), σ(ε2), L , σ(εn )也是规范正交基；
⇔ (4) σ在任一组规范正交基下的矩阵是酉矩阵。
3：On 关于变换的合成构成一个群。
8.5 对称变换与厄米特变换
1：（8.5.1对称变换的定义）设σ欧氏空间V 的线性变换∀α, β∈V ，如果满足(σ(α), β) =(α, σ(β)) 则称σ为V 的一个对称变换。
（对比：）（定义8.6.7厄米特变换的定义：）设σ酉空间V 的线性变换∀α, β∈V ，如果满
足(σ(α), β) =(α, σ(β)) 则称σ为V 的一个厄米特变换。
2：（定理8.5.2）设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换，则σ是对称变换，当且仅当σ在V 的规范正交基下的矩阵是对称矩阵。
（对比：）（定理8.6.8）设σ是n 维酉空间V 的一个线性变换，则σ是厄米特变换，当且仅当σ在V 的规范正交基下的矩阵是厄米特矩阵。
3：（引理8.5.3）实对称矩阵的特征值都是实数。
（对比：）（定理8.6.9）厄米特矩阵的特征值都是实数。
4：(定理8.5.4)设σ是n 维欧式空间V 的一个对称变换。则存在一组规范正交基，使得σ关于这组基的矩阵是一个厄米特矩阵。（矩阵的语言）设A 是一个n 阶的实对称矩阵。则存在一个n 阶的正交矩阵U，使得U T AU 是一个实对角矩阵，对角线上的元素是A 的特征值。 （对比：）（定理8.6.10）σ是n 维欧式空间V 的一个厄米特变换。则存在一组规范正交基，
（矩阵的语言）设A 是一个n 阶的厄米特矩阵。使得σ关于这组基的矩阵是一个厄米特矩阵。
则存在一个n 阶的酉矩阵U，使得U T AU 是一个实对角矩阵，对角线上的元素是A 的特征值。
5：（引理8.5.5）设σ是n 维欧式空间V 的一个对称变换。则σ的属于不同的特征值的特征向量彼此正交。