复 数
一．知识网络图
二．复数中的难点
(1)复数的向量表示法的运算. 对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难. 对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.
(2)复数三角形式的乘方和开方. 有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法.
(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题. 复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.
三．复数中的重点
(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.
(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角. 复数有代数，向量和三角三种表示法. 特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.
(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质. 复数的运算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. （4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.
四．基础知识
1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。
(1) z =a +bi ∈R ⇔b =0 (a,b ∈R ) ⇔z=⇔ z 2≥0； (2) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0(a , b ∈R ) ；
(3) z =a+bi 是纯虚数⇔a =0且b ≠0(a,b ∈R ) ⇔z ＋＝0（z≠0）⇔z 2
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b ∈R ）, 则z =a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）
⎛z 1
（2）z 1⋅z 2=z 1⋅z 2；（3）z ⋅z =|z |2；（4） z 1±z 2=z 1±z 2； z
⎝2
⎫z 1⎪；（5）|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|；⎪=⎭z 2
（6）|
z 1|z 1|
；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z 2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z 2|2=2|z1|2+2|z2|2；|=
z 2|z 2|
1。 z
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；
复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d ∈R ) ，则： (1) z 1±z 2 = (a + b ) ± (c + d )i ；
(2) z 1. z 2 = (a +bi ) ·(c +di ) ＝（ac -bd ）+ (ad +bc ) i ；
（9）若|z|=1，则z =
(3) z 1÷z 2 =
(a +bi )(c -di ) +bd bc -ad (z ≠0) ; = ac 2+i (c +di )(c -di ) c 2+d 2c 2+d 2
几个重要的结论：
(1) (1±i ) 2=±2i (2) i 性质：T=4；i 4n =1, i 4n +1=i , i 4n +2=-1, i 4n +3=-i ；i 4n +i 4n +1+i 4+2+i 4n +3=0;
1
(3) z =1⇔z z =1⇔=。；⑷1+i =i ; 1-i =-i ;
z 1-i 1+i
运算律：（1）z m ⋅z n =z m +n ; (2)(z m ) n =z mn ; (3)(z 1⋅z 2) m =z 1z 2(m , n ∈N ); 共轭的性质：⑴(z 1±z 2) =z 1±z 2 ；⑵z 1z 2=z 1⋅z 2 ；⑶(
z 1z
) =1 ；⑷ z =z 。 z 2z 2
m m
模的性质：⑴||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；⑵|z 1z 2|=|z 1||z 2|；⑶|
z 1|z 1|
；⑷|=
z 2|z 2|
|z n |=|z |n ；
5. 复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。
6．复数z 是实数的充要条件是z=;z 是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z ≠0）.
五．习题
1．已知a ∈R ，若(1－ai )(3＋2i ) 为虚数，则a 的值为( )
3322A ．－ B. ．－22332．复数
i 1＋2i
i 是虚数单位) 的实部是( )
2211A. ．－ 5555
3．复数z 是实数的充要条件是（ ） Ａ．z =z
Ｂ．z =z
Ｃ．z 2为实数
Ｄ．z +z 为实数
4．若复数z 满足z -z =Ａ．-3+4i 5
14
10
，则z 等于（ ） 1-2i
Ｂ．-3-4i Ｃ．3-4i Ｄ．3+4i
等于（ ）
Ｂ．--
14
1
Ｃ．
22
Ａ．+
Ｄ．--
12 6．z ∈C ，若M =z |(z -1) 2=z -1，则（ ） Ａ．M ={实数}
Ｂ．M ={虚数}
Ｃ．{实数}苘M
{}
{复数} Ｄ．M ={ϕ}
7．已知复数z 1=a +bi ，z 2=-1+ai (a ，b ∈R ) ，若z 11
Ｂ．-11
Ｄ．b >0
8．(3+2i ) -(1+i ) 表示（ ）
2) 与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(3，2) 与点(-1，-1) 之间的距离 Ａ．点(3，
1) 之间的距离 2) 与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(2，Ｃ．点(3，
9．已知z ∈C ，z -2=1，则z +2+5i 的最大值和最小值分别是（ ）
11 10．设0
Ｂ．3和1
Ｃ．
3
π22
，(a ＋)(1－i ) ＝cos θ＋i ，则θ的值为( ) 222
A.
2π3πππ
D.3434
11．若x ∈C ，则方程x =1+3i -x 的解是（ ）
Ａ．+
12
Ｂ．x 1=4，x 2=-1 Ｃ．-4+3i
Ｄ．--
12 12
．满足条件z +i -z +2的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是 （ ） Ａ．双曲线
Ｂ．双曲线的一支
Ｃ．两条射线
Ｄ．一条射线
13．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z =(cotB -tan A ) +(tanB -cot A ) i 对应的点位于复平面（ ） Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
a 2-7a +62
+(a -5a -6) i (a ∈R ) ，那么当a=_______时，z 是实数；当14．已知复数z =2
a -1
a ∈__________时，z 是虚数；当a=______时，z 是纯虚数。 15．若f (z ) =1-z (z ∈C ) ，已知z 1=2+3i ，z 2=5-i ，则f
⎛z 1⎫
⎪⎪= ． z ⎝2⎭
16．复数z =(m 2-3m +2) +(m 2-2m -8) i 的共轭复数在复平面上的对应点在第一象限内，则实数m 的取范围是 ．
17．已知z =1，则复数ω=2z +3-4i ，对应点的轨迹是 ．
18．设z =log 2(m 2-3m -3) +i log 2(m -3)(m ∈R ) ，若z 对应的点在直线x -2y +1=0上，则m 的值是 ．
19. 已知向量OZ 1对应的复数是5-4i ，向量OZ 2对应的复数是-5+4i ， 则OZ 1+OZ 2对应的复数是___________。
20．复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6) i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C 若∠BAC
是钝角，则实数c 的取值范围为________．
21．已知复数3z -z 对应的点落在射线y =-x (x ≤
0) 上，z +=z ．
22．已知z 是复数，z +2i 与求实数a 的取值范围．
z
均为实数，且复数(z +ai ) 2在复平面上对应的点在第一象限，2-i
复 数
一．知识网络图
二．复数中的难点
(1)复数的向量表示法的运算. 对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难. 对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.
(2)复数三角形式的乘方和开方. 有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法.
(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题. 复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.
三．复数中的重点
(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.
(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角. 复数有代数，向量和三角三种表示法. 特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.
(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质. 复数的运算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. （4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.
四．基础知识
1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。
(1) z =a +bi ∈R ⇔b =0 (a,b ∈R ) ⇔z=⇔ z 2≥0； (2) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0(a , b ∈R ) ；
(3) z =a+bi 是纯虚数⇔a =0且b ≠0(a,b ∈R ) ⇔z ＋＝0（z≠0）⇔z 2
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b ∈R ）, 则z =a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）
⎛z 1
（2）z 1⋅z 2=z 1⋅z 2；（3）z ⋅z =|z |2；（4） z 1±z 2=z 1±z 2； z
⎝2
⎫z 1⎪；（5）|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|；⎪=⎭z 2
（6）|
z 1|z 1|
；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z 2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z 2|2=2|z1|2+2|z2|2；|=
z 2|z 2|
1。 z
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；
复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d ∈R ) ，则： (1) z 1±z 2 = (a + b ) ± (c + d )i ；
(2) z 1. z 2 = (a +bi ) ·(c +di ) ＝（ac -bd ）+ (ad +bc ) i ；
（9）若|z|=1，则z =
(3) z 1÷z 2 =
(a +bi )(c -di ) +bd bc -ad (z ≠0) ; = ac 2+i (c +di )(c -di ) c 2+d 2c 2+d 2
几个重要的结论：
(1) (1±i ) 2=±2i (2) i 性质：T=4；i 4n =1, i 4n +1=i , i 4n +2=-1, i 4n +3=-i ；i 4n +i 4n +1+i 4+2+i 4n +3=0;
1
(3) z =1⇔z z =1⇔=。；⑷1+i =i ; 1-i =-i ;
z 1-i 1+i
运算律：（1）z m ⋅z n =z m +n ; (2)(z m ) n =z mn ; (3)(z 1⋅z 2) m =z 1z 2(m , n ∈N ); 共轭的性质：⑴(z 1±z 2) =z 1±z 2 ；⑵z 1z 2=z 1⋅z 2 ；⑶(
z 1z
) =1 ；⑷ z =z 。 z 2z 2
m m
模的性质：⑴||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；⑵|z 1z 2|=|z 1||z 2|；⑶|
z 1|z 1|
；⑷|=
z 2|z 2|
|z n |=|z |n ；
5. 复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。
6．复数z 是实数的充要条件是z=;z 是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z ≠0）.
五．习题
1．已知a ∈R ，若(1－ai )(3＋2i ) 为虚数，则a 的值为( )
3322A ．－ B. ．－22332．复数
i 1＋2i
i 是虚数单位) 的实部是( )
2211A. ．－ 5555
3．复数z 是实数的充要条件是（ ） Ａ．z =z
Ｂ．z =z
Ｃ．z 2为实数
Ｄ．z +z 为实数
4．若复数z 满足z -z =Ａ．-3+4i 5
14
10
，则z 等于（ ） 1-2i
Ｂ．-3-4i Ｃ．3-4i Ｄ．3+4i
等于（ ）
Ｂ．--
14
1
Ｃ．
22
Ａ．+
Ｄ．--
12 6．z ∈C ，若M =z |(z -1) 2=z -1，则（ ） Ａ．M ={实数}
Ｂ．M ={虚数}
Ｃ．{实数}苘M
{}
{复数} Ｄ．M ={ϕ}
7．已知复数z 1=a +bi ，z 2=-1+ai (a ，b ∈R ) ，若z 11
Ｂ．-11
Ｄ．b >0
8．(3+2i ) -(1+i ) 表示（ ）
2) 与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(3，2) 与点(-1，-1) 之间的距离 Ａ．点(3，
1) 之间的距离 2) 与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(2，Ｃ．点(3，
9．已知z ∈C ，z -2=1，则z +2+5i 的最大值和最小值分别是（ ）
11 10．设0
Ｂ．3和1
Ｃ．
3
π22
，(a ＋)(1－i ) ＝cos θ＋i ，则θ的值为( ) 222
A.
2π3πππ
D.3434
11．若x ∈C ，则方程x =1+3i -x 的解是（ ）
Ａ．+
12
Ｂ．x 1=4，x 2=-1 Ｃ．-4+3i
Ｄ．--
12 12
．满足条件z +i -z +2的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是 （ ） Ａ．双曲线
Ｂ．双曲线的一支
Ｃ．两条射线
Ｄ．一条射线
13．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z =(cotB -tan A ) +(tanB -cot A ) i 对应的点位于复平面（ ） Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
a 2-7a +62
+(a -5a -6) i (a ∈R ) ，那么当a=_______时，z 是实数；当14．已知复数z =2
a -1
a ∈__________时，z 是虚数；当a=______时，z 是纯虚数。 15．若f (z ) =1-z (z ∈C ) ，已知z 1=2+3i ，z 2=5-i ，则f
⎛z 1⎫
⎪⎪= ． z ⎝2⎭
16．复数z =(m 2-3m +2) +(m 2-2m -8) i 的共轭复数在复平面上的对应点在第一象限内，则实数m 的取范围是 ．
17．已知z =1，则复数ω=2z +3-4i ，对应点的轨迹是 ．
18．设z =log 2(m 2-3m -3) +i log 2(m -3)(m ∈R ) ，若z 对应的点在直线x -2y +1=0上，则m 的值是 ．
19. 已知向量OZ 1对应的复数是5-4i ，向量OZ 2对应的复数是-5+4i ， 则OZ 1+OZ 2对应的复数是___________。
20．复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6) i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C 若∠BAC
是钝角，则实数c 的取值范围为________．
21．已知复数3z -z 对应的点落在射线y =-x (x ≤
0) 上，z +=z ．
22．已知z 是复数，z +2i 与求实数a 的取值范围．
z
均为实数，且复数(z +ai ) 2在复平面上对应的点在第一象限，2-i