线性系统理论复习

◆给定系统{A,B ,C ,D},当A 的特征值两两相异时,利用特征向量组成变换矩阵,可化为对角 形;

当A 的特征值不是两两相异时,有时可以化为对角形,有时不能化成对角形,只能化为约当形。 ◆对n 维线性时不变系统,若A 为对角阵,且其特征值两两相异,系统完全能控的充分必要条件是B 中不包含零行向量。

◆线性时不变系统引入坐标变换,其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。

定义:称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价,当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。

代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性,如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。

◆对完全能控单输入连续时间线性时不变系统,状态维数为n ,则系统能控性指数μ=n 。

结论

① 时间离散化属性:时间离散化不改变系统的时变或时不变属性。

② 离散化系统属性:不管系统矩阵A(t)或A 是非奇异或奇异,其离散化系统的系统矩阵G(k)和G 必为非奇异。

◆如果A 的特征值互不相同,则系统(A 、B 、C )为能控且能观测的充分必要条件是:传递矩阵G (s )的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。

◆单输入、单输出系统(A 、b 、c )是能控且能观测的充分必要条件是:传递函数G (s )的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消

◆单输入、单输出系统(A 、b 、c ),如果A 的特征值互不相同,若传递函数存在零、极点对消,则系统或是状态不能控或是状态不能观测的;若传递函数不存在零、极点对消,则系统是状态完全能控且完全能观测的。

◆对零初始条件p 维输入和q 维输出连续时间线性时不变系统,令初始时刻t0=0,则系统BIBO 稳定的充分必要条件为:真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。

◆定义:称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定,是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对t ∈[t0,+∞) 有界,并满足渐近属性。

◆李亚普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性,不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。因此,相比于稳定性的工程解释,李亚普诺夫意义下的稳定实质上是工程意义下的临界不稳定。

◆分析:已知系统结构和参数及外输入作用,研究系统运动的定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)和定量的变化规律(状态响应)。

◆综合:已知系统结构和参数,以及所期望的系统运动形式或某些特征。确定需要施加于系统的外输入作用,即控制作用的规律。控制作用规律通常取为反馈形式(优势:抗扰动、抗参数变化)

◆研究综合问题的思路:综合理论和综合算法。可综合条件:给定受控系统和期望性能指标,使控制存在且满足综合目标的条件。用于综合控制律的算法:确定满足要求的控制律,即响应的状态反馈矩阵和输出反馈矩阵。

◆全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同事实上,已知的信息为u (t )和y (t ),只有当系统完全能观测时,才能从u (t )和y (t )及其导数的线性组合中获得状态向量x (t )的估计值此时存在状态观测器。结论:n 维线性定常系统是能观测的,则必可采用全维观测 器来重构其状态,并且必可通过选择增益阵L 而任意配置(A -LC )的全特征值

◆降维状态观测器:由于在系统的输出y 中包含有系统状态x 的部分信息,因此在直接利用这部分信息的基础上,可以构造出维数低于被估计系统的状态观测器。称为降维状态观测器 ◆可见只要系统(A 、B 、C )能控、能观测,则可按极点配置的需要选择K ,按观测器动态特性的需要H ,两者可分开进行设计,这个原理称为分离定理

◆给定系统{A,B ,C ,D},当A 的特征值两两相异时,利用特征向量组成变换矩阵,可化为对角 形;

当A 的特征值不是两两相异时,有时可以化为对角形,有时不能化成对角形,只能化为约当形。 ◆对n 维线性时不变系统,若A 为对角阵,且其特征值两两相异,系统完全能控的充分必要条件是B 中不包含零行向量。

◆线性时不变系统引入坐标变换,其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。

定义:称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价,当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。

代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性,如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。

◆对完全能控单输入连续时间线性时不变系统,状态维数为n ,则系统能控性指数μ=n 。

结论

① 时间离散化属性:时间离散化不改变系统的时变或时不变属性。

② 离散化系统属性:不管系统矩阵A(t)或A 是非奇异或奇异,其离散化系统的系统矩阵G(k)和G 必为非奇异。

◆如果A 的特征值互不相同,则系统(A 、B 、C )为能控且能观测的充分必要条件是:传递矩阵G (s )的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。

◆单输入、单输出系统(A 、b 、c )是能控且能观测的充分必要条件是:传递函数G (s )的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消

◆单输入、单输出系统(A 、b 、c ),如果A 的特征值互不相同,若传递函数存在零、极点对消,则系统或是状态不能控或是状态不能观测的;若传递函数不存在零、极点对消,则系统是状态完全能控且完全能观测的。

◆对零初始条件p 维输入和q 维输出连续时间线性时不变系统,令初始时刻t0=0,则系统BIBO 稳定的充分必要条件为:真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。

◆定义:称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定,是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对t ∈[t0,+∞) 有界,并满足渐近属性。

◆李亚普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性,不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。因此,相比于稳定性的工程解释,李亚普诺夫意义下的稳定实质上是工程意义下的临界不稳定。

◆分析:已知系统结构和参数及外输入作用,研究系统运动的定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)和定量的变化规律(状态响应)。

◆综合:已知系统结构和参数,以及所期望的系统运动形式或某些特征。确定需要施加于系统的外输入作用,即控制作用的规律。控制作用规律通常取为反馈形式(优势:抗扰动、抗参数变化)

◆研究综合问题的思路:综合理论和综合算法。可综合条件:给定受控系统和期望性能指标,使控制存在且满足综合目标的条件。用于综合控制律的算法:确定满足要求的控制律,即响应的状态反馈矩阵和输出反馈矩阵。

◆全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同事实上,已知的信息为u (t )和y (t ),只有当系统完全能观测时,才能从u (t )和y (t )及其导数的线性组合中获得状态向量x (t )的估计值此时存在状态观测器。结论:n 维线性定常系统是能观测的,则必可采用全维观测 器来重构其状态,并且必可通过选择增益阵L 而任意配置(A -LC )的全特征值

◆降维状态观测器:由于在系统的输出y 中包含有系统状态x 的部分信息,因此在直接利用这部分信息的基础上,可以构造出维数低于被估计系统的状态观测器。称为降维状态观测器 ◆可见只要系统(A 、B 、C )能控、能观测,则可按极点配置的需要选择K ,按观测器动态特性的需要H ,两者可分开进行设计,这个原理称为分离定理


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