第２７卷第２期２００９年４月
中国民航大学学报
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＣＩＶⅡ。ＡＶＬＡＴＩｏＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹｏＦＣＩⅡＮＡ
Ｖ０１．２７Ｎｏ．２Ａｐｒｉｌ
２００９
数列与级数收敛性判定的一个注记
倪培溉
（中国民航大学理学院，天津３００３００）
摘
要：数列＆，一ｈ审敛原理是数，ｑ～一～印审敛原理更加一般性的推广，进一步扩大了数列茗。～ｒ＾＿印审敛原理的
适用范围；利用数列聋、一～．Ｐ审敛原理还得到了判别数列收敛性的“子列～局部夹”准则。
关键词：数列；子列；级数；收敛
中图分类号：０１７３．１
文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—５５９０（２００９１０２—００５７．０３
Ｎｏｔｅ
ｏｎ
ＤｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇＡｓｔｒｉｎｇｅｎｃｙｏｆＳｅｑｕｅｎｃｅａｎｄＳｅｒｉｅｓ
＾ｌＰｅｉ—ｇａｉ
（ｃＤ如酽矿ｓｃ拓加ｅ，嬲ＵＣ，兀嘶协３００３００，蕊ｉＭ）
Ａｂｓｔｍｃｔ：Ｅｘｐｅｎｄｉｎｇ
ｑｕｅｎｃｅ
ｔｌｌｅｃｏｎＶｅｒｇｅｎｃｅ
ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｆｏｒｔｈｅｓｅｑｕｅｎｃｅ
ｆｏｒｔｈｅ舱。
ｚｎ－一～却，ｗｅｇｅｔｔｌｌｅｃｏｎＶｅＥｇｅｎｃｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｏｆｔｈｅ
ｚ掣—０唧，ｗｈｉｃｈｅｎｌａｒｇｅｓｔ１１ｅａｐｐｌｉｃａｂｌｅｍｎｇｅ
ｏｎ
ｃｏｎＶｅｒｇｅｎｃｅ—ｎｃｉｐｌｅ
ａｌｓｏｇｅｔｔ王ｌｅ
ｆｏｒｔｈｅ
ｓｅｑｕｅｎｃｅ名～一～叩・
ｎｉｐ”珈ｌｅ
Ｂ鹊ｅｄ
ｔＩｌｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｆｏｒｔｈｅ
ｓｅｑｕｅｎｃｅ菇～～～印，ｗｅ
“ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅ～１０ｃａｌ
ｗｈｉｃｈｄｉｓｔｉｎｇｕｉｇｈｅｓｔｌｌｅ踮ｔｒｉｎｇｅｎｃｙ
Ｋｅｙ
ｏｆ∞ｑＩｌｅｎｃｅ．
ｗｏｒｄｓ：ｓｅⅡ■ｅｇｑｕｅｎｃｅ；ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｓｅｄ船；ｃ叩Ｖｅｌ．ｇｅｎｃｅ
关于数列与级数的审敛方法，已经得到了Ｆ列的
结论（定理ｌ以及定理２）。
定理３
（数列茁０一茗《ｋ审敛原理）数列菇厂＋０
定理ｌ（数列戈～一～印审敛原理）‘１数列戈，广咆（ｎ一＋
∞）的充分必要条件是
１）ｊ｛‰Ｊ删ｃⅣｕ｛０Ｊ（规定伽＝０），使得
（ｎ＿＋∞）的充分必要条件是ｊ（凡。Ｊ二ｃⅣｕ（ｏ｝（规定
舻ｏ），对于Ｖｍ∈Ⅳｕ｛ｏ），ｊ｛《’ｊ二ｃ｛凡。＋ｐｌ≯１（规
定‰＝睨）使得
‰嘲（，一∞）
（１）
２）ｘ～印—石～川
１）石ｏ，一ｏ（，一∞）Ｖ后∈｛ｏ，ｌ，…，元｝
（５）
（，，ｌ＿＿＋∞）
（２）
Ｖｐ∈（１，２，…，，‰ｌ—ｎ，广１Ｊ
２）髫ｏ，叼叫ｚ川（，一∞）ＶＩ｜｝∈｛ｏ，ｌ，…，元Ｊ
Ｖｑ∈｛ｌ，２，…，ｎ竺“’一碟’一ｌ｝
其中元：ｍａｘ｛Ｉ｝ｌ。Ｉ
证明
ｍ∈Ⅳｕ
定理２（数项级数的ｓ‰～～叩审敛原理）Ⅲ任意项
（６）
级数∑‰收敛于口的充分必要条件是
ｎ＝０
ｆｏ｝１，ｏ≤元≤＋∞。
［必要性】由于菇。嘞（ｎ一∞），所以数列‰
１）ｊ｛‰１二ｃⅣｕ（０１（规定ｎｏ＝ｏ），使得
∑（～＋Ｍ～＋。”・＋‰一。）＝。
２）‰＋ｕ。．＋ｌ＋…＋“～印一０
（，形—｝∞）
（４）
Ｖｐ∈｛０，１，２，…，ｎｍ＋１一ｎ。一１）
（３）
的任意子列均收敛于口，故定理的条件１）成立；根据柯
西审敛原理，由ｘ，广却（圹＋∞）得知定理的条件２）成立。
【充分性】考察数列
石０’，石蠢”，…，彤０’，菇ｎ（”，戈ｎ：”，…，龙。？‘’，…菇０’，戈《’，…戈０’，…
（７）
下面将给出比定理１和定理２更加深刻的结论。
由定理的条件１）（即式（５））知，菇。ｃ・一ｏ（，一∞），于
收稿日期：２００８一０４—２９；修回日期：２００８一０７一１４基金项目：２００６年中国民航大学教育教学研究课题立项项目资助
作者简介：倪培溉（１９４９一），男，天津人。副教授，本科。研究方向为泛函分析。
万方数据
５８中国民航大学学报２００９年４月
是数列（７）满足定理ｌ中的条件１）（即式（１））；仍然由
于定理的条件１）（即式（５））知，石。ｍ嘞（，，ｌ－＋∞）Ｖ后Ｅ
｛１，２，…，＾｝，由此得知，对Ｖ后∈｛ｌ，２，…，＾ｌ都有石。：，一
髫。ｍ川（，一∞），于是数列（７）还满足定理ｌ中的条件
２）（即式（２））；故根据定理ｌ得知，当ｍ＿＋∞时数列（７）收敛于口从而数列‰满足定理１中的条件１），再注意到由定理的条件２）可以得知数列茁。还满足定理
１中的条件２）。于是根据定理１可以得到菇。一口（，一
∞），证毕。
记ｚ《，ｑ一髫《，＝ｒ《，＋。，乖褐毫理３岁蒯菇《，一ｒ《，＋ｑ审敛
原．理。
注１若对Ｖｍ∈Ⅳｕｆ０｝都有＾。＝Ｏ，则定理３
即为定理１，可见定理３是定理１的推广；依照从定理１推广到定理３的方法，还可继续对定理３作类似
推广。
由定理３可以得知，任何一个收敛数列ｋ】脚内嵌套着收敛数列
髫《’，筇０’＋ｌ，…，菇《’一ｌ，菇《’，菇《’＋ｌ，…，石《’一ｌ，…，菇《’，
髫踟，…鹫一）－ｌ＇．“
（８）
并且数列ｋ）＝与其子列（８）在不同尺度上具有自相
似（它们的极限都是口）结构。还可以由“注ｌ”知，这种自相似的嵌套结构是无穷尽的。这是任何—个收敛数列的本质特征，它正反映了自然界普遍存在的分形现象。
对于Ｖ
ｆ‰）二ｃⅣｕ｛ｏ｝，收敛数列戈。的子列
｛Ｋ）删都是收敛的，即收敛数列菇。内嵌套着的收子列（８）有无穷多。
还可以得到下述结论：
定理４
（数列髫０，一戈硭，加审敛原理的等价命题）
数列菇。嘲（，一∞）的充分必要条件是ｊ｛‰Ｊ脚ｃⅣ
ｕ｛ｏ）（规定ｎ０＝ｏ），对于Ｖｍ∈Ⅳｕ｛ｏ
１，ｊ｛ｎ：’）：二０
ｃ｛‰＋ｐ）≯１（规定＃’＝‰．）使得
１）（ｉ）取定ＶＩ｜｝Ｅ｛ｏ，１，２，…，元），名ｏ，咖（ｍ－＋∞）
（５ａ）
（ｉｉ）菇秽一ｑ，川（，一∞）Ｖ／∈（１，２，…，¨
（５ｂ）
（规定０圳：，箸’，ｇ：１，２，…后）
万方数据
２）犍，叼一菇《枷（，一∽ＶＩ｜｝∈｛ｏ，１，…，元Ｊ
Ｖｑ∈｛１，２，…，ｎ：＋１’一ｎ：’一１｝
（６ａ）
其中＾＝ｍａｘ｛＾。Ｉｍ∈Ⅳｕ｛０｝｝，Ｏ≤＾≤＋∞。
证明
只须证明式（５）成立的充分必要条件是式
（５ａ）与式（５ｂ）成立。若数列（７）当ｍ＿＋∞时收敛于口则显然有式（５）成立；另一方面，由定理３中充分性的证明可以得知：若式（５）成立，则数列（７）当ｍ一∞时收敛于口；故数列（７）当ｍ＿∞时收敛于。的充分必要条件是式（５）成立。再利用定理ｌ可知数列（７）当ｍ＿∞时收敛于口的充分必要条件是式（５ａ）及式（５ｂ）成立。因此得知式（５）成立的充分必要条件是式（５ａ）及式（５ｂ）成立证毕。
利用数列与数项级数的关系，从定理４可以得到
下述结论。
定理５任意项级数∑‰收敛于口的充分必要
条件是｜ｆ‰｝脚ｃⅣｕ｛Ｏ）（规定伽＝ｏ），对于Ｖｍ∈
Ⅳｕ
ｆｏ），ｊ｛《’｝＝０ｃ
ｆｎｍ＋ｐ｝≯１（规定＃’巩）使得
１）（ｉ）取定ＶＪ｜｝∈｛ｏ，１，２，…，元Ｊ
卷’一ｌ
＋。
∑‰＋∑【（Ｍ《，＋吣。＋．．・＋””一。）＋（Ｍ∥＋
Ｍ０ｌＪ＋ｌ＋…＋Ｍ《埘一１）＋…＋（ｑ＿＋吣１＋…＋
ｕ艺一Ｉ）＋（ｎ器＋ｕ，嚣＋ｌ＋…＋ｕ，。＝一１）＋…＋
（吣，＋吣）十ｌ＋．．’＋吣一１）】＝口
（９）
其中砜不唯一，可取
帆＝ｌＩｌｉｎ｛ｍＩ｜｝Ｅ｛ｏ，１，…，元），嚣’Ｅｆ‰＋ｐ｝：鸭一｝
（ｉｉ）（ｕ０，＋ｑＩ＝）十ｌ＋…＋ｑ０¨－１）＋（ｑＩ＝＋１，＋ｑｏｎ＋ｌ＋…＋
Ⅱ，？ｚ１－Ｉ）＋…＋（吣，＋“ｐＩ＋ｌ＋…＋Ｍ０竹Ｉ｝－１）川
（ｍ－÷∞）
Ｖｐ∈｛１，２，…，＾。｝
（１０）
（规定凡，’：儿＝’，ｇ：１，２，…，五）
２）吣，＋吣）＋ｌ＋…＋Ⅵ，＋ｇ川（ｍ＿＋∞）
（１１）
Ｖ后∈｛ｏ，ｌ，…，五｝
Ｖ口∈｛ｏ’１＇２，…，ｎｙ一嚣’一１）
其中＾＝ｍ觚ｆ＾。Ｉｍ∈Ⅳｕ｛０）｝，０≤＾≤＋∞。
注２当｛《“’一嚣’ｌ二（规定ｎ，¨＝ｎ：）有界时，
式（６）（式（６ａ））用‰＋，吨。川（ｎ＿∞）替代；式（１１）用
第２７卷第２期倪培溉：数列与级数收敛性判定的一个注记
删（，ｌ一∞）替代。
注３若对Ｖｍ∈Ⅳｕ｛０
１都有＾棚，则定理５即
为定理２，可见定理５是定理２的推广；依照从定理２推广到定理５的方法，还可继续对定理５作类似推广。
在判别数列收敛性时，定理１中的条件２）不容易处理。为此，找到了下面判别数列收敛性的简便、快捷
的方法。
定理６如果数列ｆ％】脚满足：
１）了｛‰Ｊ脚ｃⅣｕｆ０
ｌ（规定，ｌｏ＝０），使得戈，．．咖
（，ｎ－＋∞）；
２）Ｖｍ∈Ⅳｕ｛ｏ），Ｖｐ∈｛ｌ，２，…，‰ｌ一，ｋ—ｌ｝都
有菇ｎ．≤彤忡≤‰，或戈～≥石帅≥戈‰，则菇。嘲（，一∞）。
证明
由定理的条件１）可知，石。。叫。－÷０（ｍ＿
∞）；由定理的条件２）可得０≤ｋ帅叫‰Ｉ≤ｋ‰咄。ｌ，
Ｖｍ∈Ⅳｕ｛ｏ｝，Ｖ
ｇ
Ｅ｛１，２，…，，ｌ。＋ｌ—ｎ。一１｝；从而，
茗帅吲。卅（ｍ＿∞），Ｖｐ∈｛ｌ，２，…，，ｋ广‰一１），结合定理的条件１），根据定理１可以得到％咖（ｎ＿
∞）。
注４定理２是靠数列｛故｝脚的收敛子列｛‰）捌以及靠｛‰）删中的相邻项‰和菇。．控制其之间的项
菇唧，Ｖｐ∈｛１，２，…，凡ｍ＋广‰一１），来判别数列ｆｚ。）脚
收敛的。称定理２为判别数列收敛性的“子列～局部
夹”准则。
例１数列
鱼野，去，之万，１ｂ，…存在以。为极限的
ｈ＋ｌ’撕ｌ’２，件１’２（Ｊ件１）’
¨¨””／０ｎｌ’ｎ”Ｊ
２
Ｚ
Ｚ
Ｚ
子列与，丢，与，；，三，…，去，之万，１ｂ，…，对
２
２
２
２
２
２
２
２
于Ｖｐ∈｛ｌ，２，…，ｎ｝都有七≤鱼孽≤告及１ｂ
２
Ｚ
Ｚ
Ｚ
≤｛万≤｛丁。故根据定理２可以得知当，ｐ∞时，
Ｚ
２
所论数列收敛于０。
注５定理６中的条件２）是髫。一口（，一∞）的充分
条件，但非必要的。如例ｌ所论的数列收敛、该数列有
收敛的子列与，与，与，…，七，１ｂ，…，但对Ｖ。∈
Ｚ
Ｚ
２
Ｚ
Ｚ
Ⅳ都有—丢≤告及毫万＞１ｂ。
，２
２
２
Ｚ
进一步还可以得到下面的结论。
万方数据
定理７如果数列｛％ｌ脚满足：
１）｜｛，ｌ。｝脚ｃⅣｕ｛０１（规定，ｌｏ＝０），使得Ｋ—咆
（，７ｒ＿＋∞）；
２）对Ｖｐ
Ｅ｛１，２，…，几。＋ｌ一凡。一１｝｜后ｏ∈Ⅳｕ｛ｏ），
石～蛎≤髫，枷≤ｚ～“一ｌ或石砒≥菇帅≥菇，＿寸ｌ，Ｖｍ∈ⅣＵ｛０｝且ｍ—ｌ｜｝ｏ≥０；贝Ⅱ髫。—咆（，Ｐ∞）。
证明
由定理的条件２）可以得到Ｉｚ帅一髫。Ｉ＿
Ｉ茗，啪一～＋菇～盛。一～幽ｌ≤Ｉ簟御・茁～ｄ。Ｉ＋Ｉ筇～吐。一茗～Ｉ≤ｌ‰吐一一Ｋ域Ｉ＋１％吐。一‰ｌ。由定理的条件１）以及数列
的柯西审敛原理可以得知，ｋ吐一。吨～吐。ｌ＋Ｉ菇～矗。一戈。Ｉ
＿＋Ｏ（ｍ一∞），故菇帅略。卅（ｍ＿∞），Ｖｐ∈１１，２，…，
，ｌｍ＋。一ｎ。一１
Ｊ；结合定理的条件１），根据定理１可以得到
吒—圯（，ｒ啼∞）。
注６当七。＝０时，定理７即为定理６，定理７是定理６的推广。
例２数列
ｌ
３
２＋２－１
ｌｌ３２＋２．２２＋２～１
２…２”２３２２２
’２４’２”２５’２５２２２２
’２５２
’２６’２
上…上ｊ一』一丝至丝．…．丝．２５’’２２—２¨’广…２撕㈠２撕１’’２川’２
２
２
２
２
２
２
垒孽，１ｋ，—告，…是将例１中的数列改变排列可，丽’百广，…足柑’劂ｌ中ＨＶ姒岁Ｕ以，艾月Ｆ，，Ｕ
２
２
２
顺序得到的：对Ｖｎ∈Ｊ７、ｒ，把例ｌ中以０为极限的子列
上王上王上…上ｊ一上．兰；
．…
中丢与去之间的项垒尝广，等，…，垒尝ｒ，
２２’２３’２４’２５’２６’２
２
２
２
２
’２２４’２２“＋１’２２‘”＋１’’２２‘“＋１’＋１’
２
２
２
２
２
２
２
２
Ｚ
项丢万排在１ｂ与击之间，注意到例１中的
２告排在之万与１ｂ之间；把ｊ万与ｊｂ之间的
２
２
２
２
２
２
２
Ｚ
“对于ｖｐ∈（１，２，…，ｎ｝都有丢≤２等≤｛万及
２
Ｚ
Ｚ
１ｂ≤丢万≤｛万’’再根据定理３可知当ｎ一∞
２
Ｚ
２
时，所论数列收敛于０。
参考文献：
【ｌ】倪培溉．数列‰一薯。审敛原理【Ｊ】．数学的实践与认识，２００６（３）：
２９２—２９４．
（责任编辑：李侃）
数列与级数收敛性判定的一个注记
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
倪培溉， NI Pei-gai
中国民航大学理学院,天津,300300
中国民航大学学报
JOURNAL OF CIVIL AVIATION UNIVERSITY OF CHINA2009，27(2)0次
参考文献(1条)
1. 倪培溉 数列(xnm～xnm+p)数学的实践与认识 2006
相似文献(10条)
1.期刊论文 郜舒竹. GAO Shu-zhu 广义Fibonacci等距子列关于模Lm的模数列的周期 -数学的实践与认识2008,38(13)
给出广义Fibonacci等距子列的定义,推导出此类等距子列的统一递推公式,并由此得出其关于Lucas数为模的模数列的周期规律.
2.期刊论文 赵玉环. 张兆宁 数列算术平均序列的收敛性 -中国民航学院学报2002,20(6)
对一般数列的情况进行了讨论,给出了数列的子列权的概念,得出了关于数列的算术平均序列的一个定理,即存在有限划分的收敛子列的数列,其算数平均序列收敛于其子列极限的线性组合,而系数正是相应子列的权.对其他的一些情况也进行了讨论.
3.期刊论文 刘开生. 潘书林 子列在研究极限方面的应用 -天水师范学院学报2001,21(2)
给出了子列的几个重要性质,应用这些性质巧妙地给出致密性定理及数列收敛的柯西准则的证明,并利用子列讨论数列的发散问题.
4.期刊论文 王占京. 米香云. WANG Zhan-jing. MI Xiang-yun 关于数列与其子列敛散性的讨论 -河北经贸大学学报（综合版）2005,5(4)
本文对数列极限的常规结论进行了进一步的研究,得出了关于数列与其子列间更为深入的结论,其构成了数列收敛的新的充分必要条件.
5.期刊论文 李晓萍 用数列的不同项的和表示数 -北京工商大学学报(自然科学版)2003,21(4)
对于用正整数的子列的不同项的和表示正整数的问题,给出了一个充分必要条件.对于用调和数列的子列表示正有理数的问题,研究了一些特殊情况.特别对于分母是等差数列的情况,给出完整的解答.对于一般情况,给出了一个必要条件.
6.期刊论文 刘莹. 郜舒竹. LIU Ying. GAO Shu-zhu 以Fibonacci数为模的广义Fibonacci等距子列的周期 -大学数学2010,26(2)
给出广义Fibonacci等距子列的定义,求出以Fibonacci数fm为模的模数列的周期,由此得到求广义Fibonacci数列模fm的周期的算法.
7.期刊论文 张君施. ZHANG Jun-shi 利用调和数列的收敛子列表示有限正有理数 -北京工商大学学报（自然科学版）2006,24(2)
在文献[1]的基础上,给出了任何给定的有限正有理数均可用调和数列收敛子数列表示的必要条件,并在给出等价关系的情况下,对必要条件进一步讨论.
8.期刊论文 王玉彬. 郜舒竹. Wang Yubin. Gao Shuzhu 对广义Fibonacci等距子列连续n项和公式的改进 -首都师范大学学报（自然科学版）2009,30(5)
利用距离为m的广义Fibonacci等距子列的递推公式,求出其通项公式,并由此得到广义Fibonacci等距子列连续n项和的统一公式,对已有结果进行了改进.
9.期刊论文 郜舒竹. 张翠. Gao Shuzhu. Zhang Cui 广义Fibonacci等距子列连续n项和的统一公式 -首都师范大学学报（自然科学版）2008,29(3)
给出广义Fibonacci等距子列的定义,利用距离为m的广义Fibonacci等距子列的递推公式证明了其连续,n项和的统一公式.
10.期刊论文 王进伟. 郜舒竹. Wang Jinwei. Gao Shuzhu 广义h-Fibonacci数列的连续n项和公式 -首都师范大学学报（自然科学版）2009,30(3)
广义h-Fibonacci数列及其等距子列的连续n项和公式,并对公式进行了证明.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgmhxyxb200902014.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：3ae17ad4-f718-4901-9d1e-9dca0105a73a
下载时间：2010年8月6日
第２７卷第２期２００９年４月
中国民航大学学报
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＣＩＶⅡ。ＡＶＬＡＴＩｏＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹｏＦＣＩⅡＮＡ
Ｖ０１．２７Ｎｏ．２Ａｐｒｉｌ
２００９
数列与级数收敛性判定的一个注记
倪培溉
（中国民航大学理学院，天津３００３００）
摘
要：数列＆，一ｈ审敛原理是数，ｑ～一～印审敛原理更加一般性的推广，进一步扩大了数列茗。～ｒ＾＿印审敛原理的
适用范围；利用数列聋、一～．Ｐ审敛原理还得到了判别数列收敛性的“子列～局部夹”准则。
关键词：数列；子列；级数；收敛
中图分类号：０１７３．１
文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—５５９０（２００９１０２—００５７．０３
Ｎｏｔｅ
ｏｎ
ＤｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇＡｓｔｒｉｎｇｅｎｃｙｏｆＳｅｑｕｅｎｃｅａｎｄＳｅｒｉｅｓ
＾ｌＰｅｉ—ｇａｉ
（ｃＤ如酽矿ｓｃ拓加ｅ，嬲ＵＣ，兀嘶协３００３００，蕊ｉＭ）
Ａｂｓｔｍｃｔ：Ｅｘｐｅｎｄｉｎｇ
ｑｕｅｎｃｅ
ｔｌｌｅｃｏｎＶｅｒｇｅｎｃｅ
ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｆｏｒｔｈｅｓｅｑｕｅｎｃｅ
ｆｏｒｔｈｅ舱。
ｚｎ－一～却，ｗｅｇｅｔｔｌｌｅｃｏｎＶｅＥｇｅｎｃｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｏｆｔｈｅ
ｚ掣—０唧，ｗｈｉｃｈｅｎｌａｒｇｅｓｔ１１ｅａｐｐｌｉｃａｂｌｅｍｎｇｅ
ｏｎ
ｃｏｎＶｅｒｇｅｎｃｅ—ｎｃｉｐｌｅ
ａｌｓｏｇｅｔｔ王ｌｅ
ｆｏｒｔｈｅ
ｓｅｑｕｅｎｃｅ名～一～叩・
ｎｉｐ”珈ｌｅ
Ｂ鹊ｅｄ
ｔＩｌｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｆｏｒｔｈｅ
ｓｅｑｕｅｎｃｅ菇～～～印，ｗｅ
“ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅ～１０ｃａｌ
ｗｈｉｃｈｄｉｓｔｉｎｇｕｉｇｈｅｓｔｌｌｅ踮ｔｒｉｎｇｅｎｃｙ
Ｋｅｙ
ｏｆ∞ｑＩｌｅｎｃｅ．
ｗｏｒｄｓ：ｓｅⅡ■ｅｇｑｕｅｎｃｅ；ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｓｅｄ船；ｃ叩Ｖｅｌ．ｇｅｎｃｅ
关于数列与级数的审敛方法，已经得到了Ｆ列的
结论（定理ｌ以及定理２）。
定理３
（数列茁０一茗《ｋ审敛原理）数列菇厂＋０
定理ｌ（数列戈～一～印审敛原理）‘１数列戈，广咆（ｎ一＋
∞）的充分必要条件是
１）ｊ｛‰Ｊ删ｃⅣｕ｛０Ｊ（规定伽＝０），使得
（ｎ＿＋∞）的充分必要条件是ｊ（凡。Ｊ二ｃⅣｕ（ｏ｝（规定
舻ｏ），对于Ｖｍ∈Ⅳｕ｛ｏ），ｊ｛《’ｊ二ｃ｛凡。＋ｐｌ≯１（规
定‰＝睨）使得
‰嘲（，一∞）
（１）
２）ｘ～印—石～川
１）石ｏ，一ｏ（，一∞）Ｖ后∈｛ｏ，ｌ，…，元｝
（５）
（，，ｌ＿＿＋∞）
（２）
Ｖｐ∈（１，２，…，，‰ｌ—ｎ，广１Ｊ
２）髫ｏ，叼叫ｚ川（，一∞）ＶＩ｜｝∈｛ｏ，ｌ，…，元Ｊ
Ｖｑ∈｛ｌ，２，…，ｎ竺“’一碟’一ｌ｝
其中元：ｍａｘ｛Ｉ｝ｌ。Ｉ
证明
ｍ∈Ⅳｕ
定理２（数项级数的ｓ‰～～叩审敛原理）Ⅲ任意项
（６）
级数∑‰收敛于口的充分必要条件是
ｎ＝０
ｆｏ｝１，ｏ≤元≤＋∞。
［必要性】由于菇。嘞（ｎ一∞），所以数列‰
１）ｊ｛‰１二ｃⅣｕ（０１（规定ｎｏ＝ｏ），使得
∑（～＋Ｍ～＋。”・＋‰一。）＝。
２）‰＋ｕ。．＋ｌ＋…＋“～印一０
（，形—｝∞）
（４）
Ｖｐ∈｛０，１，２，…，ｎｍ＋１一ｎ。一１）
（３）
的任意子列均收敛于口，故定理的条件１）成立；根据柯
西审敛原理，由ｘ，广却（圹＋∞）得知定理的条件２）成立。
【充分性】考察数列
石０’，石蠢”，…，彤０’，菇ｎ（”，戈ｎ：”，…，龙。？‘’，…菇０’，戈《’，…戈０’，…
（７）
下面将给出比定理１和定理２更加深刻的结论。
由定理的条件１）（即式（５））知，菇。ｃ・一ｏ（，一∞），于
收稿日期：２００８一０４—２９；修回日期：２００８一０７一１４基金项目：２００６年中国民航大学教育教学研究课题立项项目资助
作者简介：倪培溉（１９４９一），男，天津人。副教授，本科。研究方向为泛函分析。
万方数据
５８中国民航大学学报２００９年４月
是数列（７）满足定理ｌ中的条件１）（即式（１））；仍然由
于定理的条件１）（即式（５））知，石。ｍ嘞（，，ｌ－＋∞）Ｖ后Ｅ
｛１，２，…，＾｝，由此得知，对Ｖ后∈｛ｌ，２，…，＾ｌ都有石。：，一
髫。ｍ川（，一∞），于是数列（７）还满足定理ｌ中的条件
２）（即式（２））；故根据定理ｌ得知，当ｍ＿＋∞时数列（７）收敛于口从而数列‰满足定理１中的条件１），再注意到由定理的条件２）可以得知数列茁。还满足定理
１中的条件２）。于是根据定理１可以得到菇。一口（，一
∞），证毕。
记ｚ《，ｑ一髫《，＝ｒ《，＋。，乖褐毫理３岁蒯菇《，一ｒ《，＋ｑ审敛
原．理。
注１若对Ｖｍ∈Ⅳｕｆ０｝都有＾。＝Ｏ，则定理３
即为定理１，可见定理３是定理１的推广；依照从定理１推广到定理３的方法，还可继续对定理３作类似
推广。
由定理３可以得知，任何一个收敛数列ｋ】脚内嵌套着收敛数列
髫《’，筇０’＋ｌ，…，菇《’一ｌ，菇《’，菇《’＋ｌ，…，石《’一ｌ，…，菇《’，
髫踟，…鹫一）－ｌ＇．“
（８）
并且数列ｋ）＝与其子列（８）在不同尺度上具有自相
似（它们的极限都是口）结构。还可以由“注ｌ”知，这种自相似的嵌套结构是无穷尽的。这是任何—个收敛数列的本质特征，它正反映了自然界普遍存在的分形现象。
对于Ｖ
ｆ‰）二ｃⅣｕ｛ｏ｝，收敛数列戈。的子列
｛Ｋ）删都是收敛的，即收敛数列菇。内嵌套着的收子列（８）有无穷多。
还可以得到下述结论：
定理４
（数列髫０，一戈硭，加审敛原理的等价命题）
数列菇。嘲（，一∞）的充分必要条件是ｊ｛‰Ｊ脚ｃⅣ
ｕ｛ｏ）（规定ｎ０＝ｏ），对于Ｖｍ∈Ⅳｕ｛ｏ
１，ｊ｛ｎ：’）：二０
ｃ｛‰＋ｐ）≯１（规定＃’＝‰．）使得
１）（ｉ）取定ＶＩ｜｝Ｅ｛ｏ，１，２，…，元），名ｏ，咖（ｍ－＋∞）
（５ａ）
（ｉｉ）菇秽一ｑ，川（，一∞）Ｖ／∈（１，２，…，¨
（５ｂ）
（规定０圳：，箸’，ｇ：１，２，…后）
万方数据
２）犍，叼一菇《枷（，一∽ＶＩ｜｝∈｛ｏ，１，…，元Ｊ
Ｖｑ∈｛１，２，…，ｎ：＋１’一ｎ：’一１｝
（６ａ）
其中＾＝ｍａｘ｛＾。Ｉｍ∈Ⅳｕ｛０｝｝，Ｏ≤＾≤＋∞。
证明
只须证明式（５）成立的充分必要条件是式
（５ａ）与式（５ｂ）成立。若数列（７）当ｍ＿＋∞时收敛于口则显然有式（５）成立；另一方面，由定理３中充分性的证明可以得知：若式（５）成立，则数列（７）当ｍ一∞时收敛于口；故数列（７）当ｍ＿∞时收敛于。的充分必要条件是式（５）成立。再利用定理ｌ可知数列（７）当ｍ＿∞时收敛于口的充分必要条件是式（５ａ）及式（５ｂ）成立。因此得知式（５）成立的充分必要条件是式（５ａ）及式（５ｂ）成立证毕。
利用数列与数项级数的关系，从定理４可以得到
下述结论。
定理５任意项级数∑‰收敛于口的充分必要
条件是｜ｆ‰｝脚ｃⅣｕ｛Ｏ）（规定伽＝ｏ），对于Ｖｍ∈
Ⅳｕ
ｆｏ），ｊ｛《’｝＝０ｃ
ｆｎｍ＋ｐ｝≯１（规定＃’巩）使得
１）（ｉ）取定ＶＪ｜｝∈｛ｏ，１，２，…，元Ｊ
卷’一ｌ
＋。
∑‰＋∑【（Ｍ《，＋吣。＋．．・＋””一。）＋（Ｍ∥＋
Ｍ０ｌＪ＋ｌ＋…＋Ｍ《埘一１）＋…＋（ｑ＿＋吣１＋…＋
ｕ艺一Ｉ）＋（ｎ器＋ｕ，嚣＋ｌ＋…＋ｕ，。＝一１）＋…＋
（吣，＋吣）十ｌ＋．．’＋吣一１）】＝口
（９）
其中砜不唯一，可取
帆＝ｌＩｌｉｎ｛ｍＩ｜｝Ｅ｛ｏ，１，…，元），嚣’Ｅｆ‰＋ｐ｝：鸭一｝
（ｉｉ）（ｕ０，＋ｑＩ＝）十ｌ＋…＋ｑ０¨－１）＋（ｑＩ＝＋１，＋ｑｏｎ＋ｌ＋…＋
Ⅱ，？ｚ１－Ｉ）＋…＋（吣，＋“ｐＩ＋ｌ＋…＋Ｍ０竹Ｉ｝－１）川
（ｍ－÷∞）
Ｖｐ∈｛１，２，…，＾。｝
（１０）
（规定凡，’：儿＝’，ｇ：１，２，…，五）
２）吣，＋吣）＋ｌ＋…＋Ⅵ，＋ｇ川（ｍ＿＋∞）
（１１）
Ｖ后∈｛ｏ，ｌ，…，五｝
Ｖ口∈｛ｏ’１＇２，…，ｎｙ一嚣’一１）
其中＾＝ｍ觚ｆ＾。Ｉｍ∈Ⅳｕ｛０）｝，０≤＾≤＋∞。
注２当｛《“’一嚣’ｌ二（规定ｎ，¨＝ｎ：）有界时，
式（６）（式（６ａ））用‰＋，吨。川（ｎ＿∞）替代；式（１１）用
第２７卷第２期倪培溉：数列与级数收敛性判定的一个注记
删（，ｌ一∞）替代。
注３若对Ｖｍ∈Ⅳｕ｛０
１都有＾棚，则定理５即
为定理２，可见定理５是定理２的推广；依照从定理２推广到定理５的方法，还可继续对定理５作类似推广。
在判别数列收敛性时，定理１中的条件２）不容易处理。为此，找到了下面判别数列收敛性的简便、快捷
的方法。
定理６如果数列ｆ％】脚满足：
１）了｛‰Ｊ脚ｃⅣｕｆ０
ｌ（规定，ｌｏ＝０），使得戈，．．咖
（，ｎ－＋∞）；
２）Ｖｍ∈Ⅳｕ｛ｏ），Ｖｐ∈｛ｌ，２，…，‰ｌ一，ｋ—ｌ｝都
有菇ｎ．≤彤忡≤‰，或戈～≥石帅≥戈‰，则菇。嘲（，一∞）。
证明
由定理的条件１）可知，石。。叫。－÷０（ｍ＿
∞）；由定理的条件２）可得０≤ｋ帅叫‰Ｉ≤ｋ‰咄。ｌ，
Ｖｍ∈Ⅳｕ｛ｏ｝，Ｖ
ｇ
Ｅ｛１，２，…，，ｌ。＋ｌ—ｎ。一１｝；从而，
茗帅吲。卅（ｍ＿∞），Ｖｐ∈｛ｌ，２，…，，ｋ广‰一１），结合定理的条件１），根据定理１可以得到％咖（ｎ＿
∞）。
注４定理２是靠数列｛故｝脚的收敛子列｛‰）捌以及靠｛‰）删中的相邻项‰和菇。．控制其之间的项
菇唧，Ｖｐ∈｛１，２，…，凡ｍ＋广‰一１），来判别数列ｆｚ。）脚
收敛的。称定理２为判别数列收敛性的“子列～局部
夹”准则。
例１数列
鱼野，去，之万，１ｂ，…存在以。为极限的
ｈ＋ｌ’撕ｌ’２，件１’２（Ｊ件１）’
¨¨””／０ｎｌ’ｎ”Ｊ
２
Ｚ
Ｚ
Ｚ
子列与，丢，与，；，三，…，去，之万，１ｂ，…，对
２
２
２
２
２
２
２
２
于Ｖｐ∈｛ｌ，２，…，ｎ｝都有七≤鱼孽≤告及１ｂ
２
Ｚ
Ｚ
Ｚ
≤｛万≤｛丁。故根据定理２可以得知当，ｐ∞时，
Ｚ
２
所论数列收敛于０。
注５定理６中的条件２）是髫。一口（，一∞）的充分
条件，但非必要的。如例ｌ所论的数列收敛、该数列有
收敛的子列与，与，与，…，七，１ｂ，…，但对Ｖ。∈
Ｚ
Ｚ
２
Ｚ
Ｚ
Ⅳ都有—丢≤告及毫万＞１ｂ。
，２
２
２
Ｚ
进一步还可以得到下面的结论。
万方数据
定理７如果数列｛％ｌ脚满足：
１）｜｛，ｌ。｝脚ｃⅣｕ｛０１（规定，ｌｏ＝０），使得Ｋ—咆
（，７ｒ＿＋∞）；
２）对Ｖｐ
Ｅ｛１，２，…，几。＋ｌ一凡。一１｝｜后ｏ∈Ⅳｕ｛ｏ），
石～蛎≤髫，枷≤ｚ～“一ｌ或石砒≥菇帅≥菇，＿寸ｌ，Ｖｍ∈ⅣＵ｛０｝且ｍ—ｌ｜｝ｏ≥０；贝Ⅱ髫。—咆（，Ｐ∞）。
证明
由定理的条件２）可以得到Ｉｚ帅一髫。Ｉ＿
Ｉ茗，啪一～＋菇～盛。一～幽ｌ≤Ｉ簟御・茁～ｄ。Ｉ＋Ｉ筇～吐。一茗～Ｉ≤ｌ‰吐一一Ｋ域Ｉ＋１％吐。一‰ｌ。由定理的条件１）以及数列
的柯西审敛原理可以得知，ｋ吐一。吨～吐。ｌ＋Ｉ菇～矗。一戈。Ｉ
＿＋Ｏ（ｍ一∞），故菇帅略。卅（ｍ＿∞），Ｖｐ∈１１，２，…，
，ｌｍ＋。一ｎ。一１
Ｊ；结合定理的条件１），根据定理１可以得到
吒—圯（，ｒ啼∞）。
注６当七。＝０时，定理７即为定理６，定理７是定理６的推广。
例２数列
ｌ
３
２＋２－１
ｌｌ３２＋２．２２＋２～１
２…２”２３２２２
’２４’２”２５’２５２２２２
’２５２
’２６’２
上…上ｊ一』一丝至丝．…．丝．２５’’２２—２¨’广…２撕㈠２撕１’’２川’２
２
２
２
２
２
２
垒孽，１ｋ，—告，…是将例１中的数列改变排列可，丽’百广，…足柑’劂ｌ中ＨＶ姒岁Ｕ以，艾月Ｆ，，Ｕ
２
２
２
顺序得到的：对Ｖｎ∈Ｊ７、ｒ，把例ｌ中以０为极限的子列
上王上王上…上ｊ一上．兰；
．…
中丢与去之间的项垒尝广，等，…，垒尝ｒ，
２２’２３’２４’２５’２６’２
２
２
２
２
’２２４’２２“＋１’２２‘”＋１’’２２‘“＋１’＋１’
２
２
２
２
２
２
２
２
Ｚ
项丢万排在１ｂ与击之间，注意到例１中的
２告排在之万与１ｂ之间；把ｊ万与ｊｂ之间的
２
２
２
２
２
２
２
Ｚ
“对于ｖｐ∈（１，２，…，ｎ｝都有丢≤２等≤｛万及
２
Ｚ
Ｚ
１ｂ≤丢万≤｛万’’再根据定理３可知当ｎ一∞
２
Ｚ
２
时，所论数列收敛于０。
参考文献：
【ｌ】倪培溉．数列‰一薯。审敛原理【Ｊ】．数学的实践与认识，２００６（３）：
２９２—２９４．
（责任编辑：李侃）
数列与级数收敛性判定的一个注记
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
倪培溉， NI Pei-gai
中国民航大学理学院,天津,300300
中国民航大学学报
JOURNAL OF CIVIL AVIATION UNIVERSITY OF CHINA2009，27(2)0次
参考文献(1条)
1. 倪培溉 数列(xnm～xnm+p)数学的实践与认识 2006
相似文献(10条)
1.期刊论文 郜舒竹. GAO Shu-zhu 广义Fibonacci等距子列关于模Lm的模数列的周期 -数学的实践与认识2008,38(13)
给出广义Fibonacci等距子列的定义,推导出此类等距子列的统一递推公式,并由此得出其关于Lucas数为模的模数列的周期规律.
2.期刊论文 赵玉环. 张兆宁 数列算术平均序列的收敛性 -中国民航学院学报2002,20(6)
对一般数列的情况进行了讨论,给出了数列的子列权的概念,得出了关于数列的算术平均序列的一个定理,即存在有限划分的收敛子列的数列,其算数平均序列收敛于其子列极限的线性组合,而系数正是相应子列的权.对其他的一些情况也进行了讨论.
3.期刊论文 刘开生. 潘书林 子列在研究极限方面的应用 -天水师范学院学报2001,21(2)
给出了子列的几个重要性质,应用这些性质巧妙地给出致密性定理及数列收敛的柯西准则的证明,并利用子列讨论数列的发散问题.
4.期刊论文 王占京. 米香云. WANG Zhan-jing. MI Xiang-yun 关于数列与其子列敛散性的讨论 -河北经贸大学学报（综合版）2005,5(4)
本文对数列极限的常规结论进行了进一步的研究,得出了关于数列与其子列间更为深入的结论,其构成了数列收敛的新的充分必要条件.
5.期刊论文 李晓萍 用数列的不同项的和表示数 -北京工商大学学报(自然科学版)2003,21(4)
对于用正整数的子列的不同项的和表示正整数的问题,给出了一个充分必要条件.对于用调和数列的子列表示正有理数的问题,研究了一些特殊情况.特别对于分母是等差数列的情况,给出完整的解答.对于一般情况,给出了一个必要条件.
6.期刊论文 刘莹. 郜舒竹. LIU Ying. GAO Shu-zhu 以Fibonacci数为模的广义Fibonacci等距子列的周期 -大学数学2010,26(2)
给出广义Fibonacci等距子列的定义,求出以Fibonacci数fm为模的模数列的周期,由此得到求广义Fibonacci数列模fm的周期的算法.
7.期刊论文 张君施. ZHANG Jun-shi 利用调和数列的收敛子列表示有限正有理数 -北京工商大学学报（自然科学版）2006,24(2)
在文献[1]的基础上,给出了任何给定的有限正有理数均可用调和数列收敛子数列表示的必要条件,并在给出等价关系的情况下,对必要条件进一步讨论.
8.期刊论文 王玉彬. 郜舒竹. Wang Yubin. Gao Shuzhu 对广义Fibonacci等距子列连续n项和公式的改进 -首都师范大学学报（自然科学版）2009,30(5)
利用距离为m的广义Fibonacci等距子列的递推公式,求出其通项公式,并由此得到广义Fibonacci等距子列连续n项和的统一公式,对已有结果进行了改进.
9.期刊论文 郜舒竹. 张翠. Gao Shuzhu. Zhang Cui 广义Fibonacci等距子列连续n项和的统一公式 -首都师范大学学报（自然科学版）2008,29(3)
给出广义Fibonacci等距子列的定义,利用距离为m的广义Fibonacci等距子列的递推公式证明了其连续,n项和的统一公式.
10.期刊论文 王进伟. 郜舒竹. Wang Jinwei. Gao Shuzhu 广义h-Fibonacci数列的连续n项和公式 -首都师范大学学报（自然科学版）2009,30(3)
广义h-Fibonacci数列及其等距子列的连续n项和公式,并对公式进行了证明.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgmhxyxb200902014.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：3ae17ad4-f718-4901-9d1e-9dca0105a73a
下载时间：2010年8月6日