数学学习中的学法指导
【内容综述】
本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍，第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理；第二，要加强对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算一的试题中，应尽量减少计长算量，提高解题效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：反客为主，欲擒故纵„„第四，其它
【要点讲解】
§1. 武器精, 巧解题
若能不断掌握一些有用的课外公式, 无论是解高考试题, 还是解数竞试题都是有用的，尤其是高考现今强调创新，出活题考能力；而高中数竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是在出活题考能力（当然它要求的知识面更广，基础更坚深），二者关系极为密切，这一节，我们介绍两个课外的有用公式实理，供大家参考。 1．等差数列
证明
例1. 设等差数列国数竞赛题）
分析：若等差数列
中，满足 满足
且
S n 为其前n 项之和，求Sn 中最大者。 （1995高中全
中，
①
取最大值
则S n 最大。或当S n =Sm
时， 解：
由题设：
得
是最大和
，求得
再去解
故由等差数列前n 项和是二次函数，可见 说明 本题若用常规解法，就需由题设
求得n=20.计算量较大。
例2. 等差数列，
的前n 项和分别为Sn 与T n ，若
（1995年全国高考试题）
分析 本题若按解答题做，推理、论证计算相当繁杂，但若利用公式①就非常简单
解
∴
例3. 设等差数列的前n 项和为S n , 已知
解:
即
又∵
, 求公差d 的取值范围.
故
2．三面角余弦公式
在如图三面角O —ABC 中。设面角∠AOB=Q, ∠AOC=Q1，∠BOC=Q2, 二面角A —OC —B 大小为，则有公式
，②
称为三面角余弦公式或三射线定理。当
时，就是主几课本中复习题的公式。它的证明可在如图的
基础上，作CA 、CB 分别垂直OC 、于C 、连AB ，分别在△AOB 、△AOC 、△BOC 得用三角函数可分别将AB 、BC 、AC 用Q 、Q 1、Q 2及OC 的关系表出，最后再在△ABC 中利用余弦定理求得公式② 本公式无论在高考试题还是竞赛试题, 多有应用。
例4. 已知二面角M —AB —N 是直二面角，P 是棱上一点，PX 、PY 分别在平面M 、N
内，且
。求
大小?(1964,北京赛题
)
解:利用三面角余弦公式 得
∴
，
，设以
例5. 已知四面体S —ABC 中，SC 为棱的二面角为，求与
、β关系。
解：由三面角余弦公式及题设，得
解之，得
，故有
，
例6. 已知正四棱锥P —ABCD 的侧面与底面夹角为L ，相邻两侧面的夹角为β, 求证：
（1981 上海竞赛题）
证：设PO 是棱锥的高，O 是底面ABCD 的对角线交点 作OE ⊥AD ， 则PE ⊥AD ，
从而∠PEO 是侧面与底面所成角；
作BF ⊥PC ，连DF ，易证∠DFB 即两侧面间所成二面角的平面角β.
设侧棱长为a ，底面边长为b 。则侧高为
，则由三面角余弦公式有
=
=
= 又由三面角P —BCD 知
∴
例7. 如图正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成
面角，则异面直线AD 与BF 所成角的
余弦是_____________。（1996年全国高考试题）
解 ∵AD ，BF 所成角，即BC 与BF 所成角，由三面角余弦公式，有
说明：由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中，显然课外的公式，担供了极其简捷的解法，若不用这二公式，尽管问题也能解决，但要繁杂得多
这里我们才给了两个课外的有用公式，在本教程的其它章节，更介绍了许多有用的方法和公式定理，也希望同学们在今后的解题实践中，不断总结，发现更多更好的解题方法，策略和武器，为不好数学，争取得更大成绩而努力，
§2 大概念 小计算
要学好数学，一定要重视概念的学习 例8. 已知集合
编）
的值。（1987．全国赛题改
分析：根据集合元素的互异性，由N 知X ，Y 皆不为0，又由M=N，故知xy=1，进而x 、y 可求
解：由题设知x 、y ≠且xy=1，∵
且M=N，∴
解方程组
可见，从而
得x=y=-1，舍去x=y=1(∵与元素互异矛盾) 代入原式=-2+2-2+„-2= -2.
说明：这时重在概念分析，计算量较小。 也可发先就x 、y 是否为1讨论后得出原式=4002
或
例9. 过抛物线q ，求
的值
；进而去求x 、y 的值，舍去4002-解，得出-2的正确结论。
的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、
（2000年全国高考）
分析：本题若按解答题作，需对一般情况进行计算，比较繁杂，而若概念清楚，再结合抛物线道径长，可见令p=q即可迅速求解。 解 令p=q，则 由抛物线
，可见
，根据通径长为
，应选C 。
例10 如图, OA是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分。求母线与轴的夹角的余弦值
分析 若能洞察旋转体体积求法真谛，本题从题设可转化为以PO 原圆锥体积之半，于是可轻松地得出方程
解 设原圆锥母线长为1，则底半径经
，设AD ⊥PO 于D ，则
，（为圆锥顶角之半），高
于是
，
由
解得
，得
，
应选C
说明：在这一节中，我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法，希望同学们加强概念理解，尽量通过多思，找到巧解妙算解决问题的办法。在今后的章节中，我们还会介绍更多的不同于课内知识的数学
概念和方法，希望大家能够认真学习，掌握各类问题的解法。
§3 反客为主，欲擒故纵
数学习题的解决，往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。 例11. 若 试求
的值
的下弦，要先去求有关β的函数关系β(
), 然后再消去β从而得出
的欲求值, 这种
分析 欲求有关 解 由①得
由②得
于是
化简得
∴
(已舍绝对值>1的另根)
策略, 不妨称之为“反客为主，欲擒故纵，”在很我场合这种策略行之有效。
.
例12. 已知 求证：
为此应先求出
分析 题设中有的三角函数，并有参数a 、b 、c 。但题断中不含
关于a 、b 、c 的关系，再设法消去
的三角函数，可见应设法消去，。
证：由已知易得
由①可见
代入②，再化简即得
说明：这一节，我们介绍了一种遇到疑难问题时，可能采用的解决问题的思想方法，也即是战争中的正面强改不下时，就考虑迂回进攻的战略战术，在数学竞赛试题的解决中，应时刻准备应予这种情况的出现。
例13. 当x=-1, x=0, x=1, x=2时，多项式这个多项式都取整数值。（1988 俄） 证：注意到
由题设知
d=p(0), a+b+c+d=p(1),
都是整数，故a+b+c也是整数。又 p(-1)=2b-(a+b+c)+d
是整数，故2b 也是整数，而 p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d
是整数，可见6a 也是整数。又易证数。
说明 为证P （x ）是整数，就需证明a 、b 、c 、d 是整数系数，这里借助于构造★式, 转证6a 、2b ，a+b+c，d 为整数，从而证出p （x ）是整数，这也是迂回证法，竞赛数字中采用的方法很多，希望大家认真, 能认真
是整数，从而由（★）可证各P(x)是整
（★）
取整数值，求证：对于所有整数X ，
坚持学习。
【同步达纲练习】
1．①试通过已知锥体, 台体公式，概括出一般的拟柱体公式
其中若三棱柱ABC —
分, 则： ②用上述公式求解 中，若E 、F 分别为AB ，AC 中点，平面E F 将三棱柱分成体积为，的两部 分别表示上、下底面积，表示中截面积。 =________.（1990年全国高考题）
★★2. 设|m|≤2，试求关于x 的不等式
恒成立的x 取值范围
★★3. 关于x 的方程
有实根, 求实数a 的取值范围
.
参考答案
【同步达纲练习】
1．①注意利用；
，代入拟柱体公式，得 ②特殊化原三棱柱为边长为2的正三棱柱，易求得
2．构造函数
(Ⅰ) 当|x|>1时,
(Ⅱ) 当|x|
(Ⅲ)|x|=1 时, X=1
综上，
3．解关于a 的方程，得
(Ⅰ) 当
(Ⅱ) 时, ，原命题成立。 ，求系数x 范围。
当
(Ⅲ) 又由 可见
时
故
数学学习中的学法指导
【内容综述】
本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍，第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理；第二，要加强对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算一的试题中，应尽量减少计长算量，提高解题效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：反客为主，欲擒故纵„„第四，其它
【要点讲解】
§1. 武器精, 巧解题
若能不断掌握一些有用的课外公式, 无论是解高考试题, 还是解数竞试题都是有用的，尤其是高考现今强调创新，出活题考能力；而高中数竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是在出活题考能力（当然它要求的知识面更广，基础更坚深），二者关系极为密切，这一节，我们介绍两个课外的有用公式实理，供大家参考。 1．等差数列
证明
例1. 设等差数列国数竞赛题）
分析：若等差数列
中，满足 满足
且
S n 为其前n 项之和，求Sn 中最大者。 （1995高中全
中，
①
取最大值
则S n 最大。或当S n =Sm
时， 解：
由题设：
得
是最大和
，求得
再去解
故由等差数列前n 项和是二次函数，可见 说明 本题若用常规解法，就需由题设
求得n=20.计算量较大。
例2. 等差数列，
的前n 项和分别为Sn 与T n ，若
（1995年全国高考试题）
分析 本题若按解答题做，推理、论证计算相当繁杂，但若利用公式①就非常简单
解
∴
例3. 设等差数列的前n 项和为S n , 已知
解:
即
又∵
, 求公差d 的取值范围.
故
2．三面角余弦公式
在如图三面角O —ABC 中。设面角∠AOB=Q, ∠AOC=Q1，∠BOC=Q2, 二面角A —OC —B 大小为，则有公式
，②
称为三面角余弦公式或三射线定理。当
时，就是主几课本中复习题的公式。它的证明可在如图的
基础上，作CA 、CB 分别垂直OC 、于C 、连AB ，分别在△AOB 、△AOC 、△BOC 得用三角函数可分别将AB 、BC 、AC 用Q 、Q 1、Q 2及OC 的关系表出，最后再在△ABC 中利用余弦定理求得公式② 本公式无论在高考试题还是竞赛试题, 多有应用。
例4. 已知二面角M —AB —N 是直二面角，P 是棱上一点，PX 、PY 分别在平面M 、N
内，且
。求
大小?(1964,北京赛题
)
解:利用三面角余弦公式 得
∴
，
，设以
例5. 已知四面体S —ABC 中，SC 为棱的二面角为，求与
、β关系。
解：由三面角余弦公式及题设，得
解之，得
，故有
，
例6. 已知正四棱锥P —ABCD 的侧面与底面夹角为L ，相邻两侧面的夹角为β, 求证：
（1981 上海竞赛题）
证：设PO 是棱锥的高，O 是底面ABCD 的对角线交点 作OE ⊥AD ， 则PE ⊥AD ，
从而∠PEO 是侧面与底面所成角；
作BF ⊥PC ，连DF ，易证∠DFB 即两侧面间所成二面角的平面角β.
设侧棱长为a ，底面边长为b 。则侧高为
，则由三面角余弦公式有
=
=
= 又由三面角P —BCD 知
∴
例7. 如图正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成
面角，则异面直线AD 与BF 所成角的
余弦是_____________。（1996年全国高考试题）
解 ∵AD ，BF 所成角，即BC 与BF 所成角，由三面角余弦公式，有
说明：由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中，显然课外的公式，担供了极其简捷的解法，若不用这二公式，尽管问题也能解决，但要繁杂得多
这里我们才给了两个课外的有用公式，在本教程的其它章节，更介绍了许多有用的方法和公式定理，也希望同学们在今后的解题实践中，不断总结，发现更多更好的解题方法，策略和武器，为不好数学，争取得更大成绩而努力，
§2 大概念 小计算
要学好数学，一定要重视概念的学习 例8. 已知集合
编）
的值。（1987．全国赛题改
分析：根据集合元素的互异性，由N 知X ，Y 皆不为0，又由M=N，故知xy=1，进而x 、y 可求
解：由题设知x 、y ≠且xy=1，∵
且M=N，∴
解方程组
可见，从而
得x=y=-1，舍去x=y=1(∵与元素互异矛盾) 代入原式=-2+2-2+„-2= -2.
说明：这时重在概念分析，计算量较小。 也可发先就x 、y 是否为1讨论后得出原式=4002
或
例9. 过抛物线q ，求
的值
；进而去求x 、y 的值，舍去4002-解，得出-2的正确结论。
的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、
（2000年全国高考）
分析：本题若按解答题作，需对一般情况进行计算，比较繁杂，而若概念清楚，再结合抛物线道径长，可见令p=q即可迅速求解。 解 令p=q，则 由抛物线
，可见
，根据通径长为
，应选C 。
例10 如图, OA是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分。求母线与轴的夹角的余弦值
分析 若能洞察旋转体体积求法真谛，本题从题设可转化为以PO 原圆锥体积之半，于是可轻松地得出方程
解 设原圆锥母线长为1，则底半径经
，设AD ⊥PO 于D ，则
，（为圆锥顶角之半），高
于是
，
由
解得
，得
，
应选C
说明：在这一节中，我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法，希望同学们加强概念理解，尽量通过多思，找到巧解妙算解决问题的办法。在今后的章节中，我们还会介绍更多的不同于课内知识的数学
概念和方法，希望大家能够认真学习，掌握各类问题的解法。
§3 反客为主，欲擒故纵
数学习题的解决，往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。 例11. 若 试求
的值
的下弦，要先去求有关β的函数关系β(
), 然后再消去β从而得出
的欲求值, 这种
分析 欲求有关 解 由①得
由②得
于是
化简得
∴
(已舍绝对值>1的另根)
策略, 不妨称之为“反客为主，欲擒故纵，”在很我场合这种策略行之有效。
.
例12. 已知 求证：
为此应先求出
分析 题设中有的三角函数，并有参数a 、b 、c 。但题断中不含
关于a 、b 、c 的关系，再设法消去
的三角函数，可见应设法消去，。
证：由已知易得
由①可见
代入②，再化简即得
说明：这一节，我们介绍了一种遇到疑难问题时，可能采用的解决问题的思想方法，也即是战争中的正面强改不下时，就考虑迂回进攻的战略战术，在数学竞赛试题的解决中，应时刻准备应予这种情况的出现。
例13. 当x=-1, x=0, x=1, x=2时，多项式这个多项式都取整数值。（1988 俄） 证：注意到
由题设知
d=p(0), a+b+c+d=p(1),
都是整数，故a+b+c也是整数。又 p(-1)=2b-(a+b+c)+d
是整数，故2b 也是整数，而 p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d
是整数，可见6a 也是整数。又易证数。
说明 为证P （x ）是整数，就需证明a 、b 、c 、d 是整数系数，这里借助于构造★式, 转证6a 、2b ，a+b+c，d 为整数，从而证出p （x ）是整数，这也是迂回证法，竞赛数字中采用的方法很多，希望大家认真, 能认真
是整数，从而由（★）可证各P(x)是整
（★）
取整数值，求证：对于所有整数X ，
坚持学习。
【同步达纲练习】
1．①试通过已知锥体, 台体公式，概括出一般的拟柱体公式
其中若三棱柱ABC —
分, 则： ②用上述公式求解 中，若E 、F 分别为AB ，AC 中点，平面E F 将三棱柱分成体积为，的两部 分别表示上、下底面积，表示中截面积。 =________.（1990年全国高考题）
★★2. 设|m|≤2，试求关于x 的不等式
恒成立的x 取值范围
★★3. 关于x 的方程
有实根, 求实数a 的取值范围
.
参考答案
【同步达纲练习】
1．①注意利用；
，代入拟柱体公式，得 ②特殊化原三棱柱为边长为2的正三棱柱，易求得
2．构造函数
(Ⅰ) 当|x|>1时,
(Ⅱ) 当|x|
(Ⅲ)|x|=1 时, X=1
综上，
3．解关于a 的方程，得
(Ⅰ) 当
(Ⅱ) 时, ，原命题成立。 ，求系数x 范围。
当
(Ⅲ) 又由 可见
时
故