13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场引起磁通量变化的原因 1）稳恒磁场中的导体运动 , 或者回路面积 变化、取向变化等 动生电动势 感生电动势2）导体不动，磁场变化 电动势Iv Ek+v Ek : 非静电的电场强度.闭合电路的总电动势-E=∫+−v v Ek ⋅ dlE =∫lv v E k ⋅ dl
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场一 动生电动势 动生电动势的非静电力场来源v v v Fm = ( −e) v × B v v v 平衡时 Fm = − Fe = −eEk v v Fm v v Ek = = v× B −e洛伦兹力+ + + + + + + vP ++ + + F+ + + + +ev B+ + + -+ ++ + + + + + + Fm - + + + O+ + + +OPvv + v+Ei =设杆长为∫OPv v E k ⋅ dl =Ei =∫v v v (v × B ) ⋅ d ll∫l0v B d l = v Bl
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 磁场中,以角速度 ω 在与磁场方向垂直的平面上绕 棒的一端转动，求铜棒两端的感应电动势. 解v B 的均匀v v v d E i = ( v × B ) ⋅ dl= v Bd l+ + + + v + + + P + + + +d l + + + + v+ + + + + + + B+ + + + + + + + + +Ei ==∫LL00vBdlω lB d lv oω v + + +∫Ei 方向 O P 1 2 Ei = B ω L （点 P 的电势高于点 O 的电势） 2
13 - 2 动生电动势和感生电动势v 例2 一导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的均 匀磁场相垂直.在此矩形框上,有一质量为 m长为 l 的 可移动的细导体棒 MN ; 矩形框还接有一个电阻 R , 其值较之导线的电阻值要大得很多.若开始时,细导体 v 棒以速度 v0 沿如图所示的矩形框运动,试求棒的速率随时间变化的函数关系. 解 如图建立坐标第十三章电磁感应 电磁场N N+棒中Ei = Bl v且由 M2 2棒所受安培力方向沿 ox 轴反向B l v F = IBl = RRl v F++ v B ++IMv v+ox
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场棒的运动方程为B l v F = IBl = R2 22 2方向沿 ox 轴反向N+则dv B l v m =− dt R 2 2 v dv t B l ∫v 0 v = − ∫0 mR d tRl v F++ v B ++v v+oMx计算得棒的速率随时间变化的函数关系为v = v0e− ( B 2 l 2 mR ) t
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场例3圆盘发电机一半径为 R1 = 1.2 m 、厚1 度 d = 1.0 ×10−3 m的铜圆盘,以角速率ω = 5× 2π rad⋅ s−,绕通过盘心 垂直的金属轴−3oo ' 转动 ,且 R2 = 2.0×10 m圆盘放在磁感强度 T 01 = 磁场中,轴的半径为 R2 ,v BB的均匀的方向亦与盘面垂直. 有两个集电刷分别与圆盘的边缘和转轴相连.试计算它们之间的电势差,并指 出何处的电势较高.
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场−3已知 R1 = 1.2 m ,2R2d = 1.0 ×10 m , ω = 5× 2π rad⋅ s−1R2 = 2.0×10−3 m , T 01 = B求ωv N v R1 r dr vEi = ?R1 ，o.B（方法 一） 解 因为 d
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场解2R2v v v d Ei = ( v × B ) ⋅ d r = v B d r = r ω B d rωv N v R1 r dr vEi =o∫R1 r ω B d rR2.B1 2 2 = ω B ( R1 − R 2 ) 2 = 226 V圆盘边缘的电势高于 中心转轴的电势.v M BEi o'..
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场R1 = 1.2 m , d = 1.0 ×10−3 m , ω = 5× 2π rad⋅ s−1 已知2R2R2 = 2.0×10 m , T 01 = B−3ωR1 o求Ei = ?v BMθ.v dθ NBN'（方法二） 解 取一虚拟的闭和 回路 MNOM 并去取其 v 绕向与 B 相同 . 则Φ= BθEi o'..1 2 2 = B ( R1 − R2 )θ 22π2 π ( R12 − R2 )
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场1 2 2 Φ = B ( R1 − R2 )θ 2R2 2 ω 设 t = 0 时点 M 与点 N 重合即θ = 0 N' R1 则 t 时刻 θ = ω t v dθ o NB 1 2 2 Φ = B ( R1 − R2 )ω t θ 2 M v dΦ Ei o' Ei = − B dt 1 2 2 方向与回路 MNOM 绕向 = − B ( R1 − R 2 )ω 相反,即盘缘的电势高于中心. 2...
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场二 感生电动势 产生感生电动势的非静电场 感生电场 麦克斯韦尔假设 变化的磁场在其周围空间激 v 发一种电场,这个电场叫感生电场 E .kv v dΦ 闭合回路中的感生电动势 E i = E k ⋅ d l = − ∫L dtv v Φ = ∫ B ⋅ dsv v d v v ∫L Ek ⋅ dl = − dt ∫SB ⋅ ds S v v v dB v E i = ∫ E k ⋅ dl = − ∫ ⋅ ds L S dt
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场感生电场和静电场的对比v v E静 和 Ek 均对电荷有力的作用.静电场是保守场∫Lv v E静 ⋅ dl = 0v v dΦ 感生电场是非保守场 ∫L Ek ⋅ dl = − dt ≠ 0静电场由电荷产生；感生电场是由变化的磁 场产生 .
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场例 4 设有一半径为R ,高度为h 的铝圆盘, 其电导 v 率为 γ . 把圆盘放在磁感强度为 B 的均匀磁场中, 磁 场方向垂直盘面.设磁场随时间变化, 且 d B d t = k 为一常量.求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自 己的磁场略去不计） r drhRhrdrv B
13 - 2 动生电动势和感生电动势已知 求v R , h , γ , B , dB dt = kI第十三章电磁感应 电磁场rdrh解 如图取一半径为 r ,宽度 为dr ,高度为 h 的圆环. 则圆环中的感生电动势的值为 vrdrv v dB v E i = ∫ E k ⋅ dl = ∫ ⋅ ds L S dt dB 2 代入已知条件得 E = i ∫Sd s = k π r dt 1 2π r kh γ 又 dR = rdr 所以 d I = γ hdr 2
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场由计算得圆环中电流kh γ dI = rdr 2于是圆盘中的感应电流为rdrhrdrkh γ R I = ∫ dI = ∫0 r d r 2 1 2 = kγR h 4
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场四 涡电流 感应电流不仅 能在导电回 路内出 现， 而且当大块导 体与磁场有相对运 动或处在变化的磁 场中时，在这块导 体中也会激起感应 电流.这种在大块导 体内流动的感应电 流,叫做涡电流 , 简 称涡流. 应用 热效应、电磁阻尼效应.
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场引起磁通量变化的原因 1）稳恒磁场中的导体运动 , 或者回路面积 变化、取向变化等 动生电动势 感生电动势2）导体不动，磁场变化 电动势Iv Ek+v Ek : 非静电的电场强度.闭合电路的总电动势-E=∫+−v v Ek ⋅ dlE =∫lv v E k ⋅ dl
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场一 动生电动势 动生电动势的非静电力场来源v v v Fm = ( −e) v × B v v v 平衡时 Fm = − Fe = −eEk v v Fm v v Ek = = v× B −e洛伦兹力+ + + + + + + vP ++ + + F+ + + + +ev B+ + + -+ ++ + + + + + + Fm - + + + O+ + + +OPvv + v+Ei =设杆长为∫OPv v E k ⋅ dl =Ei =∫v v v (v × B ) ⋅ d ll∫l0v B d l = v Bl
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 磁场中,以角速度 ω 在与磁场方向垂直的平面上绕 棒的一端转动，求铜棒两端的感应电动势. 解v B 的均匀v v v d E i = ( v × B ) ⋅ dl= v Bd l+ + + + v + + + P + + + +d l + + + + v+ + + + + + + B+ + + + + + + + + +Ei ==∫LL00vBdlω lB d lv oω v + + +∫Ei 方向 O P 1 2 Ei = B ω L （点 P 的电势高于点 O 的电势） 2
13 - 2 动生电动势和感生电动势v 例2 一导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的均 匀磁场相垂直.在此矩形框上,有一质量为 m长为 l 的 可移动的细导体棒 MN ; 矩形框还接有一个电阻 R , 其值较之导线的电阻值要大得很多.若开始时,细导体 v 棒以速度 v0 沿如图所示的矩形框运动,试求棒的速率随时间变化的函数关系. 解 如图建立坐标第十三章电磁感应 电磁场N N+棒中Ei = Bl v且由 M2 2棒所受安培力方向沿 ox 轴反向B l v F = IBl = RRl v F++ v B ++IMv v+ox
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场棒的运动方程为B l v F = IBl = R2 22 2方向沿 ox 轴反向N+则dv B l v m =− dt R 2 2 v dv t B l ∫v 0 v = − ∫0 mR d tRl v F++ v B ++v v+oMx计算得棒的速率随时间变化的函数关系为v = v0e− ( B 2 l 2 mR ) t
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场例3圆盘发电机一半径为 R1 = 1.2 m 、厚1 度 d = 1.0 ×10−3 m的铜圆盘,以角速率ω = 5× 2π rad⋅ s−,绕通过盘心 垂直的金属轴−3oo ' 转动 ,且 R2 = 2.0×10 m圆盘放在磁感强度 T 01 = 磁场中,轴的半径为 R2 ,v BB的均匀的方向亦与盘面垂直. 有两个集电刷分别与圆盘的边缘和转轴相连.试计算它们之间的电势差,并指 出何处的电势较高.
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场−3已知 R1 = 1.2 m ,2R2d = 1.0 ×10 m , ω = 5× 2π rad⋅ s−1R2 = 2.0×10−3 m , T 01 = B求ωv N v R1 r dr vEi = ?R1 ，o.B（方法 一） 解 因为 d
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场解2R2v v v d Ei = ( v × B ) ⋅ d r = v B d r = r ω B d rωv N v R1 r dr vEi =o∫R1 r ω B d rR2.B1 2 2 = ω B ( R1 − R 2 ) 2 = 226 V圆盘边缘的电势高于 中心转轴的电势.v M BEi o'..
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场R1 = 1.2 m , d = 1.0 ×10−3 m , ω = 5× 2π rad⋅ s−1 已知2R2R2 = 2.0×10 m , T 01 = B−3ωR1 o求Ei = ?v BMθ.v dθ NBN'（方法二） 解 取一虚拟的闭和 回路 MNOM 并去取其 v 绕向与 B 相同 . 则Φ= BθEi o'..1 2 2 = B ( R1 − R2 )θ 22π2 π ( R12 − R2 )
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场1 2 2 Φ = B ( R1 − R2 )θ 2R2 2 ω 设 t = 0 时点 M 与点 N 重合即θ = 0 N' R1 则 t 时刻 θ = ω t v dθ o NB 1 2 2 Φ = B ( R1 − R2 )ω t θ 2 M v dΦ Ei o' Ei = − B dt 1 2 2 方向与回路 MNOM 绕向 = − B ( R1 − R 2 )ω 相反,即盘缘的电势高于中心. 2...
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场二 感生电动势 产生感生电动势的非静电场 感生电场 麦克斯韦尔假设 变化的磁场在其周围空间激 v 发一种电场,这个电场叫感生电场 E .kv v dΦ 闭合回路中的感生电动势 E i = E k ⋅ d l = − ∫L dtv v Φ = ∫ B ⋅ dsv v d v v ∫L Ek ⋅ dl = − dt ∫SB ⋅ ds S v v v dB v E i = ∫ E k ⋅ dl = − ∫ ⋅ ds L S dt
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场感生电场和静电场的对比v v E静 和 Ek 均对电荷有力的作用.静电场是保守场∫Lv v E静 ⋅ dl = 0v v dΦ 感生电场是非保守场 ∫L Ek ⋅ dl = − dt ≠ 0静电场由电荷产生；感生电场是由变化的磁 场产生 .
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场例 4 设有一半径为R ,高度为h 的铝圆盘, 其电导 v 率为 γ . 把圆盘放在磁感强度为 B 的均匀磁场中, 磁 场方向垂直盘面.设磁场随时间变化, 且 d B d t = k 为一常量.求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自 己的磁场略去不计） r drhRhrdrv B
13 - 2 动生电动势和感生电动势已知 求v R , h , γ , B , dB dt = kI第十三章电磁感应 电磁场rdrh解 如图取一半径为 r ,宽度 为dr ,高度为 h 的圆环. 则圆环中的感生电动势的值为 vrdrv v dB v E i = ∫ E k ⋅ dl = ∫ ⋅ ds L S dt dB 2 代入已知条件得 E = i ∫Sd s = k π r dt 1 2π r kh γ 又 dR = rdr 所以 d I = γ hdr 2
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场由计算得圆环中电流kh γ dI = rdr 2于是圆盘中的感应电流为rdrhrdrkh γ R I = ∫ dI = ∫0 r d r 2 1 2 = kγR h 4
13 - 2 动生电动势和感生电动势第十三章电磁感应 电磁场四 涡电流 感应电流不仅 能在导电回 路内出 现， 而且当大块导 体与磁场有相对运 动或处在变化的磁 场中时，在这块导 体中也会激起感应 电流.这种在大块导 体内流动的感应电 流,叫做涡电流 , 简 称涡流. 应用 热效应、电磁阻尼效应.