试题 班 姓 学第 1 页
《概率论与数理统计A》期末试题及答案
一、简单计算（每个题5分，共25分）
1. 设A,B为两事件，且P(A)=p，P(AB)=P(AB)，求P(B). 解：由于P(AB)=P(A B)=1-P(A B) …………2分 而P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB) …………2分 所以P(AB)=P(A B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=P(AB) 即P(A)+P(B)=1
因而P(B)=1-P(A)=1-p …………1分 2. 设随机变量X的分布律为
Y
X-1pi02
，而Y=3X-5，求 的分布函数.
X-1pi02
，所以Y-8pi解：由于
-5
1 …………2
分
⎧0,⎪1⎪,⎪
所以Y的分布函数为 FY(y)=⎨2
⎪5,⎪6⎪1,⎩
y
-5≤y
…………3分
1
3. 设总体X~N(5,4)中随机抽取一容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率. 解: 由于X~N(5,4), 所以X~N(5,
4) 25
………2
分
所以P(4.2
………3
分
4. 设9名足球运动员在比赛前的脉搏（12秒）次数为
11 13 12 13 11 12 12 13 11
2
假设脉搏次数X服从正态分布，X=12, σ=4，求μ的置信水平为
0.95的置信区间.
解：由于X=12, σ2=4，α=0.05，μ的置信区间为
(X-Zα
σ
n
,X+Zα
σ
n
)
…………3
分
即为(10.6933,13.3067). …………2分 5. 设总体X服从泊松分布，X1,X2,,X10是来自X的样本，求参数λ的矩估计.
解: 由于X~P(λ),所以E(X)=λ
110
而X=∑Xi …………2分
10i=1
所以由矩估计的思想得: E(X)=X …………2分
101ˆ=参数λ的矩估计为:λ∑Xi …………1分 10i=1
2
二、计算题（每题6分，共30分） 概率论与数理统计A 试题 班级 姓名 学号 第2 页
x
⎪a,-1≤x
1. 设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)=⎨2-a,1≤x
⎪3⎪
x≥2.⎩a+b,
且P(X=2)=.（1）求常数a,b；（2）求X的分布律.
解: (1)由分布函数的性质得a+b=1,而且P(X=2)= …………2分 所以a+b-(-a)=2a+b-=,则a=,b=. …………1分
X-1
pi12
…………3分 23
23
12
16
56
12
12
(2)X的分布律为
2. 已知随机变量X~B(1,p),Y~B(1,p)，而X,Y相互独立. （1）求U=max(X,Y)的分布律；（2）求V=X+Y的分布律． 解: 联合分布律:
(X,Y)(0,0)
pij(1-p)2
(0,1)p(1-p)
(1,0)p(1-p)
(1,1)
p2
…………2
分
U=max(X,Y)的分布律为:
U0pi(1-p)2
1
1-(1-p)2
…………2
分
V=X+Y
的分布律为:
V0
pi(1-p)2
12(p-p2)2 2p
…………2
3
分
3. 已知随机变量X~U(3,4)，求Y=eX的概率密度函数.
解：Y=eX的反函数h(y)=lny …………2分
⎧1,y其概率密度函数为fY(y)=fX(h(y))⋅h'(y)=⎪⎨⎪0,⎩
e3
…………4分
4. 设总体X服从指数分布，参数为θ，X1,X2,,Xn是来自X的样本，求θ的最大似然估计量．
解：由于X~e(θ)，则X1,X2, ,Xn是来自总体X的一个样本， 似然函数为 L=∏
i=1n
e
1-xi
θ
θ
=
1
-
1
θ
n
e
n
θ
∑xi
i=1
n
…………3分
而 lnL=-nlnθ-
dlnLn1
=-+2
dλθθ
∑x
θ
i=1
1
i
…………1分
∑x
i=1
n
i
=0,
…………2
ˆ=X. 所以 θ
分
5. 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，
Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，
若统计量Y服从χ2分布，则常数a,b分别为多少？统计量Y的自由度为多少？
解：由于X1-2X2~N(0,20)3X3-4X4~N(0,100)
所以a(X1-2X2)~N(0,1) ，所以a= …………3分
b(3X3-4X4)~N(0,1)，所以b=. …………2分
所以Y~χ2(2)，其自由度为2. …………1分
4
三、（9分）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 试题 班级 姓名 学号第 3 页
45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件，
（1）求取到的是次品的概率；
（2）经检验发现取到的产品是次品，求该产品是甲厂生产的概率. 解:设事件Ai(i=1,2,3)分别表示任取一件产品,该产品来自于甲、乙、丙厂, 设事件B表示取到的是次品．
(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.45⨯0.04+0.35⨯0.02+0.2⨯0.05
=0.035 ………2分
P(A1)P(B|A1)0.45⨯0.04
(2) P(A1|B)===0.514
P(B)0.035
………5………2
分
分
四、（12分）设随机变量X的概率密度函数为
⎧x,
⎪
f(x)=⎨x-1,
⎪0,⎩
0
（1）求随机变量X的分布函数；（2）令Y=-3X+5，求ρXY；（3）判断X，Y独立性.
解： FX(x)=⎰-∞f(t)dt
x≤0,⎧0,
⎪x2
x⎪tdt=,0≤x
⎪⎰02
=⎨2
⎪1tdt+xt-1dt=x-x+1,1≤x
⎰1⎪⎰02
⎪
x≥2.⎩1,
…………6分
x
………2分
5
（2）由于Y=-3X+5，根据相关系数的性质，易得ρXY=-1.
………2
分
（3）由于ρXY=-1≠0，所以X，Y不独立.
………2
分
五、（12分） 设随机变量(X,Y)在区域G上服从均匀分布，G为y轴，x 轴与直线y=-3x+1所围城的区域. （1）求(X,Y)的联合概率密度及边 缘概率密度；（2）求P(X+Y≤2). 解: (1) 由题意知f(x,y)=⎨
⎧6,(x,y)∈G;
⎩0,其它.
………2
分
fX(x)=⎰
+∞
-∞
1⎧-3x+1
6dy=-18x+6,0
f(x,y)dy=⎨3
⎪0,其它.⎩
………4
分
⎧y--31
+∞⎪
fY(y)=⎰f(x,y)dx=⎨⎰06dx=-2y+2,0
-∞
⎪其它.⎩0,
………4
分
(2) P(X+Y≤2)=⎰⎰f(x,y)dxdy=1
G
………2分
6
六、（12分）设X1,X2, ,X4是来自正态总体N(μ,σ2)的样本．其中 试题 班级 姓名 学号第 4 页
μ,σ未知，设有估计量
T1=
11
(X1+X2)+(X3+X4) 63
T2=3X1+4X2-7X3+X4 T3=3X1-4X2+X4
(1) (2)
指出T1,T2,T3中哪个是μ的无偏估计; 在上述μ的无偏估计中指出哪一个较为有效.
解:由于E(T1)=(EX1+EX2)+(EX3+EX4)=μ ………2分
1163
E(T2)=3EX1+4EX2-7EX3+EX4=μ ………2分
ET3=3EX1-4EX2+EX4=0 ………2分
所以T1,T2是μ的无偏估计. (2) D(T1)=
………1分
115
(DX1+DX2)+(DX3+DX4)=σ2 ………2分 36918
D(T2)=9DX1+16DX2+49DX3+DX4=75σ2 ………2分
因为D(T1)
……1分
Φ(1.65)=0.95, Φ(1.96)=0.975, Φ(2)=0.9772, Φ(1)=0.8413,
22
χ0.025(25)=36.017, χ0.025(24)=36.42
7
8
试题 班 姓 学第 1 页
《概率论与数理统计A》期末试题及答案
一、简单计算（每个题5分，共25分）
1. 设A,B为两事件，且P(A)=p，P(AB)=P(AB)，求P(B). 解：由于P(AB)=P(A B)=1-P(A B) …………2分 而P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB) …………2分 所以P(AB)=P(A B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=P(AB) 即P(A)+P(B)=1
因而P(B)=1-P(A)=1-p …………1分 2. 设随机变量X的分布律为
Y
X-1pi02
，而Y=3X-5，求 的分布函数.
X-1pi02
，所以Y-8pi解：由于
-5
1 …………2
分
⎧0,⎪1⎪,⎪
所以Y的分布函数为 FY(y)=⎨2
⎪5,⎪6⎪1,⎩
y
-5≤y
…………3分
1
3. 设总体X~N(5,4)中随机抽取一容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率. 解: 由于X~N(5,4), 所以X~N(5,
4) 25
………2
分
所以P(4.2
………3
分
4. 设9名足球运动员在比赛前的脉搏（12秒）次数为
11 13 12 13 11 12 12 13 11
2
假设脉搏次数X服从正态分布，X=12, σ=4，求μ的置信水平为
0.95的置信区间.
解：由于X=12, σ2=4，α=0.05，μ的置信区间为
(X-Zα
σ
n
,X+Zα
σ
n
)
…………3
分
即为(10.6933,13.3067). …………2分 5. 设总体X服从泊松分布，X1,X2,,X10是来自X的样本，求参数λ的矩估计.
解: 由于X~P(λ),所以E(X)=λ
110
而X=∑Xi …………2分
10i=1
所以由矩估计的思想得: E(X)=X …………2分
101ˆ=参数λ的矩估计为:λ∑Xi …………1分 10i=1
2
二、计算题（每题6分，共30分） 概率论与数理统计A 试题 班级 姓名 学号 第2 页
x
⎪a,-1≤x
1. 设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)=⎨2-a,1≤x
⎪3⎪
x≥2.⎩a+b,
且P(X=2)=.（1）求常数a,b；（2）求X的分布律.
解: (1)由分布函数的性质得a+b=1,而且P(X=2)= …………2分 所以a+b-(-a)=2a+b-=,则a=,b=. …………1分
X-1
pi12
…………3分 23
23
12
16
56
12
12
(2)X的分布律为
2. 已知随机变量X~B(1,p),Y~B(1,p)，而X,Y相互独立. （1）求U=max(X,Y)的分布律；（2）求V=X+Y的分布律． 解: 联合分布律:
(X,Y)(0,0)
pij(1-p)2
(0,1)p(1-p)
(1,0)p(1-p)
(1,1)
p2
…………2
分
U=max(X,Y)的分布律为:
U0pi(1-p)2
1
1-(1-p)2
…………2
分
V=X+Y
的分布律为:
V0
pi(1-p)2
12(p-p2)2 2p
…………2
3
分
3. 已知随机变量X~U(3,4)，求Y=eX的概率密度函数.
解：Y=eX的反函数h(y)=lny …………2分
⎧1,y其概率密度函数为fY(y)=fX(h(y))⋅h'(y)=⎪⎨⎪0,⎩
e3
…………4分
4. 设总体X服从指数分布，参数为θ，X1,X2,,Xn是来自X的样本，求θ的最大似然估计量．
解：由于X~e(θ)，则X1,X2, ,Xn是来自总体X的一个样本， 似然函数为 L=∏
i=1n
e
1-xi
θ
θ
=
1
-
1
θ
n
e
n
θ
∑xi
i=1
n
…………3分
而 lnL=-nlnθ-
dlnLn1
=-+2
dλθθ
∑x
θ
i=1
1
i
…………1分
∑x
i=1
n
i
=0,
…………2
ˆ=X. 所以 θ
分
5. 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，
Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，
若统计量Y服从χ2分布，则常数a,b分别为多少？统计量Y的自由度为多少？
解：由于X1-2X2~N(0,20)3X3-4X4~N(0,100)
所以a(X1-2X2)~N(0,1) ，所以a= …………3分
b(3X3-4X4)~N(0,1)，所以b=. …………2分
所以Y~χ2(2)，其自由度为2. …………1分
4
三、（9分）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 试题 班级 姓名 学号第 3 页
45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件，
（1）求取到的是次品的概率；
（2）经检验发现取到的产品是次品，求该产品是甲厂生产的概率. 解:设事件Ai(i=1,2,3)分别表示任取一件产品,该产品来自于甲、乙、丙厂, 设事件B表示取到的是次品．
(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.45⨯0.04+0.35⨯0.02+0.2⨯0.05
=0.035 ………2分
P(A1)P(B|A1)0.45⨯0.04
(2) P(A1|B)===0.514
P(B)0.035
………5………2
分
分
四、（12分）设随机变量X的概率密度函数为
⎧x,
⎪
f(x)=⎨x-1,
⎪0,⎩
0
（1）求随机变量X的分布函数；（2）令Y=-3X+5，求ρXY；（3）判断X，Y独立性.
解： FX(x)=⎰-∞f(t)dt
x≤0,⎧0,
⎪x2
x⎪tdt=,0≤x
⎪⎰02
=⎨2
⎪1tdt+xt-1dt=x-x+1,1≤x
⎰1⎪⎰02
⎪
x≥2.⎩1,
…………6分
x
………2分
5
（2）由于Y=-3X+5，根据相关系数的性质，易得ρXY=-1.
………2
分
（3）由于ρXY=-1≠0，所以X，Y不独立.
………2
分
五、（12分） 设随机变量(X,Y)在区域G上服从均匀分布，G为y轴，x 轴与直线y=-3x+1所围城的区域. （1）求(X,Y)的联合概率密度及边 缘概率密度；（2）求P(X+Y≤2). 解: (1) 由题意知f(x,y)=⎨
⎧6,(x,y)∈G;
⎩0,其它.
………2
分
fX(x)=⎰
+∞
-∞
1⎧-3x+1
6dy=-18x+6,0
f(x,y)dy=⎨3
⎪0,其它.⎩
………4
分
⎧y--31
+∞⎪
fY(y)=⎰f(x,y)dx=⎨⎰06dx=-2y+2,0
-∞
⎪其它.⎩0,
………4
分
(2) P(X+Y≤2)=⎰⎰f(x,y)dxdy=1
G
………2分
6
六、（12分）设X1,X2, ,X4是来自正态总体N(μ,σ2)的样本．其中 试题 班级 姓名 学号第 4 页
μ,σ未知，设有估计量
T1=
11
(X1+X2)+(X3+X4) 63
T2=3X1+4X2-7X3+X4 T3=3X1-4X2+X4
(1) (2)
指出T1,T2,T3中哪个是μ的无偏估计; 在上述μ的无偏估计中指出哪一个较为有效.
解:由于E(T1)=(EX1+EX2)+(EX3+EX4)=μ ………2分
1163
E(T2)=3EX1+4EX2-7EX3+EX4=μ ………2分
ET3=3EX1-4EX2+EX4=0 ………2分
所以T1,T2是μ的无偏估计. (2) D(T1)=
………1分
115
(DX1+DX2)+(DX3+DX4)=σ2 ………2分 36918
D(T2)=9DX1+16DX2+49DX3+DX4=75σ2 ………2分
因为D(T1)
……1分
Φ(1.65)=0.95, Φ(1.96)=0.975, Φ(2)=0.9772, Φ(1)=0.8413,
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χ0.025(25)=36.017, χ0.025(24)=36.42
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