第27卷第7期 2010年7月 计算机应用与软件
Co m puter Applicati o ns and Soft w are Vo l 127No . 7
Ju. l 2010
点云模型的双边滤波去噪算法
杜小燕 姜晓峰 郝传刚 王玉梅
(苏州大学计算机科学与技术学院 江苏苏州215006)
摘 要 提出一种特征保持点云模型光顺去噪算法。该算法首先为每个采样点建立k -邻域并估算法矢, 然后以该点处的微切平
面为视平面, 设计一个双边滤波器。算法充分考虑了模型表面法向的变化和邻域点间的距离同噪声之间的关系, 通过调整采样点在法向的位置, 来实现一个局部的光顺去噪过程。实验结果表明算法简单高效, 同时较好地保持了模型的特征。关键词 点云 双边滤波器 去噪 特征保持
B I LATERAL FI LTERI NG DENO ISI NG ALGORI THM FOR PO I NT -CLOUD M ODEL
Du X iaoyan Ji a ng X iao feng H ao Chuangang W ang Yu m ei
(S c hool of Co mpu te r S cie n c e and T ec hnology , S ooc ho w Un i versit y, S uzhou 215006, Jiang su, China )
Abstrac t In this paper , w e present a feature -preserved po int -c l oud m odel fair i ng deno isi ng a l go rith m. F irst , w e bu ild k -neighbourhood for
each sa m pli ng po i nt and evalua te its no r m al vector . T hen , w e regard the tangent plan t as v ie w p l ant , design a b ilateral filte r . The algor i th m thor -ough l y consi ders the var i a ti on of no r m al d irection on m ode l sur f ace and t he re lati onship of no ise and distance bet ween neighbourhood po i nts , by ad j usti ng t he pos iti on o f sa m pli ng po int in no r ma l d irection to reali se a l oca l fair i ng deno i sing process . Exper i m enta l result proves t hat the a l go -rith m i n th i s paper is si m p l e and e fficient , and preserves fa irly good m odel fea t ure at the sa m e ti m e . K eywords Po i n t -c l oud m odel B il a tera l filter Deno isi ng F eature -preserv i ng
起来, 在新的理论上对光顺算法进行优化, 极大地提高了处理效
0 引 言
随着三维扫描和信息获取技术的发展, 人们可以方便地获取大量的高精度点云数据信息, 基于测量的建模技术得到了广泛的应用。但由于人为因素或者扫描仪自身的缺陷, 使得获取的三维数据不可避免地带有噪声, 而噪声会对后继相关的数字几何处理产生极大影响。传统的去噪方法大多基于网格模型, 但其在处理过程中需要不断地维护拓扑信息, 效率比较低。因此, 点云模型的光顺去噪成为研究的热点。
率, 成为近年来人们关注的热点。本文在此基础上将双边滤波算法引入点云模型, 并进行了改进。
2 算法描述
这里首先介绍图像中的双边滤波算法, 再详细阐述我们针对点云模型进行的改进。
2. 1 图像中的双边滤波器
所谓双边滤波, 是指将当前点的灰度值用周围点的灰度值的加权平均来代替, 而权因子不只和两点的几何距离有关, 更和它们的灰度值差异有关, 所以称为双边滤波。图像I (u ) 上的双边滤波器算子定义为:
1 相关工作
近年来, 国内外学者们提出了多种点云模型的光顺去噪算法。这些算法大多是来自图像去噪和网格光顺算法。其中根据特征保持可分为各向同性算法和各向异性算法。从算法复杂度分析可分为:基于L aplacian 算子的方法、基于最优化的方法和简单的非迭代方法。L ap l ac ian 光顺方法, 可看作是通过扩散模型中的高频几何信息来达到光顺的目的, 但因其是各向同性的, 当迭代多次后会出现顶点漂移以及特征磨损的情况; 基于光滑曲面拟合的算法[6], 其中移动最小二乘曲面(MLS) 拟合算法, 是将点移动到局部拟合的M LS 曲面上来达到光顺去噪的效果, 但其处理速度比较慢。
特征保持光顺方法是一种各向异性扩散方法, 文献[3, 4]首先把双边滤波器应用到三角网格光顺上, 有效地保持了光顺G 波和函数I ^(u ) =
p I N (u)
E
W C (+p -u +)W S (I (u ) -I (p ) ) I (p )
p I N (u)
W C (+p -u +)W S (I (u) -I (p ) )
(1)
其中, N (u ) 为u 的邻域, p 为N (u ) 中任一点, I (p ) 为该点像素
2222
值。W c (x ) =e -x /2R c 称为空间距离权重, W s (x ) =e -x /2R s 称为影响权重。双边滤波器同时考虑周围像素与中心像素间的几何距离度量和灰度相似性度量(两种度量均采用高斯核函数) , 对邻域中距离接近和灰度相似的像素点赋予较大的权值, 反之赋予较小的权值。正是这种双重各向异性加权机制(距离各向异性和灰度各向异性) 保证了双边滤波的特征保持性。
收稿日期:2008-12-07。杜小燕, 硕士生, 主研领域:计算机图
2. 2 点云模型的双边滤波器
2. 2. 1 建立k-邻域
后的光照模型, 图2(b) 为bunny 点云模型去噪后的表面重构光照模型, 可以看出本文算法处理效果能很好地满足视觉需求, 并
在一定程度上减少了后继建模产生的孔洞。图3(a) 为一车灯罩原始采样点云模型, 图3(b) 为本文算法去噪后的点云模型, 从图3(b) 可以看到还有少量幅度过大的奇异点没能去除, 可以通过人工交互的方式去除, 本文算法还有待进一步的改进。表1中的滤波时间表明本文算法的高效率性, 能够满足大规模散乱数据的处理要求。
由于空间散乱点云无拓扑信息, 我们首先为其建立一个松散的邻域结构。设点云模型中的测点集合C loud ={p 1, p 2, , , p n }p i I R 3, 任一测点p I C loud, 则与测点p 距离最近的k 个点, 称为p 的k-邻域, 记作N (p ) 。k-邻域是我们的一个局部降噪邻
域, k 值的大小可有用户根据实际需要自由调整, k 值太大或者太小都不能很好地反映局部特性。本文采用空间栅格思想建立邻域关系, k 取值为25。
2. 2. 2 法矢估算
设点云模型中的测点集合为C loud ={p1, p 2, , , p n }p i I R 3, 任一测点p I C loud 的k-邻域为N (p ), 通过最小二乘法在N (p ) 内构造的平面称为点p 在邻域N (p ) 上的切平面, 记作T (p ) 。T (p ) 的单位法矢就是点p 处的单位法矢 n 。法矢反映了点云模型在该点处的局部几何特征。本文算法通过邻域点间法向量的变化来捕获采样实物表面特性信息。在三维几何里, 空域和频域的概念和二维图像不同, 但本质上是一样的, 并在某种意义下可以转化, 顶点的坐标信息为空域, 法矢信息为特征域。
2. 2. 3 定义视平面
对于邻域N (p ), 可将空间R 3分解为两个子空间的直和:R 3
=N ⊕S 2。其中, N 为邻域在p 点沿法矢方向的一维空间, 而S 2为过点p 的二维切平面空间。在局部范围内, 定义S 2为视平面, 邻域点在S 2平面上的投影为像素点的位置, 邻域点到投影点的距离定义为像素值的大小, 类似于图像处理, 本文算法将滤波思想引入点云模型的光顺去噪。
2. 2. 4 双边滤波算子
引入双边滤波算子: d =
p i I N (p )
图1 地形数据
(a) bunny 原始点云重构光照模型 (b ) bunny 去噪后重构光照模型
图 2
E
W C (+p i -p c +)W S (3 n , p -p i 4n i , n 4-1) 3
p i I N (p )
W C (+p i -p c +) W S (3 n i , n 4-1)
(2)
其中, N (p ) 为p 的邻域, p i I N (p ) 。p c 为p 在S 上的投影。这里
2
利用投影平面上的距离而不是直接的三维空间距离, 因为邻域点集中与当前点等距离的点, 其在切平面上的投影距离大的点对当前点的影响较大, 应该给予较大的权值。 n 为p 点法矢, n i 为p i 法矢。W C 、W S 分别是以R c 、R s 为标准差的高斯核函数, R c 控制光顺程度而R s 控制特征保持程度, W C 类似于图像中的双边滤波, 称为空间域权重; W S 捕获邻域点间法矢的变化, 当前点法向与邻域点法向的夹角越大, W S 越小, 因此能够更好地保持模型中的特征, 称为特征域权重。d 即为法矢方向调整的距离, 由p ^=p + n #d 得到光顺后点的坐标。
(a) 车灯罩原始点云模型 (b) 车灯罩去噪后点云模型
图 3
表1 不同点云模型滤波时间对比表点云模型地形数据bunny 模型车灯罩
数据量(个)
[**************]
滤波时间(s)
0. 0470. 67220. 750
4 小 结
本文设计了一种点云模型的双边滤波光顺去噪算法, 该方法简单、高效、无需迭代, 能够在去除噪声的同时很好地保持模
型原有特征。以后将针对振幅较大的奇异点的自动去除做进一步的研究。
3 实验结果与分析
为验证本文算法的效果, 对以下三维采样实物模型进行了实验。实验在V C++6. 0, OpenGL 2. 0境下进行, 硬件平台为处理器2. 80H z , 512M B 内存。
图1由左至右分别为某一地形数据的原始采样点云、原始点云重构后的光照模型和本文算法去噪后的表面重构光照模型, 可以看出本文算法能够有效去除此类小幅度噪声, 并有效地
参考文献
[1]毛志红, 马利庄, 赵明喜. 鲁棒估计器在3D 网格降噪中的应用. 软
件学报, 2007, 18(2):453-460.
页)
(4) 计算结果
FR =
4. 8438-13. 1250-14. 8438-36. 8750
so lve 完全相同, 可广泛用于一般代数方程的求解。
参 考 文 献
[1]龙驭球, 包世华. 结构力学(Ñ、Ò) [M].2版. 北京:高等教育出版
社, 2006.
[2]张志涌. 精通M ATLAB6. 5版[M].北京:北京航空航天大学出版
社, 2003.
例4 求图1三铰刚架的内力。
(1) 定义支座反力和杆端内力向量, 隔离体见图2所示
。
(上接第229页)
[2]Zhang Z L , W ang Y, Du H C, et a. l V i deo s t ag i ng :a p roxy -server -based
app roach to end-t o -end vi deo deli very over w i d e -area net work s [J ].I EEE Transacti ons on Net work i ng , 2000, 8:429-442.
图 2
%---定义支座反力和杆端内力向量
sy m s Fx A Fy A FxB FyB FxC FyC FxD Fy D M D F=[FxA FyA FxB FyB FxC FyC Fx D FyD M D];
[3]GUO Zh. i The G enes i s of sati sfactory con trol and esti m ati onand its sta -t us[C ]//Proceedi ngs of the 2002International Con ference on C on trol and Au t o m ati on , X ia m en Un ivers i ty , X i a m en:X ia m en U nivers it y Press , 2002:1373-1376.
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Its I m pli cati on on Cach i ng [C ]//Proceedings of A I NA
%x 方向力平衡方程%y 方向力平衡方程%对C 的弯矩平衡方程%x 方向力平衡方程%y 方向力平衡方程%对D 的弯矩平衡方程
%x 方向力平衡方程%y 方向力平衡方程%对D 的弯矩平衡方程
V ienna , 2006.
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2006,
(2) 建立平衡方程组
%---建立平衡方程组P=10; q=10%---AC 的平衡方程E qu . SX1=Fx A +FxC +P ; E qu . SY1=Fy A +FyC;
E qu . S M 1=-Fx A @4-Fy A @3-P @2; %---CD 的平衡方程E qu . SX2=-FxC +FxD; E qu . SY2=-FyC +Fy D +q @5; E qu . S M 2=FyC @5+M D -q @5@5/2; %---BD 的平衡方程E qu . SX3=-FxD+FxB; E qu . SY3=-FyD+FyB; E qu . S M 3=-FxB @4-M D;
(3) 调用函数So l Equ 求解平衡方程
%调用函数Sol Equ 求解方程组, 并化为双精度数F=double(Sol Equ(F, Equ) )
(上接第246页)
[2]VancoM, Brunnett G , Che m nitz . Geo m etri c preprocess i ng of nosi y s ets :a n
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[11]H ongx i ng Q i n , J i e Y ang , Yu e m i n Zhu . Nonun ifor m b il ateral filt eri ng f or
t bu t . V i o put , (4) 计算结果
F=
4. 8438 -13. 1250 -14. 8438 -36. 8750 -14. 843813. 1250 -14. 8438
-36. 875059. 3750
(5) 讨论如果本例P 、q 为符号量, 程序稍加改动, 计算结果如下:
F=
[75/64@q-11/16@P , -25/16@q+1/4@P , -75/64@q -5/16@P , -55/16@q-1/4@P, -75/64@q-5/16@P , 25/16@q -1/4@P , -75/64@q-5/16@P , -55/16@q-1/4@P , 75/16@q+5/4@P]
本例在计算内力的同时一并计算支座反力, 而不必按传统结构力学的方法先计算支座反力。这种联立法适用于一般静定结构, 并可据此编写静定结构内力分析的一般程序。
3 结 论
本文针对M atlab 求解符号代数方程的函数so l v e 可能产生方程解输出混乱的问题, 采用字符串演算函数eva l 及动态结构数组加以改进, 建立了求解符号代数方程的函数So l E qu 。理论分析和算例表明, 函数So l E qu 不仅避免了直接使用so lve 可能导, 调加便, 其也与数
第27卷第7期 2010年7月 计算机应用与软件
Co m puter Applicati o ns and Soft w are Vo l 127No . 7
Ju. l 2010
点云模型的双边滤波去噪算法
杜小燕 姜晓峰 郝传刚 王玉梅
(苏州大学计算机科学与技术学院 江苏苏州215006)
摘 要 提出一种特征保持点云模型光顺去噪算法。该算法首先为每个采样点建立k -邻域并估算法矢, 然后以该点处的微切平
面为视平面, 设计一个双边滤波器。算法充分考虑了模型表面法向的变化和邻域点间的距离同噪声之间的关系, 通过调整采样点在法向的位置, 来实现一个局部的光顺去噪过程。实验结果表明算法简单高效, 同时较好地保持了模型的特征。关键词 点云 双边滤波器 去噪 特征保持
B I LATERAL FI LTERI NG DENO ISI NG ALGORI THM FOR PO I NT -CLOUD M ODEL
Du X iaoyan Ji a ng X iao feng H ao Chuangang W ang Yu m ei
(S c hool of Co mpu te r S cie n c e and T ec hnology , S ooc ho w Un i versit y, S uzhou 215006, Jiang su, China )
Abstrac t In this paper , w e present a feature -preserved po int -c l oud m odel fair i ng deno isi ng a l go rith m. F irst , w e bu ild k -neighbourhood for
each sa m pli ng po i nt and evalua te its no r m al vector . T hen , w e regard the tangent plan t as v ie w p l ant , design a b ilateral filte r . The algor i th m thor -ough l y consi ders the var i a ti on of no r m al d irection on m ode l sur f ace and t he re lati onship of no ise and distance bet ween neighbourhood po i nts , by ad j usti ng t he pos iti on o f sa m pli ng po int in no r ma l d irection to reali se a l oca l fair i ng deno i sing process . Exper i m enta l result proves t hat the a l go -rith m i n th i s paper is si m p l e and e fficient , and preserves fa irly good m odel fea t ure at the sa m e ti m e . K eywords Po i n t -c l oud m odel B il a tera l filter Deno isi ng F eature -preserv i ng
起来, 在新的理论上对光顺算法进行优化, 极大地提高了处理效
0 引 言
随着三维扫描和信息获取技术的发展, 人们可以方便地获取大量的高精度点云数据信息, 基于测量的建模技术得到了广泛的应用。但由于人为因素或者扫描仪自身的缺陷, 使得获取的三维数据不可避免地带有噪声, 而噪声会对后继相关的数字几何处理产生极大影响。传统的去噪方法大多基于网格模型, 但其在处理过程中需要不断地维护拓扑信息, 效率比较低。因此, 点云模型的光顺去噪成为研究的热点。
率, 成为近年来人们关注的热点。本文在此基础上将双边滤波算法引入点云模型, 并进行了改进。
2 算法描述
这里首先介绍图像中的双边滤波算法, 再详细阐述我们针对点云模型进行的改进。
2. 1 图像中的双边滤波器
所谓双边滤波, 是指将当前点的灰度值用周围点的灰度值的加权平均来代替, 而权因子不只和两点的几何距离有关, 更和它们的灰度值差异有关, 所以称为双边滤波。图像I (u ) 上的双边滤波器算子定义为:
1 相关工作
近年来, 国内外学者们提出了多种点云模型的光顺去噪算法。这些算法大多是来自图像去噪和网格光顺算法。其中根据特征保持可分为各向同性算法和各向异性算法。从算法复杂度分析可分为:基于L aplacian 算子的方法、基于最优化的方法和简单的非迭代方法。L ap l ac ian 光顺方法, 可看作是通过扩散模型中的高频几何信息来达到光顺的目的, 但因其是各向同性的, 当迭代多次后会出现顶点漂移以及特征磨损的情况; 基于光滑曲面拟合的算法[6], 其中移动最小二乘曲面(MLS) 拟合算法, 是将点移动到局部拟合的M LS 曲面上来达到光顺去噪的效果, 但其处理速度比较慢。
特征保持光顺方法是一种各向异性扩散方法, 文献[3, 4]首先把双边滤波器应用到三角网格光顺上, 有效地保持了光顺G 波和函数I ^(u ) =
p I N (u)
E
W C (+p -u +)W S (I (u ) -I (p ) ) I (p )
p I N (u)
W C (+p -u +)W S (I (u) -I (p ) )
(1)
其中, N (u ) 为u 的邻域, p 为N (u ) 中任一点, I (p ) 为该点像素
2222
值。W c (x ) =e -x /2R c 称为空间距离权重, W s (x ) =e -x /2R s 称为影响权重。双边滤波器同时考虑周围像素与中心像素间的几何距离度量和灰度相似性度量(两种度量均采用高斯核函数) , 对邻域中距离接近和灰度相似的像素点赋予较大的权值, 反之赋予较小的权值。正是这种双重各向异性加权机制(距离各向异性和灰度各向异性) 保证了双边滤波的特征保持性。
收稿日期:2008-12-07。杜小燕, 硕士生, 主研领域:计算机图
2. 2 点云模型的双边滤波器
2. 2. 1 建立k-邻域
后的光照模型, 图2(b) 为bunny 点云模型去噪后的表面重构光照模型, 可以看出本文算法处理效果能很好地满足视觉需求, 并
在一定程度上减少了后继建模产生的孔洞。图3(a) 为一车灯罩原始采样点云模型, 图3(b) 为本文算法去噪后的点云模型, 从图3(b) 可以看到还有少量幅度过大的奇异点没能去除, 可以通过人工交互的方式去除, 本文算法还有待进一步的改进。表1中的滤波时间表明本文算法的高效率性, 能够满足大规模散乱数据的处理要求。
由于空间散乱点云无拓扑信息, 我们首先为其建立一个松散的邻域结构。设点云模型中的测点集合C loud ={p 1, p 2, , , p n }p i I R 3, 任一测点p I C loud, 则与测点p 距离最近的k 个点, 称为p 的k-邻域, 记作N (p ) 。k-邻域是我们的一个局部降噪邻
域, k 值的大小可有用户根据实际需要自由调整, k 值太大或者太小都不能很好地反映局部特性。本文采用空间栅格思想建立邻域关系, k 取值为25。
2. 2. 2 法矢估算
设点云模型中的测点集合为C loud ={p1, p 2, , , p n }p i I R 3, 任一测点p I C loud 的k-邻域为N (p ), 通过最小二乘法在N (p ) 内构造的平面称为点p 在邻域N (p ) 上的切平面, 记作T (p ) 。T (p ) 的单位法矢就是点p 处的单位法矢 n 。法矢反映了点云模型在该点处的局部几何特征。本文算法通过邻域点间法向量的变化来捕获采样实物表面特性信息。在三维几何里, 空域和频域的概念和二维图像不同, 但本质上是一样的, 并在某种意义下可以转化, 顶点的坐标信息为空域, 法矢信息为特征域。
2. 2. 3 定义视平面
对于邻域N (p ), 可将空间R 3分解为两个子空间的直和:R 3
=N ⊕S 2。其中, N 为邻域在p 点沿法矢方向的一维空间, 而S 2为过点p 的二维切平面空间。在局部范围内, 定义S 2为视平面, 邻域点在S 2平面上的投影为像素点的位置, 邻域点到投影点的距离定义为像素值的大小, 类似于图像处理, 本文算法将滤波思想引入点云模型的光顺去噪。
2. 2. 4 双边滤波算子
引入双边滤波算子: d =
p i I N (p )
图1 地形数据
(a) bunny 原始点云重构光照模型 (b ) bunny 去噪后重构光照模型
图 2
E
W C (+p i -p c +)W S (3 n , p -p i 4n i , n 4-1) 3
p i I N (p )
W C (+p i -p c +) W S (3 n i , n 4-1)
(2)
其中, N (p ) 为p 的邻域, p i I N (p ) 。p c 为p 在S 上的投影。这里
2
利用投影平面上的距离而不是直接的三维空间距离, 因为邻域点集中与当前点等距离的点, 其在切平面上的投影距离大的点对当前点的影响较大, 应该给予较大的权值。 n 为p 点法矢, n i 为p i 法矢。W C 、W S 分别是以R c 、R s 为标准差的高斯核函数, R c 控制光顺程度而R s 控制特征保持程度, W C 类似于图像中的双边滤波, 称为空间域权重; W S 捕获邻域点间法矢的变化, 当前点法向与邻域点法向的夹角越大, W S 越小, 因此能够更好地保持模型中的特征, 称为特征域权重。d 即为法矢方向调整的距离, 由p ^=p + n #d 得到光顺后点的坐标。
(a) 车灯罩原始点云模型 (b) 车灯罩去噪后点云模型
图 3
表1 不同点云模型滤波时间对比表点云模型地形数据bunny 模型车灯罩
数据量(个)
[**************]
滤波时间(s)
0. 0470. 67220. 750
4 小 结
本文设计了一种点云模型的双边滤波光顺去噪算法, 该方法简单、高效、无需迭代, 能够在去除噪声的同时很好地保持模
型原有特征。以后将针对振幅较大的奇异点的自动去除做进一步的研究。
3 实验结果与分析
为验证本文算法的效果, 对以下三维采样实物模型进行了实验。实验在V C++6. 0, OpenGL 2. 0境下进行, 硬件平台为处理器2. 80H z , 512M B 内存。
图1由左至右分别为某一地形数据的原始采样点云、原始点云重构后的光照模型和本文算法去噪后的表面重构光照模型, 可以看出本文算法能够有效去除此类小幅度噪声, 并有效地
参考文献
[1]毛志红, 马利庄, 赵明喜. 鲁棒估计器在3D 网格降噪中的应用. 软
件学报, 2007, 18(2):453-460.
页)
(4) 计算结果
FR =
4. 8438-13. 1250-14. 8438-36. 8750
so lve 完全相同, 可广泛用于一般代数方程的求解。
参 考 文 献
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例4 求图1三铰刚架的内力。
(1) 定义支座反力和杆端内力向量, 隔离体见图2所示
。
(上接第229页)
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图 2
%---定义支座反力和杆端内力向量
sy m s Fx A Fy A FxB FyB FxC FyC FxD Fy D M D F=[FxA FyA FxB FyB FxC FyC Fx D FyD M D];
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%x 方向力平衡方程%y 方向力平衡方程%对C 的弯矩平衡方程%x 方向力平衡方程%y 方向力平衡方程%对D 的弯矩平衡方程
%x 方向力平衡方程%y 方向力平衡方程%对D 的弯矩平衡方程
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2006,
(2) 建立平衡方程组
%---建立平衡方程组P=10; q=10%---AC 的平衡方程E qu . SX1=Fx A +FxC +P ; E qu . SY1=Fy A +FyC;
E qu . S M 1=-Fx A @4-Fy A @3-P @2; %---CD 的平衡方程E qu . SX2=-FxC +FxD; E qu . SY2=-FyC +Fy D +q @5; E qu . S M 2=FyC @5+M D -q @5@5/2; %---BD 的平衡方程E qu . SX3=-FxD+FxB; E qu . SY3=-FyD+FyB; E qu . S M 3=-FxB @4-M D;
(3) 调用函数So l Equ 求解平衡方程
%调用函数Sol Equ 求解方程组, 并化为双精度数F=double(Sol Equ(F, Equ) )
(上接第246页)
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[11]H ongx i ng Q i n , J i e Y ang , Yu e m i n Zhu . Nonun ifor m b il ateral filt eri ng f or
t bu t . V i o put , (4) 计算结果
F=
4. 8438 -13. 1250 -14. 8438 -36. 8750 -14. 843813. 1250 -14. 8438
-36. 875059. 3750
(5) 讨论如果本例P 、q 为符号量, 程序稍加改动, 计算结果如下:
F=
[75/64@q-11/16@P , -25/16@q+1/4@P , -75/64@q -5/16@P , -55/16@q-1/4@P, -75/64@q-5/16@P , 25/16@q -1/4@P , -75/64@q-5/16@P , -55/16@q-1/4@P , 75/16@q+5/4@P]
本例在计算内力的同时一并计算支座反力, 而不必按传统结构力学的方法先计算支座反力。这种联立法适用于一般静定结构, 并可据此编写静定结构内力分析的一般程序。
3 结 论
本文针对M atlab 求解符号代数方程的函数so l v e 可能产生方程解输出混乱的问题, 采用字符串演算函数eva l 及动态结构数组加以改进, 建立了求解符号代数方程的函数So l E qu 。理论分析和算例表明, 函数So l E qu 不仅避免了直接使用so lve 可能导, 调加便, 其也与数