课题一 行 程 问 题 一般行程问题
相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和
追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差
“火车过桥问题”
“流水行船问题”
行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下： 速度×时间=路程 ；
路程÷时间=速度 ； 路程÷速度=时间。注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程÷总时间，而不是两个（或几个）速度相加再除以2。
行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及多个物
体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程（路程÷时间=速度，路程÷速度=时间）。
在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复
杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！
解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅
速地找到解题思路。
相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和。相背而行的公式：相背距离=速度和×时间。追及问题
的公式：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离÷速度差。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离=速度差×时间（例如求环形跑道的长度）。 追及距离÷时间=速度差，追及距离÷速度差=时间。“火车过桥问题”、“流水行船问题”、用行程问题结合图形知识解答的“钟表问题”是几类较特殊的行程问题，在解题时更要注意具体问题具体分析。
要正确的解答有关" 行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向（相向，相
背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追及）。
两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时，此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，此时两个物体的追及的速度就变为了“两个物体运动速度的差”（简称速度差）。
当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑；船在河中顺水而下
和逆水而上。此时人在顺风跑时运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运动的速度就应该等于人本身的速度减去风的速度；我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现，顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度；同样比较“顺水而下”与“逆流而上”，两个速度之间也相差着两个“水流的速度”。所谓“逆水行舟，不进则退”就是这个道理。
1、相遇问题和相离问题：
（1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行”，注意关键词“相向”，如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解
图示:
甲从A 地出发 乙从B 地出发
关系式：
相遇时间=总路程÷速度和 总路程=速度和×相遇时间
典型例题：
两港相距168千米，一艘客轮和一艘货轮同时从两港相对开出，客轮每小时行24千米，货轮每小时行18千米，几小时后两艘轮船相距21千米？
甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两车在离中点16千米处相遇。东西两地相距多少千米？
A、B 两地相距470千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时40千米的速度先后从两地出发，相向而行。相遇时甲车行驶了230千米。问：乙车比甲车早出发几小时？
甲、乙两车的速度比是3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点6千米处相遇，求两地相距多少千米？ 解法（一）：由题意可知，甲乙两车同时开出后，路程比成正比例，总是等于速度比，设两地间路程的一半为X ，则
x -63=，解比例得X=42，42×2=84千米即为两地间的距离。 x +64
解法（二）：
乙
从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差6千米到达中点，乙已经过了中点6千米，甲和乙的路程差是6千米的两倍，如果将两地间距离成看成3+4=7“份”的话，相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份”。则有6×2÷4-3=843+4
千米。
多人相遇问题：
（解决此类问题同时要理解领先问题）甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，丙又过了2分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。
（解决此类问题同时要理解与“封闭路程”有关的行程问题）甲乙丙三人沿着湖边散步，同时从湖边的一个地点出发。甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走。甲第一次遇到乙后1
二次遇到乙。已知乙的速度是甲的13分钟遇到丙，再过3分钟第442，湖的周长是600米，求丙的速度。 3
多次相遇问题：
甲乙两辆汽车同时从A 、B 两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达B 、A 两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时，A 、B 两地相距多少千米？
一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。照这样往、返游，两人游10分钟，甲每秒游3米，乙每秒游2米，二人会相遇几次？
（2）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行”， 注意对“速度和”的理解，注意时间的因素
图示：
A B
关系式：
相离距离=速度和×相背而行的时间
2、追及问题和领先问题
（1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之”
图示：
关系式：
追及时间=需要追及的距离÷速度差；追及距离=速度差×追及时间
速度差=追及距离÷所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解决问题。
速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或者快者开始出发时距慢者的距离。 典型例题：
晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走60米，所以他先从家出发。5分钟后，爸爸以每分钟80米的速度去追小明，经过多少分钟可以追上？
A、B 两地相距1800米，若甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发，9分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲30分钟可以追到乙，问：甲从A 地到B 地需要多少小时？
甲乙丙三辆车先后从A 地开往B 地。乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙。甲出发后几小时追上乙？ 解法：设数法解题。
上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同时间小明走的路线。从
线段图中我们可以看出爸爸走了3个4千米的时间，小明只走了1个4千米，小明所行路程是爸爸所行路程的
相同时间内，路程与速度成正比，则小明的速度是爸爸速度的1，31。 3
家 第一次追上时离家4千米 第二次追上时离家8千米
我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的1，从爸爸第一次开始追小明到追3
上小明的这段时间内，爸爸行出4千米，小明行出4千米的路程与速度成正比），小明必须先行出4千米的133 1228=，也就是说，小明用8分钟的时间先行出4×=千米。 3333
小明先用8分钟时间
爸 爸
进而我们求出小明的速度是
明共行8千米，8÷
解题过程：
①4÷（4+8）=
④8÷81÷8=千米/分钟，小明8点8分从家里出发，到爸爸二次追上小明时，小331=24分钟，从而求得第二次追上的时间是8点32分。 311881 ②4×（1-）= （千米） ③÷8=（千米/分钟） 333331 =24（分钟） ⑤8+24=32（分） 答：这时是8点32分。 3
（2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，则快者必领先于慢者”
图示：
关系式：
领先距离=速度差×所用时间，速度差=领先距离÷所用时间，所用时间=领先距离÷速度差
典型例题：
甲乙两人练跑步，甲跑步的速度每分钟比乙快3
50千米，两人从某地同时出发，跑了一段时间后，甲
领先乙200米，问此时甲跑了多少秒？
小李和老王同时从A 地出发去B 地，小李骑电动车，老王开汽车，2分钟后小李在老王的后方0.5千米， A、B 两地相距90千米，老王用了3个小时到达B 地，问小李到达B 地时，老王已经到达B 地多长时间了？
两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。问：甲车行完全程用了多少小时？
注意，此题虽然是“领先问题”的模式，但是却没有用到速度差，路程差的关系式，而是根据题意先求出了乙车的速度，然后直接利用到达目的地的时间差求出快车（题目中的甲车）行完全程所用的时间，可见，分析问题重在思维灵活，不能僵化地利用公式。
„„与“封闭路程”有关的行程问题：
注意以下两点：一是两人同地背向运动，从一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地同向运动时，甲追上乙时，甲比多行一个全程。
典型例题：
在300米的椭圆形跑道上，小田和小刘同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，小齐和小强的速度分别是多少？
如图，A 、B 是圆形跑道的两端，小张在A 点，小陈在B 点同时出发，反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点的跑道长80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点跑道长60米，求这个圆形跑道的长度。
B
3、“流水行船”问题：
解答这类问题的要素有下列几点：
船行使时本身的速度（简称船速）、水流速度（简称水速）、顺流速度、逆流速度；
航程（船行驶的路程）、顺流行驶时间和逆流行驶时间，平均速度的算法。
基本关系式如下：
顺流速度= 船速 + 水速 逆流速度= 船速 - 水速 （记住这个原理下面的四个关系式也就都理解了） 顺流速度=逆流速度+ 2×水速 逆流速度=顺流速度-2×水速
船速（没有水流的情况下船本身的行使速度）= （顺流速度+逆流速度）÷2
水速=（顺流速度 - 逆流速度）÷2
典型例题：
一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的情况下，他跑100米用多长时间？
一艘轮船顺流航行105千米，再逆流航行120千米，共用12小时；若顺流航行60千米，再逆流航行132千米，共用15小时。如果先顺流航行120千米，再逆流航行120千米回到始点，最短需要多少小时？
4、“火车过桥”问题
解答火车过桥问题的关键是要明确火车“完全”通过大桥所经过的路程：从火车头接触桥的一端开始，到火车尾离开桥的另一端。如下图，我们可以这样理解此一问题：火车“完全”通过大桥所经过的路程也就是火车尾在车头上桥开始到车尾离开桥结束所要经过的路程，也就是“火车的长度+桥的长度”，然后利用 路程（桥的长度+火车的长度）= 速度（也就是火车的速度）×过桥时间。
图示：
火车上桥时
车尾还在距离车头 火车下桥是指
一个车长的位置 车尾离开桥
即火车的长度+桥的长度！
典型例题：
一座大桥长3400米，一列火车通过大桥时每分钟行800米，从车头上桥到车尾下桥共需4.5分。这列火车长多少米？
一列火车车身长200米，用15秒开过每小时4千米的同方向行走的步行人甲，而用12秒开过骑自行车的人乙，那么乙每小时行多少千米？
5、“钟表问题”
首先需要说明的是，研究钟表时间的数学问题——钟表问题不一定都能用行程问题的思想来解答，但是其中相当一部分问题应用到了行程问题中的追及模式。同学们都有这样一个基本常识，钟表的时针、分针和秒针都是做同一方向运动的（当然是顺时针方向），而且显然秒针走的最快，而时针走的最慢。钟表问题常常是围绕时针、分针或秒针的重合、垂直、成直线或夹角的度数等问题来进行研究的。
钟面上有12个数字（1到12）对应1点到12点，每个数字间都有5个小格，这样，12×5=60个小格，对应分针走60分钟是一个小时。以小格来计算，时针每小时走5小格，分针每小时走60小格（刚好走一个圆周），时针的速度是分针的1111，分针每分钟比时针多走1-=小格，在计算分针与时针夹角时，我们更可以121212
根据圆周角=360度，分针每小时走完一个圆周，每份钟走360÷60=6（度）——对应上面提到的一小格，
时针每小时走30度，所以时针每分钟走了30÷60=0.5（度），分针每分钟比时针多走6-0.5=5.5（度），这个度数差也就是我们解决钟表问题经常用到的“速度差”
典型例题：6时整时，时针与分针反方向成一条直线，下一次时针与分针反向成一条直线时是几时几分？
图示：
钟表问题中不需要应用行程思想的题型举例：
有一块表，每小时比标准时间慢一分钟，中午12时调准，下午慢钟指到6时时，标准时间是下午几时几分？
[这个问题，可以根据“问题表”的指针速度不变，看作钟表与标准时间成正比例来解答]
6、一般行程问题
升学考试中即便考到“一般”行程问题，也不会很直接地给出已知条件，也就是说最终能利用基本关系式解决问题的“时间”、“速度”、“路程”是需要你利用已知条件去推算的。而且考题中很可能涉及到比例的数学思想，应用设数法解题, 综合分析法等技巧。另外行程中间有“停留”或速度变化的问题也需要注意，具体问题具体分析。
典型例题：
小王骑摩托车往返A 、B 两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？
一辆火车的速度为121千米每小时，现有一块每4小时慢2分钟的表。若用这块表计时，这辆火车的速度是多少？
7、注意行程问题中的综合题，举例如下：
[既涉及相遇又涉及到追及的综合]A、B 两地相距1800米，若甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发，9分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲30分钟可以追到乙，问：甲从A 地到B 地需要多少小时？
[相遇问题和领先问题] 甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，丙又过了2分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。
[火车过桥问题中有追及和相离的问题]一列火车车身长200米，用15秒开过每小时4千米的同方向行走的步行人甲，而用12秒开过骑自行车的人乙，那么乙每小时行多少千米？
行程中有停留的，要具体问题具体分析：绕湖一周是24千米，小张和小陈从湖边某一地点同时出发反向而行。小张以每小时4千米的速度走1小时休息5分钟，小陈以每小时6千米的速度每走50分钟休息10分钟。两人出发多长时间第一次相遇？
[行程问题结合比的应用，重点题型] 甲乙分别从A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，它们的速度比是5：4，相遇于B 地后，甲继续以原来的速度向C 地的方向前进，而乙则立即调头返回C ，且乙的速度比相遇前降低了1，这样，当乙回到C 地时，甲刚好到达离C 地18千米处的D 地，那么A 、C 之间的距离5
是多少千米？
之所以将此题列为重点题型，原因如下：小学六年级分数、比、百分数、比例是数学知识的重点，而结合分数（分率）、百分数、比和比例的行程问题较为复杂、抽象，可以很好地考查同学们综合运用所学知识的思维能力（*********************下面我们来多多练习这样的问题*********************
**********行程问题结合分数、百分数、比和比例的综合问题典型例题解析**********
典型例题一：一辆汽车和一辆摩托同时从A 、B 两地相对开出。汽车每小时行50千米，摩托车的速度是汽车速度的4，相遇后汽车继续行3.2小时到达B 地。A 、B 两地相距多少千米？ 5
线段图分析：
B 点出发
比例关系），则我们算出速度比也就算出了路程比。
①1 ：4 = 5 ：4，②50×3.2÷4×（5+4）=360（千米）答：A 、B 两地相距360千米。 5
解法（二）直接利用“相遇时行驶的时间相同”的原理：
①50×3.2=160（千米）——两车相遇地点到B 点的路程
②160÷（50×4）= 4(小时) 相遇时摩托车所用时间，也就是相遇时汽车所用时间 5
③（50+40）×4 = 360（千米）
典型例题二：甲乙两人同时从从A 、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3 ：2，相遇后，甲继续向B 地走，但是速度提高了20%，乙继续向A 地走，速度比相遇前提高了30%。这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有14千米。那么A 、B 两地间的距离是多少千米？
甲
14千米
3，用了1小5
3318时，则甲的速度就是每小时行全程的，甲提速后每小时可以行完全程的×（1+20%）= ，那么提速5525
221852后行完剩下的用掉的时间是÷=（小时）；同理，乙在相遇前，走完全程的，用了1小时， 552595
213×（1+30%）= （乙提速后的“速度”），在甲从相遇至到达B 地这段时间内，乙走了全程的 525
13513313×=，这时离A 地还差14千米，那么14千米相当与全程的（-）。 25945545
3182185①设甲、乙两人相遇时间是1小时 ②×（1+20%）= ③÷=（小时） 5255259
2513313④×（1+30%）×= ⑤14÷（-）=45（千米） 5945545解法（一）设数法解题，设甲、乙两人相遇时间是1小时，那么也就是甲在相遇前，走完全程的
答：A 、B 两地间的距离是45千米。
解法（二）相遇时，甲走了“3份”路程，乙走了“2份”路程，相遇后甲乙的速度比为[3×（1+20%）]：
[2×（1+30%）]=18：13，从相遇开始，甲到达B 点还要走“2份”路程，这是乙行了2÷18×13=
路程。
①[3×（1+20%）]：[2×（1+30%）]=18：13 ②2÷18×13=
③（3+2）-（2+13“份”913 9131414）= ④14÷×（3+2）=45（千米） 999
典型例题三：从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，路程全长是20千米。各段路程之比是1：2：3，某人走这三段路所用时间比是4：5：6。已知他上坡时的速度是每小时2.5千米，则此人从甲地到乙地共需多长时间？
线段图分析：
2份
1份
解法：①20×11010=（千米） ②÷2.5÷4×（4+5+6）=5（小时） 1+2+333
答：此人从甲地到乙地共需5小时。
典型例题四：一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果按原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？
线段图分析及解法：
第一种情况
速度提高20%，则速度提高到原来的
则所用时间将是按原速行驶所用时间的6 55 6
因为路程一定，速度与时间成反比，据此我们建立反比例模型，设速度为x ，时间为y ，路程为k(路程k 一定) ，则有xy=k, 1+20%=66555 ,(x) × (y)=k,时间缩短为按原速行驶所需时间y 的，则1-也55666就是1小时的时间所对应的分率。
解题时书写①1+20%=
第二种情况 120千米
则所用时间将是按原速行驶所用时间的
与第一种情况同理，可以算出按原速行完除去120千米的剩余部分用6655 ②×=1 ③1÷（1-）=6小时 （即按原速行驶需6小时） 55664 510小时，则按原速行驶120千米所3
用的时间是6-108=（小时），由此可以求出原速度，在根据第一种情况的结论用速度乘以时间求出全33
程。解题时书写：
55422410 ⑤×=1 ⑥40分钟=小时，÷（1-）=（小时） 4453353
10⑦120÷（6-）×6=270（千米） 3④1+25%=答：甲、乙两地相距270千米。
典型例题五：如图，甲、乙分别从A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，它们的速度比是5：4，相遇于B 地后，甲继续以原来的速度向C 地的方向前进，而乙则立即调头返回C ，且乙的速度比相遇前降低了1，这样，当乙回到C 地时，甲刚好到达离C 地18千米处的D 地，那么A 、C 之间的距离是多少千5
米？
A B C D
线段图分析及解法：
甲
如图，甲、乙相遇于B 点时，所行路程AB 与AC 之间的比等于他们的速度比5：4，而当“乙的速度比相遇前降低了11”后，甲、乙所行的路程比应是5：[4×（1-）]=25：16，如果我们设BC 之间的路程为55
X 千米，则有BD:BC=25：16, 而BD=BC+CD=BC+18,建立比例式后，问题迎刃而解。解题时书写： 解：设BC 之间的路程为X 千米。
①4×（1-11616）= ②5：=25：16 555
③(x+18):x=25：16, 解比例得x=32 ④32÷4×(5+4)=72(千米)
答：A 、C 之间的距离是72千米。
注：把测试中的和小考必备中的题型加进去，还有其他参考书上的，比如说奥数王最后几页，把钟表问题写详细些。
课题一 行 程 问 题 一般行程问题
相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和
追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差
“火车过桥问题”
“流水行船问题”
行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下： 速度×时间=路程 ；
路程÷时间=速度 ； 路程÷速度=时间。注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程÷总时间，而不是两个（或几个）速度相加再除以2。
行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及多个物
体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程（路程÷时间=速度，路程÷速度=时间）。
在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复
杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！
解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅
速地找到解题思路。
相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和。相背而行的公式：相背距离=速度和×时间。追及问题
的公式：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离÷速度差。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离=速度差×时间（例如求环形跑道的长度）。 追及距离÷时间=速度差，追及距离÷速度差=时间。“火车过桥问题”、“流水行船问题”、用行程问题结合图形知识解答的“钟表问题”是几类较特殊的行程问题，在解题时更要注意具体问题具体分析。
要正确的解答有关" 行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向（相向，相
背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追及）。
两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时，此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，此时两个物体的追及的速度就变为了“两个物体运动速度的差”（简称速度差）。
当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑；船在河中顺水而下
和逆水而上。此时人在顺风跑时运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运动的速度就应该等于人本身的速度减去风的速度；我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现，顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度；同样比较“顺水而下”与“逆流而上”，两个速度之间也相差着两个“水流的速度”。所谓“逆水行舟，不进则退”就是这个道理。
1、相遇问题和相离问题：
（1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行”，注意关键词“相向”，如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解
图示:
甲从A 地出发 乙从B 地出发
关系式：
相遇时间=总路程÷速度和 总路程=速度和×相遇时间
典型例题：
两港相距168千米，一艘客轮和一艘货轮同时从两港相对开出，客轮每小时行24千米，货轮每小时行18千米，几小时后两艘轮船相距21千米？
甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两车在离中点16千米处相遇。东西两地相距多少千米？
A、B 两地相距470千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时40千米的速度先后从两地出发，相向而行。相遇时甲车行驶了230千米。问：乙车比甲车早出发几小时？
甲、乙两车的速度比是3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点6千米处相遇，求两地相距多少千米？ 解法（一）：由题意可知，甲乙两车同时开出后，路程比成正比例，总是等于速度比，设两地间路程的一半为X ，则
x -63=，解比例得X=42，42×2=84千米即为两地间的距离。 x +64
解法（二）：
乙
从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差6千米到达中点，乙已经过了中点6千米，甲和乙的路程差是6千米的两倍，如果将两地间距离成看成3+4=7“份”的话，相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份”。则有6×2÷4-3=843+4
千米。
多人相遇问题：
（解决此类问题同时要理解领先问题）甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，丙又过了2分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。
（解决此类问题同时要理解与“封闭路程”有关的行程问题）甲乙丙三人沿着湖边散步，同时从湖边的一个地点出发。甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走。甲第一次遇到乙后1
二次遇到乙。已知乙的速度是甲的13分钟遇到丙，再过3分钟第442，湖的周长是600米，求丙的速度。 3
多次相遇问题：
甲乙两辆汽车同时从A 、B 两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达B 、A 两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时，A 、B 两地相距多少千米？
一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。照这样往、返游，两人游10分钟，甲每秒游3米，乙每秒游2米，二人会相遇几次？
（2）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行”， 注意对“速度和”的理解，注意时间的因素
图示：
A B
关系式：
相离距离=速度和×相背而行的时间
2、追及问题和领先问题
（1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之”
图示：
关系式：
追及时间=需要追及的距离÷速度差；追及距离=速度差×追及时间
速度差=追及距离÷所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解决问题。
速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或者快者开始出发时距慢者的距离。 典型例题：
晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走60米，所以他先从家出发。5分钟后，爸爸以每分钟80米的速度去追小明，经过多少分钟可以追上？
A、B 两地相距1800米，若甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发，9分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲30分钟可以追到乙，问：甲从A 地到B 地需要多少小时？
甲乙丙三辆车先后从A 地开往B 地。乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙。甲出发后几小时追上乙？ 解法：设数法解题。
上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同时间小明走的路线。从
线段图中我们可以看出爸爸走了3个4千米的时间，小明只走了1个4千米，小明所行路程是爸爸所行路程的
相同时间内，路程与速度成正比，则小明的速度是爸爸速度的1，31。 3
家 第一次追上时离家4千米 第二次追上时离家8千米
我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的1，从爸爸第一次开始追小明到追3
上小明的这段时间内，爸爸行出4千米，小明行出4千米的路程与速度成正比），小明必须先行出4千米的133 1228=，也就是说，小明用8分钟的时间先行出4×=千米。 3333
小明先用8分钟时间
爸 爸
进而我们求出小明的速度是
明共行8千米，8÷
解题过程：
①4÷（4+8）=
④8÷81÷8=千米/分钟，小明8点8分从家里出发，到爸爸二次追上小明时，小331=24分钟，从而求得第二次追上的时间是8点32分。 311881 ②4×（1-）= （千米） ③÷8=（千米/分钟） 333331 =24（分钟） ⑤8+24=32（分） 答：这时是8点32分。 3
（2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，则快者必领先于慢者”
图示：
关系式：
领先距离=速度差×所用时间，速度差=领先距离÷所用时间，所用时间=领先距离÷速度差
典型例题：
甲乙两人练跑步，甲跑步的速度每分钟比乙快3
50千米，两人从某地同时出发，跑了一段时间后，甲
领先乙200米，问此时甲跑了多少秒？
小李和老王同时从A 地出发去B 地，小李骑电动车，老王开汽车，2分钟后小李在老王的后方0.5千米， A、B 两地相距90千米，老王用了3个小时到达B 地，问小李到达B 地时，老王已经到达B 地多长时间了？
两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。问：甲车行完全程用了多少小时？
注意，此题虽然是“领先问题”的模式，但是却没有用到速度差，路程差的关系式，而是根据题意先求出了乙车的速度，然后直接利用到达目的地的时间差求出快车（题目中的甲车）行完全程所用的时间，可见，分析问题重在思维灵活，不能僵化地利用公式。
„„与“封闭路程”有关的行程问题：
注意以下两点：一是两人同地背向运动，从一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地同向运动时，甲追上乙时，甲比多行一个全程。
典型例题：
在300米的椭圆形跑道上，小田和小刘同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，小齐和小强的速度分别是多少？
如图，A 、B 是圆形跑道的两端，小张在A 点，小陈在B 点同时出发，反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点的跑道长80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点跑道长60米，求这个圆形跑道的长度。
B
3、“流水行船”问题：
解答这类问题的要素有下列几点：
船行使时本身的速度（简称船速）、水流速度（简称水速）、顺流速度、逆流速度；
航程（船行驶的路程）、顺流行驶时间和逆流行驶时间，平均速度的算法。
基本关系式如下：
顺流速度= 船速 + 水速 逆流速度= 船速 - 水速 （记住这个原理下面的四个关系式也就都理解了） 顺流速度=逆流速度+ 2×水速 逆流速度=顺流速度-2×水速
船速（没有水流的情况下船本身的行使速度）= （顺流速度+逆流速度）÷2
水速=（顺流速度 - 逆流速度）÷2
典型例题：
一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的情况下，他跑100米用多长时间？
一艘轮船顺流航行105千米，再逆流航行120千米，共用12小时；若顺流航行60千米，再逆流航行132千米，共用15小时。如果先顺流航行120千米，再逆流航行120千米回到始点，最短需要多少小时？
4、“火车过桥”问题
解答火车过桥问题的关键是要明确火车“完全”通过大桥所经过的路程：从火车头接触桥的一端开始，到火车尾离开桥的另一端。如下图，我们可以这样理解此一问题：火车“完全”通过大桥所经过的路程也就是火车尾在车头上桥开始到车尾离开桥结束所要经过的路程，也就是“火车的长度+桥的长度”，然后利用 路程（桥的长度+火车的长度）= 速度（也就是火车的速度）×过桥时间。
图示：
火车上桥时
车尾还在距离车头 火车下桥是指
一个车长的位置 车尾离开桥
即火车的长度+桥的长度！
典型例题：
一座大桥长3400米，一列火车通过大桥时每分钟行800米，从车头上桥到车尾下桥共需4.5分。这列火车长多少米？
一列火车车身长200米，用15秒开过每小时4千米的同方向行走的步行人甲，而用12秒开过骑自行车的人乙，那么乙每小时行多少千米？
5、“钟表问题”
首先需要说明的是，研究钟表时间的数学问题——钟表问题不一定都能用行程问题的思想来解答，但是其中相当一部分问题应用到了行程问题中的追及模式。同学们都有这样一个基本常识，钟表的时针、分针和秒针都是做同一方向运动的（当然是顺时针方向），而且显然秒针走的最快，而时针走的最慢。钟表问题常常是围绕时针、分针或秒针的重合、垂直、成直线或夹角的度数等问题来进行研究的。
钟面上有12个数字（1到12）对应1点到12点，每个数字间都有5个小格，这样，12×5=60个小格，对应分针走60分钟是一个小时。以小格来计算，时针每小时走5小格，分针每小时走60小格（刚好走一个圆周），时针的速度是分针的1111，分针每分钟比时针多走1-=小格，在计算分针与时针夹角时，我们更可以121212
根据圆周角=360度，分针每小时走完一个圆周，每份钟走360÷60=6（度）——对应上面提到的一小格，
时针每小时走30度，所以时针每分钟走了30÷60=0.5（度），分针每分钟比时针多走6-0.5=5.5（度），这个度数差也就是我们解决钟表问题经常用到的“速度差”
典型例题：6时整时，时针与分针反方向成一条直线，下一次时针与分针反向成一条直线时是几时几分？
图示：
钟表问题中不需要应用行程思想的题型举例：
有一块表，每小时比标准时间慢一分钟，中午12时调准，下午慢钟指到6时时，标准时间是下午几时几分？
[这个问题，可以根据“问题表”的指针速度不变，看作钟表与标准时间成正比例来解答]
6、一般行程问题
升学考试中即便考到“一般”行程问题，也不会很直接地给出已知条件，也就是说最终能利用基本关系式解决问题的“时间”、“速度”、“路程”是需要你利用已知条件去推算的。而且考题中很可能涉及到比例的数学思想，应用设数法解题, 综合分析法等技巧。另外行程中间有“停留”或速度变化的问题也需要注意，具体问题具体分析。
典型例题：
小王骑摩托车往返A 、B 两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？
一辆火车的速度为121千米每小时，现有一块每4小时慢2分钟的表。若用这块表计时，这辆火车的速度是多少？
7、注意行程问题中的综合题，举例如下：
[既涉及相遇又涉及到追及的综合]A、B 两地相距1800米，若甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发，9分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲30分钟可以追到乙，问：甲从A 地到B 地需要多少小时？
[相遇问题和领先问题] 甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，丙又过了2分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。
[火车过桥问题中有追及和相离的问题]一列火车车身长200米，用15秒开过每小时4千米的同方向行走的步行人甲，而用12秒开过骑自行车的人乙，那么乙每小时行多少千米？
行程中有停留的，要具体问题具体分析：绕湖一周是24千米，小张和小陈从湖边某一地点同时出发反向而行。小张以每小时4千米的速度走1小时休息5分钟，小陈以每小时6千米的速度每走50分钟休息10分钟。两人出发多长时间第一次相遇？
[行程问题结合比的应用，重点题型] 甲乙分别从A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，它们的速度比是5：4，相遇于B 地后，甲继续以原来的速度向C 地的方向前进，而乙则立即调头返回C ，且乙的速度比相遇前降低了1，这样，当乙回到C 地时，甲刚好到达离C 地18千米处的D 地，那么A 、C 之间的距离5
是多少千米？
之所以将此题列为重点题型，原因如下：小学六年级分数、比、百分数、比例是数学知识的重点，而结合分数（分率）、百分数、比和比例的行程问题较为复杂、抽象，可以很好地考查同学们综合运用所学知识的思维能力（*********************下面我们来多多练习这样的问题*********************
**********行程问题结合分数、百分数、比和比例的综合问题典型例题解析**********
典型例题一：一辆汽车和一辆摩托同时从A 、B 两地相对开出。汽车每小时行50千米，摩托车的速度是汽车速度的4，相遇后汽车继续行3.2小时到达B 地。A 、B 两地相距多少千米？ 5
线段图分析：
B 点出发
比例关系），则我们算出速度比也就算出了路程比。
①1 ：4 = 5 ：4，②50×3.2÷4×（5+4）=360（千米）答：A 、B 两地相距360千米。 5
解法（二）直接利用“相遇时行驶的时间相同”的原理：
①50×3.2=160（千米）——两车相遇地点到B 点的路程
②160÷（50×4）= 4(小时) 相遇时摩托车所用时间，也就是相遇时汽车所用时间 5
③（50+40）×4 = 360（千米）
典型例题二：甲乙两人同时从从A 、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3 ：2，相遇后，甲继续向B 地走，但是速度提高了20%，乙继续向A 地走，速度比相遇前提高了30%。这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有14千米。那么A 、B 两地间的距离是多少千米？
甲
14千米
3，用了1小5
3318时，则甲的速度就是每小时行全程的，甲提速后每小时可以行完全程的×（1+20%）= ，那么提速5525
221852后行完剩下的用掉的时间是÷=（小时）；同理，乙在相遇前，走完全程的，用了1小时， 552595
213×（1+30%）= （乙提速后的“速度”），在甲从相遇至到达B 地这段时间内，乙走了全程的 525
13513313×=，这时离A 地还差14千米，那么14千米相当与全程的（-）。 25945545
3182185①设甲、乙两人相遇时间是1小时 ②×（1+20%）= ③÷=（小时） 5255259
2513313④×（1+30%）×= ⑤14÷（-）=45（千米） 5945545解法（一）设数法解题，设甲、乙两人相遇时间是1小时，那么也就是甲在相遇前，走完全程的
答：A 、B 两地间的距离是45千米。
解法（二）相遇时，甲走了“3份”路程，乙走了“2份”路程，相遇后甲乙的速度比为[3×（1+20%）]：
[2×（1+30%）]=18：13，从相遇开始，甲到达B 点还要走“2份”路程，这是乙行了2÷18×13=
路程。
①[3×（1+20%）]：[2×（1+30%）]=18：13 ②2÷18×13=
③（3+2）-（2+13“份”913 9131414）= ④14÷×（3+2）=45（千米） 999
典型例题三：从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，路程全长是20千米。各段路程之比是1：2：3，某人走这三段路所用时间比是4：5：6。已知他上坡时的速度是每小时2.5千米，则此人从甲地到乙地共需多长时间？
线段图分析：
2份
1份
解法：①20×11010=（千米） ②÷2.5÷4×（4+5+6）=5（小时） 1+2+333
答：此人从甲地到乙地共需5小时。
典型例题四：一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果按原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？
线段图分析及解法：
第一种情况
速度提高20%，则速度提高到原来的
则所用时间将是按原速行驶所用时间的6 55 6
因为路程一定，速度与时间成反比，据此我们建立反比例模型，设速度为x ，时间为y ，路程为k(路程k 一定) ，则有xy=k, 1+20%=66555 ,(x) × (y)=k,时间缩短为按原速行驶所需时间y 的，则1-也55666就是1小时的时间所对应的分率。
解题时书写①1+20%=
第二种情况 120千米
则所用时间将是按原速行驶所用时间的
与第一种情况同理，可以算出按原速行完除去120千米的剩余部分用6655 ②×=1 ③1÷（1-）=6小时 （即按原速行驶需6小时） 55664 510小时，则按原速行驶120千米所3
用的时间是6-108=（小时），由此可以求出原速度，在根据第一种情况的结论用速度乘以时间求出全33
程。解题时书写：
55422410 ⑤×=1 ⑥40分钟=小时，÷（1-）=（小时） 4453353
10⑦120÷（6-）×6=270（千米） 3④1+25%=答：甲、乙两地相距270千米。
典型例题五：如图，甲、乙分别从A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，它们的速度比是5：4，相遇于B 地后，甲继续以原来的速度向C 地的方向前进，而乙则立即调头返回C ，且乙的速度比相遇前降低了1，这样，当乙回到C 地时，甲刚好到达离C 地18千米处的D 地，那么A 、C 之间的距离是多少千5
米？
A B C D
线段图分析及解法：
甲
如图，甲、乙相遇于B 点时，所行路程AB 与AC 之间的比等于他们的速度比5：4，而当“乙的速度比相遇前降低了11”后，甲、乙所行的路程比应是5：[4×（1-）]=25：16，如果我们设BC 之间的路程为55
X 千米，则有BD:BC=25：16, 而BD=BC+CD=BC+18,建立比例式后，问题迎刃而解。解题时书写： 解：设BC 之间的路程为X 千米。
①4×（1-11616）= ②5：=25：16 555
③(x+18):x=25：16, 解比例得x=32 ④32÷4×(5+4)=72(千米)
答：A 、C 之间的距离是72千米。
注：把测试中的和小考必备中的题型加进去，还有其他参考书上的，比如说奥数王最后几页，把钟表问题写详细些。