九年级数学全册知识点总结
上册 第一章、图形与证明（二）
（一）、知识框架
1. 等腰三角形
等腰三角形的性质和判定 等边三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定
。
2. 直角三角形全等的判定： HL
3. 平行四边形
平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定
菱形的性质和判定：3个判定定理
正方形的性质和判定：2个判定定理
4. 等腰梯形的性质和判定
（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 注意：
即需要掌握常作的辅助线。
1 （2）梯形的面积公式：S =(a +b )h =lh （l -中位线长） 2
三角形的中位线
5. 中位线梯形的中位线
(二) 知识详解
2．1、等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 2．2、等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角 2．3、线段的垂直平分线 形。
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。 2．4、角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 2．5、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）
第二章、数据的离散程度
（一）知识点复习 1、极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。
极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。 2、 方差
各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S 。 巧用方差公式：
———1222
1、基本公式：S =[(X1-X ) +(X2-X ) +„„+(Xn -X ) ]
n
—
212222
2、简化公式：S =[(X1+X2+„„+Xn )-nX ]
n
—
212222
也可写成：S =(X1+X2+„„+Xn )-X
n
—
212222
3、简化②：S =[(X’1+X’2+„„+X’n )-nX ]
n
—
212222
也可写成: S=(X’1+X’2+„„+X’n )-X
n
2
2
3、标准差:
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差, 记作S 。
1
(x 1-x )2+..... x n -x S=n
意义：
2
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。 2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。
3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。
注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。
第三章、二次根式
（一）、知识框架
第四章、一元二次方程
（二）、知识详解 1、一元二次方程定义
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （二）、一元二次方程的一般形式
ax 2+bx +c =0(a ≠0) ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 1、直接开平方法
直接开平方法适用于解形如(x +a ) 2=b 的一元二次方程。当b ≥0时，x +a =±b ，
x =-a ±b ；当b
2、配方法 一般步骤：
（1） 方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 两边同时除以a, 将二次项系数化为1. （2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。
（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 （4） 配方，化成(x +a ) 2=b
（5）开方。当b ≥0时，x =-a ±；当b
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的求根公式：
-b ±b 2-4ac 2x =(b -4ac ≥0)
2a
4、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。 3：一元二次方程根的判别式
根的判别式
1、定义：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 中，b 2-4ac 叫做一元二次方程
ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根的判别式。
2、性质：当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根。 4：一元二次方程根与系数的关系
b c
如果方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-，x 1x 2=。
a a
应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元 根据题意，得：(3-2-x )(200+
x
⨯40) -24=200 0. 1
解得：x 1＝0.2，x 2＝0.3 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。
第五章、中心对称图形二（圆的有关知识）
（一）、知识框架
（二）知识点详解
一、圆的概念 集合形式的概念：
1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ⇒ d r ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ⇒ d >r ⇒ 无交点； 2、直线与圆相切 ⇒ d =r ⇒ 有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇒ d
A
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d >R +r ； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d =R +r ； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R -r
图1
图2
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直弧。
推论1：（1）平分弦（不并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
图4
径平分弦且平分弦所对的
图5
是直径）的直径垂直于弦，
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE =DE ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理
B
D
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①∠AOB =∠DOE ；②AB =DE ；
③OC =OF ；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵∠AOB 和∠ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB =2∠ACB 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C =∠D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C =90︒∴∠C =90︒ ∴
B
AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC 中，∵OC =OA =OB
∴△ABC 是直角三角形或∠C =90︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
B
A
O
A
11
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠C +∠BAD =180︒ ∠B +∠D =180︒ ∠DAE =∠C 九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆以上三个定理及推论也称二推一定理：
点。 心。
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA =PB PO 平分∠BPA 十一、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共如图：O 1O 2垂直平分AB 。
即：∵⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B 两点 ∴O 1O 2垂直平分AB 十二、圆内正多边形的计算
（1
） 正三角形 ：在⊙O 中△ABC 是正三角形
弦。
有关计算在Rt ∆BOD 中进行：OD
:BD :OB =2； （2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt ∆OAE 中进行，
OE :AE :OA =
12
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt ∆OAB 中进
行，
AB :OB :OA =2.
十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：l =n πR
180
；
O
l
（2）扇形面积公式： S =
n πR 2360=1
2
lR n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：积
2、圆锥侧面展开图
（1）S 表=S 侧+S 底=πRr +πr 2
（2）圆锥的体积：V =1
πr 2h 3
13
扇形面
1. 定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数. 2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h . 特别地，y 轴记作直线x =0.
14
4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛2
（-） （1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线⎪+
2a 4a 2a ⎭4a ⎝
x =-
b
. 2a
2
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h , k ) ，对称
轴是直线x =h .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点(x 1, y ) 、，则对称轴方程可以表示为：x =(x 2, y ) （及y 值相同）9. 抛物线y =ax 2+bx +c 中，a , b , c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线
2
x 1+x 2
2
x =-
b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③
a a 2a
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
（3）c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.
2
当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：
①c =0，抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴；③c
（1）一般式：y =ax +bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
2
b
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2). 12. 直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程
2
2
ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔(∆>0) ⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(∆=0) ⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(∆
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.
15
2
（4）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组
y +n y +bx +c
2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方
程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，则
AB =x 1-x 2
第七章 锐角三角函数
锐角角A 的正弦（sin ）, 余弦（cos ）和正切（tan ）, 余切（cot ）以及正割（sec ），（做角A 的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边， 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边； 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数， 2、互余角的三角函数间的关系。
sin (90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sinα, tan (90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 3、同角三角函数间的关系 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sin α=tanα·cos α cos α=cotα·sin α tan α=sinα·sec α cot α=cosα·csc α sec α=tanα·csc α csc α=secα·cot α ·倒数关系： tan α·cot α=1 sin α·csc α=1 cos α·sec α=1 直角三角形ABC 中,
角A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边, 余弦等于角A 的邻边比斜边
16
余割csc ）都叫
正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 4、三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i ）锐角三角函数值都是正值 （ii ）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii ）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sin α≤1, 1≥cos α≥0, 当角度在0°0, cotα>0.
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九年级数学全册知识点总结
上册 第一章、图形与证明（二）
（一）、知识框架
1. 等腰三角形
等腰三角形的性质和判定 等边三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定
。
2. 直角三角形全等的判定： HL
3. 平行四边形
平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定
菱形的性质和判定：3个判定定理
正方形的性质和判定：2个判定定理
4. 等腰梯形的性质和判定
（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 注意：
即需要掌握常作的辅助线。
1 （2）梯形的面积公式：S =(a +b )h =lh （l -中位线长） 2
三角形的中位线
5. 中位线梯形的中位线
(二) 知识详解
2．1、等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 2．2、等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角 2．3、线段的垂直平分线 形。
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。 2．4、角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 2．5、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）
第二章、数据的离散程度
（一）知识点复习 1、极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。
极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。 2、 方差
各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S 。 巧用方差公式：
———1222
1、基本公式：S =[(X1-X ) +(X2-X ) +„„+(Xn -X ) ]
n
—
212222
2、简化公式：S =[(X1+X2+„„+Xn )-nX ]
n
—
212222
也可写成：S =(X1+X2+„„+Xn )-X
n
—
212222
3、简化②：S =[(X’1+X’2+„„+X’n )-nX ]
n
—
212222
也可写成: S=(X’1+X’2+„„+X’n )-X
n
2
2
3、标准差:
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差, 记作S 。
1
(x 1-x )2+..... x n -x S=n
意义：
2
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。 2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。
3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。
注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。
第三章、二次根式
（一）、知识框架
第四章、一元二次方程
（二）、知识详解 1、一元二次方程定义
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （二）、一元二次方程的一般形式
ax 2+bx +c =0(a ≠0) ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 1、直接开平方法
直接开平方法适用于解形如(x +a ) 2=b 的一元二次方程。当b ≥0时，x +a =±b ，
x =-a ±b ；当b
2、配方法 一般步骤：
（1） 方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 两边同时除以a, 将二次项系数化为1. （2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。
（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 （4） 配方，化成(x +a ) 2=b
（5）开方。当b ≥0时，x =-a ±；当b
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的求根公式：
-b ±b 2-4ac 2x =(b -4ac ≥0)
2a
4、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。 3：一元二次方程根的判别式
根的判别式
1、定义：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 中，b 2-4ac 叫做一元二次方程
ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根的判别式。
2、性质：当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根。 4：一元二次方程根与系数的关系
b c
如果方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-，x 1x 2=。
a a
应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元 根据题意，得：(3-2-x )(200+
x
⨯40) -24=200 0. 1
解得：x 1＝0.2，x 2＝0.3 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。
第五章、中心对称图形二（圆的有关知识）
（一）、知识框架
（二）知识点详解
一、圆的概念 集合形式的概念：
1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ⇒ d r ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ⇒ d >r ⇒ 无交点； 2、直线与圆相切 ⇒ d =r ⇒ 有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇒ d
A
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d >R +r ； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d =R +r ； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R -r
图1
图2
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直弧。
推论1：（1）平分弦（不并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
图4
径平分弦且平分弦所对的
图5
是直径）的直径垂直于弦，
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE =DE ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理
B
D
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①∠AOB =∠DOE ；②AB =DE ；
③OC =OF ；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵∠AOB 和∠ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB =2∠ACB 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C =∠D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C =90︒∴∠C =90︒ ∴
B
AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC 中，∵OC =OA =OB
∴△ABC 是直角三角形或∠C =90︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
B
A
O
A
11
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠C +∠BAD =180︒ ∠B +∠D =180︒ ∠DAE =∠C 九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆以上三个定理及推论也称二推一定理：
点。 心。
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA =PB PO 平分∠BPA 十一、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共如图：O 1O 2垂直平分AB 。
即：∵⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B 两点 ∴O 1O 2垂直平分AB 十二、圆内正多边形的计算
（1
） 正三角形 ：在⊙O 中△ABC 是正三角形
弦。
有关计算在Rt ∆BOD 中进行：OD
:BD :OB =2； （2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt ∆OAE 中进行，
OE :AE :OA =
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（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt ∆OAB 中进
行，
AB :OB :OA =2.
十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：l =n πR
180
；
O
l
（2）扇形面积公式： S =
n πR 2360=1
2
lR n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：积
2、圆锥侧面展开图
（1）S 表=S 侧+S 底=πRr +πr 2
（2）圆锥的体积：V =1
πr 2h 3
13
扇形面
1. 定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数. 2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h . 特别地，y 轴记作直线x =0.
14
4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛2
（-） （1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线⎪+
2a 4a 2a ⎭4a ⎝
x =-
b
. 2a
2
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h , k ) ，对称
轴是直线x =h .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点(x 1, y ) 、，则对称轴方程可以表示为：x =(x 2, y ) （及y 值相同）9. 抛物线y =ax 2+bx +c 中，a , b , c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线
2
x 1+x 2
2
x =-
b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③
a a 2a
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
（3）c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.
2
当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：
①c =0，抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴；③c
（1）一般式：y =ax +bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
2
b
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2). 12. 直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程
2
2
ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔(∆>0) ⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(∆=0) ⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(∆
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.
15
2
（4）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组
y +n y +bx +c
2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方
程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，则
AB =x 1-x 2
第七章 锐角三角函数
锐角角A 的正弦（sin ）, 余弦（cos ）和正切（tan ）, 余切（cot ）以及正割（sec ），（做角A 的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边， 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边； 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数， 2、互余角的三角函数间的关系。
sin (90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sinα, tan (90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 3、同角三角函数间的关系 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sin α=tanα·cos α cos α=cotα·sin α tan α=sinα·sec α cot α=cosα·csc α sec α=tanα·csc α csc α=secα·cot α ·倒数关系： tan α·cot α=1 sin α·csc α=1 cos α·sec α=1 直角三角形ABC 中,
角A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边, 余弦等于角A 的邻边比斜边
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余割csc ）都叫
正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 4、三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i ）锐角三角函数值都是正值 （ii ）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii ）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sin α≤1, 1≥cos α≥0, 当角度在0°0, cotα>0.
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