第 卷第 期 年 月
摩擦学学报
润滑接触中弹性变形的快速数值计算
王文中 王
慧 胡元中
清华大学摩擦学国家重点实验室 北京
摘要 研究了弹性变形的计算特点
并在简单回顾卷积算法的基础上给出了一种利用快速傅立叶变换 和离散
圆卷积计算弹性变形的方法 计算表明 通过对压力信号和影响系数 响应函数 函数 进行简单的预处理 可以获得准确的弹性变形 其计算精度和多层网格积分法相当 而计算速度则是多层网格积分法的 倍左右 是一种准确 高效的数值计算方法
关键词 影响系数 弹性变形 多层网格积分法 离散圆卷积
中图分类号 文章标识码
文章编号
弹性变形的计算对于科学研究和工程应用具有重要意义 其数值解是分析接触力学 弹性流体动力润滑和混合润滑问题的基础 传统的计算方法是 在单元网格上用多项式近似压力分布得到影响系数后 采用直接矩阵相乘法来计算弹性变形 但计算工作量
很大 等把多层网格技术引入弹性变形
点载荷
基于线弹性叠加原理 可对上式差分离散 采用
数值方法求解 线载荷
点载荷
计算后使得计算时间缩短至几个数量级内 近年来一些研究者开始把快速傅立叶变换 技术引入到接触问题中来 用快速傅立叶变换计算弹性变形可降低其计算复杂度 但是计算结果会产生周期性误
差 最近 等成功地将 应用于接触问题
中 本文在研究卷积性质和快速傅立叶变化的基础上 分析了将 技术应用于弹性接触问题时可能产生较大周期误差的原因 描述了利用 和圆卷积准确计算弹性变形所需的必要预处理 从而准确地求解弹性变形问题 同时通过实例验证了该方法的准确性 并同多层网格积法进行了比较
其中 为影响系数 定 或
义为在节点 或节点 上单位作用力在节点 或 上产生的弹性变形 如图 所示 简记为
或 影响系数只与接触体材料和网格节点间的 距离有关 从式 和 可以看出 弹性变形计算分为影响系数 的计算及多重积分和的计算 步 目前对于影响系数和最终求和有不同方法 相应的计算结果精度和计算效率不同
基本方程
一般的接触问题可归结为 个分布载荷 或 作用于 个弹性半无限体的情况 其表面的
法向变形 求得
线载荷
数值方法
影响系数
下面以点接触为例来讨论影响系数的计算 根据定义 影响系数可按下式计算
基金项目 教育部现代设计及转子轴承系统重点实验室访问学者资助项目
收稿日期 联系人王文中 修回日期 作者简介 王文中 男 年生 博士研究生 主要从事混合润滑的数值模拟和实验研究
第 期王文中等
润滑接触中弹性变形的快速数值计算
其中 点处的单元网格 如图
所示阴影 为
如果 在积分子区间也取为常数 则上式最
终简化为 称为 函数法 用该式可计算出影响系数 代价是精度较低 但是当网格较细时 也可取得满意精度 由于接触问题中 函数通常具有奇异点 在计算上式时应注意奇异点的处理
积分和
仔细研究离散方程 可以发现 这 个积分
图 影响系数
部分 为插值函数 用来近似单元网格上的压力分布 称为响应函数 在接触问题中亦称 函数 对于线接触问题
对于点接触问题
当采用等间距网格
时
只和 点之间的距离有关且存在对称性 因此影响系数的计算可只针对坐标原点进行 可进一
步简记为 则式
可简化为
式中 和 为力作用点和待求变形点间的距离的坐标分量 如图 所示
在式 中 当 取不同阶数的多项式时表示对压力不同程度的逼近 通常 取零阶 一阶 二阶多项式 对应于在单元网格上对压力的常数 线性和二次曲线近似 理论上 阶数越高 对压力的近似越准确 但所得的影响系数表达式将越复杂 当 取为零阶时 表示用常数来近似子区间上的压力分布 式 可简化为
线卷积
圆卷积
从上面两式可以看出 种卷积的区别 当 个信
号作线卷积时 信号长度可以不同 结果为 信号长度和的序列 而圆卷积要求 个信号的长度相同 如
和实际上是离散线卷积运算 因此可以采用信号处理中的频域分析方法来求解弹性变形方程 从而大幅度地提高计算效率 以下以一维线接触为例 简单回顾离散卷积及其快速算法
离散卷积及其快速算法
离散卷积分为线卷积和圆卷积 种 个长度分别为 的离散信号 和 的线性卷积记做
其定义为
即 个长度分别为 和 的信号作线卷积后 输出
结果是长度为 的序列 而 个长度为 的离散时间信号 和 的圆卷积运算可表示为 定义为
即 个长度为 的信号作圆卷积后 输出结果仍是
长度为 的序列 其中 为求 除以 后的余数运算 卷积运算也可以表示为矩阵乘的形式 例如 当 时 可表示如下
果信号长度不等 则短信号要补零至长信号的长度
结果仍是同长度的序列 种卷积机制不同 反应在矩阵 特性上 作圆卷积运算时矩阵 有循环移位性
摩擦学学报
第 卷
质 鉴于此 圆卷积存在如下离散卷积定理
即 个信号圆卷积的傅立叶变换等于 个信号分别傅立叶变换的乘积 应当指出 离散卷积定理对于线卷积并不成立 如用傅立叶变换来计算线卷积 需把线卷积转换为圆卷积 分析上面线卷积和圆卷积中出现的矩阵 和计算过程可知 若对信号 和 作补零处理 使其都变为长度为 的序列 和 然后对这 个信号作圆卷积 其结果将和原信号作线卷积的结果完全相同 这正是利用 求解弹性变形问题的关键 基于 的弹性变形计算方法
在式 中 应用 及 技术时产生了所
谓的周期误差 其原因如下 一是响应函数只在计算区域内取值 二是误将卷积定理直接应用于式 中的线卷积运算 基于上面的分析可见 在式 和
的线卷积运算中 压力信号 是长为 的序列 对应于计算区域内的网格节点 影响系数 的定义决定了其为长 的序列 对应扩展区域内的网格节点
为了将卷积定理和快速傅立叶变换应用于求解弹性变形问题 应如前所述对压力信号和影响系数序列补零 使其都变成长为 的序列 但这样将增加存储量和降低计算效率 为此只将压力信号补零成长 的序列 即和影响系数序列的长度相同 而对影响系数序列作如图 所示的重新排序处理
文
图 影响系数的预处理 计算区域 扩展区域
献 给出了相似的处理 具体步骤如下
在区域 内将压力函数 离散成长为
的序列 的序列 然后补零使其成为长
如图 所示 在扩展区域内求得影响系数序列 其中心在坐标原点 然后对其作重排序处理 将序列 的前 项 作为新序列 的后 项 而把 的后 项 作为新序列 的前 项
对序列 和 分别进行傅
立叶变换 得到新序列 和
序列 和 的对应项相乘
得序列 对 作傅立叶反变换得序列 最后令 获得待求的 计算区域内的弹性变形
实际计算表明 经过这样处理后周期误差被有效地限制在计算区域之外 从而能准确 快速地获得计算区域内的弹性变形 对于线接触问题 其计算复杂
度可由 降低至
结果与讨论
为了验证以上基于 计算弹性变形方法的正确性 表 给出几种不同压力分布下弹性变形的计算实例 同时给出了解析解以便于比较 其计算结果如图 所示 图中 为最大压力 为最大 压力 可见 在各种载荷下 无论是线接触还是
点接触 采用该方法所得结果都与解析解吻合很好 充分证明了该方法的正确性
为了显示基于 计算弹性变形方法的效率和精度 以光滑点接触 压力为例 分别采用 法和基于 的方法计算弹性变形 比较 种方法所得结果的精度和计算所用时间 为了考虑离散网格尺寸大小的影响 比较是在一组网格上进行的 所用计算机为 计算环境为
子程序直接调 库函数 表 给出了不同网格上 种方法所需的计算时间 可见
基于 的弹性变形计算方法有很高的计算速度 其计算所用时间基本上是多层网格积分法的 左
第 期王文中等
润滑接触中弹性变形的快速数值计算
表 算例
图
均匀线载荷下的弹性变形
图
三角分布线载荷下的弹性变形
图 矩形区域
上作用均布载荷下的弹性变形
图 圆域上作用 压力下的弹性变形
表 不同网格上所用计算时间
表 不同网格上的解和解析解的相对误差
摩擦学学报
第 卷
右 表 给出了 种方法所得结果相对于解析解的误差 同时给出了直接计算时的误差 用 种方法计算影响系数时都采用了 函数法 从表 的结果可见 基于 的方法和 法的精度相当 均可达到离散误差水平 理论上直接计算时的误差为离散误差 因此计算弹性变形问题时 基于 的方法具有存储量少 计算速度快 精度高以及编程简便的优点
结论
压力和响应函数 影响系 通过对输入信号
数作适当的预处理 可以利用快速傅立叶变换和离散圆卷积正确地计算相关区域内的弹性变形
针对各种网格的计算结果表明 方法与多层网格积分 法的计算精度相当 但其计算速度却是 法的 倍左右
所建立的方法思路简单 易掌握 易编程 可 直接应用信号处理中的算法和程序 参考文献
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润滑接触中弹性变形的快速数值计算
王文中 王
慧 胡元中
清华大学摩擦学国家重点实验室 北京
摘要 研究了弹性变形的计算特点
并在简单回顾卷积算法的基础上给出了一种利用快速傅立叶变换 和离散
圆卷积计算弹性变形的方法 计算表明 通过对压力信号和影响系数 响应函数 函数 进行简单的预处理 可以获得准确的弹性变形 其计算精度和多层网格积分法相当 而计算速度则是多层网格积分法的 倍左右 是一种准确 高效的数值计算方法
关键词 影响系数 弹性变形 多层网格积分法 离散圆卷积
中图分类号 文章标识码
文章编号
弹性变形的计算对于科学研究和工程应用具有重要意义 其数值解是分析接触力学 弹性流体动力润滑和混合润滑问题的基础 传统的计算方法是 在单元网格上用多项式近似压力分布得到影响系数后 采用直接矩阵相乘法来计算弹性变形 但计算工作量
很大 等把多层网格技术引入弹性变形
点载荷
基于线弹性叠加原理 可对上式差分离散 采用
数值方法求解 线载荷
点载荷
计算后使得计算时间缩短至几个数量级内 近年来一些研究者开始把快速傅立叶变换 技术引入到接触问题中来 用快速傅立叶变换计算弹性变形可降低其计算复杂度 但是计算结果会产生周期性误
差 最近 等成功地将 应用于接触问题
中 本文在研究卷积性质和快速傅立叶变化的基础上 分析了将 技术应用于弹性接触问题时可能产生较大周期误差的原因 描述了利用 和圆卷积准确计算弹性变形所需的必要预处理 从而准确地求解弹性变形问题 同时通过实例验证了该方法的准确性 并同多层网格积法进行了比较
其中 为影响系数 定 或
义为在节点 或节点 上单位作用力在节点 或 上产生的弹性变形 如图 所示 简记为
或 影响系数只与接触体材料和网格节点间的 距离有关 从式 和 可以看出 弹性变形计算分为影响系数 的计算及多重积分和的计算 步 目前对于影响系数和最终求和有不同方法 相应的计算结果精度和计算效率不同
基本方程
一般的接触问题可归结为 个分布载荷 或 作用于 个弹性半无限体的情况 其表面的
法向变形 求得
线载荷
数值方法
影响系数
下面以点接触为例来讨论影响系数的计算 根据定义 影响系数可按下式计算
基金项目 教育部现代设计及转子轴承系统重点实验室访问学者资助项目
收稿日期 联系人王文中 修回日期 作者简介 王文中 男 年生 博士研究生 主要从事混合润滑的数值模拟和实验研究
第 期王文中等
润滑接触中弹性变形的快速数值计算
其中 点处的单元网格 如图
所示阴影 为
如果 在积分子区间也取为常数 则上式最
终简化为 称为 函数法 用该式可计算出影响系数 代价是精度较低 但是当网格较细时 也可取得满意精度 由于接触问题中 函数通常具有奇异点 在计算上式时应注意奇异点的处理
积分和
仔细研究离散方程 可以发现 这 个积分
图 影响系数
部分 为插值函数 用来近似单元网格上的压力分布 称为响应函数 在接触问题中亦称 函数 对于线接触问题
对于点接触问题
当采用等间距网格
时
只和 点之间的距离有关且存在对称性 因此影响系数的计算可只针对坐标原点进行 可进一
步简记为 则式
可简化为
式中 和 为力作用点和待求变形点间的距离的坐标分量 如图 所示
在式 中 当 取不同阶数的多项式时表示对压力不同程度的逼近 通常 取零阶 一阶 二阶多项式 对应于在单元网格上对压力的常数 线性和二次曲线近似 理论上 阶数越高 对压力的近似越准确 但所得的影响系数表达式将越复杂 当 取为零阶时 表示用常数来近似子区间上的压力分布 式 可简化为
线卷积
圆卷积
从上面两式可以看出 种卷积的区别 当 个信
号作线卷积时 信号长度可以不同 结果为 信号长度和的序列 而圆卷积要求 个信号的长度相同 如
和实际上是离散线卷积运算 因此可以采用信号处理中的频域分析方法来求解弹性变形方程 从而大幅度地提高计算效率 以下以一维线接触为例 简单回顾离散卷积及其快速算法
离散卷积及其快速算法
离散卷积分为线卷积和圆卷积 种 个长度分别为 的离散信号 和 的线性卷积记做
其定义为
即 个长度分别为 和 的信号作线卷积后 输出
结果是长度为 的序列 而 个长度为 的离散时间信号 和 的圆卷积运算可表示为 定义为
即 个长度为 的信号作圆卷积后 输出结果仍是
长度为 的序列 其中 为求 除以 后的余数运算 卷积运算也可以表示为矩阵乘的形式 例如 当 时 可表示如下
果信号长度不等 则短信号要补零至长信号的长度
结果仍是同长度的序列 种卷积机制不同 反应在矩阵 特性上 作圆卷积运算时矩阵 有循环移位性
摩擦学学报
第 卷
质 鉴于此 圆卷积存在如下离散卷积定理
即 个信号圆卷积的傅立叶变换等于 个信号分别傅立叶变换的乘积 应当指出 离散卷积定理对于线卷积并不成立 如用傅立叶变换来计算线卷积 需把线卷积转换为圆卷积 分析上面线卷积和圆卷积中出现的矩阵 和计算过程可知 若对信号 和 作补零处理 使其都变为长度为 的序列 和 然后对这 个信号作圆卷积 其结果将和原信号作线卷积的结果完全相同 这正是利用 求解弹性变形问题的关键 基于 的弹性变形计算方法
在式 中 应用 及 技术时产生了所
谓的周期误差 其原因如下 一是响应函数只在计算区域内取值 二是误将卷积定理直接应用于式 中的线卷积运算 基于上面的分析可见 在式 和
的线卷积运算中 压力信号 是长为 的序列 对应于计算区域内的网格节点 影响系数 的定义决定了其为长 的序列 对应扩展区域内的网格节点
为了将卷积定理和快速傅立叶变换应用于求解弹性变形问题 应如前所述对压力信号和影响系数序列补零 使其都变成长为 的序列 但这样将增加存储量和降低计算效率 为此只将压力信号补零成长 的序列 即和影响系数序列的长度相同 而对影响系数序列作如图 所示的重新排序处理
文
图 影响系数的预处理 计算区域 扩展区域
献 给出了相似的处理 具体步骤如下
在区域 内将压力函数 离散成长为
的序列 的序列 然后补零使其成为长
如图 所示 在扩展区域内求得影响系数序列 其中心在坐标原点 然后对其作重排序处理 将序列 的前 项 作为新序列 的后 项 而把 的后 项 作为新序列 的前 项
对序列 和 分别进行傅
立叶变换 得到新序列 和
序列 和 的对应项相乘
得序列 对 作傅立叶反变换得序列 最后令 获得待求的 计算区域内的弹性变形
实际计算表明 经过这样处理后周期误差被有效地限制在计算区域之外 从而能准确 快速地获得计算区域内的弹性变形 对于线接触问题 其计算复杂
度可由 降低至
结果与讨论
为了验证以上基于 计算弹性变形方法的正确性 表 给出几种不同压力分布下弹性变形的计算实例 同时给出了解析解以便于比较 其计算结果如图 所示 图中 为最大压力 为最大 压力 可见 在各种载荷下 无论是线接触还是
点接触 采用该方法所得结果都与解析解吻合很好 充分证明了该方法的正确性
为了显示基于 计算弹性变形方法的效率和精度 以光滑点接触 压力为例 分别采用 法和基于 的方法计算弹性变形 比较 种方法所得结果的精度和计算所用时间 为了考虑离散网格尺寸大小的影响 比较是在一组网格上进行的 所用计算机为 计算环境为
子程序直接调 库函数 表 给出了不同网格上 种方法所需的计算时间 可见
基于 的弹性变形计算方法有很高的计算速度 其计算所用时间基本上是多层网格积分法的 左
第 期王文中等
润滑接触中弹性变形的快速数值计算
表 算例
图
均匀线载荷下的弹性变形
图
三角分布线载荷下的弹性变形
图 矩形区域
上作用均布载荷下的弹性变形
图 圆域上作用 压力下的弹性变形
表 不同网格上所用计算时间
表 不同网格上的解和解析解的相对误差
摩擦学学报
第 卷
右 表 给出了 种方法所得结果相对于解析解的误差 同时给出了直接计算时的误差 用 种方法计算影响系数时都采用了 函数法 从表 的结果可见 基于 的方法和 法的精度相当 均可达到离散误差水平 理论上直接计算时的误差为离散误差 因此计算弹性变形问题时 基于 的方法具有存储量少 计算速度快 精度高以及编程简便的优点
结论
压力和响应函数 影响系 通过对输入信号
数作适当的预处理 可以利用快速傅立叶变换和离散圆卷积正确地计算相关区域内的弹性变形
针对各种网格的计算结果表明 方法与多层网格积分 法的计算精度相当 但其计算速度却是 法的 倍左右
所建立的方法思路简单 易掌握 易编程 可 直接应用信号处理中的算法和程序 参考文献