平面向量测试题

2016届高三文科测试题（平面向量）

一、选择题



1. （15年福建文科）设a(1,2)，b(1,1)，cakb．若bc，则实数k的值等

于（） A．

3553

 B． C． D．

2

332

【答案】A

考点：平面向量数量积．

2. （15年江苏）已知向量a=(2,1)，b=(1,2), 若ma+nb=(9,8)(m,nR), mn的值

为______. 【答案】3 【解析】

试题分析：由题意得：2mn9,m2n8m2,n5,mn3. 考点：向量相等

3. 1（2013年高考福建卷（文））在四边形ABCD中,(1,2),(4,2),则该四边

形的面积为（ ） A．5

【答案】C

B．25 C．5 D．10

（x,1）4. (2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量ab ( ) （－x,x）

A平行于x轴 C.平行于y轴 答案 C

22

解析 ab(0,1x),由1x0及向量的性质可知,C正确.

2

B.平行于第一、三象限的角平分线

D.平行于第二、四象限的角平分线

5. （2009浙江卷文）已知向量a(1,2)，b(2,3)．若向量c满足(ca)//b，

c(ab)，则c（ ）

A．(,) B．( 答案 D

7793777777,) C．(,) D．(,)393993



解析不妨设C(m,n)，则ac1m,2n,ab(3,1)，对于ca//b，则



77

3(1m)2(2n)有；又cab，则有3mn0，则有m,n

93



【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．

6. （2009北京卷文）已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab，如果

c//d

那么

( )

A．k1且c与d同向 B．k1且c与d反向 C．k1且c与d同向 D．k1且c与d反向 答案D

解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a1,0，b0,1，若k1，则cab1,1，dab1,1， 显然，a与b不平行，排除A、B.

若k1，则cab1,1，dab1,1， 即c//d且c与d反向，排除C，故选D.

7. （2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a+ b ︱=

b ︱=

C.5 D.25

答案 C

222

解析

本题考查平面向量数量积运算和性质，由ab知（a+b）=a+b+2ab=50，

得|b|=5 选C.

8. （2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= ( )

A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 答案 B



解析 由计算可得c(4,2)3cb故选B

9. （2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )

A．ADBECF0 B．BDCFDF0 C．ADCECF0 D．BDBEFC0

答案 A

AB

C

图1



解析 ADDB,ADBEDBBEDEFC,得ADBECF0.

 或ADBECFADDFCFAFCF0.

10. （2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |

等于

（ ）

答案 B

C.4

D.12

解析 由已知|a|＝2,|a＋

2b|＝a＋4a·b＋4b＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴a2b11. （2009宁夏海南卷文）已知a3,2,b1,0，向量ab与a2b垂直，则实

数的值为 ( ) A.

222

11 B.

77

C.

1

6

D.

1 6

答案 A

解析 向量ab＝（－3－1，2），a2b＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝

1

，故7

选.A.

(ba)2，12. （2009重庆卷理）已知a1,b6,a则向量a与向量b的夹角是（ ）

A．



6

B．

 4

C．

 3

D．

 2

答案 C

解析 因为由条件得aba2,所以ab2a3abcos16cos,

2

2

1

所以cos，所以

23

二、填空题

13. （2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若



ADxAByAC，

则 x，y

 .

图2

答案 x

1

,y

22

解析 作DFAB

,设ABAC1BCDE，

DEB60

,BD

2

故x

1y2 2222



由DBF

45解得DFBF

→1→→→→

14. ★(·新课标全国卷ⅠL)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC

2

的夹角为________．

15. [2014·福建卷] 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)

16.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（）A．－＋B．－

－C．－121

212

B

C

1

2D． ＋

二、解答题

17在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

→→→→(1)若PA＋PB＋PC＝0，求|OP|；

→→→

(2)设OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

18. (2009年广东卷文)（已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中

(0,)

2

（1）求sin和cos的值

（2

）若5cos(

)5cos

，0

2

,求cos的值

vvvv

bsin2cos0,即sin2cos 解 （１）Qab,ag

又∵sin2cos1, ∴4cos2cos21,即cos2

14

,

∴sin2 55

又

(0,)sin,cos

2

(2) ∵5cos()5(coscossinsin)



2

cossin,cos

2

sin21cos2,即cos21

又 0



2

, ∴cos

2



19. （2009湖南卷文）已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2).



（1）若a//b，求tan的值； 

（2）若|a||b|,0,求的值。



解 （1） 因为a//b，所以2sincos2sin,

于是4sincos，故tan

1. 4

22

（2）由|a||b|知，sin(cos2sin)5,

2

所以12sin24sin5.

从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos2

1，

于是sin(2



4

)

9.又由0知，2，

4442

所以2



4



57

，或2. 444

3

. 4

因此



2

，或



20. 如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是

DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示DC、

、。

[解] 连结AC

=

111

AB=a,…… =AD+= b+a,…… 222

11

=-AB= b+a-a= b-a,……

221

=+=++= b-a,……

4

1

=-=a-b。……

4

21. 设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，

(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值； (2)求c在a方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.

【解析】 (1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线． 又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝2，|b|＝5，

2a·b－1

∴cos〈a，b〉＝＝.

|a||b|5210

7a·c－7

(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c在a方向上的投影为＝2.

|a|22

(3)∵c＝λ1a＋λ2b，

∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，

4λ2－λ1＝5∴，解得λ1＋3λ2＝－2



3λ＝7

2

23λ17

22. (2008年福建高考)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(3，－1)，m·n＝1，且A为锐角． (1)求角A的大小；

(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域． 【解析】 (1)由题意得m·n＝3sinA－cosA＝1，

ππ1

2sin(A＝1，sin(A－)＝.

662

πππ

由A为锐角得A－，A＝.

6631

(2)由(1)知cosA＝

2

所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx

13

＝－2(sinx－)2＋22

因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，

13

因此，当sinxf(x)有最大值，

22

当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，

3

所以所求函数f(x)的值域是[－3．

2

2016届高三文科测试题（平面向量）

一、选择题



1. （15年福建文科）设a(1,2)，b(1,1)，cakb．若bc，则实数k的值等

于（） A．

3553

 B． C． D．

2

332

【答案】A

考点：平面向量数量积．

2. （15年江苏）已知向量a=(2,1)，b=(1,2), 若ma+nb=(9,8)(m,nR), mn的值

为______. 【答案】3 【解析】

试题分析：由题意得：2mn9,m2n8m2,n5,mn3. 考点：向量相等

3. 1（2013年高考福建卷（文））在四边形ABCD中,(1,2),(4,2),则该四边

形的面积为（ ） A．5

【答案】C

B．25 C．5 D．10

（x,1）4. (2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量ab ( ) （－x,x）

A平行于x轴 C.平行于y轴 答案 C

22

解析 ab(0,1x),由1x0及向量的性质可知,C正确.

2

B.平行于第一、三象限的角平分线

D.平行于第二、四象限的角平分线

5. （2009浙江卷文）已知向量a(1,2)，b(2,3)．若向量c满足(ca)//b，

c(ab)，则c（ ）

A．(,) B．( 答案 D

7793777777,) C．(,) D．(,)393993



解析不妨设C(m,n)，则ac1m,2n,ab(3,1)，对于ca//b，则



77

3(1m)2(2n)有；又cab，则有3mn0，则有m,n

93



【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．

6. （2009北京卷文）已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab，如果

c//d

那么

( )

A．k1且c与d同向 B．k1且c与d反向 C．k1且c与d同向 D．k1且c与d反向 答案D

解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a1,0，b0,1，若k1，则cab1,1，dab1,1， 显然，a与b不平行，排除A、B.

若k1，则cab1,1，dab1,1， 即c//d且c与d反向，排除C，故选D.

7. （2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a+ b ︱=

b ︱=

C.5 D.25

答案 C

222

解析

本题考查平面向量数量积运算和性质，由ab知（a+b）=a+b+2ab=50，

得|b|=5 选C.

8. （2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= ( )

A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 答案 B



解析 由计算可得c(4,2)3cb故选B

9. （2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )

A．ADBECF0 B．BDCFDF0 C．ADCECF0 D．BDBEFC0

答案 A

AB

C

图1



解析 ADDB,ADBEDBBEDEFC,得ADBECF0.

 或ADBECFADDFCFAFCF0.

10. （2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |

等于

（ ）

答案 B

C.4

D.12

解析 由已知|a|＝2,|a＋

2b|＝a＋4a·b＋4b＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴a2b11. （2009宁夏海南卷文）已知a3,2,b1,0，向量ab与a2b垂直，则实

数的值为 ( ) A.

222

11 B.

77

C.

1

6

D.

1 6

答案 A

解析 向量ab＝（－3－1，2），a2b＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝

1

，故7

选.A.

(ba)2，12. （2009重庆卷理）已知a1,b6,a则向量a与向量b的夹角是（ ）

A．



6

B．

 4

C．

 3

D．

 2

答案 C

解析 因为由条件得aba2,所以ab2a3abcos16cos,

2

2

1

所以cos，所以

23

二、填空题

13. （2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若



ADxAByAC，

则 x，y

 .

图2

答案 x

1

,y

22

解析 作DFAB

,设ABAC1BCDE，

DEB60

,BD

2

故x

1y2 2222



由DBF

45解得DFBF

→1→→→→

14. ★(·新课标全国卷ⅠL)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC

2

的夹角为________．

15. [2014·福建卷] 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)

16.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（）A．－＋B．－

－C．－121

212

B

C

1

2D． ＋

二、解答题

17在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

→→→→(1)若PA＋PB＋PC＝0，求|OP|；

→→→

(2)设OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

18. (2009年广东卷文)（已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中

(0,)

2

（1）求sin和cos的值

（2

）若5cos(

)5cos

，0

2

,求cos的值

vvvv

bsin2cos0,即sin2cos 解 （１）Qab,ag

又∵sin2cos1, ∴4cos2cos21,即cos2

14

,

∴sin2 55

又

(0,)sin,cos

2

(2) ∵5cos()5(coscossinsin)



2

cossin,cos

2

sin21cos2,即cos21

又 0



2

, ∴cos

2



19. （2009湖南卷文）已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2).



（1）若a//b，求tan的值； 

（2）若|a||b|,0,求的值。



解 （1） 因为a//b，所以2sincos2sin,

于是4sincos，故tan

1. 4

22

（2）由|a||b|知，sin(cos2sin)5,

2

所以12sin24sin5.

从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos2

1，

于是sin(2



4

)

9.又由0知，2，

4442

所以2



4



57

，或2. 444

3

. 4

因此



2

，或



20. 如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是

DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示DC、

、。

[解] 连结AC

=

111

AB=a,…… =AD+= b+a,…… 222

11

=-AB= b+a-a= b-a,……

221

=+=++= b-a,……

4

1

=-=a-b。……

4

21. 设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，

(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值； (2)求c在a方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.

【解析】 (1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线． 又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝2，|b|＝5，

2a·b－1

∴cos〈a，b〉＝＝.

|a||b|5210

7a·c－7

(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c在a方向上的投影为＝2.

|a|22

(3)∵c＝λ1a＋λ2b，

∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，

4λ2－λ1＝5∴，解得λ1＋3λ2＝－2



3λ＝7

2

23λ17

22. (2008年福建高考)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(3，－1)，m·n＝1，且A为锐角． (1)求角A的大小；

(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域． 【解析】 (1)由题意得m·n＝3sinA－cosA＝1，

ππ1

2sin(A＝1，sin(A－)＝.

662

πππ

由A为锐角得A－，A＝.

6631

(2)由(1)知cosA＝

2

所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx

13

＝－2(sinx－)2＋22

因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，

13

因此，当sinxf(x)有最大值，

22

当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，

3

所以所求函数f(x)的值域是[－3．

2