电力系统等值参数辨识的方法研究
4.1 研究等值参数辨识的意义
目前PSS 的参数设计主要还是依赖于单机无穷大系统，但在实际系统中无穷大系统的参数难以得知，可以近似发电机升压变的高压侧或出线远端，但会带来一定误差。本项目提出了一种根据发电机机端电压和电流量的变化情况，采用非线性最小二乘方法实时辨识等值无穷大系统参数，为励磁系统的参数性能校验和参数优化打下了良好基础。
4.2 在线实时辨识单机——无穷大模型
对于同步发电机，我们可以将其外部等值为一个无穷大系统，以这样一个单机——无穷大模型为基础设计出的励磁系统及PSS 参数是可以得到令人满意的控制效果的。单机——无穷大时域仿真检验计算要求获得电力系统的等值参数，所以需要进行对电力系统等值参数辨识的方法研究。
当发电机以外系统的运行方式及结构发生变化时，将可以等值为系统电抗
X s (X s =X T +X L ) 以及母线电压V s 的变化（如图4-1），如果我们能够在线实时
辨识出这种变化，就将可以根据所辨识出的系统参数及发电机运行状态根据优化算法计算出新的最优反馈增益矩阵，以适应变化后的系统运行方式及其结构。
这样，可以在电网运行方式及结构发生变化时，实时对电力系统参数进行辨识，也就可以实现PSS 参数的实时优化。
考虑如图4-1的单机——无穷大系统：
V t
X T
X L
V s
图4-1 单机对无穷大系统模型
根据机端电压电流之间的关系有：
⎧V tq =V s cos δ+I d X s
⎨
V =V sin δ-I X s q s ⎩td
( 4-1
即
（4-1）
⎧V tq =V s q +I d X s ⎨
⎩V td =V s d -I q X s
(4- 2)
（4-2）
V tq 及定子电流I d 、I q 我们可以通过采样获得，上式中的发电机端电压V td 、
这样就有可能根据这些值通过（4-2）式的关系来辨识出 X s 及V s 。
4.3 常规线性最小二乘辨识
最小二乘法是目前应用最为广泛的一种参数估计方法，其原理清晰，形式简单，并且无需任何被估参数的概率信息，其在电力系统中的应用也非常广泛。因此，对于上一节的参数估计问题，首先我们采用了一般的线性最小二乘法。
定义损失函数如下：
L ls =∑[(V tdi -V sd +I qi X s ) 2+(V tqi -V sq -I di X s ) 2]
i =1n
通过求其偏导为零，可得：
∂L ls
=2∂X s ∂L ls
=-2∂V sd ∂L ls
=-2∂V sq
∑[(V
i =1n i =1n i =1
n
tdi
-V sd +I qi X s ) I qi +(V tqi -V sq -I di X s ) I di ]=0-V sd +I qi X s ) =0-V sq -I di X s ) =0
∑(V ∑(V
tdi
tqi
联立求解上述三个方程，最后可得
X s =
∑(V qi -V q )(I di -I d ) -∑(V di -V d )(I qi -I q )
∑(I di -I d ) 2+∑(I qi -I q ) 2
-
-
-
-
-
-
(4-3a )
V sd =V d +X s I q V sq =V q -X s I d
其中
^
-
-
^--
(4-3b ) (4-3c )
1d =
n q =
1n 1n
I di d =∑V tdi ∑n i =1i =1 n
1n
I qi q =∑V tqi ∑n i =1i =1
n
这样，由（4-3）式，就可以根据V td 、V tq 及I d 、I q 的采样值实时辨识出X s
及V s 。为了验证这一辨识公式是否有效，我们对以下两种系统参数及运行状态的变化进行了辨识：
①无穷大母线电压上升10% ②切除一条线路，单回线运行
辨识结果表4-2所示。
表4-2 线性最小二乘法辨识结果
由表4-2可以看出，辨识结果并不理想，之后我们进行了多次尝试，但辨识结果始终不能令人满意。因此下面采用递推最小二乘法做进一步的分析。改写（4-2）式可得：
⎡V td ⎤⎡01-I q ⎤
⎢V ⎥=⎢⎥⎣tq ⎦⎣10I d ⎦
⎡V sq ⎤⎢V ⎥⎢sd ⎥⎢⎣X s ⎥⎦
(4-4)
令Y =[V td
V tq ]T
θ=[V sq V sd X s ]T
⎡01-I q ⎤
H =⎢⎥
⎣10I d ⎦
则递推最小二乘法计算公式如下：
θ(k +1) =θ(k ) +K (k +1)[Y (k +1) -H (k +1) θ(k )]
K (k +1) =P (k ) ⋅H (k +1) T [I +H (k +1) ⋅P (k ) ⋅H (k +1) T ]-1
^^^
(4-5)
(4-6)
P (k +1) =[1-K (k +1) ⋅H (k +1)]⋅P (k ) (4-7)
为了验证递推最小二乘辨识是否有效，我们同样选取了以下两种情况进行辨
识：
①切除一条线路，单回线运行
②无穷大母线电压上升10% 辨识结果如表4-3所示。
表4-3 递推最小二乘法辨识结果
由表4-3可以看出，在某些情况下辨识误差依旧较大。综合以上分析过程可知，尽管我们所采用的成批最小二乘辨识及递推最小二乘辨识均能较好的收敛，但在某些情况下其收敛值与真值之间存在较大误差。对此，我们分析原因可能有两点：一是最小二乘辨识本身所具有的多值性使得收敛不唯一，二是由于上述最小二乘辨识法均是基于（4-2）式这一线性模型来进行，由于线性模型的自由度通常会比较大，使得最小二乘辨识的多值性问题更加突出。根据这种分析，我们提出了一种建立在非线性模型之上的最小二乘辨识，获得了比较理想的辨识结果。
4.4 非线性最小二乘辨识的研究与效果验证
4.4.1 非线性最小二乘辨识的研究
对（4-2）式可作如下变形，移项可得:
⎧⎪V sq =V tq -I d X s
⎨
⎪⎩V sd =V td +I q X s
将上两式两边平方后相加，整理后可得：
V td 2+V tq 2+(I q 2+I d 2) X s 2+2(V td I q -V tq I d ) X s =V s 2
因为
Q =-V td I q +V tq I d
所以
22
V t 2=V td +V tq 22
I 2=I d +I q
V t 2+I 2X s 2-2QX s -V s 2=0
(4-8)
定义损失函数
L ls =∑(V ti 2+I i 2X s 2-2Q i X s -V s 2) 2
i =1n
对L ls 求一次偏导，并令其为零有，
n
⎧∂L ls 22222
⎪∂X =2∑(V ti +I i X s -2Q i X s -V s )(2I i X s -2Q i ) =0
i =1⎪s
⎨n
⎪∂L ls =2(V 2+I 2X 2-2Q X -V 2)(-1) =0
∑ti i s i s s 2
⎪∂V i =1⎩s
(4-9)
由（4-9）式的第二式可得
∑V ti 2+X s 2∑I i 2-2X s ∑Q i -nV s 2=0
记
Q =
112122
Q I =I V =∑i ∑i ∑V t i t
n n n
则有：
V s 2=V t 2+X s 2I 2-2X s Q
(4-10)
综合 (4-9) 式及（4-10）式可得：
∑(V
i =1
n
2
ti
+I i 2X s 2-2Q i X s -V t 2-X s 2I 2+2X s Q )(I i 2X s -Q i ) =0
2
2
2
2
2
2
记 ∆V ti =V ti -V t , ∆I i =I i -I i ，∆Q i =Q i -Q i ，则上式变为
∑(∆V
i =1
n
2
ti
I i 2X s +∆I i 2-2∆Q i X s )(I i 2X s -Q i ) =0
展开并合并同类项，最后可得到一个关于X s 的三阶代数方程组：
其中
AX s 3+BX s 2+CX s +D =0
(4-11)
A =∑∆I i ⋅I i B =∑(2∆Q i I i 2+∆I i 2Q i )
2
2
i =1
i =1
n n
C =∑(∆V ti I i +2Q i ∆Q i )
22
D =-∑Q i ∆V ti
2
对于（4-11）式所示的三次代数方程组，有如下标准求解公式，首先作变形得到：
X s +aX s +bX s +c =0
3
2
这里a =B A ，b =C A ，c =D A
令X =y -a /3，则上式可化为如下简化形式：
y 3+py +q =0 (4-12 )
其中
a 2a ab
p =-+b q =23) -+c
333
方程（4-12）的根为：
y 1=E +F
y 2, 3=-
(4-13) E +F ±2其中
E =
F =Q =(p /3) 3+(q /2) 2
显然a 、b 、c 均为实数，则上述三次代数方程的根有三种情况： ①当Q >0时，有一个实根和两个共轭复根 ②当Q =0时，有三个实根，其中至少有两个相等 ③当Q
从这一参数估计问题的物理意义可以知道，我们所需要的真实解只能是一个
唯一的实数。这样，对于根的情况①，可以判断该实根就是真实解；对于根的情况②、③，这时有两个或三个不同的实根，则很显然，它们之中只能有一个是真实解，下面将讨论如何判断出哪一个解是真实解。
我们知道，辨识过程是在系统中出现扰动时被启动，由非线性最小二乘法根据输入输出数据对系统进行成批辨识，这样在出现扰动后成批辨识的连续几个区间段中，都将形成一个形如（4-11）式的代数方程，只是系数有所不同。
考虑不同时间段的两个方程
A 1X s +B 1X s +C 1X s +D 1=0 A 2X s +B 2X s +C 2X s +D 2=0
3
2
3
2
假设它们均有三个实根，根据辨识问题的物理意义可知，在正确辨识的前提下，两个方程各自的三个实根中的真实解必然是一致的，这样，对于系数不同的这两个方程来说，另外的两个干扰解一般就会发生偏移，根据我们对数据的分析结果也可以证明这一点，对上述两个不同的方程可画出如图4-2所示的根曲线，图中，曲线与横轴的交点即为方程的根。从图中可以看出，两个方程各自的三个实根中只有一个是固定不变的，而其它两个都发生了相对的漂移，这一固定不变的实根就是我们所要求的真实解。这样，我们就可以通过连续几个时间段的所解得的方程的根判断出哪一个解是真实解。
下面将对上述非线性最小二乘法进行验证，我们选取了以下几种系统结构及
图4-2 三次代数方程的根曲线
运行工况发生变化的情况进行了辨识：
①无穷大母线电压上升10%； ②切除一条线路，单回路运行； ③机端三相对地短路，0.1秒后切除。 辨识结果如表4-4所示。
表4-4 非线性最小二乘法的辨识结果
从表中可以看出，非线性最小二乘辨识的精度相当令人满意，由此，我们就可以随时跟踪系统运行状态的变化，实时辨识出当前正确的系统参数，从而构建出与系统运行工况同步的单机——无穷大模型。
4.4.2 非线性最小二乘辨识在发电机采用派克模型下的验证
以上的辨识均是基于发电机的简化三阶模型，未考虑电阻的作用，因此辨识结果会与真实系统中的值有一定偏差，为了实现更精确的辨识，我们在（4-2）式中考虑了电阻的影响，并在发电机采用派克模型的仿真系统中对非线性最小二乘法的有效性进行了验证。
对于（4-2）式，当考虑电阻时变为：
⎧V tq =V sq +I d X s +I d R s
(4-14) ⎨
V =V -I X +I R sd q s q s ⎩td
依照上 节所述的变形方法，并考虑到
⎧⎪P =V td I d +V tq I q
⎨
Q =-V I +V I ⎪td q tq d ⎩
则由式（4-14）可得，
V t +I 2X s +I 2X s -2PR s -2QX s -V s =0
2
2
2
2
(4-15)
定义损失函数为
22
J =∑(V ti 2+I i 2R s 2+I i 2X s 2-2PR i s -2Q i X s -V s )
v =1n
由
⎛∂J
=0 ∂R s ∂J
=0
∂X s ∂J ∂V 2=0
s ⎝
可以导出以下非线性方程组：
⎧AR s 3+AR s X s 2+B 1R s 2+C 1X s 2+D 1X s R s +E 1R s +F 1X s +G 1=0⎨3222
⎩AX s +AX 3R s +B 2X s +B 2R s +D 2X s R s +E 2X s +F 2X s +G 2=0
(4-16)
式中，
A =∑∆I i 2I i 2
i =1n
B 1=-∑(2∆P i ⋅I i 2+P i ⋅∆I i 2) B 2=-∑(2∆Q i I i 2+Q i ∆I i 2)
i =1
n
C 1=-∑P i ⋅∆I i 2 C 2=-∑Q i ⋅∆I i 2 D 1=-2∑∆Q i I i 2 D 2=-2∑∆P i I i 2
E 1=∑(∆V ti 2⋅I i 2+2∆P i ⋅P i ) E 2=∑(∆V i 2⋅I i 2+2∆Q i ⋅Q i ) F 1=2∑P i ⋅∆Q i F 2=2∑Q i ⋅∆P i G 1=-∑P i ⋅∆V ti 2 G 2=-∑Q i ⋅∆V ti 2
这一非线性方程组可用牛顿迭代法求解，我们知道，牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值。如果初值选择不当，算法可能不收敛或收敛到一个不正确的解点上。
在上节中，我们已经正确辨识出了不考虑电阻条件下的X s 值，可以认为，该值与考虑电阻条件下的X s 值相差不大，因此用它作为初值应该是可以获得满
意的收敛效果的，同时R s 一般是比较小的，所以选其初值选为0.05。
在发电机采用派克模型的仿真系统中，我们验证了上述考虑电阻的非线性最小二乘法，这里同样选取了以下几种系统结构及运行工况发生变化的情况进行了辨识：
①机端电压上升10%； ②切除一条线路，单回路运行； ③机端三相对地短路，0.1秒后切除。 辨识结果如表4-5所示。
表4-5 考虑电阻条件下非线性最小二乘法的辨识结果
从表中可以看出，考虑电阻后的辨识精度依旧是令人满意的。 4.4.3 考虑干扰情况下非线性最小二乘辨识验证
我们知道，在实际的电力系统中必然是会存在很多的干扰的，这些干扰将会对辨识的准确程度产生影响，严重时会导致产生错误的辨识结果。为了验证前面所提出的非线性最小二乘法是否能正常工作于实际的系统当中，我们对采样所获得的输入输出数据加入了七阶最大长度伪随机二位式系列（PRBS ），当然，从理论上讲，白噪声是比较理想的，但白噪声的产生比较困难，而PRBS 在一定的频带内的频率含量非常丰富，具有与白噪声类似的一些性质，并且很容易产生。
下面将对存在干扰条件下的非线性最小二乘法进行验证，我们对输入输出数据加入了干扰幅度为 0. 1%的二位式伪随机系列（PRBS ），在发电机采用七阶模型的仿真系统中选取了以下几种系统结构及运行工况发生变化的情况进行了辨识：
①切除一条线路，单回路运行；
②机端三相对地短路，0.1秒后切除。
辨识结果如表4-6所示。
表4-6 考虑干扰条件下非线性最小二乘法的辨识结果
由表4-6可以看出，在加入干扰的情况，非线性最小二乘法依旧能够获得比较理想的辨识结果。
本项目提出并研究验证了通过非线性最小二乘法可以随时跟踪系统运行状态的变化，实时辨识出当前系统的等值参数，从而构建出与系统运行工况相对应的单机——无穷大模型。
电力系统等值参数辨识的方法研究
4.1 研究等值参数辨识的意义
目前PSS 的参数设计主要还是依赖于单机无穷大系统，但在实际系统中无穷大系统的参数难以得知，可以近似发电机升压变的高压侧或出线远端，但会带来一定误差。本项目提出了一种根据发电机机端电压和电流量的变化情况，采用非线性最小二乘方法实时辨识等值无穷大系统参数，为励磁系统的参数性能校验和参数优化打下了良好基础。
4.2 在线实时辨识单机——无穷大模型
对于同步发电机，我们可以将其外部等值为一个无穷大系统，以这样一个单机——无穷大模型为基础设计出的励磁系统及PSS 参数是可以得到令人满意的控制效果的。单机——无穷大时域仿真检验计算要求获得电力系统的等值参数，所以需要进行对电力系统等值参数辨识的方法研究。
当发电机以外系统的运行方式及结构发生变化时，将可以等值为系统电抗
X s (X s =X T +X L ) 以及母线电压V s 的变化（如图4-1），如果我们能够在线实时
辨识出这种变化，就将可以根据所辨识出的系统参数及发电机运行状态根据优化算法计算出新的最优反馈增益矩阵，以适应变化后的系统运行方式及其结构。
这样，可以在电网运行方式及结构发生变化时，实时对电力系统参数进行辨识，也就可以实现PSS 参数的实时优化。
考虑如图4-1的单机——无穷大系统：
V t
X T
X L
V s
图4-1 单机对无穷大系统模型
根据机端电压电流之间的关系有：
⎧V tq =V s cos δ+I d X s
⎨
V =V sin δ-I X s q s ⎩td
( 4-1
即
（4-1）
⎧V tq =V s q +I d X s ⎨
⎩V td =V s d -I q X s
(4- 2)
（4-2）
V tq 及定子电流I d 、I q 我们可以通过采样获得，上式中的发电机端电压V td 、
这样就有可能根据这些值通过（4-2）式的关系来辨识出 X s 及V s 。
4.3 常规线性最小二乘辨识
最小二乘法是目前应用最为广泛的一种参数估计方法，其原理清晰，形式简单，并且无需任何被估参数的概率信息，其在电力系统中的应用也非常广泛。因此，对于上一节的参数估计问题，首先我们采用了一般的线性最小二乘法。
定义损失函数如下：
L ls =∑[(V tdi -V sd +I qi X s ) 2+(V tqi -V sq -I di X s ) 2]
i =1n
通过求其偏导为零，可得：
∂L ls
=2∂X s ∂L ls
=-2∂V sd ∂L ls
=-2∂V sq
∑[(V
i =1n i =1n i =1
n
tdi
-V sd +I qi X s ) I qi +(V tqi -V sq -I di X s ) I di ]=0-V sd +I qi X s ) =0-V sq -I di X s ) =0
∑(V ∑(V
tdi
tqi
联立求解上述三个方程，最后可得
X s =
∑(V qi -V q )(I di -I d ) -∑(V di -V d )(I qi -I q )
∑(I di -I d ) 2+∑(I qi -I q ) 2
-
-
-
-
-
-
(4-3a )
V sd =V d +X s I q V sq =V q -X s I d
其中
^
-
-
^--
(4-3b ) (4-3c )
1d =
n q =
1n 1n
I di d =∑V tdi ∑n i =1i =1 n
1n
I qi q =∑V tqi ∑n i =1i =1
n
这样，由（4-3）式，就可以根据V td 、V tq 及I d 、I q 的采样值实时辨识出X s
及V s 。为了验证这一辨识公式是否有效，我们对以下两种系统参数及运行状态的变化进行了辨识：
①无穷大母线电压上升10% ②切除一条线路，单回线运行
辨识结果表4-2所示。
表4-2 线性最小二乘法辨识结果
由表4-2可以看出，辨识结果并不理想，之后我们进行了多次尝试，但辨识结果始终不能令人满意。因此下面采用递推最小二乘法做进一步的分析。改写（4-2）式可得：
⎡V td ⎤⎡01-I q ⎤
⎢V ⎥=⎢⎥⎣tq ⎦⎣10I d ⎦
⎡V sq ⎤⎢V ⎥⎢sd ⎥⎢⎣X s ⎥⎦
(4-4)
令Y =[V td
V tq ]T
θ=[V sq V sd X s ]T
⎡01-I q ⎤
H =⎢⎥
⎣10I d ⎦
则递推最小二乘法计算公式如下：
θ(k +1) =θ(k ) +K (k +1)[Y (k +1) -H (k +1) θ(k )]
K (k +1) =P (k ) ⋅H (k +1) T [I +H (k +1) ⋅P (k ) ⋅H (k +1) T ]-1
^^^
(4-5)
(4-6)
P (k +1) =[1-K (k +1) ⋅H (k +1)]⋅P (k ) (4-7)
为了验证递推最小二乘辨识是否有效，我们同样选取了以下两种情况进行辨
识：
①切除一条线路，单回线运行
②无穷大母线电压上升10% 辨识结果如表4-3所示。
表4-3 递推最小二乘法辨识结果
由表4-3可以看出，在某些情况下辨识误差依旧较大。综合以上分析过程可知，尽管我们所采用的成批最小二乘辨识及递推最小二乘辨识均能较好的收敛，但在某些情况下其收敛值与真值之间存在较大误差。对此，我们分析原因可能有两点：一是最小二乘辨识本身所具有的多值性使得收敛不唯一，二是由于上述最小二乘辨识法均是基于（4-2）式这一线性模型来进行，由于线性模型的自由度通常会比较大，使得最小二乘辨识的多值性问题更加突出。根据这种分析，我们提出了一种建立在非线性模型之上的最小二乘辨识，获得了比较理想的辨识结果。
4.4 非线性最小二乘辨识的研究与效果验证
4.4.1 非线性最小二乘辨识的研究
对（4-2）式可作如下变形，移项可得:
⎧⎪V sq =V tq -I d X s
⎨
⎪⎩V sd =V td +I q X s
将上两式两边平方后相加，整理后可得：
V td 2+V tq 2+(I q 2+I d 2) X s 2+2(V td I q -V tq I d ) X s =V s 2
因为
Q =-V td I q +V tq I d
所以
22
V t 2=V td +V tq 22
I 2=I d +I q
V t 2+I 2X s 2-2QX s -V s 2=0
(4-8)
定义损失函数
L ls =∑(V ti 2+I i 2X s 2-2Q i X s -V s 2) 2
i =1n
对L ls 求一次偏导，并令其为零有，
n
⎧∂L ls 22222
⎪∂X =2∑(V ti +I i X s -2Q i X s -V s )(2I i X s -2Q i ) =0
i =1⎪s
⎨n
⎪∂L ls =2(V 2+I 2X 2-2Q X -V 2)(-1) =0
∑ti i s i s s 2
⎪∂V i =1⎩s
(4-9)
由（4-9）式的第二式可得
∑V ti 2+X s 2∑I i 2-2X s ∑Q i -nV s 2=0
记
Q =
112122
Q I =I V =∑i ∑i ∑V t i t
n n n
则有：
V s 2=V t 2+X s 2I 2-2X s Q
(4-10)
综合 (4-9) 式及（4-10）式可得：
∑(V
i =1
n
2
ti
+I i 2X s 2-2Q i X s -V t 2-X s 2I 2+2X s Q )(I i 2X s -Q i ) =0
2
2
2
2
2
2
记 ∆V ti =V ti -V t , ∆I i =I i -I i ，∆Q i =Q i -Q i ，则上式变为
∑(∆V
i =1
n
2
ti
I i 2X s +∆I i 2-2∆Q i X s )(I i 2X s -Q i ) =0
展开并合并同类项，最后可得到一个关于X s 的三阶代数方程组：
其中
AX s 3+BX s 2+CX s +D =0
(4-11)
A =∑∆I i ⋅I i B =∑(2∆Q i I i 2+∆I i 2Q i )
2
2
i =1
i =1
n n
C =∑(∆V ti I i +2Q i ∆Q i )
22
D =-∑Q i ∆V ti
2
对于（4-11）式所示的三次代数方程组，有如下标准求解公式，首先作变形得到：
X s +aX s +bX s +c =0
3
2
这里a =B A ，b =C A ，c =D A
令X =y -a /3，则上式可化为如下简化形式：
y 3+py +q =0 (4-12 )
其中
a 2a ab
p =-+b q =23) -+c
333
方程（4-12）的根为：
y 1=E +F
y 2, 3=-
(4-13) E +F ±2其中
E =
F =Q =(p /3) 3+(q /2) 2
显然a 、b 、c 均为实数，则上述三次代数方程的根有三种情况： ①当Q >0时，有一个实根和两个共轭复根 ②当Q =0时，有三个实根，其中至少有两个相等 ③当Q
从这一参数估计问题的物理意义可以知道，我们所需要的真实解只能是一个
唯一的实数。这样，对于根的情况①，可以判断该实根就是真实解；对于根的情况②、③，这时有两个或三个不同的实根，则很显然，它们之中只能有一个是真实解，下面将讨论如何判断出哪一个解是真实解。
我们知道，辨识过程是在系统中出现扰动时被启动，由非线性最小二乘法根据输入输出数据对系统进行成批辨识，这样在出现扰动后成批辨识的连续几个区间段中，都将形成一个形如（4-11）式的代数方程，只是系数有所不同。
考虑不同时间段的两个方程
A 1X s +B 1X s +C 1X s +D 1=0 A 2X s +B 2X s +C 2X s +D 2=0
3
2
3
2
假设它们均有三个实根，根据辨识问题的物理意义可知，在正确辨识的前提下，两个方程各自的三个实根中的真实解必然是一致的，这样，对于系数不同的这两个方程来说，另外的两个干扰解一般就会发生偏移，根据我们对数据的分析结果也可以证明这一点，对上述两个不同的方程可画出如图4-2所示的根曲线，图中，曲线与横轴的交点即为方程的根。从图中可以看出，两个方程各自的三个实根中只有一个是固定不变的，而其它两个都发生了相对的漂移，这一固定不变的实根就是我们所要求的真实解。这样，我们就可以通过连续几个时间段的所解得的方程的根判断出哪一个解是真实解。
下面将对上述非线性最小二乘法进行验证，我们选取了以下几种系统结构及
图4-2 三次代数方程的根曲线
运行工况发生变化的情况进行了辨识：
①无穷大母线电压上升10%； ②切除一条线路，单回路运行； ③机端三相对地短路，0.1秒后切除。 辨识结果如表4-4所示。
表4-4 非线性最小二乘法的辨识结果
从表中可以看出，非线性最小二乘辨识的精度相当令人满意，由此，我们就可以随时跟踪系统运行状态的变化，实时辨识出当前正确的系统参数，从而构建出与系统运行工况同步的单机——无穷大模型。
4.4.2 非线性最小二乘辨识在发电机采用派克模型下的验证
以上的辨识均是基于发电机的简化三阶模型，未考虑电阻的作用，因此辨识结果会与真实系统中的值有一定偏差，为了实现更精确的辨识，我们在（4-2）式中考虑了电阻的影响，并在发电机采用派克模型的仿真系统中对非线性最小二乘法的有效性进行了验证。
对于（4-2）式，当考虑电阻时变为：
⎧V tq =V sq +I d X s +I d R s
(4-14) ⎨
V =V -I X +I R sd q s q s ⎩td
依照上 节所述的变形方法，并考虑到
⎧⎪P =V td I d +V tq I q
⎨
Q =-V I +V I ⎪td q tq d ⎩
则由式（4-14）可得，
V t +I 2X s +I 2X s -2PR s -2QX s -V s =0
2
2
2
2
(4-15)
定义损失函数为
22
J =∑(V ti 2+I i 2R s 2+I i 2X s 2-2PR i s -2Q i X s -V s )
v =1n
由
⎛∂J
=0 ∂R s ∂J
=0
∂X s ∂J ∂V 2=0
s ⎝
可以导出以下非线性方程组：
⎧AR s 3+AR s X s 2+B 1R s 2+C 1X s 2+D 1X s R s +E 1R s +F 1X s +G 1=0⎨3222
⎩AX s +AX 3R s +B 2X s +B 2R s +D 2X s R s +E 2X s +F 2X s +G 2=0
(4-16)
式中，
A =∑∆I i 2I i 2
i =1n
B 1=-∑(2∆P i ⋅I i 2+P i ⋅∆I i 2) B 2=-∑(2∆Q i I i 2+Q i ∆I i 2)
i =1
n
C 1=-∑P i ⋅∆I i 2 C 2=-∑Q i ⋅∆I i 2 D 1=-2∑∆Q i I i 2 D 2=-2∑∆P i I i 2
E 1=∑(∆V ti 2⋅I i 2+2∆P i ⋅P i ) E 2=∑(∆V i 2⋅I i 2+2∆Q i ⋅Q i ) F 1=2∑P i ⋅∆Q i F 2=2∑Q i ⋅∆P i G 1=-∑P i ⋅∆V ti 2 G 2=-∑Q i ⋅∆V ti 2
这一非线性方程组可用牛顿迭代法求解，我们知道，牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值。如果初值选择不当，算法可能不收敛或收敛到一个不正确的解点上。
在上节中，我们已经正确辨识出了不考虑电阻条件下的X s 值，可以认为，该值与考虑电阻条件下的X s 值相差不大，因此用它作为初值应该是可以获得满
意的收敛效果的，同时R s 一般是比较小的，所以选其初值选为0.05。
在发电机采用派克模型的仿真系统中，我们验证了上述考虑电阻的非线性最小二乘法，这里同样选取了以下几种系统结构及运行工况发生变化的情况进行了辨识：
①机端电压上升10%； ②切除一条线路，单回路运行； ③机端三相对地短路，0.1秒后切除。 辨识结果如表4-5所示。
表4-5 考虑电阻条件下非线性最小二乘法的辨识结果
从表中可以看出，考虑电阻后的辨识精度依旧是令人满意的。 4.4.3 考虑干扰情况下非线性最小二乘辨识验证
我们知道，在实际的电力系统中必然是会存在很多的干扰的，这些干扰将会对辨识的准确程度产生影响，严重时会导致产生错误的辨识结果。为了验证前面所提出的非线性最小二乘法是否能正常工作于实际的系统当中，我们对采样所获得的输入输出数据加入了七阶最大长度伪随机二位式系列（PRBS ），当然，从理论上讲，白噪声是比较理想的，但白噪声的产生比较困难，而PRBS 在一定的频带内的频率含量非常丰富，具有与白噪声类似的一些性质，并且很容易产生。
下面将对存在干扰条件下的非线性最小二乘法进行验证，我们对输入输出数据加入了干扰幅度为 0. 1%的二位式伪随机系列（PRBS ），在发电机采用七阶模型的仿真系统中选取了以下几种系统结构及运行工况发生变化的情况进行了辨识：
①切除一条线路，单回路运行；
②机端三相对地短路，0.1秒后切除。
辨识结果如表4-6所示。
表4-6 考虑干扰条件下非线性最小二乘法的辨识结果
由表4-6可以看出，在加入干扰的情况，非线性最小二乘法依旧能够获得比较理想的辨识结果。
本项目提出并研究验证了通过非线性最小二乘法可以随时跟踪系统运行状态的变化，实时辨识出当前系统的等值参数，从而构建出与系统运行工况相对应的单机——无穷大模型。