空间几何体的三视图和直观图
1．2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
预习课本P11～14，思考并完成以下问题
[新知初探]
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
[点睛] 平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．
3．三视图
[点睛] 三视图中的每种视图都是正投影．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的平行投影是直线( ) (2)圆柱的正视图与侧视图一定相同( ) (3)
球的正视图、侧视图、俯视图都相同( ) 答案：(1)× (2)×
(3)√
2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( ) A ．棱柱 C ．圆柱
B ．棱台 D ．圆台
解析：选D 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A 、B ，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C ，故选D.
3．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )
解析：选D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．
[典例] 下列命题中正确的是( )
A ．矩形的平行投影一定是矩形
B ．平行投影与中心投影的投影线均互相平行 C ．两条相交直线的投影可能平行
D ．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点
[解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A 不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B 不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C 不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D 正确．
[答案] D
[活学活用]
如图所示，点O 为正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号) ．
解析：在下底面ABCD 上的投影为③，在右侧面B ′BCC ′上的投影为②，在后侧面D ′DCC ′上的投影为①.
答案：①②③
[典例] 画出如图所示的正四棱锥的三视图． [解] 正四棱锥的三视图如图所示．
1．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，如图所示，则其三视图为( )
解析：选A 其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中棱CC 1可见，为实线，只有A 符合．
2．画出如图所示的物体的三视图．
解：三视图如图所示．
[典例]
[解]
由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．
若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：选B 由题意知，A 和C 中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D 中所给几何体的侧视图不符合要求；由侧视图可判断该几何体的直观图是B. 故选B.
[典例] 如图1BD 折起，形成三棱锥C -ABD ，其正视图与俯视图如图2所示，则侧视图的面积为( )
1
4
B.
212 C. 422
[解析] 由正视图可以看出，A 点在面BCD 上的投影为BD 的中点，由俯视图可以看出C 点在面ABD 上的投影为BD 的中点，所以其侧视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边为
[答案] A
21221
×＝. 22224
[活学活用]
已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) ．．．
A ．1 C.
2－1
2
B. 2 D.
2＋1
2
解析：选C 由正方体的俯视图是面积为1的正方形可知正方体的正视图的面积范围属于[1，2 ]，故选C.
层级一 学业水平达标
1．已知△ABC ，选定的投影面与△ABC 所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角
形与△ABC ( )
A ．全等 C ．不相似
B ．相似
D ．以上都不正确
解析：选B 根据中心投影的概念和性质可知，经过中心投影后所得的三角形与△ABC 相似．
2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是( )
解析：选D 由三视图知D 正确．
3．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
解析：选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
4．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是( )
解析：选D 满足选项A 的有三棱锥，满足选项B 的有球，满足选项C 的有正方体，故选D.
5．一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )
解析：选A 由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面．正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B 错；侧视图中的线应是虚线，故C 错；俯视图中的线应是实线，故D 错．
6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号) ．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．
答案：①②③⑤
7. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离) 和底面边长分别是________和________．
解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4.
答案：2 4
8. 如图所示，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是A ′A ，C ′C 的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)
①四边形BFD ′E 在面ABCD 内的正投影是正方形； ②四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的正投影是菱形；
③四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的正投影与在面ABB ′A ′内的投影是全等的平行四边形．
解析：①四边形BFD ′E 的四个顶点在面ABCD 内的投影分别是点B ，C ，D ，A ，所以正投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE ＝1，取D ′D 的中点G ，连接AG ，则四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的正投影是四边形AGD ′E ，由AE ∥D ′G ，且AE ＝D ′G ，知四边形AGD ′E 是平行四边形，但AE ＝1，D ′E 5，所以四边形AGD ′E 不是菱形，即②不正确．对于③，由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而③正确．
答案：①③
9．画出如图所示的三棱柱的三视图．
解：三棱柱的三视图如图所示：
10．如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正．
解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：
层级二 应试能力达标
1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(
)
A ．球的三视图总是三个全等的圆 B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C ．正四面体的三视图都是正三角形 D ．圆台的俯视图是一个圆
解析：选A 正视方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，B 错误；C ，D 显然错误，故选A.
2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
解析：选C 由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样，可知C 不可能是该锥体的俯视图，故选C.
3. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图(如图所示) 的面积为8，则侧视图的面积为( )
A ．8 C ．43
B ．4 D ．3
解析：选C 设该三棱柱的侧棱长为a ，则2a ＝8，所以a ＝4. 该三棱柱的侧视图是一个矩形，一边长为4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，为3，所以侧视图的面积为43. 故选C.
4. 一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )
A ．2 3
B ．22 D ．3
解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体A -BCD ，由三视图知正方体的棱长为2.
1
所以S △ABD ＝×2×2＝2，
213
S △ADC 22×22×＝23，
221
S △ABC ＝×2×22＝
2
，
2
1S △BCD 2×2＝2. 2
所以所求的最大面积为23. 故选D.
5. 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1
内一动点，则三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．
解析：三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图为等底等高的三角形，故它
们的面积相等，面积比值为1.
答案：1
6. 已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2 cm的正方形，则这个正
四面体的正视图的面积为______cm2.
解析：构造一个棱长为2 cm 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，在此正方体中作出
一个符合题意的正四面体A -B 1CD 1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为22 cm ，高为2 cm的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2 cm 2.
答案：2
7．如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x ，y 的值．
解：由题意，可知
x ＝， y ＝. {x ＋y －4＝10， x －y ＋6＝4y ， 解得⎨33⎩⎧3210
8．图为长方体木块堆成的几何体的三视图，求组成此几何体的长方体木块共有多少块？
解：由正视图可知有两列，由侧视图可知有两排，再结合俯视图可得，几
何体共分两层，下面一层有3块，上面一层有1
块．如图所示，其中小长方形
中的数字表示此位置木块的块数，所以长方体木块共有2＋1＋1＝4(块) ．
1.2.3 空间几何体的直观图
预习课本P16～18，思考并完成以下问题
[新知初探]
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴， 两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°) ，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，x ′轴或y ′轴的线段．
(3)
已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半．
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z ′轴，z ′轴过点O ′，且与x ′轴的夹角为90°，与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可) ，连线成图．
(3)
[点睛] (1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°) ．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变
( )
答案：(1)× (2)×
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．
3. 已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________．
解析：由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.
1∴S △ABC ＝×6×3＝9. 2
答案：9
[典例] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直
于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示．
1(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝OD ，过点D ′作x ′轴2
的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC . 连接B ′C ′，如图②.
(3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图．如图③.
画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定) ．
解：(1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy ，再建立坐标系x ′O ′y ′，其中∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)描点．如图②，在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，O ′B ′＝OB ，在y 轴上截取O ′D ′1＝，过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且D ′C ′＝DC . 2
(3)连线．连接B ′C ′，A ′D ′.
(4)成图．如图③，四边形A ′B ′C ′D ′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD 的直观图．
[典例]
[解] (1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴相交于点O ，使∠xOy ＝
45°，∠xOz ＝90°.
(2)画下底面．以O 为线段中点，在x 轴上取线段AB ，使AB ＝2，
在y 轴上取线段OC ，使OC ＝
的下底面的直观图．
(3)画上底面．在z 轴上取OO ′，使OO ′＝2，过点O ′作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy ，建立坐标系x ′O ′y ′. 在x ′O ′y ′中，类似步骤(2)的画
法得上底面的直观图△A ′B ′C ′.
(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，去掉辅助线，将被遮住的部分
画成虚线，则三棱台ABC -A ′B ′C ′即为要求画的正三棱台的直观图． 3连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台2
[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中相应高度，过O ′作Ox
的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出上底面A ′B ′C ′D ′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz 上截取点
P
，使
PO ′
等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA ′，PB ′，PC ′，PD ′，A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.
[典例] 如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图
A ′B ′C ′D ′，则原四边形ABCD 的面积是( )
A ．14
C ．28 B ．2 D ．2
[解析] ∵A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′≠C ′D ′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A ′D ′＝4，
1∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S ＝×(2＋2
5) ×8＝28.
[答案] C
已知△ABC 是正三角形，且它的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )
32a 462a 8B. D. 32 862a 16 解析：选D 由于S △ABC ＝
所以S △A ′B ′C ′S △A ′B ′C ′322，且， 44S △ABC 2236S △ABC ×a 2＝2. 44416
层级一 学业水平达标
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 轴画成对应的O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，则∠x ′O ′y ′与∠x ′O ′z ′的度数分别为( )
A ．90°，90°
C ．135°，90° B ．45°，90° D ．45°或135°，90°
解析：选D 根据斜二测画法的规则，∠x ′O ′y ′的度数应为45°或135°，∠x ′O ′z ′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则圆柱的高应画成( )
A ．平行于z ′轴且大小为10 cm
B ．平行于z ′轴且大小为5 cm
C ．与z ′轴成45°且大小为10 cm
D ．与z ′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A 平行于z 轴(或在z 轴上) 的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )
解析：选C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C 项．
4. 如右图所示的水平放置的三角形的直观图，D ′是△A ′B ′C ′中
B ′C ′边的中点，且A ′D ′平行于y ′轴，那么A ′B ′，A ′D ′，A ′C ′
三条线段对应原图形中线段AB ，AD ，AC 中( )
A ．最长的是AB ，最短的是AC
B ．最长的是AC ，最短的是AB
C ．最长的是AB ，最短的是AD
D ．最长的是AD ，最短的是AC
解析：选C 因为A ′D ′∥y ′轴，所以在△ABC 中，AD ⊥BC ，又因为D ′是B ′C ′的中点，所以D 是BC 中点，所以AB ＝AC >AD .
5．水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
C ．钝角三角形 B ．直角三角形 D ．任意三角形
解析：选C 将△A ′B ′C ′还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形．
6. 水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B
的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′
轴的距离为________．
解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E ⊥x ′轴于点E ，
在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝
B ′C ′sin 45°＝2×
2
7. 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，
其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝3，B ′C ′∥x ′轴，则原平面图形的面积
为
________． 22. 2
解析：在直观图中，设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′，则易得O ′D ′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为6×2＝362.
答案：2
8. 在直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm，则在
坐标系xOy 中原四边形OABC 为________(填形状) ，面积为
________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm，OC ＝4 cm ，所以四边形OABC 的面积S ＝2×4＝8(cm2) ．
答案：矩形 8
9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中相应的长度，过点O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，类似底面⊙O 的作法作出上底面⊙O ′.
(3)画圆锥的顶点．在O ′z 上截取O ′P ，使O ′P 等于三视图中O ′P 的长度．
(4)成图．连接PA ′，PB ′，A ′A ，B ′B ，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.
10. 如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm，它是水平放置的一
个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长
与面积．
解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′＝1 cm；
在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝22 cm ；
在过点B 的x 轴的平行线上取
BC ＝B ′C ′＝1 cm.
连接O ，A ，B ，C 各点，即得到了原图形．
由作法可知，OABC 为平行四边形，
OC ＝OB ＋BC 8＋1＝3 cm，
∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1) ×2＝8 cm，面积为S ＝1×22＝22 cm 2.
层级二 应试能力达标
1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D ．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
2. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB 边平行于y
轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为22 cm 2，则原平
面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )
A ．4 cm2
C ．8 cm2 B ．42 cm 2 D ．2 cm 2
解析：选C 依题意，可知∠BAD ＝45°，则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形，上、下底边分别为B ′C ′，A ′D ′，且长度分别与BC ，AD 相等，高为A ′B ′，且长度为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
3．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )
12 22
C ．1＋2 B ．12 2D ．22
解析：选D 平面图形是上底长为1，下底长为1＋2，高为2的直角梯形．计算得面积为22.
4. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′
＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( ) A. 73 2B. 73
C ．5 5D. 2
解析：选A 由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB 73，AB 边上的中线长度为73故选A. 2
5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
解析：该矩形的面积为S ＝5×4＝20(cm2) ，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S ′＝
答案：2
6. 如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，点B ′
在x ′轴上，A ′O ′与x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB
上的高为________．
解析：设△AOB 的边OB 上的高为h ，由直观图中边O ′B ′与原图形中边OB 的长度
11相等，及S 原图＝2S 直观图，得OB ×h ＝22××A ′O ′×O ′B ′，则h ＝2. 故△AOB 22
的边OB 上的高为42. 答案：42
7. 如图所示，△ABC 中，AC ＝12 cm ，边AC 上的高BD ＝12 cm ，求其水
平放置的直观图的面积．
解：法一：画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作
1△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm，B ′D ′＝＝6 cm， 2
故△A ′B ′C ′的高为
×12×32＝2(cm2) ， 即水平放置的直观图的面积为2 cm 2.
11法二：△ABC 的面积为·BD ＝12×12＝72(cm2) ，由平面图22
形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 的水平放置的直观图的面积是182(cm2) ．
8．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：
cm) ． ×72＝421B ′D ′＝32 cm ，所以S △A ′B ′C ′＝222＝2(cm2) ． 4
解：画法：
(1)建系：如图①，画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画底：在x 轴上取线段OB ＝8 cm ，在y 轴上取线段OA ′＝2 cm ，以OB 和OA ′为邻边作平行四边形OBB ′A ′.
(3)定点：在z 轴上取线段OC ＝4 cm，过C 分别作x 轴，y 轴的平行线，并在平行线上分别截取CD ＝4 cm，CC ′＝2 cm.以CD 和CC ′为邻边作平行四边形CDD ′C ′.
(4)成图：连接A ′C ′，BD ，B ′D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线) ，就得到该几何体的直观图(如图②) ．
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空间几何体的三视图和直观图
1．2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
预习课本P11～14，思考并完成以下问题
[新知初探]
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
[点睛] 平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．
3．三视图
[点睛] 三视图中的每种视图都是正投影．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的平行投影是直线( ) (2)圆柱的正视图与侧视图一定相同( ) (3)
球的正视图、侧视图、俯视图都相同( ) 答案：(1)× (2)×
(3)√
2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( ) A ．棱柱 C ．圆柱
B ．棱台 D ．圆台
解析：选D 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A 、B ，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C ，故选D.
3．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )
解析：选D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．
[典例] 下列命题中正确的是( )
A ．矩形的平行投影一定是矩形
B ．平行投影与中心投影的投影线均互相平行 C ．两条相交直线的投影可能平行
D ．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点
[解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A 不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B 不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C 不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D 正确．
[答案] D
[活学活用]
如图所示，点O 为正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号) ．
解析：在下底面ABCD 上的投影为③，在右侧面B ′BCC ′上的投影为②，在后侧面D ′DCC ′上的投影为①.
答案：①②③
[典例] 画出如图所示的正四棱锥的三视图． [解] 正四棱锥的三视图如图所示．
1．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，如图所示，则其三视图为( )
解析：选A 其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中棱CC 1可见，为实线，只有A 符合．
2．画出如图所示的物体的三视图．
解：三视图如图所示．
[典例]
[解]
由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．
若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：选B 由题意知，A 和C 中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D 中所给几何体的侧视图不符合要求；由侧视图可判断该几何体的直观图是B. 故选B.
[典例] 如图1BD 折起，形成三棱锥C -ABD ，其正视图与俯视图如图2所示，则侧视图的面积为( )
1
4
B.
212 C. 422
[解析] 由正视图可以看出，A 点在面BCD 上的投影为BD 的中点，由俯视图可以看出C 点在面ABD 上的投影为BD 的中点，所以其侧视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边为
[答案] A
21221
×＝. 22224
[活学活用]
已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) ．．．
A ．1 C.
2－1
2
B. 2 D.
2＋1
2
解析：选C 由正方体的俯视图是面积为1的正方形可知正方体的正视图的面积范围属于[1，2 ]，故选C.
层级一 学业水平达标
1．已知△ABC ，选定的投影面与△ABC 所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角
形与△ABC ( )
A ．全等 C ．不相似
B ．相似
D ．以上都不正确
解析：选B 根据中心投影的概念和性质可知，经过中心投影后所得的三角形与△ABC 相似．
2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是( )
解析：选D 由三视图知D 正确．
3．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
解析：选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
4．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是( )
解析：选D 满足选项A 的有三棱锥，满足选项B 的有球，满足选项C 的有正方体，故选D.
5．一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )
解析：选A 由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面．正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B 错；侧视图中的线应是虚线，故C 错；俯视图中的线应是实线，故D 错．
6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号) ．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．
答案：①②③⑤
7. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离) 和底面边长分别是________和________．
解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4.
答案：2 4
8. 如图所示，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是A ′A ，C ′C 的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)
①四边形BFD ′E 在面ABCD 内的正投影是正方形； ②四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的正投影是菱形；
③四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的正投影与在面ABB ′A ′内的投影是全等的平行四边形．
解析：①四边形BFD ′E 的四个顶点在面ABCD 内的投影分别是点B ，C ，D ，A ，所以正投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE ＝1，取D ′D 的中点G ，连接AG ，则四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的正投影是四边形AGD ′E ，由AE ∥D ′G ，且AE ＝D ′G ，知四边形AGD ′E 是平行四边形，但AE ＝1，D ′E 5，所以四边形AGD ′E 不是菱形，即②不正确．对于③，由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而③正确．
答案：①③
9．画出如图所示的三棱柱的三视图．
解：三棱柱的三视图如图所示：
10．如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正．
解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：
层级二 应试能力达标
1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(
)
A ．球的三视图总是三个全等的圆 B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C ．正四面体的三视图都是正三角形 D ．圆台的俯视图是一个圆
解析：选A 正视方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，B 错误；C ，D 显然错误，故选A.
2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
解析：选C 由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样，可知C 不可能是该锥体的俯视图，故选C.
3. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图(如图所示) 的面积为8，则侧视图的面积为( )
A ．8 C ．43
B ．4 D ．3
解析：选C 设该三棱柱的侧棱长为a ，则2a ＝8，所以a ＝4. 该三棱柱的侧视图是一个矩形，一边长为4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，为3，所以侧视图的面积为43. 故选C.
4. 一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )
A ．2 3
B ．22 D ．3
解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体A -BCD ，由三视图知正方体的棱长为2.
1
所以S △ABD ＝×2×2＝2，
213
S △ADC 22×22×＝23，
221
S △ABC ＝×2×22＝
2
，
2
1S △BCD 2×2＝2. 2
所以所求的最大面积为23. 故选D.
5. 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1
内一动点，则三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．
解析：三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图为等底等高的三角形，故它
们的面积相等，面积比值为1.
答案：1
6. 已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2 cm的正方形，则这个正
四面体的正视图的面积为______cm2.
解析：构造一个棱长为2 cm 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，在此正方体中作出
一个符合题意的正四面体A -B 1CD 1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为22 cm ，高为2 cm的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2 cm 2.
答案：2
7．如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x ，y 的值．
解：由题意，可知
x ＝， y ＝. {x ＋y －4＝10， x －y ＋6＝4y ， 解得⎨33⎩⎧3210
8．图为长方体木块堆成的几何体的三视图，求组成此几何体的长方体木块共有多少块？
解：由正视图可知有两列，由侧视图可知有两排，再结合俯视图可得，几
何体共分两层，下面一层有3块，上面一层有1
块．如图所示，其中小长方形
中的数字表示此位置木块的块数，所以长方体木块共有2＋1＋1＝4(块) ．
1.2.3 空间几何体的直观图
预习课本P16～18，思考并完成以下问题
[新知初探]
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴， 两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°) ，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，x ′轴或y ′轴的线段．
(3)
已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半．
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z ′轴，z ′轴过点O ′，且与x ′轴的夹角为90°，与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可) ，连线成图．
(3)
[点睛] (1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°) ．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变
( )
答案：(1)× (2)×
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．
3. 已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________．
解析：由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.
1∴S △ABC ＝×6×3＝9. 2
答案：9
[典例] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直
于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示．
1(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝OD ，过点D ′作x ′轴2
的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC . 连接B ′C ′，如图②.
(3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图．如图③.
画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定) ．
解：(1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy ，再建立坐标系x ′O ′y ′，其中∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)描点．如图②，在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，O ′B ′＝OB ，在y 轴上截取O ′D ′1＝，过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且D ′C ′＝DC . 2
(3)连线．连接B ′C ′，A ′D ′.
(4)成图．如图③，四边形A ′B ′C ′D ′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD 的直观图．
[典例]
[解] (1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴相交于点O ，使∠xOy ＝
45°，∠xOz ＝90°.
(2)画下底面．以O 为线段中点，在x 轴上取线段AB ，使AB ＝2，
在y 轴上取线段OC ，使OC ＝
的下底面的直观图．
(3)画上底面．在z 轴上取OO ′，使OO ′＝2，过点O ′作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy ，建立坐标系x ′O ′y ′. 在x ′O ′y ′中，类似步骤(2)的画
法得上底面的直观图△A ′B ′C ′.
(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，去掉辅助线，将被遮住的部分
画成虚线，则三棱台ABC -A ′B ′C ′即为要求画的正三棱台的直观图． 3连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台2
[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中相应高度，过O ′作Ox
的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出上底面A ′B ′C ′D ′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz 上截取点
P
，使
PO ′
等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA ′，PB ′，PC ′，PD ′，A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.
[典例] 如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图
A ′B ′C ′D ′，则原四边形ABCD 的面积是( )
A ．14
C ．28 B ．2 D ．2
[解析] ∵A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′≠C ′D ′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A ′D ′＝4，
1∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S ＝×(2＋2
5) ×8＝28.
[答案] C
已知△ABC 是正三角形，且它的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )
32a 462a 8B. D. 32 862a 16 解析：选D 由于S △ABC ＝
所以S △A ′B ′C ′S △A ′B ′C ′322，且， 44S △ABC 2236S △ABC ×a 2＝2. 44416
层级一 学业水平达标
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 轴画成对应的O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，则∠x ′O ′y ′与∠x ′O ′z ′的度数分别为( )
A ．90°，90°
C ．135°，90° B ．45°，90° D ．45°或135°，90°
解析：选D 根据斜二测画法的规则，∠x ′O ′y ′的度数应为45°或135°，∠x ′O ′z ′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则圆柱的高应画成( )
A ．平行于z ′轴且大小为10 cm
B ．平行于z ′轴且大小为5 cm
C ．与z ′轴成45°且大小为10 cm
D ．与z ′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A 平行于z 轴(或在z 轴上) 的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )
解析：选C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C 项．
4. 如右图所示的水平放置的三角形的直观图，D ′是△A ′B ′C ′中
B ′C ′边的中点，且A ′D ′平行于y ′轴，那么A ′B ′，A ′D ′，A ′C ′
三条线段对应原图形中线段AB ，AD ，AC 中( )
A ．最长的是AB ，最短的是AC
B ．最长的是AC ，最短的是AB
C ．最长的是AB ，最短的是AD
D ．最长的是AD ，最短的是AC
解析：选C 因为A ′D ′∥y ′轴，所以在△ABC 中，AD ⊥BC ，又因为D ′是B ′C ′的中点，所以D 是BC 中点，所以AB ＝AC >AD .
5．水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
C ．钝角三角形 B ．直角三角形 D ．任意三角形
解析：选C 将△A ′B ′C ′还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形．
6. 水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B
的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′
轴的距离为________．
解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E ⊥x ′轴于点E ，
在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝
B ′C ′sin 45°＝2×
2
7. 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，
其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝3，B ′C ′∥x ′轴，则原平面图形的面积
为
________． 22. 2
解析：在直观图中，设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′，则易得O ′D ′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为6×2＝362.
答案：2
8. 在直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm，则在
坐标系xOy 中原四边形OABC 为________(填形状) ，面积为
________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm，OC ＝4 cm ，所以四边形OABC 的面积S ＝2×4＝8(cm2) ．
答案：矩形 8
9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中相应的长度，过点O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，类似底面⊙O 的作法作出上底面⊙O ′.
(3)画圆锥的顶点．在O ′z 上截取O ′P ，使O ′P 等于三视图中O ′P 的长度．
(4)成图．连接PA ′，PB ′，A ′A ，B ′B ，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.
10. 如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm，它是水平放置的一
个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长
与面积．
解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′＝1 cm；
在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝22 cm ；
在过点B 的x 轴的平行线上取
BC ＝B ′C ′＝1 cm.
连接O ，A ，B ，C 各点，即得到了原图形．
由作法可知，OABC 为平行四边形，
OC ＝OB ＋BC 8＋1＝3 cm，
∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1) ×2＝8 cm，面积为S ＝1×22＝22 cm 2.
层级二 应试能力达标
1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D ．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
2. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB 边平行于y
轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为22 cm 2，则原平
面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )
A ．4 cm2
C ．8 cm2 B ．42 cm 2 D ．2 cm 2
解析：选C 依题意，可知∠BAD ＝45°，则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形，上、下底边分别为B ′C ′，A ′D ′，且长度分别与BC ，AD 相等，高为A ′B ′，且长度为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
3．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )
12 22
C ．1＋2 B ．12 2D ．22
解析：选D 平面图形是上底长为1，下底长为1＋2，高为2的直角梯形．计算得面积为22.
4. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′
＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( ) A. 73 2B. 73
C ．5 5D. 2
解析：选A 由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB 73，AB 边上的中线长度为73故选A. 2
5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
解析：该矩形的面积为S ＝5×4＝20(cm2) ，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S ′＝
答案：2
6. 如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，点B ′
在x ′轴上，A ′O ′与x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB
上的高为________．
解析：设△AOB 的边OB 上的高为h ，由直观图中边O ′B ′与原图形中边OB 的长度
11相等，及S 原图＝2S 直观图，得OB ×h ＝22××A ′O ′×O ′B ′，则h ＝2. 故△AOB 22
的边OB 上的高为42. 答案：42
7. 如图所示，△ABC 中，AC ＝12 cm ，边AC 上的高BD ＝12 cm ，求其水
平放置的直观图的面积．
解：法一：画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作
1△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm，B ′D ′＝＝6 cm， 2
故△A ′B ′C ′的高为
×12×32＝2(cm2) ， 即水平放置的直观图的面积为2 cm 2.
11法二：△ABC 的面积为·BD ＝12×12＝72(cm2) ，由平面图22
形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 的水平放置的直观图的面积是182(cm2) ．
8．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：
cm) ． ×72＝421B ′D ′＝32 cm ，所以S △A ′B ′C ′＝222＝2(cm2) ． 4
解：画法：
(1)建系：如图①，画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画底：在x 轴上取线段OB ＝8 cm ，在y 轴上取线段OA ′＝2 cm ，以OB 和OA ′为邻边作平行四边形OBB ′A ′.
(3)定点：在z 轴上取线段OC ＝4 cm，过C 分别作x 轴，y 轴的平行线，并在平行线上分别截取CD ＝4 cm，CC ′＝2 cm.以CD 和CC ′为邻边作平行四边形CDD ′C ′.
(4)成图：连接A ′C ′，BD ，B ′D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线) ，就得到该几何体的直观图(如图②) ．
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