类型一 参数方程和普通方程的互化
⎧
(1)已知曲线C 的参数方程为⎨⎛t ＋1⎫y ＝3⎩⎝t ⎭x ＝t －通方程． 1，t (t 为参数，t ＞0) ，求曲线C 的普
12112⎛解：因为x t －，所以x ＝t －＝t ＋－2，① t t ⎭⎝t
11y t ＋且t ＞0，则t ② 又y ＝3⎛⎝t t 3
y 由①②可得x 2＝－2. 3
故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.
陕西) 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数， 则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方(2)(2013·
程为____________．
π解：设P 点坐标为(x ，y ) ，圆与x 轴交于点O (0，0) ，A (1，0) ，当θ≠0时，在Rt △OP A 2
中，|OA |＝1，|OP |＝cos θ，作PQ ⊥OA 于Q ，
2⎧⎪x ＝cos θ，⎧x ＝|OP |cos θ＝cos θπ∴⎨(θ为参数) ，当θ＝0，时，方程适合．故填⎨ (θ2⎪y ＝sin θcos θ⎩⎩y ＝|OP |sin θ＝sin θcos θ2
为参数) ．(注意倾斜角θ的范围)
【评析】(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程组的代入消元的技巧消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③利用参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法整体代入消去参数，但将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t ) 和g (t ) 的值域，即x 和y 的取值范围．(2)由普通方程选定参数求参数方程，充分展示了建立参数方程的过程，要求把握圆的性质和点的坐标的意义，会利用直角三角形建立角与坐标间的关系，要注意参数的取值范围前后保持一致．
⎧x ＝t ，广东) 在平面直角坐标系xOy 中， (2012·曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎨⎩y ＝t
⎧x ＝2cos θ，(t 为参数) 和⎨ (θ为参数) ，则曲线C 1与C 2的交点坐标为______________． ⎩y ＝2sin θ
⎧⎪x ＝1，222解：曲线C 1的普通方程为x ＝y (x ≥0，y ≥0) ，C 2的普通方程为x ＋y ＝2，联立得⎨ ⎪y ＝1. ⎩
则曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1) ．故填(1，1) ．
类型一 参数方程和普通方程的互化
⎧
(1)已知曲线C 的参数方程为⎨⎛t ＋1⎫y ＝3⎩⎝t ⎭x ＝t －通方程． 1，t (t 为参数，t ＞0) ，求曲线C 的普
12112⎛解：因为x t －，所以x ＝t －＝t ＋－2，① t t ⎭⎝t
11y t ＋且t ＞0，则t ② 又y ＝3⎛⎝t t 3
y 由①②可得x 2＝－2. 3
故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.
陕西) 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数， 则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方(2)(2013·
程为____________．
π解：设P 点坐标为(x ，y ) ，圆与x 轴交于点O (0，0) ，A (1，0) ，当θ≠0时，在Rt △OP A 2
中，|OA |＝1，|OP |＝cos θ，作PQ ⊥OA 于Q ，
2⎧⎪x ＝cos θ，⎧x ＝|OP |cos θ＝cos θπ∴⎨(θ为参数) ，当θ＝0，时，方程适合．故填⎨ (θ2⎪y ＝sin θcos θ⎩⎩y ＝|OP |sin θ＝sin θcos θ2
为参数) ．(注意倾斜角θ的范围)
【评析】(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程组的代入消元的技巧消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③利用参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法整体代入消去参数，但将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t ) 和g (t ) 的值域，即x 和y 的取值范围．(2)由普通方程选定参数求参数方程，充分展示了建立参数方程的过程，要求把握圆的性质和点的坐标的意义，会利用直角三角形建立角与坐标间的关系，要注意参数的取值范围前后保持一致．
⎧x ＝t ，广东) 在平面直角坐标系xOy 中， (2012·曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎨⎩y ＝t
⎧x ＝2cos θ，(t 为参数) 和⎨ (θ为参数) ，则曲线C 1与C 2的交点坐标为______________． ⎩y ＝2sin θ
⎧⎪x ＝1，222解：曲线C 1的普通方程为x ＝y (x ≥0，y ≥0) ，C 2的普通方程为x ＋y ＝2，联立得⎨ ⎪y ＝1. ⎩
则曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1) ．故填(1，1) ．