分式方程知识点归纳总结[1]

分式方程知识点归纳总结

1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

A

B

叫做分式。

1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可

含字母可不含字母。

2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零

2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的

值不变。 AAC

A

AC用式子表示 B B  C B B  C 其中A、B、C为整式

（C0）

注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或

分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式

1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，

不改变分式的值。

2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，

不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，

它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。

5. 条件分式求值

1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，

并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。

11a3a4

abb

例：已知 b ，则求 2 a  2 b  7 b

2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。

abc3a2b5例：若 2c

3 4 ，则求 abc

6. 分式的运算：

1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 abcdacacadad

bd;bdbcbc

an(nab)b

n3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算

5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再

加减

ababacadccc,bdbdbcbd

adbc

bd

7. 整数指数幂.

1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a01(a0)；

2） 任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即 an

1

an

（a0) (b)n(a)nab

注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即

3） 科学计数法：把一个数表示为a×10n (1≤∣a∣＜10,n为整数)的形式，称为科学计数法。

注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a×10n 的形式，n为正整数； （2）绝对值小于1的数可以表示为a×10-n的形式，n为正整数.

（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1

（4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)

4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：amanamn； （2）幂的乘方：(am)namn; （3）积的乘方：(ab)nanbn；

（4）同底数的幂的除法：amanamn( a≠0)；

5）商的乘方：(an

（b)nab

n()；(b≠0)

8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：

（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。

2）分式方程的解法：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式

方程；(4)验根．

注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 3）烈分式方程解实际问题

（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意

从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

（2）应用题基本类型；

a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．

d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．

分式方程知识点归纳总结

1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

A

B

叫做分式。

1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可

含字母可不含字母。

2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零

2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的

值不变。 AAC

A

AC用式子表示 B B  C B B  C 其中A、B、C为整式

（C0）

注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或

分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式

1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，

不改变分式的值。

2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，

不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，

它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。

5. 条件分式求值

1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，

并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。

11a3a4

abb

例：已知 b ，则求 2 a  2 b  7 b

2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。

abc3a2b5例：若 2c

3 4 ，则求 abc

6. 分式的运算：

1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 abcdacacadad

bd;bdbcbc

an(nab)b

n3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算

5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再

加减

ababacadccc,bdbdbcbd

adbc

bd

7. 整数指数幂.

1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a01(a0)；

2） 任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即 an

1

an

（a0) (b)n(a)nab

注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即

3） 科学计数法：把一个数表示为a×10n (1≤∣a∣＜10,n为整数)的形式，称为科学计数法。

注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a×10n 的形式，n为正整数； （2）绝对值小于1的数可以表示为a×10-n的形式，n为正整数.

（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1

（4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)

4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：amanamn； （2）幂的乘方：(am)namn; （3）积的乘方：(ab)nanbn；

（4）同底数的幂的除法：amanamn( a≠0)；

5）商的乘方：(an

（b)nab

n()；(b≠0)

8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：

（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。

2）分式方程的解法：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式

方程；(4)验根．

注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 3）烈分式方程解实际问题

（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意

从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

（2）应用题基本类型；

a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．

d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．