备战NOIP的基本要素--基本算法

备战NOIP 的基本要素——基本算法

一、数论算法 1．求两数的最大公约数 function gcd(a,b:integer):integer; begin if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd (b,a mod b); end ; 2．求两数的最小公倍数 function lcm(a,b:integer):integer; begin if a0 do inc(lcm,a); end; 3．素数的求法 A. 小范围内判断一个数是否为质数： function prime (n: integer): Boolean; var I: integer; begin for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do if n mod I=0 then begin prime:=false; exit; end; prime:=true; end; B. 判断longint 范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）： procedure getprime; var i,j:longint; p:array[1..50000] of boolean; begin fillchar(p,sizeof(p),true); p[1]:=false; i:=2; while i=x then break else if x mod pr=0 then exit;

end;{prime}

二、图论算法 1．最小生成树 A.Prim 算法： procedure prim(v0:integer); var lowcost,closest:array[1..maxn] of integer; i,j,k,min:integer; begin for i:=1 to n do begin lowcost:=cost[v0,i]; closest:=v0; end; for i:=1 to n-1 do begin {寻找离生成树最近的未加入顶点k} min:=maxlongint; for j:=1 to n do if (lowcost[j]0) then begin min:=lowcost[j]; k:=j; end; lowcost[k]:=0; {将顶点k 加入生成树} {生成树中增加一条新的边k 到closest[k]} {修正各点的lowcost 和closest 值} for j:=1 to n do if cost[k,j]

按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。 function find(v:integer):integer; {返回顶点v 所在的集合} var i:integer; begin i:=1; while (i0 do begin i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2); if ij then begin inc(tot,e[q].len); vset:=vset+vset[j];vset[j]:=[]; dec(p); end; inc(q); end;

end; 2. 最短路径 A. 标号法求解单源点最短路径： var a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; b:array[1..maxn] of integer; {b指顶点i 到源点的最短路径} mark:array[1..maxn] of boolean; procedure bhf; var best,best_j:integer; begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点} repeat best:=0; for i:=1 to n do If mark then {对每一个已计算出最短路径的点} for j:=1 to n do if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then if (best=0) or (b+a[i,j]0 then begin b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true; end; until best=0; end;{bhf} B.Floyed 算法求解所有顶点对之间的最短路径： procedure floyed; begin for I:=1 to n do for j:=1 to n do if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I 到j 的最短路径上j 的前驱结点} for k:=1 to n do {枚举中间结点} for i:=1 to n do for j:=1 to n do if a[i,k]+a[j,k]0 then pre:=v0 else pre:=0; end; mark[v0]:=true; repeat {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数} min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点} for i:=1 to n do if (not mark) and (d

if u0 then begin mark:=true; for i:=1 to n do if (not mark) and (a[u,i]+d

几个定义： 顶点1为源点，n 为汇点。 a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0; b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n); c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I 由表示，则Ee[I] = Ve[j]; d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I 由表示，则El[I] = Vl[k] – w[j,k];

若 Ee[j] = El[j] ，则活动j 为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。

求解方法： a. 从源点起topsort, 判断是否有回路并计算Ve; b. 从汇点起topsort, 求Vl; c. 算Ee 和 El; 6．拓扑排序

找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。

例 寻找一数列，其中任意连续p 项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO. 7. 回路问题 Euler 回路(DFS)

定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点） Hamilton 回路

定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。

一笔画

充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。 9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法 x[I],y[I],t[I]分别表示第I 条边的起点，终点和权。共n 个结点和m 条边。 procedure bellman-ford

for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive; d[0]:=0; for I:=1 to n-1 do for j:=1 to m do {枚举每一条边} if d[x[j]]+t[j]

三、背包问题 *部分背包问题可有贪心法求解：计算Pi/Wi 数据结构： w:第i 个背包的重量； p:第i 个背包的价值； 1．0-1背包： 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次) ： A. 求最多可放入的重量。 NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数，o ≤v ≤20000) ，同时有n 个物品(o≤n ≤30) ，每个物品有一个体积 (正整数) 。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。 l 搜索方法 procedure search(k,v:integer); {搜索第k 个物品，剩余空间为v} var i,j:integer; begin if v=best then exit; {s[n]为前n 个物品的重量和} if kw[k] then search(k+1,v-w[k]); search(k+1,v); end; end; l DP F[I,j]为前i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为j 的标志，为布尔型。

实现:将最优化问题转化为判定性问题 f [I, j] = f [ i-1, j-w ] (w[I]

优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。 F[0]:=true; For I:=1 to n do begin F1:=f; For j:=w[I] to v do If f[j-w[I]] then f1[j]:=true; F:=f1; End; B. 求可以放入的最大价值。 F[I,j] 为容量为I 时取前j 个背包所能获得的最大价值。 F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] } C. 求恰好装满的情况数。 DP: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then

a:=c; end; 2．可重复背包 A 求最多可放入的重量。 F[I,j]为前i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为j 的标志，为布尔型。

状态转移方程为 f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I]) B. 求可以放入的最大价值。 USACO 1.2 Score Inflation

进行一次竞赛，总时间T 固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti （解答此题所需的时间）和一个si （解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T 以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。 *易想到： f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0

其中f[i,j]表示容量为i 时取前j 种背包所能达到的最大值。 *实现： Begin FillChar(f,SizeOf(f),0); For i:=1 To M Do For j:=1 To N Do If i-problem[j].time>=0 Then Begin t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time]; If t>f Then f:=t; End; Writeln(f[M]); End. C. 求恰好装满的情况数。 Ahoi2001 Problem2

求自然数n 本质不同的质数和的表达式的数目。

思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。 procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin cal; {此过程计算当前系数的计算结果，now 为结果} if now>n then exit; {剪枝} if dep=l+1 then begin {生成所有系数} cal; if now=n then inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div pr[dep] do begin xs[dep]:=i; try(dep+1); xs[dep]:=0; end; end;

思路二，递归搜索效率较高 procedure try(dep,rest:integer); var i,j,x:integer; begin if (rest

USACO1.2 money system V 个物品，背包容量为n ，求放法总数。

转移方程： Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k

四、排序算法 1. 快速排序： procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid:integer; begin i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数} repeat while amid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数} if ij; if l

思路：当前a[1]..a[i-1]已排好序了，现要插入a 使a[1]..a有序。 procedure insert_sort; var i,j:integer; begin for i:=2 to n do begin a[0]:=a; j:=i-1; while a[0]

procedure sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a>a[j] then swap(a,a[j]); end; D. 冒泡排序 procedure bubble_sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=n downto i+1 do if a[j]r) or (a

if pr then begin q:=(p+r-1) div 2; merge_sort (a,p,q); merge_sort (a,q+1,r); merge (a,p,q,r); end; end; {main} begin merge_sort(a,1,n); end. G. 基数排序

思想：对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序

五、高精度计算

高精度数的定义： type hp=array[1..maxlen] of integer; 1．高精度加法 procedure plus ( a,b:hp; var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,a+b); if c>10 then begin dec(c,10); inc(c[i+1]); end; {进位} end; if c[len+1]>0 then inc(len); c[0]:=len; end;{plus} 2．高精度减法 procedure substract(a,b:hp;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,a-b); if c1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 3．高精度乘以低精度 procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,a*b); inc(c[i+1],(a*b) div 10); c:=c mod 10; end; inc(len); while (c[len]>=10) do begin {处理最高位的进位} c[len+1]:=c[len] div 10; c[len]:=c[len] mod 10; inc(len); end;

c[0]:=len; end;{multiply} 4．高精度乘以高精度 procedure high_multiply(a,b:hp; var c:hp} var i,j,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); for i:=1 to a[0] do for j:=1 to b[0] do begin inc(c[i+j-1],a*b[j]); inc(c[i+j],c[i+j-1] div 10); c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10; end; len:=a[0]+b[0]+1; while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 5．高精度除以低精度 procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d:longint); {c:=a div b; d:= a mod b} var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; d:=0; for i:=len downto 1 do begin d:=d*10+a; c:=d div b; d:=d mod b; end; while (len>1) and (c[len]=0) then dec(len); c[0]:=len; end; 6．高精度除以高精度 procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); fillchar(d,sizeof(d),0); len:=a[0];d[0]:=1; for i:=len downto 1 do begin multiply(d,10,d); d[1]:=a; while(compare(d,b)>=0) do {即d>=b} begin Subtract(d,b,d); inc(c); end; end; while(len>1)and(c.s[len]=0) do dec(len); c.len:=len; end;

六、 树的遍历 1．已知前序中序求后序 procedure Solve(pre,mid:string); var i:integer; begin if (pre='') or (mid='') then exit;

solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1)); solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i)); post:=post+pre[1]; {加上根，递归结束后post 即为后序遍历} end; 2．已知中序后序求前序 procedure Solve(mid,post:string); var i:integer; begin if (mid='') or (post='') then exit; i:=pos(post[length(post)],mid); pre:=pre+post[length(post)]; {加上根，递归结束后pre 即为前序遍历} solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1)); solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i)); end; 3．已知前序后序求中序的一种 function ok(s1,s2:string):boolean; var i,l:integer; p:boolean; begin ok:=true; l:=length(s1); for i:=1 to l do begin p:=false; for j:=1 to l do if s1=s2[j] then p:=true; if not p then begin ok:=false;exit;end; end; end; procedure solve(pre,post:string); var i:integer; begin if (pre='') or (post='') then exit; i:=0; repeat inc(i); until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); midstr:=midstr+pre[1]; solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1)); end;

七 进制转换 1任意正整数进制间的互化

除n 取余 2实数任意正整数进制间的互化

乘n 取整 3负数进制： 设计一个程序，读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数，并将此十进制数转换为此负 进制下的数：-R ∈{-2，-3，-4,....-20}

八 全排列与组合的生成 1排列的生成：（1..n ） procedure solve(dep:integer); var i:integer; begin if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if not used then begin s:=s+chr(i+ord('0'));used:=true; solve(dep+1);

s:=copy(s,1,length(s)-1); used:=false; end; end; 2组合的生成(1..n中选取k 个数的所有方案) procedure solve(dep,pre:integer); var i:integer; begin if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if (not used) and (i>pre) then begin s:=s+chr(i+ord('0'));used:=true; solve(dep+1,i); s:=copy(s,1,length(s)-1); used:=false; end; end;

九. 查找算法 1折半查找 function binsearch(k:keytype):integer; var low,hig,mid:integer; begin low:=1;hig:=n; mid:=(low+hig) div 2; while (a[mid].keyk) and (lowk then hig:=mid-1 else low:=mid+1; mid:=(low+hig) div 2; end; if low>hig then mid:=0; binsearch:=mid; end; 2树形查找

二叉排序树：每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一结点的值。

查找 function treesrh(k:keytype):pointer; var q:pointer; begin q:=root; while (qnil) and (q^.keyk) do if k

十、贪心 *会议问题

（1） n 个活动每个活动有一个开始时间和一个结束时间，任一时刻仅一项活动进行，求满足活动数最多的情况。

解：按每项活动的结束时间进行排序，排在前面的优先满足。

（2）会议室空闲时间最少。

（3）每个客户有一个愿付的租金，求最大利润。

（4）共R 间会议室，第i 个客户需使用i 间会议室，费用相同，求最大利润。

十一、回溯法框架 1. n皇后问题 procedure try(i:byte); var j:byte; begin if i=n+1 then begin print;exit;end; for j:=1 to n do

if a and b[j+i] and c[j-i] then begin x:=j; a[j]:=false; b[j+i]:=false; c[j-i]:=false; try(i+1); a[j]:=true; b[i+j]:=true; c[j-i]:=true; end; end; 2.Hanoi Tower h(n)=2*h(n-1)+1 h(1)=1

初始所有铜片都在a 柱上 procedure hanoi(n,a,b,c:byte); {将第n 块铜片从a 柱通过b 柱移到c 柱上} begin if n=0 then exit; hanoi(n-1,a,c,b); {将上面的n-1块从a 柱通过c 柱移到b 柱上} write(n,’moved from’,a,’to’,c); hanoi(n-1,b,a,c);{ 将b 上的n-1块从b 柱通过a 柱移到c 柱上 end;

初始铜片分布在3个柱上，给定目标柱goal h[1..3,0..n]存放三个柱的状态，now 与nowp 存最大的不到位的铜片的柱号和编号,h[I,0]存第I 个柱上的个数。 Procedure move(k,goal:integer); {将最大不到位的k 移到目标柱goal 上} Begin If k=0 then exit; For I:=1 to 3 do For j:=1 to han[I,0] do If h[I,j]=k then begin now:=I;nowp:=j; end; {找到k 的位置} If nowgoal then begin {若未移到目标} Move(k-1,6-now-goal); {剩下的先移到没用的柱上} Writeln(k moved from now to goal); H[goal,h[goal,0]+1]:=h[now,nowp]; h[now,nowp]:=0; Inc(h[goal,0]); dec(h[now,0]); Move(k-1,goal); {剩下的移到目标上} End;

十二、DFS 框架 NOIP2001 数的划分 procedure work(dep,pre,s:longint); {入口为work(1,1,n)} {dep为当前试放的第dep 个数,pre 为前一次试放的数,s 为当前剩余可分的总数} var j:longint; begin if dep=n then begin if s>=pre then inc(r); exit; end; for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j); end;

类似： procedure try(dep:integer); var i:integer; begin if dep=k then begin if tot>=a[dep-1] then inc(sum); exit; end; for i:=a[dep-1] to tot div 2 do begin a[dep]:=i; dec(tot,i); try(dep+1); inc(tot,i); end; end;{try}

十三、BFS 框架 IOI94 房间问题 head:=1; tail:=0;

while tail

十五、数据结构相关算法 1．链表的定位函数loc(I:integer):pointer; {寻找链表中的第I 个结点的指针} procedure loc(L:linklist; I:integer):pointer; var p:pointer; j:integer; begin p:=L.head; j:=0; if (I>=1) and (I

loc:=p; end; 2procedure insert(L:linklist; I:integer; x:datatype); ．单链表的插入操作

var p,q:pointer; begin p:=loc(L,I); new(q); q^.data:=x; q^.next:=p^.next; p^.next:=q; inc(L.len); end; 3procedure delete(L:linklist; I:integer); ．单链表的删除操作

var p,q:pointer; begin p:=loc(L,I-1); q:=p^.next; p^.next:=q^.next; dispose(q); dec(L.len); end; 4p:=loc(L,I); ．双链表的插入操作（插入新结点q ）

new(q); q^.data:=x; q^.pre:=p; q^.next:=p^.next; p^.next:=q; q^.next^.pre:=q; 5p:=loc(L,I); {p．双链表的删除操作

p^.pre^.next:=p^.next; 为要删除的结点}

p^.next^.pre:=p^.pre; dispose(p);

关键路径（最长路经）： var a,b:array [1..10,1..10] of integer; n,last,out:integer; q,c:array [1..10] of integer;

o:set of 1..10; procedure init; var i,j:integer; begin readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to n do read(a[i,j]); last:=0; o:=[]; out:=0; b:=a; end; procedure sort; var i,j:integer; p:boolean; begin while outn do begin for i:=1 to n do if not (i in o) then begin p:=true; for j:=1 to n do if a[j,i]=1 then begin p:=false; break; end; if p then begin inc(last); q[last]:=i; inc(out); o:=o+; fillchar(a,sizeof(a),0); end; end; end; end; procedure work_1; var i,j,t,k:integer; begin a:=b; c[1]:=0; for i:=1 to n do begin k:=0; for j:=1 to i-1 do if (a[q[j],q]>0) and (a[q[j],q]+c[q[j]]>k) then k:=a[q[j],q]+c[q[j]]; c[q]:=k; end; end; procedure work_2; var i,j,k:integer; begin writeln(q[n]); for i:=n-1 downto 1 do begin k:=maxint; for j:=i+1 to n do if (a[q,q[j]]>0) and (c[q[j]]-a[q,q[j]]

init; sort; work_1; work_2; end.

拓扑排序： var a:array [1..100,1..100] of 0..1; n:integer;

procedure init; p:set of 1..100;

var i,j,k:integer; begin fillchar(a,sizeof(a),0); readln(n); for i:=1 to n do begin read(k);

while k0 do begin

a[i,k]:=1;

end; end; read(k);

p:=[]; end; procedure search; var i,j,t,sum,printed:integer; begin printed:=0; while printed

sum:=0;

for j:=1 to n do sum:=sum+a[j,i]; if (sum=0) and not(i in p) then begin

write(i,' ');

p:=p+; inc(printed);

for t:=1 to n do a[i,t]:=0; end;

end; end;

begin init; search; end.

备战NOIP 的基本要素——基本算法

一、数论算法 1．求两数的最大公约数 function gcd(a,b:integer):integer; begin if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd (b,a mod b); end ; 2．求两数的最小公倍数 function lcm(a,b:integer):integer; begin if a0 do inc(lcm,a); end; 3．素数的求法 A. 小范围内判断一个数是否为质数： function prime (n: integer): Boolean; var I: integer; begin for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do if n mod I=0 then begin prime:=false; exit; end; prime:=true; end; B. 判断longint 范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）： procedure getprime; var i,j:longint; p:array[1..50000] of boolean; begin fillchar(p,sizeof(p),true); p[1]:=false; i:=2; while i=x then break else if x mod pr=0 then exit;

end;{prime}

二、图论算法 1．最小生成树 A.Prim 算法： procedure prim(v0:integer); var lowcost,closest:array[1..maxn] of integer; i,j,k,min:integer; begin for i:=1 to n do begin lowcost:=cost[v0,i]; closest:=v0; end; for i:=1 to n-1 do begin {寻找离生成树最近的未加入顶点k} min:=maxlongint; for j:=1 to n do if (lowcost[j]0) then begin min:=lowcost[j]; k:=j; end; lowcost[k]:=0; {将顶点k 加入生成树} {生成树中增加一条新的边k 到closest[k]} {修正各点的lowcost 和closest 值} for j:=1 to n do if cost[k,j]

按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。 function find(v:integer):integer; {返回顶点v 所在的集合} var i:integer; begin i:=1; while (i0 do begin i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2); if ij then begin inc(tot,e[q].len); vset:=vset+vset[j];vset[j]:=[]; dec(p); end; inc(q); end;

end; 2. 最短路径 A. 标号法求解单源点最短路径： var a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; b:array[1..maxn] of integer; {b指顶点i 到源点的最短路径} mark:array[1..maxn] of boolean; procedure bhf; var best,best_j:integer; begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点} repeat best:=0; for i:=1 to n do If mark then {对每一个已计算出最短路径的点} for j:=1 to n do if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then if (best=0) or (b+a[i,j]0 then begin b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true; end; until best=0; end;{bhf} B.Floyed 算法求解所有顶点对之间的最短路径： procedure floyed; begin for I:=1 to n do for j:=1 to n do if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I 到j 的最短路径上j 的前驱结点} for k:=1 to n do {枚举中间结点} for i:=1 to n do for j:=1 to n do if a[i,k]+a[j,k]0 then pre:=v0 else pre:=0; end; mark[v0]:=true; repeat {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数} min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点} for i:=1 to n do if (not mark) and (d

if u0 then begin mark:=true; for i:=1 to n do if (not mark) and (a[u,i]+d

几个定义： 顶点1为源点，n 为汇点。 a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0; b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n); c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I 由表示，则Ee[I] = Ve[j]; d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I 由表示，则El[I] = Vl[k] – w[j,k];

若 Ee[j] = El[j] ，则活动j 为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。

求解方法： a. 从源点起topsort, 判断是否有回路并计算Ve; b. 从汇点起topsort, 求Vl; c. 算Ee 和 El; 6．拓扑排序

找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。

例 寻找一数列，其中任意连续p 项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO. 7. 回路问题 Euler 回路(DFS)

定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点） Hamilton 回路

定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。

一笔画

充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。 9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法 x[I],y[I],t[I]分别表示第I 条边的起点，终点和权。共n 个结点和m 条边。 procedure bellman-ford

for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive; d[0]:=0; for I:=1 to n-1 do for j:=1 to m do {枚举每一条边} if d[x[j]]+t[j]

三、背包问题 *部分背包问题可有贪心法求解：计算Pi/Wi 数据结构： w:第i 个背包的重量； p:第i 个背包的价值； 1．0-1背包： 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次) ： A. 求最多可放入的重量。 NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数，o ≤v ≤20000) ，同时有n 个物品(o≤n ≤30) ，每个物品有一个体积 (正整数) 。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。 l 搜索方法 procedure search(k,v:integer); {搜索第k 个物品，剩余空间为v} var i,j:integer; begin if v=best then exit; {s[n]为前n 个物品的重量和} if kw[k] then search(k+1,v-w[k]); search(k+1,v); end; end; l DP F[I,j]为前i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为j 的标志，为布尔型。

实现:将最优化问题转化为判定性问题 f [I, j] = f [ i-1, j-w ] (w[I]

优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。 F[0]:=true; For I:=1 to n do begin F1:=f; For j:=w[I] to v do If f[j-w[I]] then f1[j]:=true; F:=f1; End; B. 求可以放入的最大价值。 F[I,j] 为容量为I 时取前j 个背包所能获得的最大价值。 F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] } C. 求恰好装满的情况数。 DP: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then

a:=c; end; 2．可重复背包 A 求最多可放入的重量。 F[I,j]为前i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为j 的标志，为布尔型。

状态转移方程为 f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I]) B. 求可以放入的最大价值。 USACO 1.2 Score Inflation

进行一次竞赛，总时间T 固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti （解答此题所需的时间）和一个si （解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T 以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。 *易想到： f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0

其中f[i,j]表示容量为i 时取前j 种背包所能达到的最大值。 *实现： Begin FillChar(f,SizeOf(f),0); For i:=1 To M Do For j:=1 To N Do If i-problem[j].time>=0 Then Begin t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time]; If t>f Then f:=t; End; Writeln(f[M]); End. C. 求恰好装满的情况数。 Ahoi2001 Problem2

求自然数n 本质不同的质数和的表达式的数目。

思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。 procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin cal; {此过程计算当前系数的计算结果，now 为结果} if now>n then exit; {剪枝} if dep=l+1 then begin {生成所有系数} cal; if now=n then inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div pr[dep] do begin xs[dep]:=i; try(dep+1); xs[dep]:=0; end; end;

思路二，递归搜索效率较高 procedure try(dep,rest:integer); var i,j,x:integer; begin if (rest

USACO1.2 money system V 个物品，背包容量为n ，求放法总数。

转移方程： Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k

四、排序算法 1. 快速排序： procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid:integer; begin i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数} repeat while amid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数} if ij; if l

思路：当前a[1]..a[i-1]已排好序了，现要插入a 使a[1]..a有序。 procedure insert_sort; var i,j:integer; begin for i:=2 to n do begin a[0]:=a; j:=i-1; while a[0]

procedure sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a>a[j] then swap(a,a[j]); end; D. 冒泡排序 procedure bubble_sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=n downto i+1 do if a[j]r) or (a

if pr then begin q:=(p+r-1) div 2; merge_sort (a,p,q); merge_sort (a,q+1,r); merge (a,p,q,r); end; end; {main} begin merge_sort(a,1,n); end. G. 基数排序

思想：对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序

五、高精度计算

高精度数的定义： type hp=array[1..maxlen] of integer; 1．高精度加法 procedure plus ( a,b:hp; var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,a+b); if c>10 then begin dec(c,10); inc(c[i+1]); end; {进位} end; if c[len+1]>0 then inc(len); c[0]:=len; end;{plus} 2．高精度减法 procedure substract(a,b:hp;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,a-b); if c1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 3．高精度乘以低精度 procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; for i:=1 to len do begin inc(c,a*b); inc(c[i+1],(a*b) div 10); c:=c mod 10; end; inc(len); while (c[len]>=10) do begin {处理最高位的进位} c[len+1]:=c[len] div 10; c[len]:=c[len] mod 10; inc(len); end;

c[0]:=len; end;{multiply} 4．高精度乘以高精度 procedure high_multiply(a,b:hp; var c:hp} var i,j,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); for i:=1 to a[0] do for j:=1 to b[0] do begin inc(c[i+j-1],a*b[j]); inc(c[i+j],c[i+j-1] div 10); c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10; end; len:=a[0]+b[0]+1; while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 5．高精度除以低精度 procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d:longint); {c:=a div b; d:= a mod b} var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; d:=0; for i:=len downto 1 do begin d:=d*10+a; c:=d div b; d:=d mod b; end; while (len>1) and (c[len]=0) then dec(len); c[0]:=len; end; 6．高精度除以高精度 procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); fillchar(d,sizeof(d),0); len:=a[0];d[0]:=1; for i:=len downto 1 do begin multiply(d,10,d); d[1]:=a; while(compare(d,b)>=0) do {即d>=b} begin Subtract(d,b,d); inc(c); end; end; while(len>1)and(c.s[len]=0) do dec(len); c.len:=len; end;

六、 树的遍历 1．已知前序中序求后序 procedure Solve(pre,mid:string); var i:integer; begin if (pre='') or (mid='') then exit;

solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1)); solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i)); post:=post+pre[1]; {加上根，递归结束后post 即为后序遍历} end; 2．已知中序后序求前序 procedure Solve(mid,post:string); var i:integer; begin if (mid='') or (post='') then exit; i:=pos(post[length(post)],mid); pre:=pre+post[length(post)]; {加上根，递归结束后pre 即为前序遍历} solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1)); solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i)); end; 3．已知前序后序求中序的一种 function ok(s1,s2:string):boolean; var i,l:integer; p:boolean; begin ok:=true; l:=length(s1); for i:=1 to l do begin p:=false; for j:=1 to l do if s1=s2[j] then p:=true; if not p then begin ok:=false;exit;end; end; end; procedure solve(pre,post:string); var i:integer; begin if (pre='') or (post='') then exit; i:=0; repeat inc(i); until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); midstr:=midstr+pre[1]; solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1)); end;

七 进制转换 1任意正整数进制间的互化

除n 取余 2实数任意正整数进制间的互化

乘n 取整 3负数进制： 设计一个程序，读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数，并将此十进制数转换为此负 进制下的数：-R ∈{-2，-3，-4,....-20}

八 全排列与组合的生成 1排列的生成：（1..n ） procedure solve(dep:integer); var i:integer; begin if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if not used then begin s:=s+chr(i+ord('0'));used:=true; solve(dep+1);

s:=copy(s,1,length(s)-1); used:=false; end; end; 2组合的生成(1..n中选取k 个数的所有方案) procedure solve(dep,pre:integer); var i:integer; begin if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if (not used) and (i>pre) then begin s:=s+chr(i+ord('0'));used:=true; solve(dep+1,i); s:=copy(s,1,length(s)-1); used:=false; end; end;

九. 查找算法 1折半查找 function binsearch(k:keytype):integer; var low,hig,mid:integer; begin low:=1;hig:=n; mid:=(low+hig) div 2; while (a[mid].keyk) and (lowk then hig:=mid-1 else low:=mid+1; mid:=(low+hig) div 2; end; if low>hig then mid:=0; binsearch:=mid; end; 2树形查找

二叉排序树：每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一结点的值。

查找 function treesrh(k:keytype):pointer; var q:pointer; begin q:=root; while (qnil) and (q^.keyk) do if k

十、贪心 *会议问题

（1） n 个活动每个活动有一个开始时间和一个结束时间，任一时刻仅一项活动进行，求满足活动数最多的情况。

解：按每项活动的结束时间进行排序，排在前面的优先满足。

（2）会议室空闲时间最少。

（3）每个客户有一个愿付的租金，求最大利润。

（4）共R 间会议室，第i 个客户需使用i 间会议室，费用相同，求最大利润。

十一、回溯法框架 1. n皇后问题 procedure try(i:byte); var j:byte; begin if i=n+1 then begin print;exit;end; for j:=1 to n do

if a and b[j+i] and c[j-i] then begin x:=j; a[j]:=false; b[j+i]:=false; c[j-i]:=false; try(i+1); a[j]:=true; b[i+j]:=true; c[j-i]:=true; end; end; 2.Hanoi Tower h(n)=2*h(n-1)+1 h(1)=1

初始所有铜片都在a 柱上 procedure hanoi(n,a,b,c:byte); {将第n 块铜片从a 柱通过b 柱移到c 柱上} begin if n=0 then exit; hanoi(n-1,a,c,b); {将上面的n-1块从a 柱通过c 柱移到b 柱上} write(n,’moved from’,a,’to’,c); hanoi(n-1,b,a,c);{ 将b 上的n-1块从b 柱通过a 柱移到c 柱上 end;

初始铜片分布在3个柱上，给定目标柱goal h[1..3,0..n]存放三个柱的状态，now 与nowp 存最大的不到位的铜片的柱号和编号,h[I,0]存第I 个柱上的个数。 Procedure move(k,goal:integer); {将最大不到位的k 移到目标柱goal 上} Begin If k=0 then exit; For I:=1 to 3 do For j:=1 to han[I,0] do If h[I,j]=k then begin now:=I;nowp:=j; end; {找到k 的位置} If nowgoal then begin {若未移到目标} Move(k-1,6-now-goal); {剩下的先移到没用的柱上} Writeln(k moved from now to goal); H[goal,h[goal,0]+1]:=h[now,nowp]; h[now,nowp]:=0; Inc(h[goal,0]); dec(h[now,0]); Move(k-1,goal); {剩下的移到目标上} End;

十二、DFS 框架 NOIP2001 数的划分 procedure work(dep,pre,s:longint); {入口为work(1,1,n)} {dep为当前试放的第dep 个数,pre 为前一次试放的数,s 为当前剩余可分的总数} var j:longint; begin if dep=n then begin if s>=pre then inc(r); exit; end; for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j); end;

类似： procedure try(dep:integer); var i:integer; begin if dep=k then begin if tot>=a[dep-1] then inc(sum); exit; end; for i:=a[dep-1] to tot div 2 do begin a[dep]:=i; dec(tot,i); try(dep+1); inc(tot,i); end; end;{try}

十三、BFS 框架 IOI94 房间问题 head:=1; tail:=0;

while tail

十五、数据结构相关算法 1．链表的定位函数loc(I:integer):pointer; {寻找链表中的第I 个结点的指针} procedure loc(L:linklist; I:integer):pointer; var p:pointer; j:integer; begin p:=L.head; j:=0; if (I>=1) and (I

loc:=p; end; 2procedure insert(L:linklist; I:integer; x:datatype); ．单链表的插入操作

var p,q:pointer; begin p:=loc(L,I); new(q); q^.data:=x; q^.next:=p^.next; p^.next:=q; inc(L.len); end; 3procedure delete(L:linklist; I:integer); ．单链表的删除操作

var p,q:pointer; begin p:=loc(L,I-1); q:=p^.next; p^.next:=q^.next; dispose(q); dec(L.len); end; 4p:=loc(L,I); ．双链表的插入操作（插入新结点q ）

new(q); q^.data:=x; q^.pre:=p; q^.next:=p^.next; p^.next:=q; q^.next^.pre:=q; 5p:=loc(L,I); {p．双链表的删除操作

p^.pre^.next:=p^.next; 为要删除的结点}

p^.next^.pre:=p^.pre; dispose(p);

关键路径（最长路经）： var a,b:array [1..10,1..10] of integer; n,last,out:integer; q,c:array [1..10] of integer;

o:set of 1..10; procedure init; var i,j:integer; begin readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to n do read(a[i,j]); last:=0; o:=[]; out:=0; b:=a; end; procedure sort; var i,j:integer; p:boolean; begin while outn do begin for i:=1 to n do if not (i in o) then begin p:=true; for j:=1 to n do if a[j,i]=1 then begin p:=false; break; end; if p then begin inc(last); q[last]:=i; inc(out); o:=o+; fillchar(a,sizeof(a),0); end; end; end; end; procedure work_1; var i,j,t,k:integer; begin a:=b; c[1]:=0; for i:=1 to n do begin k:=0; for j:=1 to i-1 do if (a[q[j],q]>0) and (a[q[j],q]+c[q[j]]>k) then k:=a[q[j],q]+c[q[j]]; c[q]:=k; end; end; procedure work_2; var i,j,k:integer; begin writeln(q[n]); for i:=n-1 downto 1 do begin k:=maxint; for j:=i+1 to n do if (a[q,q[j]]>0) and (c[q[j]]-a[q,q[j]]

init; sort; work_1; work_2; end.

拓扑排序： var a:array [1..100,1..100] of 0..1; n:integer;

procedure init; p:set of 1..100;

var i,j,k:integer; begin fillchar(a,sizeof(a),0); readln(n); for i:=1 to n do begin read(k);

while k0 do begin

a[i,k]:=1;

end; end; read(k);

p:=[]; end; procedure search; var i,j,t,sum,printed:integer; begin printed:=0; while printed

sum:=0;

for j:=1 to n do sum:=sum+a[j,i]; if (sum=0) and not(i in p) then begin

write(i,' ');

p:=p+; inc(printed);

for t:=1 to n do a[i,t]:=0; end;

end; end;

begin init; search; end.