同济大学课程考核试卷（A 卷）
2009—2010学年第一学期
命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试
此卷选为：期中考试( ) 、期终考试( √ ) 、重考( ) 试卷
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空题（每空3分，共24分）
1、 设α1、α2、α3均为3维列向量，已知矩阵 A =(α1, α2, α3) ,
B =(α1+α2+α3，3α1+9α2+27α3,2α1+4α2+8α3)，且A =1，那么B =2、 设分块矩阵C =⎛ A O ⎫
⎪, A , B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为 .
⎝O B ⎭
(A).若A , B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若A , B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若A , B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若A , B 均可对角化, 则C 也可对角化.
23413、 设D =
3
451
4561，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 . 7891
4、 设向量组(I):α1, α2, , αr 可由向量组(II):β1, β2, , βs 线性表示，则 成立.(注：此题单选)
(A)．当r s 时，向量组（II ）必线性相关 (C)．当r s 时，向量组（I ）必线性相关
5、 已知方阵A 满足2A 2
+3A =O , 则(A +E )
-1
=6、 当矩阵A 满足下面条件中的 时, 推理“若AB =O ， 则B =O ”可成立. （注：此题可多选）
(A).A 可逆 (B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A ≠O
7、 设矩阵A , B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1, -2为A 的特征值，B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 .
8、 设J n 是所有元素均为1的n 阶方阵(n ≥2) ，则J n 的互不相同的特征值的个数为⎛200二、（10分）已知矩阵A = ⎫ 011⎪⎛⎪，B = 100⎫ 052⎪⎛⎪, C = 112⎫
10-1⎪
⎝1⎪⎭ ⎝021⎪⎪.
03⎭ ⎝030⎪⎭
矩阵P ，X 满足PA =B , PX =C . 求矩阵X .
⎧x 1-3x 2-x 3=0三、（10分）设线性方程组⎪
⎨x 1-4x 2-ax 3=b ， 问当参数a , b 取何值时，
⎪⎩2x 1-x 2
+3x 3=5
(1). 此方程组无解?
(2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?
四、（10分）设A 为4阶方阵，4维列向量b ≠0，R (A ) =2. 若p 1, p 2, p 3, p 4都是非齐次方程组Ax =b 的解向量，且满足
五、（16分）将二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+4x 22+6x 32+4x 1x 2+4x 1x 3+8x 2x 3 用正交变换化为标准型.
⎛2⎫ ⎪2
p 1+p 2= ⎪,
0⎪ ⎪⎝4⎭⎛3⎫ ⎪0
p 2+p 3= ⎪,
1⎪ ⎪⎝2⎭⎛2⎫ ⎪1
p 3+p 4= ⎪
0⎪ ⎪⎝1⎭
(1).(6分) 求齐次方程组Ax =0的一个基础解系. (2).(4分) 求Ax =b 的通解.
六、（14分）设V 为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间. 定义V 上的变换T 如
下：
对任意X ∈V ，T (X )=AX -X T A ，其中A = (1). (6分) 证明T 是V 上的一个线性变换；
⎛12⎫T
X ，表示X 的转置矩阵． ⎪
⎝-21⎭
⎧b 1=a 1+a 2⎪b =a +a 223⎪⎪
七、(1). (8分) 已知向量组a 1, a 2, , a n 线性无关, 向量组b 1, b 2, , b n 满足：⎨，
⎪b =a +a
n -1n
⎪n -1⎪⎩b n =a n +a 1
分别讨论当n =4和n =5时，向量组b 1, b 2, , b n 是否线性相关？
⎛10⎫⎛01⎫⎛00⎫⎛00⎫
(2). (8分) 求T 在V 的基E 11= ⎪, E 12= ⎪, E 21= ⎪, E 22= ⎪下的矩
阵.
⎝00⎭⎝00⎭⎝10⎭⎝01⎭
(2). (8分) 设λ1, λ2为方阵A 的两个不同的特征值， α1, α2为A 相应于λ1的两个线性无关的特征向量，α3, α4为A 相应于λ2的两个线性无关的特征向量，证明向量组α1, α2, α3, α4线性无关.
同济大学课程考核试卷（A 卷）
2009—2010学年第一学期
命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试
此卷选为：期中考试( ) 、期终考试( √ ) 、重考( ) 试卷
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空题（每空3分，共24分）
1、 设α1、α2、α3均为3维列向量，已知矩阵 A =(α1, α2, α3) ,
B =(α1+α2+α3，3α1+9α2+27α3,2α1+4α2+8α3)，且A =1，那么B =2、 设分块矩阵C =⎛ A O ⎫
⎪, A , B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为 .
⎝O B ⎭
(A).若A , B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若A , B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若A , B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若A , B 均可对角化, 则C 也可对角化.
23413、 设D =
3
451
4561，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 . 7891
4、 设向量组(I):α1, α2, , αr 可由向量组(II):β1, β2, , βs 线性表示，则 成立.(注：此题单选)
(A)．当r s 时，向量组（II ）必线性相关 (C)．当r s 时，向量组（I ）必线性相关
5、 已知方阵A 满足2A 2
+3A =O , 则(A +E )
-1
=6、 当矩阵A 满足下面条件中的 时, 推理“若AB =O ， 则B =O ”可成立. （注：此题可多选）
(A).A 可逆 (B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A ≠O
7、 设矩阵A , B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1, -2为A 的特征值，B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 .
8、 设J n 是所有元素均为1的n 阶方阵(n ≥2) ，则J n 的互不相同的特征值的个数为⎛200二、（10分）已知矩阵A = ⎫ 011⎪⎛⎪，B = 100⎫ 052⎪⎛⎪, C = 112⎫
10-1⎪
⎝1⎪⎭ ⎝021⎪⎪.
03⎭ ⎝030⎪⎭
矩阵P ，X 满足PA =B , PX =C . 求矩阵X .
⎧x 1-3x 2-x 3=0三、（10分）设线性方程组⎪
⎨x 1-4x 2-ax 3=b ， 问当参数a , b 取何值时，
⎪⎩2x 1-x 2
+3x 3=5
(1). 此方程组无解?
(2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?
四、（10分）设A 为4阶方阵，4维列向量b ≠0，R (A ) =2. 若p 1, p 2, p 3, p 4都是非齐次方程组Ax =b 的解向量，且满足
五、（16分）将二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+4x 22+6x 32+4x 1x 2+4x 1x 3+8x 2x 3 用正交变换化为标准型.
⎛2⎫ ⎪2
p 1+p 2= ⎪,
0⎪ ⎪⎝4⎭⎛3⎫ ⎪0
p 2+p 3= ⎪,
1⎪ ⎪⎝2⎭⎛2⎫ ⎪1
p 3+p 4= ⎪
0⎪ ⎪⎝1⎭
(1).(6分) 求齐次方程组Ax =0的一个基础解系. (2).(4分) 求Ax =b 的通解.
六、（14分）设V 为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间. 定义V 上的变换T 如
下：
对任意X ∈V ，T (X )=AX -X T A ，其中A = (1). (6分) 证明T 是V 上的一个线性变换；
⎛12⎫T
X ，表示X 的转置矩阵． ⎪
⎝-21⎭
⎧b 1=a 1+a 2⎪b =a +a 223⎪⎪
七、(1). (8分) 已知向量组a 1, a 2, , a n 线性无关, 向量组b 1, b 2, , b n 满足：⎨，
⎪b =a +a
n -1n
⎪n -1⎪⎩b n =a n +a 1
分别讨论当n =4和n =5时，向量组b 1, b 2, , b n 是否线性相关？
⎛10⎫⎛01⎫⎛00⎫⎛00⎫
(2). (8分) 求T 在V 的基E 11= ⎪, E 12= ⎪, E 21= ⎪, E 22= ⎪下的矩
阵.
⎝00⎭⎝00⎭⎝10⎭⎝01⎭
(2). (8分) 设λ1, λ2为方阵A 的两个不同的特征值， α1, α2为A 相应于λ1的两个线性无关的特征向量，α3, α4为A 相应于λ2的两个线性无关的特征向量，证明向量组α1, α2, α3, α4线性无关.