第八章 向量与解析几何
- 2 -
- 3 -
第十章 重积分
- 4 -
第十一章曲线积分与曲面积分
- 5 -
所有类型的积分：
1定义：四步法——分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）； ○
2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○
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第十二章 级数
1 若级数收敛, 各项同乘同一非零常数仍收敛. ○
2两个收敛级数的和差仍收敛. ○
用收敛定义，lim s n 存在
n →∞
注：一敛、一散之和必发散.
3去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. ○
4若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成○
一
般项级
数
的级数仍收敛，且其和不变。
常数项级数的基本性质
推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.
常数项级数的基本性质
5（必要条件） 如果级数收敛, 则lim u =0 ○n
n →0
常
数项级数
交错 级数
莱布尼茨判别法
若u n
≥u n +1且lim u n =0，则∑(-1) n -1u n
n →∞
n =1
∞
收敛
比较判别法
∑u n 和∑v n 都是正项级数，且u n ≤v n . 若∑v n 收敛，则∑u n 也收敛；若∑u n 发散，则∑v n 也发散.
1若∑u n 和∑v n 都是正项级数，且lim u n =l ，则○
n →∞
正
项级数
比较判别法的极限形式
v n
2若l =0, ∑v 收0
比值判别法
根值判别法
=+∞，∑v n 发散，∑u n 也发散。
u
∑u n 是正项级数，lim n +1=ρ, lim u n =ρ, 则ρ
n →∞
n →∞
u n
敛；ρ>1(ρ=+∞) 时发散；ρ=1时可能收敛也可能发散.
收敛性
∑a
n =0
∞
n
1
, ρ≠0; R =+∞, ρ=0; R =0, ρ=+∞. x n , lim a n +1=ρ, R =
n →∞
a n
ρ
缺项级数用比值审敛法求收敛半径
1在收敛域I 上连续; ○2在收敛域(-R , R ) 内可导，3且可逐项求导; ○s (x ) 的性质○
无
穷级数
幂级数
和函数
和函数s (x ) 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.(R 不变, 收敛域可能变化).
展成幂级数
直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式
∞∞11n x
=∑x (-1
T =2π
T =2l
f (x ) =
傅立叶级数
∞1a 0
+∑(a n cos nx +b n sin nx ) a 0=
π2n =1
⎰
π
-π
f (x ) dx
a n =
1
π
⎰π
-
π
f (x ) cos nxdx b n =
1
π
⎰π
-
π
f (x ) sin nxdx 收敛定理
x 是连续点, 收敛于f (x ) ; x 是间断点, 收敛于1[f (x -) +f (x +)]
2
周期
延拓
f (x ) 为奇函数，正弦级数，奇延拓；f (x ) 为偶函数，余弦级数、偶延拓.
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第八章 向量与解析几何
- 2 -
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第十章 重积分
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第十一章曲线积分与曲面积分
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所有类型的积分：
1定义：四步法——分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）； ○
2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○
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第十二章 级数
1 若级数收敛, 各项同乘同一非零常数仍收敛. ○
2两个收敛级数的和差仍收敛. ○
用收敛定义，lim s n 存在
n →∞
注：一敛、一散之和必发散.
3去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. ○
4若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成○
一
般项级
数
的级数仍收敛，且其和不变。
常数项级数的基本性质
推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.
常数项级数的基本性质
5（必要条件） 如果级数收敛, 则lim u =0 ○n
n →0
常
数项级数
交错 级数
莱布尼茨判别法
若u n
≥u n +1且lim u n =0，则∑(-1) n -1u n
n →∞
n =1
∞
收敛
比较判别法
∑u n 和∑v n 都是正项级数，且u n ≤v n . 若∑v n 收敛，则∑u n 也收敛；若∑u n 发散，则∑v n 也发散.
1若∑u n 和∑v n 都是正项级数，且lim u n =l ，则○
n →∞
正
项级数
比较判别法的极限形式
v n
2若l =0, ∑v 收0
比值判别法
根值判别法
=+∞，∑v n 发散，∑u n 也发散。
u
∑u n 是正项级数，lim n +1=ρ, lim u n =ρ, 则ρ
n →∞
n →∞
u n
敛；ρ>1(ρ=+∞) 时发散；ρ=1时可能收敛也可能发散.
收敛性
∑a
n =0
∞
n
1
, ρ≠0; R =+∞, ρ=0; R =0, ρ=+∞. x n , lim a n +1=ρ, R =
n →∞
a n
ρ
缺项级数用比值审敛法求收敛半径
1在收敛域I 上连续; ○2在收敛域(-R , R ) 内可导，3且可逐项求导; ○s (x ) 的性质○
无
穷级数
幂级数
和函数
和函数s (x ) 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.(R 不变, 收敛域可能变化).
展成幂级数
直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式
∞∞11n x
=∑x (-1
T =2π
T =2l
f (x ) =
傅立叶级数
∞1a 0
+∑(a n cos nx +b n sin nx ) a 0=
π2n =1
⎰
π
-π
f (x ) dx
a n =
1
π
⎰π
-
π
f (x ) cos nxdx b n =
1
π
⎰π
-
π
f (x ) sin nxdx 收敛定理
x 是连续点, 收敛于f (x ) ; x 是间断点, 收敛于1[f (x -) +f (x +)]
2
周期
延拓
f (x ) 为奇函数，正弦级数，奇延拓；f (x ) 为偶函数，余弦级数、偶延拓.
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