第32卷第4期 V ol.32 No.4 井冈山大学学报(自然科学版)
of Jinggangshan University (Natural Science) 1282011年 7 月 July 2011 Journal
井冈山大学学报(自然科学版)
文章编号：1674-8085(2011)04-0128-05
基于几何画板的数学可视化教学探讨
——以平面曲线的切线概念教学为例
*
王丹华，杨海文，刘诗焕
（井冈山大学数理学院，江西，吉安 343009）
摘 要：基于《几何画板》软件环境下，以平面曲线的切线概念为例进行数学可视化教学的探讨：“沟通新旧知识间的内在联系，以可视引导思维；提供典型的认知代表，以互动交流思维；创设可视化实验环境，以实验激活思维”。
关键词：几何画板；数学可视化教学；平面曲线的切线；探讨
中图分类号：Q944.56 文献标识码：A DOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2011.04.031
A DISCUSSION ON THE TEACHING OF MATHEMATICAL VISUAL
TEACHING APPROACH BASED ON THE SKETCHPAD
——Conception of tangent line of plane curve as example
*
WANG Dan-hua， YANG Hai-wen ，LIU Shi-huan
(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)
Abstract: We discuss the mathematical visual teaching approach by the conception of the tangent line of plane
curve as example by using sketchpad, which is try to reach the visual introductory thought by building the implication between old and new knowledge, reach visual communicative thought by typical cognitive representative, and activate explore thinking by taking full use of visual experiment environment. Key words: sketchpad; mathematical visual teaching; tangent line of plane curve; discussion
当今，课堂教学可视化的改革越来越受到教师的关注[1-5]，传统的教学方法在一定的程度上不能很好地展现数学知识所特有的动态性和抽象性，这就需要教师开发研究适合数学特点的可视化教学。数学可视化教学是教师借助相应的信息工具和合理的方式，精心组织起来的一种教学“通道”，它以可视化元素为载体，实现信息在外部世界和学生大脑之间的“穿梭”[5]，通过动画演示、人机交互技术，把教学中抽象、难以理解的知识点以形象、直观的方式展现在学生面前，达到数学知识可视化的目的和效果。数学可视化教学将传统的课堂讲授式
转变为启发引导式，以可视引导思维，以互动交流思维，在可视化环境中激活学生的探索思维意识，达到数学实验、归纳、演绎推理的平衡与统一[6]。本文基于《几何画板》软件环境下，以平面曲线的切线概念为例进行数学可视化教学的探讨。
1 沟通新旧知识间的内在联系，以可
视引导思维
在同济大学数学系编写的《高等数学》教材中[7]，
导数概念是由 “直线运动的速度、切线问题”引入的，由此得出函数y =f (x ) 在一点(x 0, f (x 0)) 的
收稿日期：2011-05-07；修改日期：2011-06-18
作者简介：*王丹华(1953-) ，女，江西吉安人，教授，主要从事基础数学的教学与研究(E-mail: [email protected]);
杨海文(1976-) ，男，陕西南郑人，讲师，硕士研究生，主要从事数量经济学研究(E-mail: [email protected]); 刘诗焕(1973-) ，男，江西吉安人，讲师，硕士生，主要从事偏微分方程研究(E-mail: [email protected]).
井冈山大学学报(自然科学版)
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导数的定义：“设函数y =f (x ) 在一点x 0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x 0处取得增量Δx (点
对于此定义，如果仅仅在黑板上绘制出如图1的静态图形，教师难以描述切线概念特有的动态性和抽象性，学生不能直观感受极限位置的含义。而利用几何画板的动画演示(如图1) ，点击“割线移动到切线”按钮，可以观察到：随着点(x ,0) 沿X 轴移动到(x 0,0) ，割线MN 就绕点M 旋转趋近切线
x 0+Δx 仍在该邻域内) 时，相应的函数取得增量
Δy =f (x 0+Δx ) −f (x 0); 如果Δy 与Δx 之比当
Δx →0时的极限存在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并称这个极限为函数y =f (x ) 在点x 0处的导数，记为：f '(x 0), 即
f (x 0+Δx ) −f (x 0) Δy
.” f '(x 0) =lim =lim
Δx →0Δx Δx →0Δx
这个定义涉及“函数的改变量、自变量的改变量、以及自变量改变量趋于零时这两者之比的极限”，它对初学导数概念的学生来讲是很抽象的。教师用粉笔在黑板上绘制出的静态图形在一定的程度上不能很好地展现导数概念所特有的动态性和抽象性，学生难以准确理解这个定义中抽象数学符号的确切含义。而通过几何画板给出导数几何意义的可视化教学，就能较好地帮助学生理解导数定义中抽象数学符号的含义。
导数的几何意义涉及平面曲线在一点处的切线的概念，在中学数学里，圆的切线可定义为：“与曲线只有一个交点的直线”，但是，对于其他曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线y =x , 在原点O 处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x 轴是该抛物线在点O 处的切线。为了让学生正确理解平面曲线的切线定义，笔者利用《几何画板》[8]制作动画进行如下可视化的教学。
2
MT ，最终与切线MT 重合，即弦长|MN |趋于零时，
∠NMT 也趋于零。点击“割线复位”按钮，割线回复原位。通过如上动态演示过程，教师能较好地展现切线概念特有的动态性和抽象性，学生能直观感知平面曲线的切线定义中极限位置的确切含义。
1.2 导数的几何意义
问题1 设曲线C 是函数y =f (x ) 的图像，求曲线C 在点M (x 0, y 0) 处的切线MT 的斜率。
为了求得曲线在某一已知点处的切线的斜率，根据曲线的切线定义，在曲线上任取另一动点，求出动点和已知点所确定的割线的斜率，然后再让这一动点趋近己知点，则割线的斜率就趋近切线的斜率。整个趋近过程利用几何画板绘图并进行动态演示（如图2）。
设点N (x 0+Δx , y 0+Δy ) (Δx ≠0) 为曲线C 上的一动点，作曲线C 的割线MN 。设割线MN 的倾角（与
X 轴正方向的夹角）为ϕ，则其斜率为：
1.1 平面曲线的切线定义
[7]
设有曲线C 以及C 上的一点M (x 0, y 0) ，在曲线C 上另取一动点N (x , y ) ，作曲线C 的割线MN 。当点N 沿曲线C 趋于点M 时，如果割线MN 绕点
Δy f (x 0+Δx ) −f (x 0)
. =
Δx Δx
如图2的可视化界面中有“移动”和“还原” 两
tan ϕ=
个按钮，点击“移动”按钮可以观察到: 随着动点
N 沿曲线C 逐渐趋近于点M 时（即Δx →0），割线MN 绕点M 旋转逐渐趋近切线MT ，最终与切线MT 重合，这时，割线MN 的倾角ϕ趋近于切线MT 的倾角α，割线MN 的斜率tan ϕ自然就趋近于切线
M 旋转而趋于极限位置MT ，直线 MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长|MN |趋于零，∠NMT 也趋于零。
MT 的斜率tan α。
因此，曲线C 在点M (x 0, y 0) 处的切线斜率为：
tan α=lim tan ϕ=lim
Δx →0
f (x 0+Δx ) −f (x 0) Δy
. =lim
Δx →0Δx Δx →0Δx
图1 平面曲线切线的定义
Fig.1 The definition of tangent plane curve
130
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图2 导数的几何意义
图3 由切线定义求切线方程
Fig.2 The geometric meaning of derivative
Fig.3 Get tangential equation by the definite of the tangent
由此，引导学生从抽象的数学关系来看，上式就是：“函数的改变量与自变量的改量之比在自变量改变量趋于零时的极限”
，也即“函数y =f (x ) 在点x 0处的导数f '(x 0) 在几何上表示曲线y =f (x ) 在点M (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率”[7]。
通过动态演示割线趋于切线的变化过程，学生不仅能直观感知导数的几何意义，而且能清晰地理解导数定义中抽象数学符号的涵义。
由此，得出平面曲线在某点处的切线方程的求法：首先求出函数在切点处的导数，即求出曲线在切点处的切线的斜率，进而求得切线方程。当函数在切点处的导数不存在（即切线的斜率不存在）时，可以由切线的定义来判断其切线是否存在。例如，利用几何画板绘出f (x ) =f (x ) =|x |）的图可以得到：f (x ) =(−∞, +∞) 内像(图略) ，
连续，在点P (0,0) 处的导数不存在，并且该函数的通过以上例题的讨曲线在点P (0,0) 处不存在切线。
论，学生认识到：“函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件；而函数在某点处可导则是函数的曲线上过该点存在切线的充分条件，而非必要条件”。
例2 已知曲线C :y =
2 提供典型的认知代表，以互动交流
思维
例1 已知函数f (x ) =在区间(−∞, +∞) 内连续，问：该函数的曲线C 在点P (0,0) 处的切线是否存在？
[7]
1−2
解 ∵f (x ) ' =x 3(x ≠0), 而在x =0处有：
3
f (0+Δx ) −f (0)1lim =lim =+∞, Δx →0x →0(Δx ) 2/3Δx
故在P (0,0) 处导数为无穷大（导数不存在）。曲线C 在点P (0,0) 处的切线存在吗?
为了回答这个问题，利用几何画板绘制出如图
138
x 上的一点M (2,，
33
求曲线C 的过点M 的切线方程[9]。
1
学生甲：因为y ' =(x 3)' =x 2, 所以
3y ' |x =2=22=4。即过点M 的切线的斜率为4。
根据直线方程的点斜式，过点M 的切线方程为：
3的图像，再进行动态演示：设M (
x , y ) 是曲线C 上的一动点，作曲线C 的割线MP 点击“移动”按钮，可以观察到：随着点(x , 0) 沿X 轴趋近p (0,0) ，动点M 就沿曲线C 趋近于P (0,0) ，而割线MP 则，绕着点P (0,0) 旋转逐渐趋于
Y 轴（斜率不存在）最终与Y 轴重合，这个事实表明曲线：f (x ) =原点O 具有垂直于x
轴的切线x =0。
8
y −=4(x −2), 即12x −3y −16=0。 3
1
学生乙： 因为y ' =(x 3)' =x 2, 设过点
3
8
M (2,) 的切线的切点为N (s , t ), 则切线的斜率为
3
k =s 2。设切线方程为：y −t =s 2(x −s ) 。由于切线88
过点M (2,，故有−t =s 2(2−s ) 。
33
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131
1
又因为切点在曲线上，因此t =s 3。从而
3813
−s =s 2(2−s ), 即切点N (s , t ), 的横坐标满足： 33
思维
在例题2的基础上因势利导提出问题：过曲线C :y =
(2−s ) 2(s +1) =0。由此解得：s =2或s =−1. 8
当s =2时，切点为(2,), 切线斜率为：
38
k 1=s 2=4, 切线方程为：y −=4(x −2) ，即
3
3y −12x +16=0;
1
当s =−1时，切点为(−1, −切线斜率为：
3
138
是否由于x 上的点M (2,切线有两条，
33
8
点M (2,处于曲线C 的特殊位置而造成的呢？曲
3
线C 上还存在类似的点吗？
还是通过几何画板的数学实验来寻找答案吧? 利用几何画板的计算绘图功能（如图5），绘制曲线
1
C :y =x 3在任意点M (x 0, y 0) 处的切线MT ：
3y −y 0=x 02(x −x 0) ，以及在动点N (s , t ) 处的切线
NQ ：y −t =s 2(x −s ) ，其中Q 是切线NQ 与曲线C 的另一个交点，L (s ,0), C (x 0,0) 分别是点N (s , t ) ，
1
k 2=s =1, 切线方程为：y +=x +1，即
3
2
3y −3x −2=0。
两位学生解法看来都是合理的，但为什么得出的结论不一样呢？还是让几何画板来解释其中的
M (x 0, y 0) 在X 轴上的射影。点击“L 点的动画”按
钮可以观察到：随着点L (s , 0) 沿X 轴双向运动，交点Q 随着点N (s , t ) 在曲线C 上来回运动，当M 为原点时，切线MT 与X 轴重合，切线NQ 过M 点仅
当MT 、NQ 、X 轴三线重合；当M 异于原点时，除了切线MT 外，总存在X 轴上某一点L (s , 0) ，由此可相应确定点N (s , t ) ，使得点Q 与M 重合。此时切线NQ 过M 且以N (s , t ) 为切点。由此归纳得出：过曲线C 上任过曲线C 上的原点的切线只有一条；
意非原点的M (x 0, y 0) 的切线存在两条，其中一条
MT 以点M (x 0, y 0) 为切点，而另一条切线NQ 过点
Fig.4 The tangent point M on the curve
M (x 0, y 0) 却以N (s , t ) 为切点。
利用几何画板上绘制出曲线的图像如图4。通过观察曲线的图像，学生发现过曲线上的点
8
M (2,的切线有两条, 其中一条以点M 为切点，而
3
另一条切线恰好过点M 却不以M 为切点。这时，学生才恍然大悟，“过曲线上一点M 的切线”与“曲线在点M 处的切线”二者原来是不同的两个概念：“曲线在点M 处的切线，若存在的话，则只能有一条，而过曲线上一点M 的切线可能不止一条，有可能以曲线上另一点为切点的切线恰好过点M 。”
图5 过曲线上任意点M 的切线
Fig.5 The curve tangent at any point M
3 创设可视化实验环境，以实验激活
值得提醒学生注意的是，以上仅凭数学实验、观察、归纳得到结论是难以令人信服的，必须通过
求解方程y 0−t =s 2(x 0−s ) 才能确定切点N (s , t ) 。 因此通过数学实验、观察、归纳得出的结论成立与否，还得借助于演绎推理才能最终确定。在此基础上，引导学生探讨更一般性的问题[10]。
问题2：过曲线C :y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 上的点M (x 0, y 0) 的切线最多有几条？过曲线上的点
ax 0−b +(3ax 0+b )
=x 0，
4a
ax −b −(3ax 0+b ) x b s 2=0. =−0−
4a 22a
用反证法易知：当3ax 0+b ≠0时，必有 s 1=s 2=−
x 0b −≠x 0=s 1。 22a
M (x 0, y 0) 的切线在什么条件下只有一条？
首先求过曲线C 上的点M (x 0, y 0) 的切线 探讨：
方程。由于y ' =3ax 2+2bx +c , 因此，设过曲线C 上的点M (x 0, y 0) 的切线的切点为N (s , t ) ，则切线的斜率为k =3as 2+2bs +c , 由此可得切线的方程为：
于是(4)有一个二重的实根s =s 1=x 0。因此，这一条以时曲线C 上过点M (x 0, y 0) 的切线只有两条：
M (x 0, y 0) 为切点, 其切线方程为: y −y 0=(3ax 02+2bx 0+c )(x −x 0) ; 另一条切线的切
点N (s , t ) 的横坐标为s =−
y −t =(3as 2+2bs +c )(x −s ) (1) 又点p (x 0, y 0) 在切线上，因此：
x 0b
−, 将s 代入曲线C 22a
的方程即得切点的纵坐标t ，从而可得出另一条切线的方程为: y −t =(3as 2+2bs +c )(x −s ) 。
综
上
得
出
，
过
曲
线
y 0−t =(3as 2+2bs +c )(x 0−s ) (2) 由于切点M (s , t ) 在曲线
3
2
2
C 上，故
t =as 3+bs 2+cs +d ，代入（2）得：
C :y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 上的点M (x 0, y 0) 的
切线的情况：
① 当x 0=−
y 0−(as +bs +cs +d ) =(3as +2bs +c )(x 0−s )
(3)
又p (x 0, y 0) 在曲线上，故y 0=ax 03+bx 02+cx 0+d ，代入（3）并整理得：
b
时，曲线C 上过点M (x 0, y 0) 的3a
它就是曲切线只有一条，且该切线以点M 为切点，线C 在点M 处的切线；
② 当x 0≠−
(s −x 0)[2as 2+(b −ax 0) s −(ax 02+bx 0)]=0 (4) 其次讨论方程
b
时，曲线C 上过点M (x 0, y 0) 的3a
2as 2+(b −ax 0) s −(ax 02+bx 0) =0 (5) 的解，进而得出方程(4)的解。首先考察（5）的判别式：
切线只有两条，其中一条以点M 为切点，而另一条切线过点M 但不以M 为切点。
4 数学可视化教学的反思
2
2
2
Δ=(b −ax 0) 2+4×2a ×(ax 02+bx 0) =9a x 0+6abx 0+b =(3ax 0+b )
2
数学可视化教学过程就是：“通过提出问题，利用可视化技术创设直观情境（图像或动画），沟通新旧知识间的内在联系，以可视引导思维，启迪学习者认识数学对象的本质特性；提供典型的认知代表，利用人机交互功能，以互动交流思维，使学生主动构建知识结构，形成通畅的数学知识网络，注意知识组块与整体性，引导学生更新知识观念，避免犯“合理性”错误；创设可视化实验环境，利用数学实验、观察、归纳激活学生的探究思维意识，达到数学实验、归纳、演绎推理的平衡与统一。”
① 当3ax 0+b =0时，方程（5）有两个相等的
实根:s 1=s 2=
ax 0−b ax 0+3ax 0
==x 0。 4a 4a
于是，方程（4）有三个相等的实根s =s 1=s 2=x 0。因此，这时曲线C 上过点M (x 0, y 0) 的切线只有一条，切线以M (x 0, y 0) 为切点，其切线方程为:
y −y 0=(3ax 02+2bx 0+c )(x −x 0) ;
② 当3ax 0+b ≠0时，方程（5）有两个不同的
实根:
(参考文献[1]- [10]转第136页)
“三位一体”中药教学法的实施任重而道远，我们目前的主要精力集中在选取典型，有代表性，且易于理解的医案。这是一个量大而繁重的工作，需要长期的准备和更新，但我们坚信有老师团队的不懈努力，一定会开辟出《中药学》教学的新天地。
学生自主学习、自主实践和自主创新的积极性，培养学生对《中药学》学习的兴趣和热情，加深其对基础理论和基本技能的理解。以中药谚语、典故的引入，课堂上的多媒体课件，野外实践教学的视觉刺激与中药现代研究和临床应用知识的强化紧密联系在一起的“三位一体”教学法，有利于提高《中药学》的教学效果和效率，有利于实践以教师为主导，学生为主体的教育思想，有利于激发学生的学习热情和求知欲。教师在培养学生创新精神和实践能力方面肩负着重要的责任，发挥着重要的作用。《中药学》教学改革是一个系统综合工程，在提高学生临床实践技能、培养学生创新意识方面还需教师不断总结经验和积极探索。
3.3.3 不可避免的不客观因素
如幻灯、医案，典故的比例及精选是否典型，考试题目等都不能完全相同，且每位教师的自身因素，如语言组织，表达等，都是不可抗拒的有差异的因素。
3.4 “三位一体”教学法的评价
通过多年的《中药学》教学改革实践与探索证
明，《中药学》教学改革的核心问题是激发和培养
(上接第132页) 参考文献:
[1] 顾培蒂. 可视化技术在教育中的应用[D]. 北京:北京师
范大学,2008.
[6] 王丹华, 杨海文. 几何画板探究性学习中归纳、演绎的平
衡与统一[J].井冈山学院学报,2006(4):10-12.
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育出版社,2007:77-79,83-86.
[2] 张仁津, 邓静. 可视化计算机教学的研究[J]. 贵州师范
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摘 要：基于《几何画板》软件环境下，以平面曲线的切线概念为例进行数学可视化教学的探讨：“沟通新旧知识间的内在联系，以可视引导思维；提供典型的认知代表，以互动交流思维；创设可视化实验环境，以实验激活思维”。
关键词：几何画板；数学可视化教学；平面曲线的切线；探讨
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A DISCUSSION ON THE TEACHING OF MATHEMATICAL VISUAL
TEACHING APPROACH BASED ON THE SKETCHPAD
——Conception of tangent line of plane curve as example
*
WANG Dan-hua， YANG Hai-wen ，LIU Shi-huan
(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)
Abstract: We discuss the mathematical visual teaching approach by the conception of the tangent line of plane
curve as example by using sketchpad, which is try to reach the visual introductory thought by building the implication between old and new knowledge, reach visual communicative thought by typical cognitive representative, and activate explore thinking by taking full use of visual experiment environment. Key words: sketchpad; mathematical visual teaching; tangent line of plane curve; discussion
当今，课堂教学可视化的改革越来越受到教师的关注[1-5]，传统的教学方法在一定的程度上不能很好地展现数学知识所特有的动态性和抽象性，这就需要教师开发研究适合数学特点的可视化教学。数学可视化教学是教师借助相应的信息工具和合理的方式，精心组织起来的一种教学“通道”，它以可视化元素为载体，实现信息在外部世界和学生大脑之间的“穿梭”[5]，通过动画演示、人机交互技术，把教学中抽象、难以理解的知识点以形象、直观的方式展现在学生面前，达到数学知识可视化的目的和效果。数学可视化教学将传统的课堂讲授式
转变为启发引导式，以可视引导思维，以互动交流思维，在可视化环境中激活学生的探索思维意识，达到数学实验、归纳、演绎推理的平衡与统一[6]。本文基于《几何画板》软件环境下，以平面曲线的切线概念为例进行数学可视化教学的探讨。
1 沟通新旧知识间的内在联系，以可
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导数概念是由 “直线运动的速度、切线问题”引入的，由此得出函数y =f (x ) 在一点(x 0, f (x 0)) 的
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作者简介：*王丹华(1953-) ，女，江西吉安人，教授，主要从事基础数学的教学与研究(E-mail: [email protected]);
杨海文(1976-) ，男，陕西南郑人，讲师，硕士研究生，主要从事数量经济学研究(E-mail: [email protected]); 刘诗焕(1973-) ，男，江西吉安人，讲师，硕士生，主要从事偏微分方程研究(E-mail: [email protected]).
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导数的定义：“设函数y =f (x ) 在一点x 0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x 0处取得增量Δx (点
对于此定义，如果仅仅在黑板上绘制出如图1的静态图形，教师难以描述切线概念特有的动态性和抽象性，学生不能直观感受极限位置的含义。而利用几何画板的动画演示(如图1) ，点击“割线移动到切线”按钮，可以观察到：随着点(x ,0) 沿X 轴移动到(x 0,0) ，割线MN 就绕点M 旋转趋近切线
x 0+Δx 仍在该邻域内) 时，相应的函数取得增量
Δy =f (x 0+Δx ) −f (x 0); 如果Δy 与Δx 之比当
Δx →0时的极限存在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并称这个极限为函数y =f (x ) 在点x 0处的导数，记为：f '(x 0), 即
f (x 0+Δx ) −f (x 0) Δy
.” f '(x 0) =lim =lim
Δx →0Δx Δx →0Δx
这个定义涉及“函数的改变量、自变量的改变量、以及自变量改变量趋于零时这两者之比的极限”，它对初学导数概念的学生来讲是很抽象的。教师用粉笔在黑板上绘制出的静态图形在一定的程度上不能很好地展现导数概念所特有的动态性和抽象性，学生难以准确理解这个定义中抽象数学符号的确切含义。而通过几何画板给出导数几何意义的可视化教学，就能较好地帮助学生理解导数定义中抽象数学符号的含义。
导数的几何意义涉及平面曲线在一点处的切线的概念，在中学数学里，圆的切线可定义为：“与曲线只有一个交点的直线”，但是，对于其他曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线y =x , 在原点O 处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x 轴是该抛物线在点O 处的切线。为了让学生正确理解平面曲线的切线定义，笔者利用《几何画板》[8]制作动画进行如下可视化的教学。
2
MT ，最终与切线MT 重合，即弦长|MN |趋于零时，
∠NMT 也趋于零。点击“割线复位”按钮，割线回复原位。通过如上动态演示过程，教师能较好地展现切线概念特有的动态性和抽象性，学生能直观感知平面曲线的切线定义中极限位置的确切含义。
1.2 导数的几何意义
问题1 设曲线C 是函数y =f (x ) 的图像，求曲线C 在点M (x 0, y 0) 处的切线MT 的斜率。
为了求得曲线在某一已知点处的切线的斜率，根据曲线的切线定义，在曲线上任取另一动点，求出动点和已知点所确定的割线的斜率，然后再让这一动点趋近己知点，则割线的斜率就趋近切线的斜率。整个趋近过程利用几何画板绘图并进行动态演示（如图2）。
设点N (x 0+Δx , y 0+Δy ) (Δx ≠0) 为曲线C 上的一动点，作曲线C 的割线MN 。设割线MN 的倾角（与
X 轴正方向的夹角）为ϕ，则其斜率为：
1.1 平面曲线的切线定义
[7]
设有曲线C 以及C 上的一点M (x 0, y 0) ，在曲线C 上另取一动点N (x , y ) ，作曲线C 的割线MN 。当点N 沿曲线C 趋于点M 时，如果割线MN 绕点
Δy f (x 0+Δx ) −f (x 0)
. =
Δx Δx
如图2的可视化界面中有“移动”和“还原” 两
tan ϕ=
个按钮，点击“移动”按钮可以观察到: 随着动点
N 沿曲线C 逐渐趋近于点M 时（即Δx →0），割线MN 绕点M 旋转逐渐趋近切线MT ，最终与切线MT 重合，这时，割线MN 的倾角ϕ趋近于切线MT 的倾角α，割线MN 的斜率tan ϕ自然就趋近于切线
M 旋转而趋于极限位置MT ，直线 MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长|MN |趋于零，∠NMT 也趋于零。
MT 的斜率tan α。
因此，曲线C 在点M (x 0, y 0) 处的切线斜率为：
tan α=lim tan ϕ=lim
Δx →0
f (x 0+Δx ) −f (x 0) Δy
. =lim
Δx →0Δx Δx →0Δx
图1 平面曲线切线的定义
Fig.1 The definition of tangent plane curve
130
井冈山大学学报(自然科学版)
图2 导数的几何意义
图3 由切线定义求切线方程
Fig.2 The geometric meaning of derivative
Fig.3 Get tangential equation by the definite of the tangent
由此，引导学生从抽象的数学关系来看，上式就是：“函数的改变量与自变量的改量之比在自变量改变量趋于零时的极限”
，也即“函数y =f (x ) 在点x 0处的导数f '(x 0) 在几何上表示曲线y =f (x ) 在点M (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率”[7]。
通过动态演示割线趋于切线的变化过程，学生不仅能直观感知导数的几何意义，而且能清晰地理解导数定义中抽象数学符号的涵义。
由此，得出平面曲线在某点处的切线方程的求法：首先求出函数在切点处的导数，即求出曲线在切点处的切线的斜率，进而求得切线方程。当函数在切点处的导数不存在（即切线的斜率不存在）时，可以由切线的定义来判断其切线是否存在。例如，利用几何画板绘出f (x ) =f (x ) =|x |）的图可以得到：f (x ) =(−∞, +∞) 内像(图略) ，
连续，在点P (0,0) 处的导数不存在，并且该函数的通过以上例题的讨曲线在点P (0,0) 处不存在切线。
论，学生认识到：“函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件；而函数在某点处可导则是函数的曲线上过该点存在切线的充分条件，而非必要条件”。
例2 已知曲线C :y =
2 提供典型的认知代表，以互动交流
思维
例1 已知函数f (x ) =在区间(−∞, +∞) 内连续，问：该函数的曲线C 在点P (0,0) 处的切线是否存在？
[7]
1−2
解 ∵f (x ) ' =x 3(x ≠0), 而在x =0处有：
3
f (0+Δx ) −f (0)1lim =lim =+∞, Δx →0x →0(Δx ) 2/3Δx
故在P (0,0) 处导数为无穷大（导数不存在）。曲线C 在点P (0,0) 处的切线存在吗?
为了回答这个问题，利用几何画板绘制出如图
138
x 上的一点M (2,，
33
求曲线C 的过点M 的切线方程[9]。
1
学生甲：因为y ' =(x 3)' =x 2, 所以
3y ' |x =2=22=4。即过点M 的切线的斜率为4。
根据直线方程的点斜式，过点M 的切线方程为：
3的图像，再进行动态演示：设M (
x , y ) 是曲线C 上的一动点，作曲线C 的割线MP 点击“移动”按钮，可以观察到：随着点(x , 0) 沿X 轴趋近p (0,0) ，动点M 就沿曲线C 趋近于P (0,0) ，而割线MP 则，绕着点P (0,0) 旋转逐渐趋于
Y 轴（斜率不存在）最终与Y 轴重合，这个事实表明曲线：f (x ) =原点O 具有垂直于x
轴的切线x =0。
8
y −=4(x −2), 即12x −3y −16=0。 3
1
学生乙： 因为y ' =(x 3)' =x 2, 设过点
3
8
M (2,) 的切线的切点为N (s , t ), 则切线的斜率为
3
k =s 2。设切线方程为：y −t =s 2(x −s ) 。由于切线88
过点M (2,，故有−t =s 2(2−s ) 。
33
井冈山大学学报(自然科学版)
131
1
又因为切点在曲线上，因此t =s 3。从而
3813
−s =s 2(2−s ), 即切点N (s , t ), 的横坐标满足： 33
思维
在例题2的基础上因势利导提出问题：过曲线C :y =
(2−s ) 2(s +1) =0。由此解得：s =2或s =−1. 8
当s =2时，切点为(2,), 切线斜率为：
38
k 1=s 2=4, 切线方程为：y −=4(x −2) ，即
3
3y −12x +16=0;
1
当s =−1时，切点为(−1, −切线斜率为：
3
138
是否由于x 上的点M (2,切线有两条，
33
8
点M (2,处于曲线C 的特殊位置而造成的呢？曲
3
线C 上还存在类似的点吗？
还是通过几何画板的数学实验来寻找答案吧? 利用几何画板的计算绘图功能（如图5），绘制曲线
1
C :y =x 3在任意点M (x 0, y 0) 处的切线MT ：
3y −y 0=x 02(x −x 0) ，以及在动点N (s , t ) 处的切线
NQ ：y −t =s 2(x −s ) ，其中Q 是切线NQ 与曲线C 的另一个交点，L (s ,0), C (x 0,0) 分别是点N (s , t ) ，
1
k 2=s =1, 切线方程为：y +=x +1，即
3
2
3y −3x −2=0。
两位学生解法看来都是合理的，但为什么得出的结论不一样呢？还是让几何画板来解释其中的
M (x 0, y 0) 在X 轴上的射影。点击“L 点的动画”按
钮可以观察到：随着点L (s , 0) 沿X 轴双向运动，交点Q 随着点N (s , t ) 在曲线C 上来回运动，当M 为原点时，切线MT 与X 轴重合，切线NQ 过M 点仅
当MT 、NQ 、X 轴三线重合；当M 异于原点时，除了切线MT 外，总存在X 轴上某一点L (s , 0) ，由此可相应确定点N (s , t ) ，使得点Q 与M 重合。此时切线NQ 过M 且以N (s , t ) 为切点。由此归纳得出：过曲线C 上任过曲线C 上的原点的切线只有一条；
意非原点的M (x 0, y 0) 的切线存在两条，其中一条
MT 以点M (x 0, y 0) 为切点，而另一条切线NQ 过点
Fig.4 The tangent point M on the curve
M (x 0, y 0) 却以N (s , t ) 为切点。
利用几何画板上绘制出曲线的图像如图4。通过观察曲线的图像，学生发现过曲线上的点
8
M (2,的切线有两条, 其中一条以点M 为切点，而
3
另一条切线恰好过点M 却不以M 为切点。这时，学生才恍然大悟，“过曲线上一点M 的切线”与“曲线在点M 处的切线”二者原来是不同的两个概念：“曲线在点M 处的切线，若存在的话，则只能有一条，而过曲线上一点M 的切线可能不止一条，有可能以曲线上另一点为切点的切线恰好过点M 。”
图5 过曲线上任意点M 的切线
Fig.5 The curve tangent at any point M
3 创设可视化实验环境，以实验激活
值得提醒学生注意的是，以上仅凭数学实验、观察、归纳得到结论是难以令人信服的，必须通过
求解方程y 0−t =s 2(x 0−s ) 才能确定切点N (s , t ) 。 因此通过数学实验、观察、归纳得出的结论成立与否，还得借助于演绎推理才能最终确定。在此基础上，引导学生探讨更一般性的问题[10]。
问题2：过曲线C :y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 上的点M (x 0, y 0) 的切线最多有几条？过曲线上的点
ax 0−b +(3ax 0+b )
=x 0，
4a
ax −b −(3ax 0+b ) x b s 2=0. =−0−
4a 22a
用反证法易知：当3ax 0+b ≠0时，必有 s 1=s 2=−
x 0b −≠x 0=s 1。 22a
M (x 0, y 0) 的切线在什么条件下只有一条？
首先求过曲线C 上的点M (x 0, y 0) 的切线 探讨：
方程。由于y ' =3ax 2+2bx +c , 因此，设过曲线C 上的点M (x 0, y 0) 的切线的切点为N (s , t ) ，则切线的斜率为k =3as 2+2bs +c , 由此可得切线的方程为：
于是(4)有一个二重的实根s =s 1=x 0。因此，这一条以时曲线C 上过点M (x 0, y 0) 的切线只有两条：
M (x 0, y 0) 为切点, 其切线方程为: y −y 0=(3ax 02+2bx 0+c )(x −x 0) ; 另一条切线的切
点N (s , t ) 的横坐标为s =−
y −t =(3as 2+2bs +c )(x −s ) (1) 又点p (x 0, y 0) 在切线上，因此：
x 0b
−, 将s 代入曲线C 22a
的方程即得切点的纵坐标t ，从而可得出另一条切线的方程为: y −t =(3as 2+2bs +c )(x −s ) 。
综
上
得
出
，
过
曲
线
y 0−t =(3as 2+2bs +c )(x 0−s ) (2) 由于切点M (s , t ) 在曲线
3
2
2
C 上，故
t =as 3+bs 2+cs +d ，代入（2）得：
C :y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 上的点M (x 0, y 0) 的
切线的情况：
① 当x 0=−
y 0−(as +bs +cs +d ) =(3as +2bs +c )(x 0−s )
(3)
又p (x 0, y 0) 在曲线上，故y 0=ax 03+bx 02+cx 0+d ，代入（3）并整理得：
b
时，曲线C 上过点M (x 0, y 0) 的3a
它就是曲切线只有一条，且该切线以点M 为切点，线C 在点M 处的切线；
② 当x 0≠−
(s −x 0)[2as 2+(b −ax 0) s −(ax 02+bx 0)]=0 (4) 其次讨论方程
b
时，曲线C 上过点M (x 0, y 0) 的3a
2as 2+(b −ax 0) s −(ax 02+bx 0) =0 (5) 的解，进而得出方程(4)的解。首先考察（5）的判别式：
切线只有两条，其中一条以点M 为切点，而另一条切线过点M 但不以M 为切点。
4 数学可视化教学的反思
2
2
2
Δ=(b −ax 0) 2+4×2a ×(ax 02+bx 0) =9a x 0+6abx 0+b =(3ax 0+b )
2
数学可视化教学过程就是：“通过提出问题，利用可视化技术创设直观情境（图像或动画），沟通新旧知识间的内在联系，以可视引导思维，启迪学习者认识数学对象的本质特性；提供典型的认知代表，利用人机交互功能，以互动交流思维，使学生主动构建知识结构，形成通畅的数学知识网络，注意知识组块与整体性，引导学生更新知识观念，避免犯“合理性”错误；创设可视化实验环境，利用数学实验、观察、归纳激活学生的探究思维意识，达到数学实验、归纳、演绎推理的平衡与统一。”
① 当3ax 0+b =0时，方程（5）有两个相等的
实根:s 1=s 2=
ax 0−b ax 0+3ax 0
==x 0。 4a 4a
于是，方程（4）有三个相等的实根s =s 1=s 2=x 0。因此，这时曲线C 上过点M (x 0, y 0) 的切线只有一条，切线以M (x 0, y 0) 为切点，其切线方程为:
y −y 0=(3ax 02+2bx 0+c )(x −x 0) ;
② 当3ax 0+b ≠0时，方程（5）有两个不同的
实根:
(参考文献[1]- [10]转第136页)
“三位一体”中药教学法的实施任重而道远，我们目前的主要精力集中在选取典型，有代表性，且易于理解的医案。这是一个量大而繁重的工作，需要长期的准备和更新，但我们坚信有老师团队的不懈努力，一定会开辟出《中药学》教学的新天地。
学生自主学习、自主实践和自主创新的积极性，培养学生对《中药学》学习的兴趣和热情，加深其对基础理论和基本技能的理解。以中药谚语、典故的引入，课堂上的多媒体课件，野外实践教学的视觉刺激与中药现代研究和临床应用知识的强化紧密联系在一起的“三位一体”教学法，有利于提高《中药学》的教学效果和效率，有利于实践以教师为主导，学生为主体的教育思想，有利于激发学生的学习热情和求知欲。教师在培养学生创新精神和实践能力方面肩负着重要的责任，发挥着重要的作用。《中药学》教学改革是一个系统综合工程，在提高学生临床实践技能、培养学生创新意识方面还需教师不断总结经验和积极探索。
3.3.3 不可避免的不客观因素
如幻灯、医案，典故的比例及精选是否典型，考试题目等都不能完全相同，且每位教师的自身因素，如语言组织，表达等，都是不可抗拒的有差异的因素。
3.4 “三位一体”教学法的评价
通过多年的《中药学》教学改革实践与探索证
明，《中药学》教学改革的核心问题是激发和培养
(上接第132页) 参考文献:
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