2.1离散型随机变量及其分布列 知识梳理
知识点1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母 X , Y，ξ，
η，„ 表示．
例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .
利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X
知识点2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，„，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，„.
注意：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次 注意：（1硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1（2）若ξ是随机变量，η=a ξ+b , a , b 是常数，则η知识点3： 分布列
设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，„，x 3，„，ξ取每一个值x i （i =1，2，„）的概率为P (ξ=x i ) =p i ，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 . 知识点4： 分布列的两个性质
任何随机事件发生的概率都满足:0≤P (A ) ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴P i ≥0，i ＝1，2，„； ⑵P 1+P 2+„=1．
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和P (ξ≥x k ) =P (ξ=x k ) +P (ξ=x k +1) +⋅⋅⋅ .
知识点5：两点分布列
⎧1，针尖向上；
在掷一枚图钉的随机试验中，令X=⎨如果针尖向上的概率为p ，试写出
⎩0, 针尖向下.
随机变量 X 的分布列．根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1-p ) ．于是，随机变量 X 的分布列是
像上面这样的分布列称为两点分布列．
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p =P (X = 1）为成功概率．
两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布．
P (ξ=0)=q ， P (ξ=1)=p ， 0
知识点6：超几何分布列
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件
k n -k C M C N -M
{X=k｝发生的概率为P (X =k ) =, k =0,1,2, n
C N
M , n }，且, m , 其中m =min{
*
．
n ≤N , M ≤N , n , M , N ∈N
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布.
2.2条件概率与二项分布 知识梳理：
知识点1：设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率. 用符号“P (B |A ) ”来表示，读作A 发生的条件下B 的概率. 知识点2：我们把事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交（或积），记做D =AB .
一般的我们有条件概率公式P (B |A ) 定义为P (B |A ) =
P (AB )
. （P (A ) >0） P (A )
条件概率的性质：
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即
0≤P (B A ) ≤1.
（2）如果是B 和C 两个互斥事件, 则P (B
C |A ) =P (B |A ) +P (C |A ) .
知识点3：相互独立事件及其发生的概率
（1）定义：设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立. 事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫
A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B （2）相互独立事件同时发生的概率：P (A ⋅B ) =P (A ) ⋅P (B )
A 1, A 2, , A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
⋅A n ) =P (A 1) ⋅P (A 2) ⋅
⋅P (A n ) ．
即 P (A 1⋅A 2⋅
（3）对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：
P (A +B ) =P (A ) +P (B ) -P (A ⋅B
知识点4：独立重复试验
（1（2）独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个
k k
事件恰好发生k 次的概率P n (k ) =C n P (1-P ) n -k ．它是[(1-P ) +P ]展开式的第k +1项
n
知识点5:离散型随机变量的二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k k n -k
（k ＝0,1,2, „，n ，q =1-p ）． P n (ξ=k ) =C n p q ，
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
n
q
k k n -k
由于C n p q 恰好是二项展开式
00n 11n -1k k n -k n n 0(q +p ) n =C n p q +C n p q + +C n p q + +C n p q
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，
k k n -k 记作ξ～B (n ，p ) ，其中n ，p 为参数，并记C n p q ＝b (k ；n ，p ) ．
二、典型例题分析：
题型一随机变量、离散型随机变量的概念
例1． （1）①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξξ是连续型随机变量的是（ ）
A ．①； B ．②； C ．③； D ．①②③
（2）随机变量ξ的所有等可能取值为1,2, …, n ，若P (ξ
113151； B ．； C ．； D ． 12123636
练习：1. 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？
2：如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1； C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. ξ
则a =＿＿＿＿＿＿＿。
4. 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
题型二。解决超几何分布问题
例1．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：
(1)取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．
变式1：袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球
2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么
3
为（ ） 10
Ａ．恰有1只坏的概率 Ｂ．恰有2只好的概率 Ｃ．4只全是好的概率 Ｄ．至多2只坏的概率
3．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（ ）
Ａ．甲多 Ｂ．乙多 Ｃ．一样多 Ｄ．不确定
题型三：求离散型随机变量的分布列 例1．（1）一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列． （2）．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列．
变式1. 袋子中有1个白球和2个红球．
⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数ξ的分布列． ⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数ξ的分布列．
例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．
变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记ξ为2粒中优质良种粒数，则ξ的分布列是 .
题型四：求条件概率
计算事件A 发生的条件下B 的条件概率，有2种方法： (1)利用定义：P B A =
()
P (AB )n (AB ) (2)利用古典概型公式：P (B A )=
n A P A 例1：抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，
5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
变式1：在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
2、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张，已知第一次抽到A ，第二次也抽到A 的概率为 . 3、掷骰子2次，每个结果以(x , y )记之，其中x 1，x 2分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设A =(x 1, x 2x 1+x 2=10，则P B A =. B =(x 1, x 2x 1>x 2，题型五：相互独立事件的概率计算
例1：甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？
变式1．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0. 6，计算：
{}
{}()
(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概
变式2：重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
例 2. 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，0.7，计算在这段时间内
变式1：如图添加第四个开关J D 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7
变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7
例 3. 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1
变式1：某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
变式2：一批玉米种子，其发芽率是0.8. （1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 2=0.3010）
题型五独立重复试验问题的计算
例1．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．
变式：某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1
，求1小时内5台机床中4
至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
三、课堂总结 ： 1. 随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念．随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a 、b 是常数) 也是随机变量．
2. ⑴根据随机变量的概率分步（分步列），可以求随机事件的概率；⑵两点分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它是概率论中最重要的几种分布之一．(3) 离散型随机变量的超几何分布． 3. 两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的概率的积, 4．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，各次试验5．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次
的概率为P n (k ) =C n P (1-P )
k k n -k
1次试验中事件A 要么发
生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n -k 次中A 没有发生，即A 发生，由P (A ) =P ，P (A ) =1-[(1-P ) +P ]展开
n
式中的第k +1项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系关于求概率方法小结：
1．运用P (A ) =, P (A +B ) =P (A ) +P (B ), P P(A·B) ＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自(A B ) =成立的前提条件，切勿混淆不清．如当A , B 为相互独立事件时运用P (A +B ) =P (A ) +P (B ) 便错． 2．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样． 3．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”： （1）求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种． 第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件． m
等可能事件：P (A ) = n
和事
互斥事件：P(A＋B) ＝P(A)＋P(B)，P(A·B) ＝0
件 P(B)等 独立事件：P(A·B) ＝P(A)·
k k
P n (k ) =C n P (1-P ) n -k n 次独立重复试验：
一、选择题
1．已知非空集合A 、B 满足A ⊂≠B ，给出以下四个命题： ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件 ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件 其中正确的个数是( ) A 、1 B 、2
②若x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件
④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件 C 、3
D 、4
m n
2．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为击命中的概率为（ ）
80
，则此射手每次射81
1212A. 33453．设ξ是离散型随机变量，p (ξ=x 1) =
214
，p (ξ=x 2) =，且x 1
2
，则x 1+x 2的值为（ ） 95711(A) (B) (C) ３ (D)
333D ξ=
4．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ）
A ．
1 10
B ．
1
5
C ．
3
5
D ．
4 5
5．（汉沽一中2008~2009届月考文9）. 面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为 ( ) A.
1 3
B.
111 C. D. 246
7．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择
了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ） A.
1
5
B.
1
4
C.
1
3
D.
1 2
8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为 （ ）
27
1254
9．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为
5
22
，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（ ） 53
1241659A ． B ． C． D ．
25257575
A ．
B ．
C ．
D ．
10．从集合{1, 2, 3, 概率是 A.
36
12554 12581 125
, 10}中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为3的
1
3
1 6
1 60
1 2
B. C. D.
二、填空题
11．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若EX =0，DX =1，则a = ，b = ．
12．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 。
13．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________.
14．从分别写有0, 1, 2, 3, 4的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片. 两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是 . 三、解答题
15．将A 、B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？
（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
16．甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。
(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；
（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率；
（3）设ξ是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量ξ的概率分布。
2.1离散型随机变量及其分布列 知识梳理
知识点1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母 X , Y，ξ，
η，„ 表示．
例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .
利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X
知识点2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，„，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，„.
注意：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次 注意：（1硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1（2）若ξ是随机变量，η=a ξ+b , a , b 是常数，则η知识点3： 分布列
设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，„，x 3，„，ξ取每一个值x i （i =1，2，„）的概率为P (ξ=x i ) =p i ，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 . 知识点4： 分布列的两个性质
任何随机事件发生的概率都满足:0≤P (A ) ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴P i ≥0，i ＝1，2，„； ⑵P 1+P 2+„=1．
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和P (ξ≥x k ) =P (ξ=x k ) +P (ξ=x k +1) +⋅⋅⋅ .
知识点5：两点分布列
⎧1，针尖向上；
在掷一枚图钉的随机试验中，令X=⎨如果针尖向上的概率为p ，试写出
⎩0, 针尖向下.
随机变量 X 的分布列．根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1-p ) ．于是，随机变量 X 的分布列是
像上面这样的分布列称为两点分布列．
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p =P (X = 1）为成功概率．
两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布．
P (ξ=0)=q ， P (ξ=1)=p ， 0
知识点6：超几何分布列
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件
k n -k C M C N -M
{X=k｝发生的概率为P (X =k ) =, k =0,1,2, n
C N
M , n }，且, m , 其中m =min{
*
．
n ≤N , M ≤N , n , M , N ∈N
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布.
2.2条件概率与二项分布 知识梳理：
知识点1：设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率. 用符号“P (B |A ) ”来表示，读作A 发生的条件下B 的概率. 知识点2：我们把事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交（或积），记做D =AB .
一般的我们有条件概率公式P (B |A ) 定义为P (B |A ) =
P (AB )
. （P (A ) >0） P (A )
条件概率的性质：
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即
0≤P (B A ) ≤1.
（2）如果是B 和C 两个互斥事件, 则P (B
C |A ) =P (B |A ) +P (C |A ) .
知识点3：相互独立事件及其发生的概率
（1）定义：设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立. 事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫
A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B （2）相互独立事件同时发生的概率：P (A ⋅B ) =P (A ) ⋅P (B )
A 1, A 2, , A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
⋅A n ) =P (A 1) ⋅P (A 2) ⋅
⋅P (A n ) ．
即 P (A 1⋅A 2⋅
（3）对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：
P (A +B ) =P (A ) +P (B ) -P (A ⋅B
知识点4：独立重复试验
（1（2）独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个
k k
事件恰好发生k 次的概率P n (k ) =C n P (1-P ) n -k ．它是[(1-P ) +P ]展开式的第k +1项
n
知识点5:离散型随机变量的二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k k n -k
（k ＝0,1,2, „，n ，q =1-p ）． P n (ξ=k ) =C n p q ，
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
n
q
k k n -k
由于C n p q 恰好是二项展开式
00n 11n -1k k n -k n n 0(q +p ) n =C n p q +C n p q + +C n p q + +C n p q
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，
k k n -k 记作ξ～B (n ，p ) ，其中n ，p 为参数，并记C n p q ＝b (k ；n ，p ) ．
二、典型例题分析：
题型一随机变量、离散型随机变量的概念
例1． （1）①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξξ是连续型随机变量的是（ ）
A ．①； B ．②； C ．③； D ．①②③
（2）随机变量ξ的所有等可能取值为1,2, …, n ，若P (ξ
113151； B ．； C ．； D ． 12123636
练习：1. 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？
2：如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1； C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. ξ
则a =＿＿＿＿＿＿＿。
4. 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
题型二。解决超几何分布问题
例1．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：
(1)取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．
变式1：袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球
2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么
3
为（ ） 10
Ａ．恰有1只坏的概率 Ｂ．恰有2只好的概率 Ｃ．4只全是好的概率 Ｄ．至多2只坏的概率
3．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（ ）
Ａ．甲多 Ｂ．乙多 Ｃ．一样多 Ｄ．不确定
题型三：求离散型随机变量的分布列 例1．（1）一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列． （2）．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列．
变式1. 袋子中有1个白球和2个红球．
⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数ξ的分布列． ⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数ξ的分布列．
例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．
变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记ξ为2粒中优质良种粒数，则ξ的分布列是 .
题型四：求条件概率
计算事件A 发生的条件下B 的条件概率，有2种方法： (1)利用定义：P B A =
()
P (AB )n (AB ) (2)利用古典概型公式：P (B A )=
n A P A 例1：抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，
5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
变式1：在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
2、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张，已知第一次抽到A ，第二次也抽到A 的概率为 . 3、掷骰子2次，每个结果以(x , y )记之，其中x 1，x 2分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设A =(x 1, x 2x 1+x 2=10，则P B A =. B =(x 1, x 2x 1>x 2，题型五：相互独立事件的概率计算
例1：甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？
变式1．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0. 6，计算：
{}
{}()
(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概
变式2：重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
例 2. 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，0.7，计算在这段时间内
变式1：如图添加第四个开关J D 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7
变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7
例 3. 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1
变式1：某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
变式2：一批玉米种子，其发芽率是0.8. （1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 2=0.3010）
题型五独立重复试验问题的计算
例1．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．
变式：某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1
，求1小时内5台机床中4
至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
三、课堂总结 ： 1. 随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念．随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a 、b 是常数) 也是随机变量．
2. ⑴根据随机变量的概率分步（分步列），可以求随机事件的概率；⑵两点分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它是概率论中最重要的几种分布之一．(3) 离散型随机变量的超几何分布． 3. 两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的概率的积, 4．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，各次试验5．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次
的概率为P n (k ) =C n P (1-P )
k k n -k
1次试验中事件A 要么发
生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n -k 次中A 没有发生，即A 发生，由P (A ) =P ，P (A ) =1-[(1-P ) +P ]展开
n
式中的第k +1项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系关于求概率方法小结：
1．运用P (A ) =, P (A +B ) =P (A ) +P (B ), P P(A·B) ＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自(A B ) =成立的前提条件，切勿混淆不清．如当A , B 为相互独立事件时运用P (A +B ) =P (A ) +P (B ) 便错． 2．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样． 3．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”： （1）求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种． 第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件． m
等可能事件：P (A ) = n
和事
互斥事件：P(A＋B) ＝P(A)＋P(B)，P(A·B) ＝0
件 P(B)等 独立事件：P(A·B) ＝P(A)·
k k
P n (k ) =C n P (1-P ) n -k n 次独立重复试验：
一、选择题
1．已知非空集合A 、B 满足A ⊂≠B ，给出以下四个命题： ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件 ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件 其中正确的个数是( ) A 、1 B 、2
②若x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件
④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件 C 、3
D 、4
m n
2．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为击命中的概率为（ ）
80
，则此射手每次射81
1212A. 33453．设ξ是离散型随机变量，p (ξ=x 1) =
214
，p (ξ=x 2) =，且x 1
2
，则x 1+x 2的值为（ ） 95711(A) (B) (C) ３ (D)
333D ξ=
4．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ）
A ．
1 10
B ．
1
5
C ．
3
5
D ．
4 5
5．（汉沽一中2008~2009届月考文9）. 面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为 ( ) A.
1 3
B.
111 C. D. 246
7．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择
了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ） A.
1
5
B.
1
4
C.
1
3
D.
1 2
8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为 （ ）
27
1254
9．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为
5
22
，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（ ） 53
1241659A ． B ． C． D ．
25257575
A ．
B ．
C ．
D ．
10．从集合{1, 2, 3, 概率是 A.
36
12554 12581 125
, 10}中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为3的
1
3
1 6
1 60
1 2
B. C. D.
二、填空题
11．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若EX =0，DX =1，则a = ，b = ．
12．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 。
13．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________.
14．从分别写有0, 1, 2, 3, 4的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片. 两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是 . 三、解答题
15．将A 、B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？
（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
16．甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。
(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；
（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率；
（3）设ξ是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量ξ的概率分布。