全等三角形专题课——截长补短
教学目标
1. 知识技能 ：使学生掌握运用截长补短的方法解决线段的和差问题。
2. 数学思考 ：①通过观察、操作、归纳等教学活动，积累数学活动经验。感受数 学思维过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力。 ②通过对线段的和差 问题的探究，体会辅助线在数学中的作用。
3. 解决问题 ：学会运用“截长补短法”作辅助线解决问题。
4. 情感态度
①使学生经历探索线段的和差问题的解决过程，感受数学活动充满探索以及数 学方法确定性。
②培养学生积极主动参与学习数学活动的意识，增强学好数学的信心。培养学 生与他人合作交流的意识和能力。
教学过程：
一．问题创设：（3分钟）
如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B ，求证：AB =AC +CD
A
C B D
（学生思考：如何解决关于线段和差问题）
问题一：如何证明此题？（学生提出截长补短）
问题二：你这样做辅助线的理由是什么？（可以得到全等，证明截下的线段等于CD ）
总结：
二．课题引入：同学们，为了解决像这样线段与线段关系的题目，今天我们来学
问题一：已知三条线段AB 、CD 、EF 的长度分别为8cm,5cm,3cm ，你能用CD 和EF 表示AB 吗？（AB=CD+EF）
问题二：如果图中线段长度分别变为a 、b 、c ，并且a=b+c，你能采用适当的工
方法一：用圆规在AB 上截取b ，再用圆规测量余下的部分（a-b), 与c 相比较， 得到a-b=c，即证明。
方法二：在CD （EF ）补一部分EF （CD ）得到b+c，再用圆规和a 进行比较得到a=b+c。
像刚才这样，通过在较长截取另一条线段，在较短线段上补一条线段研究线段间的关系，这种方法称为“截长补短”。
三、例题讲解
回头来看刚在的例题：
例1：如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B ，求证：AB =AC +CD
A
C C B D
法一：截长法
证明：在AB 上截取AE ，使得AE=AC，连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠1＝∠2
∵ AE ＝AB
∠1＝∠2 ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠3=∠C CD=DE （全等三角形的性质） 又∵ ∠C=2∠B ∴∠3=2∠B 又∵∠3=∠4+∠B （外角定理） ∴∠4=∠B ∴EB=DE=CD（等角对等边） ∵AB=AE+EB AE=AC，EB=CD
∴AB=AC+CD（等量代换）
学生小组交流讨论补短法
法二：补短法
证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠EAD ＝∠CAD
∵ AE ＝AB
∠EAD ＝∠CAD
AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ）
∴∠E ＝∠C
又∵∠ACB ＝2∠C
∴∠ACB ＝∵∠ACB ∴∠E=∠∴CE=CD∵AE ＝ AE=AB，∴AB ＝
如图：已知正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC
2、4、6、8列同学用补短法，时间3分钟，同桌之间相互交流不同的方法，在黑板上两个学生展示板书）
五．学以致用
请对下面的题进行分析，要求只做出辅助线，并简要说明解题思路。
1. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC。（截长补短皆可）
辅助线：
解题简要步骤：
2. 已知，在△ABC 中，AB>AC，AD 是∠BAC 的平分线，P 为AD 上的一点，求证：AB-AC ＞PB-PC 。
辅助线：
解题简要步骤：
3. 如图，已知正方形ABCD 中，AF 为∠EAD 的角平分线，求证：EF=BE+DF．
辅助线：
解题简要步骤：
4. 选做，思考题 A 如图，在∆ABC 中，∠BAC =60︒，AD 是∠BAC 的平分线，
且AC =AB +BD ，求∠ABC 的度数.
C D B
总结：
1. 什么样的题型适合截长补短？
（题的共同特征）有角平分线，并且都求的是线段与线段的关系；（说明：并不是所有有角平分线、线段关系就用截长补短，并且有的题只能用截长或补短一种）
2. 数学思想方法：
通过截长补短，构造全等三角形，利用全等性对所求线段进行转化。
作业：
将以上题目过程完整写出。
全等三角形专题课——截长补短
教学目标
1. 知识技能 ：使学生掌握运用截长补短的方法解决线段的和差问题。
2. 数学思考 ：①通过观察、操作、归纳等教学活动，积累数学活动经验。感受数 学思维过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力。 ②通过对线段的和差 问题的探究，体会辅助线在数学中的作用。
3. 解决问题 ：学会运用“截长补短法”作辅助线解决问题。
4. 情感态度
①使学生经历探索线段的和差问题的解决过程，感受数学活动充满探索以及数 学方法确定性。
②培养学生积极主动参与学习数学活动的意识，增强学好数学的信心。培养学 生与他人合作交流的意识和能力。
教学过程：
一．问题创设：（3分钟）
如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B ，求证：AB =AC +CD
A
C B D
（学生思考：如何解决关于线段和差问题）
问题一：如何证明此题？（学生提出截长补短）
问题二：你这样做辅助线的理由是什么？（可以得到全等，证明截下的线段等于CD ）
总结：
二．课题引入：同学们，为了解决像这样线段与线段关系的题目，今天我们来学
问题一：已知三条线段AB 、CD 、EF 的长度分别为8cm,5cm,3cm ，你能用CD 和EF 表示AB 吗？（AB=CD+EF）
问题二：如果图中线段长度分别变为a 、b 、c ，并且a=b+c，你能采用适当的工
方法一：用圆规在AB 上截取b ，再用圆规测量余下的部分（a-b), 与c 相比较， 得到a-b=c，即证明。
方法二：在CD （EF ）补一部分EF （CD ）得到b+c，再用圆规和a 进行比较得到a=b+c。
像刚才这样，通过在较长截取另一条线段，在较短线段上补一条线段研究线段间的关系，这种方法称为“截长补短”。
三、例题讲解
回头来看刚在的例题：
例1：如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B ，求证：AB =AC +CD
A
C C B D
法一：截长法
证明：在AB 上截取AE ，使得AE=AC，连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠1＝∠2
∵ AE ＝AB
∠1＝∠2 ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠3=∠C CD=DE （全等三角形的性质） 又∵ ∠C=2∠B ∴∠3=2∠B 又∵∠3=∠4+∠B （外角定理） ∴∠4=∠B ∴EB=DE=CD（等角对等边） ∵AB=AE+EB AE=AC，EB=CD
∴AB=AC+CD（等量代换）
学生小组交流讨论补短法
法二：补短法
证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠EAD ＝∠CAD
∵ AE ＝AB
∠EAD ＝∠CAD
AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ）
∴∠E ＝∠C
又∵∠ACB ＝2∠C
∴∠ACB ＝∵∠ACB ∴∠E=∠∴CE=CD∵AE ＝ AE=AB，∴AB ＝
如图：已知正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC
2、4、6、8列同学用补短法，时间3分钟，同桌之间相互交流不同的方法，在黑板上两个学生展示板书）
五．学以致用
请对下面的题进行分析，要求只做出辅助线，并简要说明解题思路。
1. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC。（截长补短皆可）
辅助线：
解题简要步骤：
2. 已知，在△ABC 中，AB>AC，AD 是∠BAC 的平分线，P 为AD 上的一点，求证：AB-AC ＞PB-PC 。
辅助线：
解题简要步骤：
3. 如图，已知正方形ABCD 中，AF 为∠EAD 的角平分线，求证：EF=BE+DF．
辅助线：
解题简要步骤：
4. 选做，思考题 A 如图，在∆ABC 中，∠BAC =60︒，AD 是∠BAC 的平分线，
且AC =AB +BD ，求∠ABC 的度数.
C D B
总结：
1. 什么样的题型适合截长补短？
（题的共同特征）有角平分线，并且都求的是线段与线段的关系；（说明：并不是所有有角平分线、线段关系就用截长补短，并且有的题只能用截长或补短一种）
2. 数学思想方法：
通过截长补短，构造全等三角形，利用全等性对所求线段进行转化。
作业：
将以上题目过程完整写出。