取材自维基百科-中文版. 没事的时候大家可以证着玩! 答案在这里.
1. 阿基米德中点定理说明：圆上有两点A,B ，M 为弧AB 的中点，随意选圆上的一点C ，D 为AC 上的点使得MD 垂直AC 。若M 、C 在弦AB 异侧，则AD=DC+BC；若M 、C 在弦AB 同侧，则AD=DC-CB。
2. 婆罗摩笈多定理指出：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。婆罗摩笈多是印度数学家。
3. 凡·奥贝尔定理（van Aubel's theorem）说明：给定一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直。
4. 芬斯勒–哈德维格尔定理（Finsler-Hadwiger Theorem）说明：若两个正方形ABCD 和AB'C'D' 拥有同一个顶点A 。B'D 的中点、BD' 的中点、ABCD 的中心和AB'C'D' 的中心将组成一个正方形。
5. 莫雷角三分线定理（Morley's theorem）说明对所有的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。
此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规做图无法做出三等分角。
6. 拿破仑定理，是拿破仑发现的平面几何学定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。
同时拿破仑留下这样的名言:
'' 一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现他的国力强大。
——拿破仑
7. 泰博定理是法国几何学家维克多·泰博（Victor Thébault，1882年-1960年) ）提出的平面几何问题。
1. 取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形（同时在平行四边形内或外皆可）。
正方形的中心点所组成的四边形为正方形。（此为凡·奥贝尔定理的特例。）
2. 取正方形的两条邻边为三角形的边，作两个等边三角形（同时在正方形内或外皆可）。
这两个三角形不在正方形边上的顶点，和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点，组成一等边三角形。
3. 给定任意三角形ABC ，BC 上任意一点M 。作两个圆形，均与AM 、BC 、外接圆相
切。该两圆的圆心和三角形内切圆心共线。（应用：日本定理）
第三题是最难的。1938年《美国数学月刊》曾刊出第三题，但直至1973年才为荷兰数学家H. Streefkerk证出。2003年，Ayme 发现早在1905年Y. Sawayama已解决这题。
8. 维维亚尼(Viviani)定理说明：在等边三角形内任意一点P 跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。
这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P 跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。
它以温琴佐·维维亚尼命名。
9. 西姆松定理说明：有三角形ABC ，平面上有一点P 。P 在三角形三边上的投影（即由P 到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线, Simson line）当且仅当P 在三角形的外接圆上。 相关的结果有：
∙
∙
∙ 称三角形的垂心为H 。西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。 两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P 对应两者的西姆松线的交角，跟
P 的位置无关。
10. 卡诺定理
设ABC 为三角形，O 为其外心。则O 到ABC 各边的距离之和为
OO A + OOB + OOC = R + r ，
其中r 为内切圆半径，R 为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理。
11. 塞瓦线段（cevian ）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果的塞瓦线段AD 、BE 、CF 通过同一点O ，则
它的逆定理同样成立：若D 、E 、F 分别在
足 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上，且满
，
则直线AD 、BE 、CF 共点或彼此平行（于无限远处共点）。当AD 、BE 、CF 中的任意两直线交于一点时，则三直线共点；当AD 、BE 、CF 中的任意两直线平行时，则三直线平行。 它最先由意大利数学家乔瓦尼·塞瓦证明。
12. 梅涅劳斯定理（Menelaus's theorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一直线与的边BC 、CA 、AB 分别交于L 、M 、N ，则有：
。
它的逆定理也成立：若有三点L 、M 、N 分别在
（至少有一点在延长线上），且满足 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上
则L 、M 、N 三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
case 1. 直线LMN 穿过三角形ABC case 2. 直线LMN 在三角形ABC 外面
13. 蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。
设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点X 和Y ，则M 是XY 的中点。
14. 密克定理
三圆定理：设三个圆C 1, C 2, C 3交于一点O ，而M , N , P 分别是C 1 和C 2, C 2和C 3, C 3和C 1的另一交点。设A 为C 1的点，直线MA 交C 2于B ，直线PA 交C 3于C 。那么B , N , C 这三点共线。
逆定理：如果
,
完全四线形定理：如果ABCDEF 是完全四线形，那么三角形
, , , 的外接圆交于一点 O ，称为密克点。
四圆定理：设C 1, C 2, C 3, C 4为四个圆，A 1和B 1是C 1和C 2的交点，A 2和B 2是C 2 和C 3的交点，A 3和B 3是C 3和C 4的交点，A 4和B 4是C 1和C 4的交点。那么A 1, A 2, A 3, A 4四点共圆当且仅当B 1, B 2, B 3, B 4四点共圆。 是三角形，M , N , P 三点分别在边AB , BC , CA 上，那么三角形, 的外接圆交于一点O 。
五圆定理：设ABCDE 为任意五边形，五点F , G , H , I , J 分别是EA 和BC , AB 和CD , BC 和DE , CD 和EA , DE 和AB 的交点，那么三角形
, , , , 的外接圆的五个不在五边形上
的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。
逆定理：设C 1,, C 2, C 3, C 4, C 5五个圆的圆心都在圆C 上，相邻的圆交于C 上，那么把它们不在C 上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。
15. 帕普斯定理
设U ，V ，W ，X ，Y 和Z 为平面上六条直线。如果：
（1）U 与V 的交点，X 与W 的交点，Y 与Z 的交点共线，且
（2）U 与Z 的交点，X 与V 的交点，Y 与W 的交点共线，
则（3）U 与W 的交点，X 与Z 的交点，Y 与V 的交点共线。这个定理叫做帕普斯定理。
16. 托勒密定理
四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积。
取材自维基百科-中文版. 没事的时候大家可以证着玩! 答案在这里.
1. 阿基米德中点定理说明：圆上有两点A,B ，M 为弧AB 的中点，随意选圆上的一点C ，D 为AC 上的点使得MD 垂直AC 。若M 、C 在弦AB 异侧，则AD=DC+BC；若M 、C 在弦AB 同侧，则AD=DC-CB。
2. 婆罗摩笈多定理指出：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。婆罗摩笈多是印度数学家。
3. 凡·奥贝尔定理（van Aubel's theorem）说明：给定一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直。
4. 芬斯勒–哈德维格尔定理（Finsler-Hadwiger Theorem）说明：若两个正方形ABCD 和AB'C'D' 拥有同一个顶点A 。B'D 的中点、BD' 的中点、ABCD 的中心和AB'C'D' 的中心将组成一个正方形。
5. 莫雷角三分线定理（Morley's theorem）说明对所有的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。
此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规做图无法做出三等分角。
6. 拿破仑定理，是拿破仑发现的平面几何学定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。
同时拿破仑留下这样的名言:
'' 一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现他的国力强大。
——拿破仑
7. 泰博定理是法国几何学家维克多·泰博（Victor Thébault，1882年-1960年) ）提出的平面几何问题。
1. 取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形（同时在平行四边形内或外皆可）。
正方形的中心点所组成的四边形为正方形。（此为凡·奥贝尔定理的特例。）
2. 取正方形的两条邻边为三角形的边，作两个等边三角形（同时在正方形内或外皆可）。
这两个三角形不在正方形边上的顶点，和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点，组成一等边三角形。
3. 给定任意三角形ABC ，BC 上任意一点M 。作两个圆形，均与AM 、BC 、外接圆相
切。该两圆的圆心和三角形内切圆心共线。（应用：日本定理）
第三题是最难的。1938年《美国数学月刊》曾刊出第三题，但直至1973年才为荷兰数学家H. Streefkerk证出。2003年，Ayme 发现早在1905年Y. Sawayama已解决这题。
8. 维维亚尼(Viviani)定理说明：在等边三角形内任意一点P 跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。
这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P 跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。
它以温琴佐·维维亚尼命名。
9. 西姆松定理说明：有三角形ABC ，平面上有一点P 。P 在三角形三边上的投影（即由P 到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线, Simson line）当且仅当P 在三角形的外接圆上。 相关的结果有：
∙
∙
∙ 称三角形的垂心为H 。西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。 两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P 对应两者的西姆松线的交角，跟
P 的位置无关。
10. 卡诺定理
设ABC 为三角形，O 为其外心。则O 到ABC 各边的距离之和为
OO A + OOB + OOC = R + r ，
其中r 为内切圆半径，R 为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理。
11. 塞瓦线段（cevian ）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果的塞瓦线段AD 、BE 、CF 通过同一点O ，则
它的逆定理同样成立：若D 、E 、F 分别在
足 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上，且满
，
则直线AD 、BE 、CF 共点或彼此平行（于无限远处共点）。当AD 、BE 、CF 中的任意两直线交于一点时，则三直线共点；当AD 、BE 、CF 中的任意两直线平行时，则三直线平行。 它最先由意大利数学家乔瓦尼·塞瓦证明。
12. 梅涅劳斯定理（Menelaus's theorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一直线与的边BC 、CA 、AB 分别交于L 、M 、N ，则有：
。
它的逆定理也成立：若有三点L 、M 、N 分别在
（至少有一点在延长线上），且满足 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上
则L 、M 、N 三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
case 1. 直线LMN 穿过三角形ABC case 2. 直线LMN 在三角形ABC 外面
13. 蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。
设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点X 和Y ，则M 是XY 的中点。
14. 密克定理
三圆定理：设三个圆C 1, C 2, C 3交于一点O ，而M , N , P 分别是C 1 和C 2, C 2和C 3, C 3和C 1的另一交点。设A 为C 1的点，直线MA 交C 2于B ，直线PA 交C 3于C 。那么B , N , C 这三点共线。
逆定理：如果
,
完全四线形定理：如果ABCDEF 是完全四线形，那么三角形
, , , 的外接圆交于一点 O ，称为密克点。
四圆定理：设C 1, C 2, C 3, C 4为四个圆，A 1和B 1是C 1和C 2的交点，A 2和B 2是C 2 和C 3的交点，A 3和B 3是C 3和C 4的交点，A 4和B 4是C 1和C 4的交点。那么A 1, A 2, A 3, A 4四点共圆当且仅当B 1, B 2, B 3, B 4四点共圆。 是三角形，M , N , P 三点分别在边AB , BC , CA 上，那么三角形, 的外接圆交于一点O 。
五圆定理：设ABCDE 为任意五边形，五点F , G , H , I , J 分别是EA 和BC , AB 和CD , BC 和DE , CD 和EA , DE 和AB 的交点，那么三角形
, , , , 的外接圆的五个不在五边形上
的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。
逆定理：设C 1,, C 2, C 3, C 4, C 5五个圆的圆心都在圆C 上，相邻的圆交于C 上，那么把它们不在C 上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。
15. 帕普斯定理
设U ，V ，W ，X ，Y 和Z 为平面上六条直线。如果：
（1）U 与V 的交点，X 与W 的交点，Y 与Z 的交点共线，且
（2）U 与Z 的交点，X 与V 的交点，Y 与W 的交点共线，
则（3）U 与W 的交点，X 与Z 的交点，Y 与V 的交点共线。这个定理叫做帕普斯定理。
16. 托勒密定理
四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积。