超大型浮体非线性水弹性原理及研究方法
于文琪
河海大学交通学院海洋学院，南京（210098）
E-mail:
摘 要：近年来，超大型浮体的水弹性分析和二阶波浪力的理论研究已经较为成熟，但是大多数非线性水弹性研究并未应用二阶波浪力及高阶波浪力，一般只是计算一阶速度势对二阶波浪力的贡献，而忽略二阶及高阶项的计算。本文对超大型浮体水弹性力学理论及与二阶和高阶波浪相关的分析方法的国内外情况作了介绍，并对今后需要开展的研究工作的方向提出了自己的看法。
关键词：超大型浮体，非线性，水弹性响应
中国分类号：U661.1
1. 引言
水弹性力学将浮体结构力学和浮体水动力学有机地结合起来，为评估柔性浮体结构的总体性能提供了一个更具一致性和合理性的方法。水弹性理论至今已发展了20多年，着重研究线性问题。而超大型浮体的尺度远大于入射波波幅，所以超大型浮体的水弹性问题一般被考虑为线性问题。但是浮体运动时所引起的二阶力及瞬时湿表面变化引起的二阶流体力可能对浮体产生较大的非线性影响，所以就有必要研究二阶及高阶波浪力对超大型浮体水弹性响应的影响，为实际分析提供理论依据。
2. 超大型浮体水弹性分析原理及相关研究
2.1 水弹性分析原理
浮体在波浪中运动，不但会产生刚体六个自由度运动，而且会产生振动和弹性变形。浮体在波浪中振动，大致分为两种：一种是由简谐波浪干扰力作用引起的稳态强迫振动，称为波激振动；另一种是波浪冲击力作用，引起浮体瞬态强迫振动，称为砰击振动，有时也称为冲荡。一般情况下，浮体是假设为刚体，忽略其弹性变形，用‘切片理论’求得结构在波浪中的运动和受力厚，再由材料力学方法，得到结构的弯矩和剪力。但是当浮体的尺度增大时，比如超大型浮体，它是一个极为扁平的柔性结构物，在计算中就不能假设为刚体，而应作为弹性体，用水弹性理论进行分析。
水弹性的概念最早是在二十世纪五十年代末期从空气弹性学中引进的，当时的定义是，水弹性是考虑到惯性力、水动力和弹性力之间相互影响的一种现象。水弹性力学是研究流体与固体相互作用的的一门力学学科．它需要考虑惯性力、水动力和弹性力的耦合作用，把水动力学的方程和结构动力学的方程联合起来求解。水弹性力学的核心是考虑各种不同类型力之间的相互耦合作用。不论导致流固系统运动的来源如何，一般而言，作用于结构湿表面上的流体压力将使结构的动力状态发生改变．反过来，结构的运动和变形又使周围流体的压力场、流动及波形发生变化。
2.2 超大型浮体水弹性分析研究
目前解决波浪与海洋结构物之间相互作用问题的研究手段主要有物理模型实验与数值模拟两个大的方面。由于超大型浮体的模型与实体间缩尺比过大，且水平尺度远大于竖直尺度，难以进行水弹性响应的试验研究。因此，关于超大型浮体结构的试验研究的报道，除了
Yago [1]、Yago and Endo [2]、Yamashita [3]、Otha [4]和王志军 [5]、吕海宁等 [6]等少数外并不多见，但理论研究发展得较为迅速。
目前，超大型浮体水弹性的分析方法大致上分为直接计算法和模态分析法。前者根据流场控制方程和结构振动微分方程，进行近似和简化处理后直接求解控制方程。但是在求解方程组过程中，计算量较大，对计算机的容量和计算速度要求也比较高。最早采用直接法进行直接计算的是Mamidipudi and Webster[7]，他们采用中心有限差分法直接求解耦合的水弹性方程组。此后，Ohkusu and Nanba[8] [9]对刚方法进行了改进，将结构当作一块平板，通过一定的量级分析，忽略小量，最后求解一个六阶微分方程, 为了避免求解高阶微分方程，他们将挠度和压力化为一组线性代数方程进行求解。张淑华、韩满生[10]则将浮体简化成弹性平板，用压力分布法计算出流体压力，然后用直接法计算流体-结构系统来进行水弹性分析。
模态分析法则是将浮体结构的运动和变形进行模态展开，计算每个模态的水动力，求解运动方程后得到各个模态的运动、变形，然后叠加得到浮体结构的运动和变形。模态分析法可以大大降低自由度数目，但一般来说仅适用于线性系统或特殊的非线性问题。Song [11]基于线性波理论和薄板理论，采用边界积分方程方法来求解控制方程，用有限差分方法对边界条件进行离散，利用边界上的连续性条件联合求解，由于将六阶的流固耦合控制方程化为3个二阶微分方程的乘积形式，使得该高阶微分方程得以求解，计算量大大减少。Tsubogo [12]将浮体简化为弹性地基上的均匀梁或矩形板，研究了该模型在无限水深或定常水深下的水弹性问题。Seto and Ochi [13]研究了任意形状、厚度和刚度的板在具有防波堤的倾斜海底条件下的水弹性问题。
水弹性理论发展至今，着重研究线性问题。而线性理论主要研究小运动浮体在流体中的结构频率特征处于波频范围内或大于波频频段的弹性体。在高海况条件下浮体做大幅运动时其刚体运动引起的二阶力及瞬时湿表面变化引起的二阶流体力可能对浮体产生较大的非线性影响。当海洋浮体的尺度大为增加时，远远超过常规船舶的尺度，它们的低频特征十分显著，在波浪中的运动也不同于一般的浮体。在这些情况下，就有必要研究二阶及高阶波浪力对浮体水弹性响应的影响，从而建立非线性水弹性研究方法。在上世纪末，Maeda [14]研究了作用于超大型浮体的二阶波浪载荷和波浪漂移力，采用了薄板水动力理论把浮体简化为浮于水面的弹性板，并在此基础上进行了水弹性分析。但它仅仅只是理论上分析了二阶水动力对弹性体的作用。
3. 二阶和高阶波浪力相关研究
海洋工程结构物受到的非线性波浪荷载计算是一项重要的研究课题，其中对二阶波浪力的数值预报是主攻方向之一。尤其对于柔性或漂浮结构物，波浪的非线性作用是其共振响应的主要因素之一。近年来通过求解二阶速度势确定完整的二阶波浪载荷的工作已取得不少成果。
二阶波浪问题的计算一般依据势流的假设，将速度势分为入射势、绕射势和辐射势，分别进行求解。二阶波浪力通过物面上压力的积分，在正则摄动展开下保留到波陡的二阶项（Ogilvie [15]）而得到。二阶力可以分解为几部分作用的结果：二阶势的贡献，一阶势平方项的贡献和一阶波面的贡献等。由于计算二阶势的自由水面条件是非齐次、缓慢振荡衰减的，二阶势的贡献成为二阶问题计算中的主要困难。
对于二阶势及二阶波浪力计算，目前采用有两种方法，其一是间接方法，应用格林定理和一个替代函数来避开二阶速度势的直接计算。Bowers [16]采用完全忽略二阶绕射势和辐射
势的影响，而仅用Froude-Krylov 型近似来计算由二阶速度势势项产生的波浪力，他给出了二阶入射势的表达式。用他的方法，在大多数情况下，由二阶势所引起的力是非常小的。刘应
并借助于Dirac δ函数严格地处理中、谬国平[17]用正则摄动法建立了二阶绕射势的定解问题，
了非齐次自由面条件，得到了完善和严密的二阶绕射势解，从而获得了绕射问题中完整的二阶波浪力表达式和理论计算结果。计算结果与Kyuzuka 的试验数据进行了比较，吻合良好。
第二种方法是直接计算二阶势，然后在物面上对二阶势的压力进行积分（Hunt and Baddour [18]，Kim and Yue[19] [20]）。滕斌通过一个无速度势二阶空间导数，无奇异积分的积分方程，应用高阶边界元方法求解出二阶势，对任意波浪与任意形状三维物体的相互作用进行了研究。这种方法对二阶速度势进行了精确求解，但是容易造成部分物理量离散，计算结果没有足够收敛，计算量较大，精度难以保证。戴遗山[21]和贺五洲[22]利用简单Green 函数法，对速度势进行特征函数展开，对浮体的绕射问题给出了精确的二阶速度势的解法，并证明了物面条件的非线性部分对二阶力的贡献是主要的。
除了二阶方法外，Kinoshita and Bao[23]利用特征函数展开法计算了三阶波浪力并与已有结果进行了比较，其中适用于压力分布问题的格林函数被用于处理高阶问题的各类自由面条件；Markiewicz [24]利用摄动展开法计算了作用于在水中振动的竖直柱体的三阶水动力载荷的三阶谐振现象，通过引入类似于Haskind 理论定义的线性化辐射势，避免了三阶速度势对三阶力贡献的直接计算。
4. 结论
通过以上分析，超大型浮体的水弹性分析和二阶波浪力的理论研究已经较为成熟，但还存在以下几点不足：（1）大多数非线性水弹性研究并未应用二阶波浪力及高阶波浪力，一般只是计算一阶速度势对二阶波浪力的贡献，而忽略二阶及高阶项的计算；（2）在二阶和高阶速度势计算中，一般会忽略辐射势的计算而是直接计算绕射势从而得出速度势和波浪力的解。而辐射势所导致的波浪力对浮体的水弹性响应的作用是不可忽略的。（3）在波浪力的计算中，不少学者已经得出了理论上的解，但是实际计算中计算量较大，对计算机的要求高。因此，如何找出一个提高精度而速度快的算法，也是一个有待解决的问题。
综上所述，如何将精确求解出二阶波浪力并将其应用在超大型浮体的非线性水弹性，以模拟更接近实际波浪情况的浮体运动及变形，将是今后研究的一个重点和难点。
参考文献
[1] YAGO K, Forced oscillation test of flexible floating structure and hydrodynamic pressure [A], Proc of 13th
ocean Engineering Symposium [C], 1995, 313-320
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test with large scale mode) [J], JSNA, 1996, 180: 341-352
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[5] 王志军，箱式超大型浮体结构的水弹性响应研究 [D]，上海：上海交通大学，2001
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[10]张淑华，韩满生，用直接法分析超大型浮体的水弹性响应[J]，海洋工程，2004，Vol22，No1，9-18
[11] TSUBOGO T., A basic investigation on deflection wave propagation and strength of very large floating
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[12] SONG H, CHIW C, L IU Y Z., Comparison of linear level I Green-Naghdi theory with linear wave theory for
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[13] SETO H, OCH I M., A hybrid element app roach to hydroelastic behavior of a very large floating structure in
regular waves [A], Proc of 2nd International Conference on Hydroelasticity in Marine Technology [C], Fukuika: 1998, 185-193
[14] Maeda, H., Masuda, K., Miyajima, D. and Ikoma T., Hydroelastic responses of pontoon type very large
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[16] Bowers, E.C., Long-period oscillations of moored ships subject to short-wave seas[A], Trans, Roy.Inst. Nav.
Arch., London[C], 1979, Vol.118, 181-191
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[19] Kim M H, and Yue D K P. The complete second-order diffraction waves around an axisymmetric body, Part
Ⅰ[J], Monochromatic Waves, Journal of Fluid Mechanics, 1988,200,235-264
[20] Kim M H, and Yue D K P. The complete second-order diffraction waves around an axisymmetric body, Part
Ⅱ[J], Bichromatic Waves, Journal of Fluid Mechanics, 1990,211,557-593
[21] 戴遗山，舰船在波浪中运动的频域和时域势流理论[M]. 北京：国防工业出版社，1998
[22] 贺五洲，陈炜，Stokes 波在铅垂圆柱上绕射的二阶分析[J]，工程力学，2004，Vol.21,No.6,177-182
[23] Kinoshita, T. Bao, W. & Sunahare, S., Wave drift damping of multiple vertical cylinders: prediction and
measurement[A], Proceedings of Intermational Workshop on Floating Structures In Coastal Zone[C], Yokosuk, Japan,1994
[24] Markiewicz, M., Letkowski, P. and Mahrenholtz, O., Third-order hydrodynamic loads on an oscillating
vertical cylinder in water, Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering[J],1999,121,1,16-21
The Theory and Method of Nonlinear Hrdroelastic Analyses
of the very large floating structure
Yu Wenqi
School of Traffic & Ocean of Hohai University, Nanjing Jiangsu（210098）
Abstract
The research on the hrdroelastic analysis of the very large floating structure and the second-order wave force has been developed. But the second-order or high order wave force is not applied on most of the nonlinear hrdroelastic analyses. They only consider the contribution of the first-order wave velocity potential to the second order force, and ignore the calculation of the second order wave potential.In this paper, a comprehensive review is conducted about the current research status. Based on this, future directions for further improvement of the prediction methods are proposed.
Keywaords: the very large floating structure, nonlinear, Hrdroelastic Analyses
超大型浮体非线性水弹性原理及研究方法
于文琪
河海大学交通学院海洋学院，南京（210098）
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摘 要：近年来，超大型浮体的水弹性分析和二阶波浪力的理论研究已经较为成熟，但是大多数非线性水弹性研究并未应用二阶波浪力及高阶波浪力，一般只是计算一阶速度势对二阶波浪力的贡献，而忽略二阶及高阶项的计算。本文对超大型浮体水弹性力学理论及与二阶和高阶波浪相关的分析方法的国内外情况作了介绍，并对今后需要开展的研究工作的方向提出了自己的看法。
关键词：超大型浮体，非线性，水弹性响应
中国分类号：U661.1
1. 引言
水弹性力学将浮体结构力学和浮体水动力学有机地结合起来，为评估柔性浮体结构的总体性能提供了一个更具一致性和合理性的方法。水弹性理论至今已发展了20多年，着重研究线性问题。而超大型浮体的尺度远大于入射波波幅，所以超大型浮体的水弹性问题一般被考虑为线性问题。但是浮体运动时所引起的二阶力及瞬时湿表面变化引起的二阶流体力可能对浮体产生较大的非线性影响，所以就有必要研究二阶及高阶波浪力对超大型浮体水弹性响应的影响，为实际分析提供理论依据。
2. 超大型浮体水弹性分析原理及相关研究
2.1 水弹性分析原理
浮体在波浪中运动，不但会产生刚体六个自由度运动，而且会产生振动和弹性变形。浮体在波浪中振动，大致分为两种：一种是由简谐波浪干扰力作用引起的稳态强迫振动，称为波激振动；另一种是波浪冲击力作用，引起浮体瞬态强迫振动，称为砰击振动，有时也称为冲荡。一般情况下，浮体是假设为刚体，忽略其弹性变形，用‘切片理论’求得结构在波浪中的运动和受力厚，再由材料力学方法，得到结构的弯矩和剪力。但是当浮体的尺度增大时，比如超大型浮体，它是一个极为扁平的柔性结构物，在计算中就不能假设为刚体，而应作为弹性体，用水弹性理论进行分析。
水弹性的概念最早是在二十世纪五十年代末期从空气弹性学中引进的，当时的定义是，水弹性是考虑到惯性力、水动力和弹性力之间相互影响的一种现象。水弹性力学是研究流体与固体相互作用的的一门力学学科．它需要考虑惯性力、水动力和弹性力的耦合作用，把水动力学的方程和结构动力学的方程联合起来求解。水弹性力学的核心是考虑各种不同类型力之间的相互耦合作用。不论导致流固系统运动的来源如何，一般而言，作用于结构湿表面上的流体压力将使结构的动力状态发生改变．反过来，结构的运动和变形又使周围流体的压力场、流动及波形发生变化。
2.2 超大型浮体水弹性分析研究
目前解决波浪与海洋结构物之间相互作用问题的研究手段主要有物理模型实验与数值模拟两个大的方面。由于超大型浮体的模型与实体间缩尺比过大，且水平尺度远大于竖直尺度，难以进行水弹性响应的试验研究。因此，关于超大型浮体结构的试验研究的报道，除了
Yago [1]、Yago and Endo [2]、Yamashita [3]、Otha [4]和王志军 [5]、吕海宁等 [6]等少数外并不多见，但理论研究发展得较为迅速。
目前，超大型浮体水弹性的分析方法大致上分为直接计算法和模态分析法。前者根据流场控制方程和结构振动微分方程，进行近似和简化处理后直接求解控制方程。但是在求解方程组过程中，计算量较大，对计算机的容量和计算速度要求也比较高。最早采用直接法进行直接计算的是Mamidipudi and Webster[7]，他们采用中心有限差分法直接求解耦合的水弹性方程组。此后，Ohkusu and Nanba[8] [9]对刚方法进行了改进，将结构当作一块平板，通过一定的量级分析，忽略小量，最后求解一个六阶微分方程, 为了避免求解高阶微分方程，他们将挠度和压力化为一组线性代数方程进行求解。张淑华、韩满生[10]则将浮体简化成弹性平板，用压力分布法计算出流体压力，然后用直接法计算流体-结构系统来进行水弹性分析。
模态分析法则是将浮体结构的运动和变形进行模态展开，计算每个模态的水动力，求解运动方程后得到各个模态的运动、变形，然后叠加得到浮体结构的运动和变形。模态分析法可以大大降低自由度数目，但一般来说仅适用于线性系统或特殊的非线性问题。Song [11]基于线性波理论和薄板理论，采用边界积分方程方法来求解控制方程，用有限差分方法对边界条件进行离散，利用边界上的连续性条件联合求解，由于将六阶的流固耦合控制方程化为3个二阶微分方程的乘积形式，使得该高阶微分方程得以求解，计算量大大减少。Tsubogo [12]将浮体简化为弹性地基上的均匀梁或矩形板，研究了该模型在无限水深或定常水深下的水弹性问题。Seto and Ochi [13]研究了任意形状、厚度和刚度的板在具有防波堤的倾斜海底条件下的水弹性问题。
水弹性理论发展至今，着重研究线性问题。而线性理论主要研究小运动浮体在流体中的结构频率特征处于波频范围内或大于波频频段的弹性体。在高海况条件下浮体做大幅运动时其刚体运动引起的二阶力及瞬时湿表面变化引起的二阶流体力可能对浮体产生较大的非线性影响。当海洋浮体的尺度大为增加时，远远超过常规船舶的尺度，它们的低频特征十分显著，在波浪中的运动也不同于一般的浮体。在这些情况下，就有必要研究二阶及高阶波浪力对浮体水弹性响应的影响，从而建立非线性水弹性研究方法。在上世纪末，Maeda [14]研究了作用于超大型浮体的二阶波浪载荷和波浪漂移力，采用了薄板水动力理论把浮体简化为浮于水面的弹性板，并在此基础上进行了水弹性分析。但它仅仅只是理论上分析了二阶水动力对弹性体的作用。
3. 二阶和高阶波浪力相关研究
海洋工程结构物受到的非线性波浪荷载计算是一项重要的研究课题，其中对二阶波浪力的数值预报是主攻方向之一。尤其对于柔性或漂浮结构物，波浪的非线性作用是其共振响应的主要因素之一。近年来通过求解二阶速度势确定完整的二阶波浪载荷的工作已取得不少成果。
二阶波浪问题的计算一般依据势流的假设，将速度势分为入射势、绕射势和辐射势，分别进行求解。二阶波浪力通过物面上压力的积分，在正则摄动展开下保留到波陡的二阶项（Ogilvie [15]）而得到。二阶力可以分解为几部分作用的结果：二阶势的贡献，一阶势平方项的贡献和一阶波面的贡献等。由于计算二阶势的自由水面条件是非齐次、缓慢振荡衰减的，二阶势的贡献成为二阶问题计算中的主要困难。
对于二阶势及二阶波浪力计算，目前采用有两种方法，其一是间接方法，应用格林定理和一个替代函数来避开二阶速度势的直接计算。Bowers [16]采用完全忽略二阶绕射势和辐射
势的影响，而仅用Froude-Krylov 型近似来计算由二阶速度势势项产生的波浪力，他给出了二阶入射势的表达式。用他的方法，在大多数情况下，由二阶势所引起的力是非常小的。刘应
并借助于Dirac δ函数严格地处理中、谬国平[17]用正则摄动法建立了二阶绕射势的定解问题，
了非齐次自由面条件，得到了完善和严密的二阶绕射势解，从而获得了绕射问题中完整的二阶波浪力表达式和理论计算结果。计算结果与Kyuzuka 的试验数据进行了比较，吻合良好。
第二种方法是直接计算二阶势，然后在物面上对二阶势的压力进行积分（Hunt and Baddour [18]，Kim and Yue[19] [20]）。滕斌通过一个无速度势二阶空间导数，无奇异积分的积分方程，应用高阶边界元方法求解出二阶势，对任意波浪与任意形状三维物体的相互作用进行了研究。这种方法对二阶速度势进行了精确求解，但是容易造成部分物理量离散，计算结果没有足够收敛，计算量较大，精度难以保证。戴遗山[21]和贺五洲[22]利用简单Green 函数法，对速度势进行特征函数展开，对浮体的绕射问题给出了精确的二阶速度势的解法，并证明了物面条件的非线性部分对二阶力的贡献是主要的。
除了二阶方法外，Kinoshita and Bao[23]利用特征函数展开法计算了三阶波浪力并与已有结果进行了比较，其中适用于压力分布问题的格林函数被用于处理高阶问题的各类自由面条件；Markiewicz [24]利用摄动展开法计算了作用于在水中振动的竖直柱体的三阶水动力载荷的三阶谐振现象，通过引入类似于Haskind 理论定义的线性化辐射势，避免了三阶速度势对三阶力贡献的直接计算。
4. 结论
通过以上分析，超大型浮体的水弹性分析和二阶波浪力的理论研究已经较为成熟，但还存在以下几点不足：（1）大多数非线性水弹性研究并未应用二阶波浪力及高阶波浪力，一般只是计算一阶速度势对二阶波浪力的贡献，而忽略二阶及高阶项的计算；（2）在二阶和高阶速度势计算中，一般会忽略辐射势的计算而是直接计算绕射势从而得出速度势和波浪力的解。而辐射势所导致的波浪力对浮体的水弹性响应的作用是不可忽略的。（3）在波浪力的计算中，不少学者已经得出了理论上的解，但是实际计算中计算量较大，对计算机的要求高。因此，如何找出一个提高精度而速度快的算法，也是一个有待解决的问题。
综上所述，如何将精确求解出二阶波浪力并将其应用在超大型浮体的非线性水弹性，以模拟更接近实际波浪情况的浮体运动及变形，将是今后研究的一个重点和难点。
参考文献
[1] YAGO K, Forced oscillation test of flexible floating structure and hydrodynamic pressure [A], Proc of 13th
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The Theory and Method of Nonlinear Hrdroelastic Analyses
of the very large floating structure
Yu Wenqi
School of Traffic & Ocean of Hohai University, Nanjing Jiangsu（210098）
Abstract
The research on the hrdroelastic analysis of the very large floating structure and the second-order wave force has been developed. But the second-order or high order wave force is not applied on most of the nonlinear hrdroelastic analyses. They only consider the contribution of the first-order wave velocity potential to the second order force, and ignore the calculation of the second order wave potential.In this paper, a comprehensive review is conducted about the current research status. Based on this, future directions for further improvement of the prediction methods are proposed.
Keywaords: the very large floating structure, nonlinear, Hrdroelastic Analyses