小学数学解题能力训练二十五
一、填空题：
31 满足下式的填法共有 种?
口口口口-口口口=口口
【答案】4905。
【解】由右式知，本题相当于求两个两位数a 与b 之和不小于100的算式有多少种。
a=10时，b 在90 99之间，有10种；
a=11时，b 在89 99之间，有11种；
……
a=99时，b 在1 99之间，有99种。共有
10+11+12+……99=4905(种) 。
【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例。数学模型的类比联想是解题关键。
34 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图) ，每个五边形与5个六边形相连，每个六边形与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是_______ 。
【答案】3︰5。
【解】设有X 个五边形。每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X 个六边形，可是每个
5X
六边形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍，所以六边形有3
X :5
3X 3:5个。
36 用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：
如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形，那么，这四种图形的编号和的最大值是______．
【答案】19.
【解】为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的图形，于是，可以拼出，由：(7)，(6)，
(5)，(1)；(7)，(6)，(4)，(1)；(7)，(6)，(3)，(1)组成的面积是16的正方形：
显然，编号和最大的是图1，编号和为7＋6＋5＋1＝19，再验证一下，并无其它拼法．
【提示】注意从结果入手的思考方法。我们画出面积16的正方形，先涂上阴影（６）（７），再涂出（５），经过适当变换，可知，只能利用（１）了。
而其它情况，用上（６）（７），和（４），则只要考虑（３）（５）这两种情况是否可以。
40 设上题答数是a ，a 的个位数字是b ．七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内
的数之和等于连线上的已知数，那么写A 的圆内应填入_______．
【答案】A ＝６
【解】如图所示：
B ＝A －4,
C ＝B ＋３，所以C ＝A －１;
D=C＋3，所以D ＝A ＋２;
而A ＋D ＝14;
所以A ＝（14－2）÷2＝6.
【提示】本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，
从而得到最后的和差关系来解题。
43 某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是_______．
【答案】8
【解】这个自然数减去52后，就能被187和188整除，为了说明方便，这个自然数减去52后
所得的数用M 表示，因187＝17×11，故M 能被11整除；因M 能被188整除，故，M 也能被2整除，所以，M 也能被11×2＝22整除，原来的自然数是M ＋52，因为M 能被22整除，当考虑M ＋52被22除后的余数时，只需要考虑52被22除后的余数． 52＝22×2＋8这个自然数被22除余8．
56 有一堆球，如果是10的倍数个，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如果不是10的倍数个，
就添加几个球(不超过9个) ，使这堆球成为10的倍数个，然后将这些球平均分成10堆，并且拿走9堆。这个过程称为一次操作。如果最初这堆球的个数为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．
连续进行操作，直至剩下1个球为止，那么共进行了 次操作; 共添加了 个球.
【答案】189次； 802个。
【解】这个数共有189位，每操作一次减少一位。操作188次后，剩下2，再操作一次，剩下
1。共操作189次。这个189位数的各个数位上的数字之和是
(1+2+3+…+9)20=900。
由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成9，再添1个球。所以共添球
1899-900+1=802(个) 。
60 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到
小排列，那么第二个分数是______． 9
【答案】77
【解】把693分解质因数：693＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不能约分(否则，约分后分子与分母之积就不是693) ，相同质因数要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母．分子从大到小排列是11，9，7，1，
68 在1，2，…，1997这1997个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被22
整除，那么，这样的数最多能选出______个．
【答案】91
【解】有两种选法：(1)选出所有22的整数倍的数，即：22，22×2，22×3，…，22×90＝1980，共90个数；(2)选出所有11的奇数倍的数，即：11，11＋22×1，11＋22×2…，11＋22×90＝1991，共91个数，所以，这样的数最多能选出91个．
二、解答题：
1．小红到商店买一盒花球，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原价是2元钱3个，白球原价是2元钱5个．新年优惠，两种球的售价都是4元钱8个，结果小红少花了5元钱，那么，她一共买了多少个球？
【答案】150个
【解】
用矩形图来分析，如图。
2x +2
5x -1
2⨯2x =5
容易得，3
解得: x =75
所以 2x=150
2．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师，那么在这22人中，共有爸爸多少人？
【答案】5人
【解】家长和老师共22人，家长比老师多，家长就不少于12人，老师不多于10人，妈妈和爸爸不少于12人，妈妈比爸爸多，妈妈不少于7人．女老师比妈妈多2人，女老师不少于7＋2＝9(人) ．女老师不少于9人，老师不多于10人，就得出男老师至多1人，但题中指出，至少有1名男老师，因此，男老师是1人，女老师就不多于9人，前面已有结论，女老师不少于9人，因此，女老师有9人，而妈妈有7人，那么爸爸人数是：22-9-1-7＝5(人) 在这22人中，爸爸有5人．
【提示】妙，本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出不等式的范围。 正反结合讨论的方法也有体现。
3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多大岁数？
【答案】32岁
【解】如图。
设过x 年，甲17岁，得：
[(17-x ) ⨯2+x ]⨯2=38+x
解得 x=10,
某个时候，甲17-10=7岁，乙7×2=14岁，丙38岁，年龄和为59岁，
所以到现在每人还要加上（113-59）÷3=18（岁）
所以乙现在14+18=32（岁）。
11. 甲、乙两班的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人
数恰好是乙班没有参加的人数的1/3，乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的1/4。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几? 8
【答案】9
【解】：设甲班没参加的是4x 人，乙班没参加的是3y 人
那么甲班参加的人数是y 人，乙班参加的人数是x 人
根据条件两班人数相等，所以4x+y=3y+x
3x=2y x:y=2:3
8
因此4x:3y=8:9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的9
【另解】列一元一次方程：可假设两班人数都为“1”，设甲班参加的为x ，则甲班未参加的为（1-x ）；则乙班未参加的为3x ，则乙班参加的为（1-3x ）, 可列方程：（1-x ）/4=1-3x 求x=3/11。
【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。
小学数学解题能力训练二十五
一、填空题：
31 满足下式的填法共有 种?
口口口口-口口口=口口
【答案】4905。
【解】由右式知，本题相当于求两个两位数a 与b 之和不小于100的算式有多少种。
a=10时，b 在90 99之间，有10种；
a=11时，b 在89 99之间，有11种；
……
a=99时，b 在1 99之间，有99种。共有
10+11+12+……99=4905(种) 。
【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例。数学模型的类比联想是解题关键。
34 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图) ，每个五边形与5个六边形相连，每个六边形与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是_______ 。
【答案】3︰5。
【解】设有X 个五边形。每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X 个六边形，可是每个
5X
六边形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍，所以六边形有3
X :5
3X 3:5个。
36 用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：
如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形，那么，这四种图形的编号和的最大值是______．
【答案】19.
【解】为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的图形，于是，可以拼出，由：(7)，(6)，
(5)，(1)；(7)，(6)，(4)，(1)；(7)，(6)，(3)，(1)组成的面积是16的正方形：
显然，编号和最大的是图1，编号和为7＋6＋5＋1＝19，再验证一下，并无其它拼法．
【提示】注意从结果入手的思考方法。我们画出面积16的正方形，先涂上阴影（６）（７），再涂出（５），经过适当变换，可知，只能利用（１）了。
而其它情况，用上（６）（７），和（４），则只要考虑（３）（５）这两种情况是否可以。
40 设上题答数是a ，a 的个位数字是b ．七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内
的数之和等于连线上的已知数，那么写A 的圆内应填入_______．
【答案】A ＝６
【解】如图所示：
B ＝A －4,
C ＝B ＋３，所以C ＝A －１;
D=C＋3，所以D ＝A ＋２;
而A ＋D ＝14;
所以A ＝（14－2）÷2＝6.
【提示】本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，
从而得到最后的和差关系来解题。
43 某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是_______．
【答案】8
【解】这个自然数减去52后，就能被187和188整除，为了说明方便，这个自然数减去52后
所得的数用M 表示，因187＝17×11，故M 能被11整除；因M 能被188整除，故，M 也能被2整除，所以，M 也能被11×2＝22整除，原来的自然数是M ＋52，因为M 能被22整除，当考虑M ＋52被22除后的余数时，只需要考虑52被22除后的余数． 52＝22×2＋8这个自然数被22除余8．
56 有一堆球，如果是10的倍数个，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如果不是10的倍数个，
就添加几个球(不超过9个) ，使这堆球成为10的倍数个，然后将这些球平均分成10堆，并且拿走9堆。这个过程称为一次操作。如果最初这堆球的个数为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．
连续进行操作，直至剩下1个球为止，那么共进行了 次操作; 共添加了 个球.
【答案】189次； 802个。
【解】这个数共有189位，每操作一次减少一位。操作188次后，剩下2，再操作一次，剩下
1。共操作189次。这个189位数的各个数位上的数字之和是
(1+2+3+…+9)20=900。
由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成9，再添1个球。所以共添球
1899-900+1=802(个) 。
60 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到
小排列，那么第二个分数是______． 9
【答案】77
【解】把693分解质因数：693＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不能约分(否则，约分后分子与分母之积就不是693) ，相同质因数要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母．分子从大到小排列是11，9，7，1，
68 在1，2，…，1997这1997个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被22
整除，那么，这样的数最多能选出______个．
【答案】91
【解】有两种选法：(1)选出所有22的整数倍的数，即：22，22×2，22×3，…，22×90＝1980，共90个数；(2)选出所有11的奇数倍的数，即：11，11＋22×1，11＋22×2…，11＋22×90＝1991，共91个数，所以，这样的数最多能选出91个．
二、解答题：
1．小红到商店买一盒花球，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原价是2元钱3个，白球原价是2元钱5个．新年优惠，两种球的售价都是4元钱8个，结果小红少花了5元钱，那么，她一共买了多少个球？
【答案】150个
【解】
用矩形图来分析，如图。
2x +2
5x -1
2⨯2x =5
容易得，3
解得: x =75
所以 2x=150
2．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师，那么在这22人中，共有爸爸多少人？
【答案】5人
【解】家长和老师共22人，家长比老师多，家长就不少于12人，老师不多于10人，妈妈和爸爸不少于12人，妈妈比爸爸多，妈妈不少于7人．女老师比妈妈多2人，女老师不少于7＋2＝9(人) ．女老师不少于9人，老师不多于10人，就得出男老师至多1人，但题中指出，至少有1名男老师，因此，男老师是1人，女老师就不多于9人，前面已有结论，女老师不少于9人，因此，女老师有9人，而妈妈有7人，那么爸爸人数是：22-9-1-7＝5(人) 在这22人中，爸爸有5人．
【提示】妙，本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出不等式的范围。 正反结合讨论的方法也有体现。
3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多大岁数？
【答案】32岁
【解】如图。
设过x 年，甲17岁，得：
[(17-x ) ⨯2+x ]⨯2=38+x
解得 x=10,
某个时候，甲17-10=7岁，乙7×2=14岁，丙38岁，年龄和为59岁，
所以到现在每人还要加上（113-59）÷3=18（岁）
所以乙现在14+18=32（岁）。
11. 甲、乙两班的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人
数恰好是乙班没有参加的人数的1/3，乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的1/4。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几? 8
【答案】9
【解】：设甲班没参加的是4x 人，乙班没参加的是3y 人
那么甲班参加的人数是y 人，乙班参加的人数是x 人
根据条件两班人数相等，所以4x+y=3y+x
3x=2y x:y=2:3
8
因此4x:3y=8:9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的9
【另解】列一元一次方程：可假设两班人数都为“1”，设甲班参加的为x ，则甲班未参加的为（1-x ）；则乙班未参加的为3x ，则乙班参加的为（1-3x ）, 可列方程：（1-x ）/4=1-3x 求x=3/11。
【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。