考点一、求函数的定义域（选择题）
第一章 函数极限与连续
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。这类题一般有两种类型： 1、给定解析式的函数求定义域。
(1)
1
⇒ ≠0;
(2) ≥0; (3)log a ⇒ >0;
π
arcsin ⎫tan ⇒ ≠k π+；(4)2(k 为整数) ⎬⇒-1≤ ≤1; (5) arccos ⎭
cot ⇒ ≠k π；
(6) 对于实际问题则需保证其具有符合题意的实际意义． 方法一：解不等式组法；方法二：取值验证法 2、含有符号f 抽象函数的定义域。
1）若已知f (x ) 的定义域为[a , b ], 求f ⎡⎣ϕ(x )⎤⎦的定义域.
解法：令u =ϕ(x ), 由a ≤u ≤b ⇒a ≤ϕ(x ) ≤b , 求出x 的取值范围.
2）若已知f ⎡⎣ϕ(x )⎤⎦的定义域为[a , b ], 求f (x ) 的定义域。 解法：由a ≤x ≤b ⇒ϕ(x ) 的范围。
总之，这类题要求理解自变量的具体含义。即弄清“函数—中间变量--自变量”的关系。
例1
函数y =arcsin
2x -1
的定义域为( ) 7
A. [2,3] B. [-3,4] C. [-3, 4) D. (-3, 4)
⎧16-x 2≥0 ⇒ -4≤x ≤4⎪
⇒-3≤x ≤4 解法一：⎨2x -1
-1≤≤1 ⇒ -3≤x ≤4⎪
7⎩
解法二：取x =-3, x =4验证均有意义, 应选B ． 例2
函数f (x ) =
1
的定义域为（ ） ln x
A . (-2, 2) B. [0,1)⋃(1,2] C. (-2,1) ⋃(1,2) D. (0,1)⋃(1,2)
⎧4-x 2>0
⇒0
⎩x >0且x ≠1
解法二（排除法）：因为负数不能取自然对数，所以 A 、C 是 错误的；
=0, 在分母上无意义，即B 也是错误的.
应选D.
例3已知f (2x -1) 的定义域为[0,1], 则f (x ) 的定义域为( ) A. [,1] B. [-1,1] C. [0,1] D. (-1, 2) 解：因为0≤x ≤1⇒0≤2x ≤2⇒-1≤2x -1≤1, 所以应选B. 例4设函数f (x ) 的定义域为-1,1], 则e
1
2
(
f (x -1)
的定义域为( )
-1, 1-2, 0 A .[-2, 2] B . ( ] C . ( ] D .(0,2]
解：因为 -1
考点二、求函数的表达式（填空）
1、已知 f [g (x )]和g (x ) 的表达式, 求
f (x ) 的表达式.
方法一：换元法。 方法二：凑项法。
x +1x +1
) =2(x ≠0) , 则f (x ) = . x x x +11
=u . 得x = 解法一：设 x u -11+1 f (u ) = ) 所以f (x ) =x (x -1) =u u (-12() u -1
x +1x +11x +1x +1
) =⋅=(-1) , 所以f (x ) =x (x -1) 解法二：f (x x x x x
例1 设函数 f (
2
例2 设f (x +1) =x +2, 则f (x -2) =.
解法一：设x +1=u , 则x =u -1 f (u ) =(u -1) +2=u -2u +3
所以f (x -2) =(x -2) -2(x -2) +3=x -6x +11 解法二：f (x +1) =x +2=(x +1) -2(x +1) +3 所以f (x -2) =(x -2) -2(x -2) +3=x -6x +11 2、已知 f (x ) 和g (x ) 的表达式, 求
2
2
2
2
2
2
2
2
f ⎡⎣g (x ) ]的表达式.
方法：代入法。即将f (x ) 中的x 换成g (x ) 代入化简. 例3 设f (x ) =2x +5, 则f [f (x ) -1]= .
解：f (x ) -1=2x +4 所以f [f (x ) -1]=2(2x +4) +5=4x +13
x
, 则f [f (x )]= . 1-x
x
f (x ) x 1
解：f [f (x )]===(x ≠1, x ≠)
1-f (x ) 1-x 1-2x 2
1-x
考点三、函数的奇偶性与有界性判定（选择题）
例4 已知f (x ) =
1、函数的奇偶性判定方法
（1）定义法： f (-x ) =f (x ) ，则f (x ) 为偶函数。 f (-x ) =-f (x ) ， 则f (x ) 为奇函数。
（2）利用奇偶函数的运算性质
奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 若外层函数或内层函数只要有一个是偶函数，则复合函数一定是偶函数 （3）奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称。 （4）常见的奇函数：
y =sin x , y =tan x , y =arc sin x , y =arctan x , y =x 2n -1 常见的偶函数： y =cos x , y =x , y =x , y =C （5
）y =x ) 为奇函数。
（６）f (x ) +f (-x ) 是偶函数，f (x ) -f (-x ) 是奇函数 例1
函数y =x x )(-∞
A ．偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性
解：f (-x ) =-x x ) =x 2n
=x x ) =f (x )
所以f (x ) 为偶函数。应选A.
例２ 在区间[-1, 1]上，设函数f (x ) 是偶函数，那么-f (x ) （ ） A 是奇函数 B 是偶函数
C 既不是奇函数也不是偶函数 D 不能被判定奇偶性
解：记g (x ) =-f (x ) ，则在[-1, 1]上，有g (-x ) =-f (-x ) =-f (x ) =g (x ) ， 即-f (x ) 为偶函数，故选B ．
例３. 下列函数中, 图形关于y 轴对称的是 （ ）
A ．y =x cos x B. y =x 3+x +1
2x -2-x 2x +2-x
C. y = D. y =
22
2x +2-x
解：图形关于y 轴对称, 就是考察函数是否为偶函数, 显然函数y =为偶函数,
2
应选D.
例４. 下列函数中为奇函数的是 （ ）
e x +e -x
A.f (x ) = B. f (x ) =x tan x
2
C. f (x ) =ln(x D. f (x ) =【答案】C.
解
: f (-x ) =ln(-x +，
x
1-x
f (x ) +f (-x ) =ln(-x +ln(x =ln1=0
2、函数有界性的判定
（1）函数的有界性，是指函数值的有界性，f (x ) ≤M ，而且有界性具有区间的相对性，即在某一区间上有界的函数，在另一区间上就不一定有界。
（2）外层函数有界，则复合函数一定有界。 例5 函数y =sin
1
是定义域内的（ ） x
A. 周期函数 B. 单调函数 C. 有界函数 D. 无界函数 解：因为sin
1
≤1，所以它是有界函数，应选Ｃ x
考点四、 反函数的求法（填空题）
1、反函数的概念
2、求函数的反函数的步骤：
-1
（1）将y =f (x ) 看作关于x 的方程，解出x =f (y ) ；
-1
（2）把x 与y 互换，得到反函数y =f (x ) ；
（3）写出反函数的定义域．
反函求法有三步，反解互换定义域
-1
例１ 函数f (x ) =1-ln(2x +1) 的反函数f (x ) = .
解：设y =1-ln(2x +1) ，则ln(2x +1) =1-y 2x +1=e
1-y
, x =
11-y
(e -1) 2
即f
-1
(x )=
11-x
(e -1),(-∞
考点五 判断函数是否相同
主要确定定义域与对应法则是否完全相同． 例1． 下列各对函数相同的是( ) ．
2
Ａ．y =x 与 Ｂ．
y =x 与y=
x 2-1Ｃ． y=2lnx 与y=ln x Ｄ．x -1与
x +1
2
解：两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致．只有Ａ中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数．这是因为：
Ａ两个函数的定义域都是R ，对应关系也完全相同，即x =Ｂ定义域不同． y =x 的定义域为R ，y =(x ) 2
x 2．
2
的定义域为[0, +∞)．
Ｃ定义域不同． y =ln x 2的定义域为(-∞, 0)⋃(0, +∞)，y= 2lnx 的定义域为(0, +∞)．
x 2-1Ｄ定义域不同． y =x -1的定义域为R ， y =的定义域为{x x ∈R , x ≠-1}．
x +1
例２．在区间(0, +∞) 内，与函数f (x ) =ln 2x 相等的函数是（ ）．
A ．y =ln x B ．y =
1
ln x 2 2
C ．y =ln x D ．y =ln x 解：我们知道x =x ，因此选D ． 例３．下面函数与y =x 为同一函数的是（ ）
A . y =
2
B . y =
2
x C . y =e ln x D . y =l n e
解： y =ln e x =x ln e =x ，且定义域(-∞, +∞)， ∴选D 考点六 极限的概念与函数的连续性
１．数列的极限lim a n =A ⇔lim a 2n =lim a 2n +1=A
n →∞
n →∞
n →∞
２．函数的极限lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A
x →∞
x →+∞
x →-∞
f (x ) =lim f (x ) =A （极限存在左右等） lim f (x ) =A ⇔lim -+
x →x 0
x →x 0
x →x 0
３．函数f (x ) 在点x 0处连续⇔lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
f (x ) =lim f (x ) =f (x 0) （函数连续左右连） ⇔lim -+
x →x 0
x →x 0
例1 求下列函数的极限： （1）lim
x →2
x -2x 2-4
，
1⎧
⎪x sin +a , x
（2）f (x )=⎨ 当a 为何值时，f (x ) 在x =0的极限存在. x
2
⎪, x >0, ⎩1+x
解 (1)lim -
x →2
x -2x 2-4=lim +
x →2
=lim -
x →2
2-x 1
=-,
(x -2)(x +2) 4
x →2
lim +
x -2x 2-4
x -21
=,
(x -2)(x +2) 4
因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．
（2）由于函数在分段点x =0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点x =0处的左极限与右极限．于是，有
x →0
lim f (x ) =lim (x sin --
x →0x →0
11
+a ) =lim (x sin ) +lim a =a ，
x →0-x x x →0-
2
f (x ) =l i m (1+x ) =1， l i m ++
x →0
f (x ) =lim f (x ) ， 为使lim f (x ) 存在，必须有lim +-
x →0
x →0
x →0
因此 ，当a =1 时， lim f (x ) 存在且 lim f (x ) =1．
x →0
x →0
小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有
左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．
例２．f (x ) =2在x =0处 ( C ).
(A) 有定义； (B) 极限存在； (C) 左极限存在； (D) 右极限存在. 解 因f (x ) =2，在x =0处无定义，
1x
1x
1x
x →0-
lim f (x ) =lim 2=0，即f (x ) =2在x =0处左极限存在， -
x →0
1
x
1x
x →0+
lim f (x ) =lim 2=+∞，即f (x ) =2在x =0处右极限不存在， +
x →0
1
x
由极限存在的充要条件，可知函数f (x ) =2在x =0处的极限不存在．
1x
⎧1
⎪e x , x
例３． 讨论f (x ) =⎨0,0≤x ≤1，在x =0, x =1连续性
⎪ln x ⎪, x >1⎩x -10=0，且f (0)=0 e =0, lim 解：（1）在x =0处， lim +-
x →0
x →0
1
x
∴f (x )在x =0处连续
0=0, lim （2）在x =1处， lim -+
x →1
x →1
ln (1+t )ln x =lim =1 +
x →0x -1t
∴f (x )在x =1不连续
⎧x
⎪e , x
x =0, 求lim f (x ), lim f (x ) , 并问f (x ) 在x =0处是否连续； 例４． 设f (x ) =⎨1,
x →0x →0
⎪sin x
, x >0, ⎪x ⎩
-
+
f (x ) =lim e =1，lim f (x ) =lim 解 lim --++
x →0
x →0
x →0
x →0
x
sin x
=1 ，所以lim f (x ) =1．
x →0x
且f (0) =1，即lim f (x ) =f (0) ，所以函数f (x ) 在x =0处连续．
x →0
例 ５ 讨论函数
⎧x
⎪
1f (x ) =⎨x sin ⎪x ⎩
x →0
, ,
x ≤0x >0
， 在点x =0处的连续性．
f (x ) =lim x =0, lim f (x ) =lim x sin 解 因为lim --++
x →0
x →0
x →0
1
=0， x
而f (0) =0, 即
x →0-
lim f (x ) =lim f (x ) =f (0) =0， +
x →0
所以由函数在一点连续的充要条件知f (x ) 在x =0处连续． 考点七、无穷小阶的比较（选择题）
无穷小阶的比较是通过两者之比的极限值而确定高低阶的．
１、设α(x ) 与β(x ) 是在自变量的同一变化过程中的无穷小，其中α(x ) ≠0．
（１） 若lim
β(x )
=0，则称β(x ) 是比α(x ) 高阶的无穷小，记作β(x ) =ο(α(x )) α(x )
β(x )
=∞，则称β(x ) 是比α(x ) 低阶的无穷小； α(x )
β(x )
=C ≠0，则称β(x ) 与α(x ) 是同阶的无穷小； α(x )
β(x )
=1，则称β(x ) 与α(x ) 是等价的无穷小；记作β(x ) α(x ) α(x )
（２） 若lim
（３） 若lim
特别的，若lim
２、常用的等价的无穷小
当 →0时， sin tan
α
arcsin arctan e -1 ln(1+ )
2
(1+ ) -1 α 1-cos 2
例１、当x →0时，x -sin x 是x 的（ ）
Ａ．高阶的无穷小 Ｂ．低阶的无穷小 Ｃ．同阶但非等价无穷小 Ｄ．等价无穷小
2
x 2-sin x sin x
=lim(x -) =-1，所以应选Ｃ． 解：因为lim
x →0x →0x x
例２、当x →0时，下列无穷小量中与x 等价的是（ ）
Ａ．2x -x
Ｃ．ln(1+x ) Ｄ．sin x 解：因为当x →0时，ln(1+x ) x ，所以应选Ｃ． 例３、当x →0时，无穷小1-cos x 是x 的（ ）
Ａ．等价无穷小 Ｂ．同阶无穷小 Ｃ．高阶的无穷小 Ｄ．低阶的无穷小
2
2
2
4
x 424
解：因为1-cos x ，所以无穷小1-cos x 与x 同阶的无穷小．
2
2
考点八、两个重要极限公式（计算题）
sin x sin
=1 推广lim =1 1．lim
x →0x →0x
特点：（１）属于未定型；
（２）正弦函数内的项与分母完全相同且趋于０； （３）极限为１．
1
⎛1⎫
２．lim 1+⎪=e 或lim (1+x )x =e
x →0x →∞
⎝x ⎭
x
1
⎛1⎫ 推广lim 1+⎪=e 或lim (1+ )=e
→0 →∞
⎝ ⎭
特点：（１）属于1未定型；
（２）底为两项和“１＋无穷小”且第二项与指数部分完全相同；
（３）极限等于e ．
解题方法：利用重要极限公式去极限就是将函数凑成公式的结构特点，运用公式解出答案． 例１．lim
x →0
∞
x 2x
sin
5
2
=
.
解：原式＝lim
x →0
1sin
2x
2
=lim
x →0
25x ⎫⎛sin ⎪ ⎪ ⎪⎝5⎭
2
=25．
例２．求极限lim
cos x -cos 3x
x →0x 2
解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限 原式=lim
2sin x sin 2x sin x sin 2x
lim ⋅lim (4⋅) =1⨯4=4 =2x →0x →0x →∞x 2x x
x +1
⎛x -1⎫
例３．求极限lim ⎪x →∞x +1⎝⎭
解：原式＝lim 1-
．
-2
⎛
x →∞
⎝2⎫⎪x +1⎭
x +1
x +1-⎡⎤22⎛⎫⎥=e -2． =lim ⎢ 1-⎪x →∞⎢⎝x +1⎭⎥
⎣⎦
⎛x 2+2⎫
例４．求极限lim 2⎪x →∞x -3⎝⎭
解法一：原式
2
x 2+5
2
．
5
5x 2+55x 2-3545x 5-35
=lim(1+2) =lim(1+2) ⋅(1+2) =lim[(1+2) ]2=e 2． x →∞x →∞x →∞x -3x -3x -3x -3
22
5⎡x 2+2x x 2+25⎤e
) 2⋅(2) 2⎥=lim =3=e 2． 解法二：原式=lim ⎢(2
3x →∞--x -3⎦⎢x -3⎥x →∞⎡x 2⎤2⎣e 23-3
⎢(1-2) ⎥
x ⎢⎥⎣⎦
2
2(1+2) 2
x 2
5(x 2+5)
5⎡5x 2+55x 5-3⎤2(x -3)
解法三：原式=lim(1+2) =lim ⎢(1+2) ⎥=e 2.
x →∞x →∞x -3x -3⎢⎥⎣⎦
2
2
方法步骤：（１）凑底：１＋无穷小；
（２）凑指数：与底的第二项互为倒数； （３）用公式：求出答案．
考点九、函数极限与连续的反问题（填空、选择）
函数的极限与连续的反问题是已知函数的极限存在或函数在某点连续，确定待定常数的值，大部分以分段函数形式给出。
1. lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A -+
x →x 0
x →x 0
x →x 0
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A
x →∞
x →-∞
x →+∞x →x 0
f (x ) =lim f (x ) =f (x 0) ２．f (x ) 在点x 0连续⇔lim f (x ) =f (x 0) ⇔lim -+
x →x 0
x →x 0
⎧e 2ax -1
, x ≠0⎪
例1 设函数f (x ) =⎨x 在x =0处连续．则常数a =（ ）
⎪a +1, x =0⎩
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
e 2ax -12ax
=lim =2a 解：lim f (x ) =lim
x →0x →0x →0x x
又f (0)=a +1，从而2a =a +1，解得a =1，应选B ．
⎧3e 4x , x
⎪
例2 若函数f (x ) =⎨在x =0处连续．则常数a = a
⎪2x +, x ≥0⎩2
f (x ) =lim 3e 解：因为lim --
x →0
x →0
4x
.
=3. lim f (x ) =lim 2x +++
x →0
x →0
a a a
=. 又f (0)=. 222
a
=3，所以a =6 2
x +2a x
) =8，则a = 例３ 若lim(
x →∞x -a x +2a x 3a x
) =lim(1+) =e 3a . 令e 3a =8，解得a =ln 2． 解：lim(
x →∞x -a x →∞x -a
即
x 2+ax +b
=3，则a , b 分别为（ ）例４ 设lim ．
x →1x -1
A 1，1 B -1，-2 C -2，1 D 1，-2
解：选D . 将D 的结果代入极限式左端得
x 2+1∙x -2(x -1)(x +2) lim =lim =lim (x +2) =3，故选D ． x →1x →1x →1x -1x -1
x 2+ax +6
例５．已知lim 存在，则a =
x →11-x
解： lim (1-x )=0∴lim x +ax +6=0，1+a +6=0, a =-7
2
x →1
x →1
()
⎛x 2+1⎫
⎪例 ６ 已知 lim -ax -b ⎪=0，求a , b 的值. x →∞ x +1⎝⎭
x 2+1
-ax -b ) 解 因为 lim (
x →∞x +1
(1-a ) x 2-(a +b ) x +1-b
=lim
x →∞x +1
=0，
由有理函数的极限知，上式成立，必须有x 和x 的系数等于0, 即⎨
2
⎧1-a =0
，
⎩a +b =0
于是a =1, b =-1.
考点十、间断点及其分类（选择题）
１．图形认识
２．间断点指的是函数不连续的（孤立）点．即x 0的两侧必须有定义． （１）初等函数的分母为零的点一定是间断点； （２）分段函数的分界点可能是间断点． ３．间断点的分类
f (x ), lim f (x ) 均存在 第一类间断点 lim -+
x →x 0
x →x 0
f (x ) =lim f (x ) （1） 可去间断点 lim -+
x →x 0
x →x 0
f (x ) ≠lim f (x ) （2） 跳跃间断点 lim -+
x →x 0
x →x 0
f (x ), lim f (x ) 至少一个不存在 第二类间断点 lim -+
x →x 0
x →x 0
例1．点x =0是函数f (x ) =arctan
1
的（ ） x
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点
arctan 解： 因为lim -
x →0
1π1π
=-, lim arctan = x 2x →0+x 2
所以x =0是跳跃间断点，应选C ．
例２．点x =0是函数f (x ) =2-1的（ ）
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点
1x
1x
f (x ) =lim 2-1=+∞，所以应选Ｄ． 解：因为lim ++
x →0
x →0
例３．点x =0是函数y =
3-13+1
1
x
1x
的（ ）
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点
1x
1x
3=+∞. lim 3=0. lim 解：因为lim +-+
x →0
x →0
x →0
3-13+1
1
x
1x
=1, lim -
x →0
3-13+1
1x
1x
=-1
所以点x =0是跳跃间断点．应选C ．
1⎧2
x sin , x >05⎪x 例4．设函数f (x ) =⎨，则点x =0是函数f (x ) 的（ ）
1
⎪x
⎩e , x
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点
1
1
f (x ) =lim x sin 5=0, lim f (x ) =lim e x =0 解：因为lim ++--
x →0x →0x →0x →0x
2
所以所以点x =0是可去间断点，应选Ｂ．
考点十一、用零点定理判定方程根的存在性、唯一性（证明题）
1、零点定理 设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b )
ξ∈(a , b ) ，使得f (ξ) =0
端点异号与闭连, 内部至少一零点
2、方程根的存在性判定步骤： （１）构造函数f (x ) 及闭区间[a , b ]； （２） 验证f (x ) 在区间[a , b ]连续；
（３）计算f (a ), f (b ) ；判断f (a ) ⋅f (b )
6
2
f '(x ) 判定f (x ) 在区间(a , b ) 单调即可．
例1 证明方程x -3x +2x =1至少有一个正根．
解析：要证明上述方程至少有一个正根，需作一个辅助函数，并证明它在某个正的区间上连
续且在两端点上的函数值异号．
证 令f (x ) =x 6-3x 2+2x -1，则f (0) =-10，又f (x ) 在
[0, 2]上连续．由零点存在定理知，至少有一点ξ∈(0, 2) 使得
x 6-3x 2+2x =1至少有一个正根．
f (ξ) =0．即方程
例2 证明方程x =a sin x +b （其中a >0, b >0），在(0, a +b ]上至少有一个根． 证明： 令f (x ) =x -a sin x -b ，f (x ) 显然在[0, a +b ]上连续，且 f (0) =-b
当f (a +b ) =0时，x =a +b 就是满足题意的一个根；
当f (a +b ) >0时，f (0) f (a +b )
ξ∈(0, a +b ) ，使得
f (ξ) =0．即原方程在(0, a +b ) 内至少有一个根．
综上所述，x =a sin x +b 在(0, a +b ]上至少有一个根．
a ) ≠f (b ) 例3．设函数f (x ), g (x ) 均在区间[a , b ]连续，f (a ) =g (b ), f (b ) =g (a ) ，且f (
证明：存在 ξ∈(a , b ) ，使f (ξ) =g (ξ) ．
证明：令F (x ) =f (x ) -g (x ) ，显然F (x ) 在区间[a , b ]连续，
又因为f (a ) =g (b ), f (b ) =g (a ) ，且f (a ) ≠f (b )
，
F (a ) =f (a ) -g (a ) =f (a ) -f (b ). F (b ) =f (b ) -g (b ) =f (b ) -f (a )
即F (a ) F (b ) =-[f (a ) -f (b ) ]
所以至少存在一个ξ∈(a , b ) ，使F (ξ) =0，即f (ξ) =g (ξ) ．
2
考点十二 综合运用各种方法求极限（计算题）
一 求函数极限基本方法
１．利用极限存在的充分必要条件求极限 ２．利用极限运算法则求极限
例1 求下列函数的极限：
2x 2-3x 2-9(1)lim ， (2)lim 2 ，
x →3x →1x +1x -5x +6
(3) lim(
x →1
5x -121 ， (4) ． lim -) 2x →+∞1-x 1-x x +2
lim (2x 2-3) 2x 2-31
解 (1) lim =x →1=-．
x →1x +12lim (x +1)
x →1
(2) 当x →3时，分子、分母极限均为零，呈现
型，不能直接用商的极限法则，可先0
分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．
x 2-9(x -3)(x +3) x +3
原式=lim 2=lim =lim =6．
x →3x -5x +6x →3(x -3)(x -2) x →3x -2
(3) 当x →1时，
2121
-, 的极限均不存在，式呈现∞-∞型，不能22
1-x 1-x 1-x 1-x
直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即
原式=lim(
x →1
212-(1+x )
-) =lim
x →11-x 21-x 1-x 2
=lim
(1-x ) 11=lim =．
x →1(1-x )(1+x ) x →11+x 2
∞
形式．需分子分母同时除以x ，将无 ∞
(4) 当x →+∞时，分子分母均无极限，呈现
-
穷大的x 约去，再用法则求 原式=lim
x →+∞
1
x
=． 2+x
小结 （I ）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．
（II ）求函数极限时，经常出现
0∞
∞-∞等情况，都不能直接运用极限运算法则，0, ∞,
必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法．
（i ）对于∞-∞型，往往需要先通分，化简，再求极限，
（ii ）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限， （iii ）对分子、分母进行因式分解，再求极限，
（iv ）对于当x →∞时的
∞
型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极∞
限．
３．利用无穷小的性质求极限
例2 求下列函数的极限
lim
x
解不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界
1
函数，即sin x ≤1而 lim
x +x
3
x →+∞
=lim
x 1+13x
x →+∞
=0，因此当x →+∞时，
x +x
3
为
无穷小量. 根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小，即得
x lim
=0.
４．利用重要极限公式求函数的极限 ５． 利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小有
1+x ) ~e -1, 当x →0 时, x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln(1-cos x ~
12
x , 2x ~sin 2x ~tan 2x ． 2
， （2）lim
x
例3 求下列函数的极限 （1）lim
1-cos x x →03x 2tan x -sin x
． 3x →0x
12
x
1-cos x 121x →0, 1-cos x ~x ）解 （1）lim = （． lim =x →0x →03x 223x 26tan x -sin x sin x (1-cos x )
lim （2）lim =
x →0x →0sin 3x x 3cos x
x
sin x (1-cos x ) 12sin 2
=lim ⋅⋅ x →0x cos x =lim x 22x →0x
1x ⎛x ⎫
= （ x →0, sin 2~ ⎪） ． 22⎝2⎭
６．利用函数的连续性求极限 例4 求下列函数的极限 lim
x →2
2
x 2+sin x e
x
+x
2
解 因为
x 2+sin x e
x
+x
2
是初等函数，在x =2处有定义，
所以 lim
x →2
x 2+sin x e
2
+x
2
=
4+sin 2e
2
5
，
小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序．
７．用洛必达法则求未定式的极限的方法 洛必达法则 如果
①lim f (x ) =0, lim g (x ) =0;
x →x 0
x →x 0
② 函数f (x ) 与g (x ) 在x 0某个邻域内（点x 0可除外）可导，且g '(x ) ≠0； f '(x ) lim ③ x →x g '(x ) =A (A 为有限数, 也可为∞, +∞或-∞) , 则
x →x 0
lim
f (x ) f '(x )
=lim =A . x →x '0g (x ) g (x )
0∞型未定式同样适用, 对于x →x 0或x →∞时的0∞
注意 上述定理对于x →∞时的
型未定式也有相应的法则.
８．综合运用求极限
首先考虑做化简，非零因子提前边，积商可以等价换，最后使用洛必达． 例８．求下列各题的极限．
（１）x →1-x -e （２）lim 3x →0x sin 2x 1
x
1
) e x -1
22
-x 2
（３）lim(-
x →0
x 2⋅2x
=2lim 解：
（１）原式=lim
x →0x →0sin x +x cos x +sin x 1+x sin x -cos x
=2lim
x →0
24
=.
+cos x 3x
2
2
1-x 2-e -x -2x +2xe -x
=lim （２） 原式=lim 43x →0x →08x 32x 1e -x -11-2xe -x 1
lim =lim =-. =
16x →0x 216x →02x 16
e x -1e x 1e x -1-x e x -1-x
=lim =lim =. （３） 原式=lim =lim
x →02x x →02x →0x (e x -1) x →02x 2
2
2
考点一、求函数的定义域（选择题）
第一章 函数极限与连续
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。这类题一般有两种类型： 1、给定解析式的函数求定义域。
(1)
1
⇒ ≠0;
(2) ≥0; (3)log a ⇒ >0;
π
arcsin ⎫tan ⇒ ≠k π+；(4)2(k 为整数) ⎬⇒-1≤ ≤1; (5) arccos ⎭
cot ⇒ ≠k π；
(6) 对于实际问题则需保证其具有符合题意的实际意义． 方法一：解不等式组法；方法二：取值验证法 2、含有符号f 抽象函数的定义域。
1）若已知f (x ) 的定义域为[a , b ], 求f ⎡⎣ϕ(x )⎤⎦的定义域.
解法：令u =ϕ(x ), 由a ≤u ≤b ⇒a ≤ϕ(x ) ≤b , 求出x 的取值范围.
2）若已知f ⎡⎣ϕ(x )⎤⎦的定义域为[a , b ], 求f (x ) 的定义域。 解法：由a ≤x ≤b ⇒ϕ(x ) 的范围。
总之，这类题要求理解自变量的具体含义。即弄清“函数—中间变量--自变量”的关系。
例1
函数y =arcsin
2x -1
的定义域为( ) 7
A. [2,3] B. [-3,4] C. [-3, 4) D. (-3, 4)
⎧16-x 2≥0 ⇒ -4≤x ≤4⎪
⇒-3≤x ≤4 解法一：⎨2x -1
-1≤≤1 ⇒ -3≤x ≤4⎪
7⎩
解法二：取x =-3, x =4验证均有意义, 应选B ． 例2
函数f (x ) =
1
的定义域为（ ） ln x
A . (-2, 2) B. [0,1)⋃(1,2] C. (-2,1) ⋃(1,2) D. (0,1)⋃(1,2)
⎧4-x 2>0
⇒0
⎩x >0且x ≠1
解法二（排除法）：因为负数不能取自然对数，所以 A 、C 是 错误的；
=0, 在分母上无意义，即B 也是错误的.
应选D.
例3已知f (2x -1) 的定义域为[0,1], 则f (x ) 的定义域为( ) A. [,1] B. [-1,1] C. [0,1] D. (-1, 2) 解：因为0≤x ≤1⇒0≤2x ≤2⇒-1≤2x -1≤1, 所以应选B. 例4设函数f (x ) 的定义域为-1,1], 则e
1
2
(
f (x -1)
的定义域为( )
-1, 1-2, 0 A .[-2, 2] B . ( ] C . ( ] D .(0,2]
解：因为 -1
考点二、求函数的表达式（填空）
1、已知 f [g (x )]和g (x ) 的表达式, 求
f (x ) 的表达式.
方法一：换元法。 方法二：凑项法。
x +1x +1
) =2(x ≠0) , 则f (x ) = . x x x +11
=u . 得x = 解法一：设 x u -11+1 f (u ) = ) 所以f (x ) =x (x -1) =u u (-12() u -1
x +1x +11x +1x +1
) =⋅=(-1) , 所以f (x ) =x (x -1) 解法二：f (x x x x x
例1 设函数 f (
2
例2 设f (x +1) =x +2, 则f (x -2) =.
解法一：设x +1=u , 则x =u -1 f (u ) =(u -1) +2=u -2u +3
所以f (x -2) =(x -2) -2(x -2) +3=x -6x +11 解法二：f (x +1) =x +2=(x +1) -2(x +1) +3 所以f (x -2) =(x -2) -2(x -2) +3=x -6x +11 2、已知 f (x ) 和g (x ) 的表达式, 求
2
2
2
2
2
2
2
2
f ⎡⎣g (x ) ]的表达式.
方法：代入法。即将f (x ) 中的x 换成g (x ) 代入化简. 例3 设f (x ) =2x +5, 则f [f (x ) -1]= .
解：f (x ) -1=2x +4 所以f [f (x ) -1]=2(2x +4) +5=4x +13
x
, 则f [f (x )]= . 1-x
x
f (x ) x 1
解：f [f (x )]===(x ≠1, x ≠)
1-f (x ) 1-x 1-2x 2
1-x
考点三、函数的奇偶性与有界性判定（选择题）
例4 已知f (x ) =
1、函数的奇偶性判定方法
（1）定义法： f (-x ) =f (x ) ，则f (x ) 为偶函数。 f (-x ) =-f (x ) ， 则f (x ) 为奇函数。
（2）利用奇偶函数的运算性质
奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 若外层函数或内层函数只要有一个是偶函数，则复合函数一定是偶函数 （3）奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称。 （4）常见的奇函数：
y =sin x , y =tan x , y =arc sin x , y =arctan x , y =x 2n -1 常见的偶函数： y =cos x , y =x , y =x , y =C （5
）y =x ) 为奇函数。
（６）f (x ) +f (-x ) 是偶函数，f (x ) -f (-x ) 是奇函数 例1
函数y =x x )(-∞
A ．偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性
解：f (-x ) =-x x ) =x 2n
=x x ) =f (x )
所以f (x ) 为偶函数。应选A.
例２ 在区间[-1, 1]上，设函数f (x ) 是偶函数，那么-f (x ) （ ） A 是奇函数 B 是偶函数
C 既不是奇函数也不是偶函数 D 不能被判定奇偶性
解：记g (x ) =-f (x ) ，则在[-1, 1]上，有g (-x ) =-f (-x ) =-f (x ) =g (x ) ， 即-f (x ) 为偶函数，故选B ．
例３. 下列函数中, 图形关于y 轴对称的是 （ ）
A ．y =x cos x B. y =x 3+x +1
2x -2-x 2x +2-x
C. y = D. y =
22
2x +2-x
解：图形关于y 轴对称, 就是考察函数是否为偶函数, 显然函数y =为偶函数,
2
应选D.
例４. 下列函数中为奇函数的是 （ ）
e x +e -x
A.f (x ) = B. f (x ) =x tan x
2
C. f (x ) =ln(x D. f (x ) =【答案】C.
解
: f (-x ) =ln(-x +，
x
1-x
f (x ) +f (-x ) =ln(-x +ln(x =ln1=0
2、函数有界性的判定
（1）函数的有界性，是指函数值的有界性，f (x ) ≤M ，而且有界性具有区间的相对性，即在某一区间上有界的函数，在另一区间上就不一定有界。
（2）外层函数有界，则复合函数一定有界。 例5 函数y =sin
1
是定义域内的（ ） x
A. 周期函数 B. 单调函数 C. 有界函数 D. 无界函数 解：因为sin
1
≤1，所以它是有界函数，应选Ｃ x
考点四、 反函数的求法（填空题）
1、反函数的概念
2、求函数的反函数的步骤：
-1
（1）将y =f (x ) 看作关于x 的方程，解出x =f (y ) ；
-1
（2）把x 与y 互换，得到反函数y =f (x ) ；
（3）写出反函数的定义域．
反函求法有三步，反解互换定义域
-1
例１ 函数f (x ) =1-ln(2x +1) 的反函数f (x ) = .
解：设y =1-ln(2x +1) ，则ln(2x +1) =1-y 2x +1=e
1-y
, x =
11-y
(e -1) 2
即f
-1
(x )=
11-x
(e -1),(-∞
考点五 判断函数是否相同
主要确定定义域与对应法则是否完全相同． 例1． 下列各对函数相同的是( ) ．
2
Ａ．y =x 与 Ｂ．
y =x 与y=
x 2-1Ｃ． y=2lnx 与y=ln x Ｄ．x -1与
x +1
2
解：两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致．只有Ａ中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数．这是因为：
Ａ两个函数的定义域都是R ，对应关系也完全相同，即x =Ｂ定义域不同． y =x 的定义域为R ，y =(x ) 2
x 2．
2
的定义域为[0, +∞)．
Ｃ定义域不同． y =ln x 2的定义域为(-∞, 0)⋃(0, +∞)，y= 2lnx 的定义域为(0, +∞)．
x 2-1Ｄ定义域不同． y =x -1的定义域为R ， y =的定义域为{x x ∈R , x ≠-1}．
x +1
例２．在区间(0, +∞) 内，与函数f (x ) =ln 2x 相等的函数是（ ）．
A ．y =ln x B ．y =
1
ln x 2 2
C ．y =ln x D ．y =ln x 解：我们知道x =x ，因此选D ． 例３．下面函数与y =x 为同一函数的是（ ）
A . y =
2
B . y =
2
x C . y =e ln x D . y =l n e
解： y =ln e x =x ln e =x ，且定义域(-∞, +∞)， ∴选D 考点六 极限的概念与函数的连续性
１．数列的极限lim a n =A ⇔lim a 2n =lim a 2n +1=A
n →∞
n →∞
n →∞
２．函数的极限lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A
x →∞
x →+∞
x →-∞
f (x ) =lim f (x ) =A （极限存在左右等） lim f (x ) =A ⇔lim -+
x →x 0
x →x 0
x →x 0
３．函数f (x ) 在点x 0处连续⇔lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
f (x ) =lim f (x ) =f (x 0) （函数连续左右连） ⇔lim -+
x →x 0
x →x 0
例1 求下列函数的极限： （1）lim
x →2
x -2x 2-4
，
1⎧
⎪x sin +a , x
（2）f (x )=⎨ 当a 为何值时，f (x ) 在x =0的极限存在. x
2
⎪, x >0, ⎩1+x
解 (1)lim -
x →2
x -2x 2-4=lim +
x →2
=lim -
x →2
2-x 1
=-,
(x -2)(x +2) 4
x →2
lim +
x -2x 2-4
x -21
=,
(x -2)(x +2) 4
因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．
（2）由于函数在分段点x =0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点x =0处的左极限与右极限．于是，有
x →0
lim f (x ) =lim (x sin --
x →0x →0
11
+a ) =lim (x sin ) +lim a =a ，
x →0-x x x →0-
2
f (x ) =l i m (1+x ) =1， l i m ++
x →0
f (x ) =lim f (x ) ， 为使lim f (x ) 存在，必须有lim +-
x →0
x →0
x →0
因此 ，当a =1 时， lim f (x ) 存在且 lim f (x ) =1．
x →0
x →0
小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有
左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．
例２．f (x ) =2在x =0处 ( C ).
(A) 有定义； (B) 极限存在； (C) 左极限存在； (D) 右极限存在. 解 因f (x ) =2，在x =0处无定义，
1x
1x
1x
x →0-
lim f (x ) =lim 2=0，即f (x ) =2在x =0处左极限存在， -
x →0
1
x
1x
x →0+
lim f (x ) =lim 2=+∞，即f (x ) =2在x =0处右极限不存在， +
x →0
1
x
由极限存在的充要条件，可知函数f (x ) =2在x =0处的极限不存在．
1x
⎧1
⎪e x , x
例３． 讨论f (x ) =⎨0,0≤x ≤1，在x =0, x =1连续性
⎪ln x ⎪, x >1⎩x -10=0，且f (0)=0 e =0, lim 解：（1）在x =0处， lim +-
x →0
x →0
1
x
∴f (x )在x =0处连续
0=0, lim （2）在x =1处， lim -+
x →1
x →1
ln (1+t )ln x =lim =1 +
x →0x -1t
∴f (x )在x =1不连续
⎧x
⎪e , x
x =0, 求lim f (x ), lim f (x ) , 并问f (x ) 在x =0处是否连续； 例４． 设f (x ) =⎨1,
x →0x →0
⎪sin x
, x >0, ⎪x ⎩
-
+
f (x ) =lim e =1，lim f (x ) =lim 解 lim --++
x →0
x →0
x →0
x →0
x
sin x
=1 ，所以lim f (x ) =1．
x →0x
且f (0) =1，即lim f (x ) =f (0) ，所以函数f (x ) 在x =0处连续．
x →0
例 ５ 讨论函数
⎧x
⎪
1f (x ) =⎨x sin ⎪x ⎩
x →0
, ,
x ≤0x >0
， 在点x =0处的连续性．
f (x ) =lim x =0, lim f (x ) =lim x sin 解 因为lim --++
x →0
x →0
x →0
1
=0， x
而f (0) =0, 即
x →0-
lim f (x ) =lim f (x ) =f (0) =0， +
x →0
所以由函数在一点连续的充要条件知f (x ) 在x =0处连续． 考点七、无穷小阶的比较（选择题）
无穷小阶的比较是通过两者之比的极限值而确定高低阶的．
１、设α(x ) 与β(x ) 是在自变量的同一变化过程中的无穷小，其中α(x ) ≠0．
（１） 若lim
β(x )
=0，则称β(x ) 是比α(x ) 高阶的无穷小，记作β(x ) =ο(α(x )) α(x )
β(x )
=∞，则称β(x ) 是比α(x ) 低阶的无穷小； α(x )
β(x )
=C ≠0，则称β(x ) 与α(x ) 是同阶的无穷小； α(x )
β(x )
=1，则称β(x ) 与α(x ) 是等价的无穷小；记作β(x ) α(x ) α(x )
（２） 若lim
（３） 若lim
特别的，若lim
２、常用的等价的无穷小
当 →0时， sin tan
α
arcsin arctan e -1 ln(1+ )
2
(1+ ) -1 α 1-cos 2
例１、当x →0时，x -sin x 是x 的（ ）
Ａ．高阶的无穷小 Ｂ．低阶的无穷小 Ｃ．同阶但非等价无穷小 Ｄ．等价无穷小
2
x 2-sin x sin x
=lim(x -) =-1，所以应选Ｃ． 解：因为lim
x →0x →0x x
例２、当x →0时，下列无穷小量中与x 等价的是（ ）
Ａ．2x -x
Ｃ．ln(1+x ) Ｄ．sin x 解：因为当x →0时，ln(1+x ) x ，所以应选Ｃ． 例３、当x →0时，无穷小1-cos x 是x 的（ ）
Ａ．等价无穷小 Ｂ．同阶无穷小 Ｃ．高阶的无穷小 Ｄ．低阶的无穷小
2
2
2
4
x 424
解：因为1-cos x ，所以无穷小1-cos x 与x 同阶的无穷小．
2
2
考点八、两个重要极限公式（计算题）
sin x sin
=1 推广lim =1 1．lim
x →0x →0x
特点：（１）属于未定型；
（２）正弦函数内的项与分母完全相同且趋于０； （３）极限为１．
1
⎛1⎫
２．lim 1+⎪=e 或lim (1+x )x =e
x →0x →∞
⎝x ⎭
x
1
⎛1⎫ 推广lim 1+⎪=e 或lim (1+ )=e
→0 →∞
⎝ ⎭
特点：（１）属于1未定型；
（２）底为两项和“１＋无穷小”且第二项与指数部分完全相同；
（３）极限等于e ．
解题方法：利用重要极限公式去极限就是将函数凑成公式的结构特点，运用公式解出答案． 例１．lim
x →0
∞
x 2x
sin
5
2
=
.
解：原式＝lim
x →0
1sin
2x
2
=lim
x →0
25x ⎫⎛sin ⎪ ⎪ ⎪⎝5⎭
2
=25．
例２．求极限lim
cos x -cos 3x
x →0x 2
解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限 原式=lim
2sin x sin 2x sin x sin 2x
lim ⋅lim (4⋅) =1⨯4=4 =2x →0x →0x →∞x 2x x
x +1
⎛x -1⎫
例３．求极限lim ⎪x →∞x +1⎝⎭
解：原式＝lim 1-
．
-2
⎛
x →∞
⎝2⎫⎪x +1⎭
x +1
x +1-⎡⎤22⎛⎫⎥=e -2． =lim ⎢ 1-⎪x →∞⎢⎝x +1⎭⎥
⎣⎦
⎛x 2+2⎫
例４．求极限lim 2⎪x →∞x -3⎝⎭
解法一：原式
2
x 2+5
2
．
5
5x 2+55x 2-3545x 5-35
=lim(1+2) =lim(1+2) ⋅(1+2) =lim[(1+2) ]2=e 2． x →∞x →∞x →∞x -3x -3x -3x -3
22
5⎡x 2+2x x 2+25⎤e
) 2⋅(2) 2⎥=lim =3=e 2． 解法二：原式=lim ⎢(2
3x →∞--x -3⎦⎢x -3⎥x →∞⎡x 2⎤2⎣e 23-3
⎢(1-2) ⎥
x ⎢⎥⎣⎦
2
2(1+2) 2
x 2
5(x 2+5)
5⎡5x 2+55x 5-3⎤2(x -3)
解法三：原式=lim(1+2) =lim ⎢(1+2) ⎥=e 2.
x →∞x →∞x -3x -3⎢⎥⎣⎦
2
2
方法步骤：（１）凑底：１＋无穷小；
（２）凑指数：与底的第二项互为倒数； （３）用公式：求出答案．
考点九、函数极限与连续的反问题（填空、选择）
函数的极限与连续的反问题是已知函数的极限存在或函数在某点连续，确定待定常数的值，大部分以分段函数形式给出。
1. lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A -+
x →x 0
x →x 0
x →x 0
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A
x →∞
x →-∞
x →+∞x →x 0
f (x ) =lim f (x ) =f (x 0) ２．f (x ) 在点x 0连续⇔lim f (x ) =f (x 0) ⇔lim -+
x →x 0
x →x 0
⎧e 2ax -1
, x ≠0⎪
例1 设函数f (x ) =⎨x 在x =0处连续．则常数a =（ ）
⎪a +1, x =0⎩
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
e 2ax -12ax
=lim =2a 解：lim f (x ) =lim
x →0x →0x →0x x
又f (0)=a +1，从而2a =a +1，解得a =1，应选B ．
⎧3e 4x , x
⎪
例2 若函数f (x ) =⎨在x =0处连续．则常数a = a
⎪2x +, x ≥0⎩2
f (x ) =lim 3e 解：因为lim --
x →0
x →0
4x
.
=3. lim f (x ) =lim 2x +++
x →0
x →0
a a a
=. 又f (0)=. 222
a
=3，所以a =6 2
x +2a x
) =8，则a = 例３ 若lim(
x →∞x -a x +2a x 3a x
) =lim(1+) =e 3a . 令e 3a =8，解得a =ln 2． 解：lim(
x →∞x -a x →∞x -a
即
x 2+ax +b
=3，则a , b 分别为（ ）例４ 设lim ．
x →1x -1
A 1，1 B -1，-2 C -2，1 D 1，-2
解：选D . 将D 的结果代入极限式左端得
x 2+1∙x -2(x -1)(x +2) lim =lim =lim (x +2) =3，故选D ． x →1x →1x →1x -1x -1
x 2+ax +6
例５．已知lim 存在，则a =
x →11-x
解： lim (1-x )=0∴lim x +ax +6=0，1+a +6=0, a =-7
2
x →1
x →1
()
⎛x 2+1⎫
⎪例 ６ 已知 lim -ax -b ⎪=0，求a , b 的值. x →∞ x +1⎝⎭
x 2+1
-ax -b ) 解 因为 lim (
x →∞x +1
(1-a ) x 2-(a +b ) x +1-b
=lim
x →∞x +1
=0，
由有理函数的极限知，上式成立，必须有x 和x 的系数等于0, 即⎨
2
⎧1-a =0
，
⎩a +b =0
于是a =1, b =-1.
考点十、间断点及其分类（选择题）
１．图形认识
２．间断点指的是函数不连续的（孤立）点．即x 0的两侧必须有定义． （１）初等函数的分母为零的点一定是间断点； （２）分段函数的分界点可能是间断点． ３．间断点的分类
f (x ), lim f (x ) 均存在 第一类间断点 lim -+
x →x 0
x →x 0
f (x ) =lim f (x ) （1） 可去间断点 lim -+
x →x 0
x →x 0
f (x ) ≠lim f (x ) （2） 跳跃间断点 lim -+
x →x 0
x →x 0
f (x ), lim f (x ) 至少一个不存在 第二类间断点 lim -+
x →x 0
x →x 0
例1．点x =0是函数f (x ) =arctan
1
的（ ） x
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点
arctan 解： 因为lim -
x →0
1π1π
=-, lim arctan = x 2x →0+x 2
所以x =0是跳跃间断点，应选C ．
例２．点x =0是函数f (x ) =2-1的（ ）
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点
1x
1x
f (x ) =lim 2-1=+∞，所以应选Ｄ． 解：因为lim ++
x →0
x →0
例３．点x =0是函数y =
3-13+1
1
x
1x
的（ ）
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点
1x
1x
3=+∞. lim 3=0. lim 解：因为lim +-+
x →0
x →0
x →0
3-13+1
1
x
1x
=1, lim -
x →0
3-13+1
1x
1x
=-1
所以点x =0是跳跃间断点．应选C ．
1⎧2
x sin , x >05⎪x 例4．设函数f (x ) =⎨，则点x =0是函数f (x ) 的（ ）
1
⎪x
⎩e , x
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点
1
1
f (x ) =lim x sin 5=0, lim f (x ) =lim e x =0 解：因为lim ++--
x →0x →0x →0x →0x
2
所以所以点x =0是可去间断点，应选Ｂ．
考点十一、用零点定理判定方程根的存在性、唯一性（证明题）
1、零点定理 设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b )
ξ∈(a , b ) ，使得f (ξ) =0
端点异号与闭连, 内部至少一零点
2、方程根的存在性判定步骤： （１）构造函数f (x ) 及闭区间[a , b ]； （２） 验证f (x ) 在区间[a , b ]连续；
（３）计算f (a ), f (b ) ；判断f (a ) ⋅f (b )
6
2
f '(x ) 判定f (x ) 在区间(a , b ) 单调即可．
例1 证明方程x -3x +2x =1至少有一个正根．
解析：要证明上述方程至少有一个正根，需作一个辅助函数，并证明它在某个正的区间上连
续且在两端点上的函数值异号．
证 令f (x ) =x 6-3x 2+2x -1，则f (0) =-10，又f (x ) 在
[0, 2]上连续．由零点存在定理知，至少有一点ξ∈(0, 2) 使得
x 6-3x 2+2x =1至少有一个正根．
f (ξ) =0．即方程
例2 证明方程x =a sin x +b （其中a >0, b >0），在(0, a +b ]上至少有一个根． 证明： 令f (x ) =x -a sin x -b ，f (x ) 显然在[0, a +b ]上连续，且 f (0) =-b
当f (a +b ) =0时，x =a +b 就是满足题意的一个根；
当f (a +b ) >0时，f (0) f (a +b )
ξ∈(0, a +b ) ，使得
f (ξ) =0．即原方程在(0, a +b ) 内至少有一个根．
综上所述，x =a sin x +b 在(0, a +b ]上至少有一个根．
a ) ≠f (b ) 例3．设函数f (x ), g (x ) 均在区间[a , b ]连续，f (a ) =g (b ), f (b ) =g (a ) ，且f (
证明：存在 ξ∈(a , b ) ，使f (ξ) =g (ξ) ．
证明：令F (x ) =f (x ) -g (x ) ，显然F (x ) 在区间[a , b ]连续，
又因为f (a ) =g (b ), f (b ) =g (a ) ，且f (a ) ≠f (b )
，
F (a ) =f (a ) -g (a ) =f (a ) -f (b ). F (b ) =f (b ) -g (b ) =f (b ) -f (a )
即F (a ) F (b ) =-[f (a ) -f (b ) ]
所以至少存在一个ξ∈(a , b ) ，使F (ξ) =0，即f (ξ) =g (ξ) ．
2
考点十二 综合运用各种方法求极限（计算题）
一 求函数极限基本方法
１．利用极限存在的充分必要条件求极限 ２．利用极限运算法则求极限
例1 求下列函数的极限：
2x 2-3x 2-9(1)lim ， (2)lim 2 ，
x →3x →1x +1x -5x +6
(3) lim(
x →1
5x -121 ， (4) ． lim -) 2x →+∞1-x 1-x x +2
lim (2x 2-3) 2x 2-31
解 (1) lim =x →1=-．
x →1x +12lim (x +1)
x →1
(2) 当x →3时，分子、分母极限均为零，呈现
型，不能直接用商的极限法则，可先0
分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．
x 2-9(x -3)(x +3) x +3
原式=lim 2=lim =lim =6．
x →3x -5x +6x →3(x -3)(x -2) x →3x -2
(3) 当x →1时，
2121
-, 的极限均不存在，式呈现∞-∞型，不能22
1-x 1-x 1-x 1-x
直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即
原式=lim(
x →1
212-(1+x )
-) =lim
x →11-x 21-x 1-x 2
=lim
(1-x ) 11=lim =．
x →1(1-x )(1+x ) x →11+x 2
∞
形式．需分子分母同时除以x ，将无 ∞
(4) 当x →+∞时，分子分母均无极限，呈现
-
穷大的x 约去，再用法则求 原式=lim
x →+∞
1
x
=． 2+x
小结 （I ）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．
（II ）求函数极限时，经常出现
0∞
∞-∞等情况，都不能直接运用极限运算法则，0, ∞,
必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法．
（i ）对于∞-∞型，往往需要先通分，化简，再求极限，
（ii ）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限， （iii ）对分子、分母进行因式分解，再求极限，
（iv ）对于当x →∞时的
∞
型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极∞
限．
３．利用无穷小的性质求极限
例2 求下列函数的极限
lim
x
解不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界
1
函数，即sin x ≤1而 lim
x +x
3
x →+∞
=lim
x 1+13x
x →+∞
=0，因此当x →+∞时，
x +x
3
为
无穷小量. 根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小，即得
x lim
=0.
４．利用重要极限公式求函数的极限 ５． 利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小有
1+x ) ~e -1, 当x →0 时, x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln(1-cos x ~
12
x , 2x ~sin 2x ~tan 2x ． 2
， （2）lim
x
例3 求下列函数的极限 （1）lim
1-cos x x →03x 2tan x -sin x
． 3x →0x
12
x
1-cos x 121x →0, 1-cos x ~x ）解 （1）lim = （． lim =x →0x →03x 223x 26tan x -sin x sin x (1-cos x )
lim （2）lim =
x →0x →0sin 3x x 3cos x
x
sin x (1-cos x ) 12sin 2
=lim ⋅⋅ x →0x cos x =lim x 22x →0x
1x ⎛x ⎫
= （ x →0, sin 2~ ⎪） ． 22⎝2⎭
６．利用函数的连续性求极限 例4 求下列函数的极限 lim
x →2
2
x 2+sin x e
x
+x
2
解 因为
x 2+sin x e
x
+x
2
是初等函数，在x =2处有定义，
所以 lim
x →2
x 2+sin x e
2
+x
2
=
4+sin 2e
2
5
，
小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序．
７．用洛必达法则求未定式的极限的方法 洛必达法则 如果
①lim f (x ) =0, lim g (x ) =0;
x →x 0
x →x 0
② 函数f (x ) 与g (x ) 在x 0某个邻域内（点x 0可除外）可导，且g '(x ) ≠0； f '(x ) lim ③ x →x g '(x ) =A (A 为有限数, 也可为∞, +∞或-∞) , 则
x →x 0
lim
f (x ) f '(x )
=lim =A . x →x '0g (x ) g (x )
0∞型未定式同样适用, 对于x →x 0或x →∞时的0∞
注意 上述定理对于x →∞时的
型未定式也有相应的法则.
８．综合运用求极限
首先考虑做化简，非零因子提前边，积商可以等价换，最后使用洛必达． 例８．求下列各题的极限．
（１）x →1-x -e （２）lim 3x →0x sin 2x 1
x
1
) e x -1
22
-x 2
（３）lim(-
x →0
x 2⋅2x
=2lim 解：
（１）原式=lim
x →0x →0sin x +x cos x +sin x 1+x sin x -cos x
=2lim
x →0
24
=.
+cos x 3x
2
2
1-x 2-e -x -2x +2xe -x
=lim （２） 原式=lim 43x →0x →08x 32x 1e -x -11-2xe -x 1
lim =lim =-. =
16x →0x 216x →02x 16
e x -1e x 1e x -1-x e x -1-x
=lim =lim =. （３） 原式=lim =lim
x →02x x →02x →0x (e x -1) x →02x 2
2
2