刀口法测量光学传递函数
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****大学，****，2120100607
摘要：光学传递函数是定量描述成像性能的完备函数。但是对于实际的光电成像器件，通过解析法建立这一函数的表达式又非常困难，因此光学传递函数的实测技术就很重要。本文简要介绍的光学传递函数及其性质，指出了光学传递函数测量中的刀口法的两种情况，并且对两种刀口法进行了详细的介绍。
关键词：光学传递函数 测量 刀口法
一、引言
1938年，佛里塞把傅立叶处理的方法用于照相底片的分辨率试验，提出了应该用亮度呈正弦分布的鉴别率板来检验光学系统。1946年杜弗运用傅立叶变换的处理方法来分析光学系统，为光学传递函数奠定了理论基础。1962年8月在慕尼黑举行的第六届国际光学会议上，光学传递函数(OTF, Optical Transfer Function) 第一次统一提出，简称OTF 。
用光学传递函数来评价光学系统的成像质量是基于把物体看作是由各种频率的谱组成的。因此光学传递函数反映了光学系统的频率特性. 它既与光学系统的像差有关. 又与系统的衍射效果有关. 并且以一个函数的形式定量地表示星点所提供的大量像质信息. 同时也包括了鉴别率所表示的像质信息。因此光学传递函数被公认为目前评价光学系统成像质量比较客观、有效的方法。
光学传递函数已被广泛地应用在像质评价、光学设计和光学信息处理等方面。而且，人们越来越倾向于采用OTF 作为光学或光电成像系统像质评价的重要参数。随着现代应用要求的不断提高，光学系统的结构也越来越多样化，这些系统的设计、加工和装调也越来越多的将OTF 作为其质量评价的标准，这对光学传递函数测量的适用性和可靠性提出了更高的要求。
随着大容量高速度数字计算机的发展和高精度光电测试技术的改进，使光学传递函数的计算和测量工作日趋完善，并开始推广到实际应用中去。
目前光学传递函数已经有很多的测量方法，但基本都需要有特定的目标物，比如点光源、狭缝、刀口、光栅等。其中用刀口进行测量是美国的专利。刀口法的实际测量中又分为很多种情况，因此，本文对此展开研究
二、光学传递函数简介
2.1光学传递函数定义
光学传递函数有多种定义方式，在此介绍两种定义方式
2.1.1以物像频谱为基础的定义
由线性理论知道，对于一个线性系统，其输出函数与输入函数之间存在着确定的关系，这种关系就是系统的传递函数。传递函数定义为输出函数的傅立叶变换与输入函数的傅立叶变换之比，即
T (f ) =F ⎡⎣ϕout (t )⎤⎦
F ⎡⎣ϕin t ⎤⎦
式中，ϕin 为输入函数；ϕout 为输出函数。
这一概念同样可用于线性光电成像系统，对于特定的光电成像系统，只要知道物函数及像函数，对他们作傅立叶变换，即可得到传递函数。这里的关键是如何由物函数求像函数。
2.1.2以点扩散函数为基础的定义
对于二维系统光学传递函数OTF(optical Transfer Function)。它是点扩散函数。PSF(x,y)的傅立叶变换：
∞∞
OTF (ξ, η) =
-∞-∞⎣-i 2π(x ξ+y η)⎤⎦dxdy ⎰⎰PSF (x , y )exp ⎡
OTF 是一个复函数，即：
OTF (ξ, η) =MTF (ξ, η)e -iPTF (ξ, η)
其中，MTF 是它的模，称为调制传递函数，表示物与像调制度之比；PTF 是其复角，称为相位传递函数，表示相位角的变化。
二维OTF 的计算都比较困难，因此常在一个确定的方位角φ下测量。因为空间频率展开的方位角φ确定以后，在这个方向上的OTF 可以用一维的函数表示。
一般令φ=0，则
∞
OTF (ξ,0) =
-∞⎣-iPTF (ξ)⎤⎦⎰PSF (x )exp [-i 2πξx ]dx =MTF (ξ)exp ⎡
式中LSF 为线扩展函数，MTF 为调制传递函数，PTF 为相位传递函数。上式表示在非相干照明的条件下，OTF 为LSF 的傅立叶变换。
2.2光学传递函数的性质及应用
光学传递函数已在像质评价方面占据主导地位, 并且已广泛地应用于控制光学设计过程及光学系统的检验。在近代光学信息处理研究中也常常用到光学传递函数这一概念。
由于光学传递函数这一概念最初的引入就是对光学系统像质评价的研究, 因此, 可以说评价成像质量是光学传递函数最为成功的应用, 它能克服过去一些评价方法的明显不足, 使光学系统的设计和检验建立在更加科学可靠的基础上。
2.3光学传递函数的测量方法
光学传递函数测量方法有很多种分类方法。
就测量原理而言，可以分为以下几种：
①扫描法：光学傅立叶分析法、光电傅立叶分析法、电学傅立叶分析法、数字傅立叶分析法；
②自相关法：切变干涉法、光瞳函数计算机处理法、全息干涉法；
③互相关法；
④频谱比较法。
就测量方式而言，可以分为直接测量方法和间接测量方法。
其中直接测量法就是利用各种空间频率的余弦光栅作为输入像，直接测定输入像和输出像的调制度及初相位。经归一化后的调制度比值即是调制传递函数。其初相位之差即是相位传递函数。间接测量方法即是使用固定的狭缝目标、点光源或刀口，并且移动目标。测试系统要形成一个目标光信号，经光学系统，使光信号通过被测样品形成弥散光斑，用电子学方法采集信号，然后对信号进行采集处理。
三、刀口法测量光学传递函数
由以上的分析可以知道，刀口法是测量光学系统的传递函数一种基本方法。它具有点光源、狭缝、光栅等所不具有的优点。目前刀口法主要有两种形式，分别为刀口扫描法和刀口目标成像法。
3.1刀口扫描法
3.1.1系统结构
如下图是刀口扫描法的系统结构图
如图所示，由光源发出的光经聚光镜投射到狭缝上，形成均匀的准直光照明狭缝。很窄的透光狭缝是近似的线状像，经被测物镜成像。刀口安置在像面上。在这中间可以加入一些衔接镜（比如显微物镜或者平行光管）。刀口刃边应与狭缝像的方向严格平行。在测试时，刀口用微型力矩电动机或者步进电机带动，沿垂直于线扩散像的方向移动，这一移动成为扫描。移动不要太快。经扫描板透过的线扩散函数像再会聚在光电倍增管的光敏面上，产生相应的电信号，测出电信号即可相应得出透镜的光学传递函数。
3.1.2测量原理
开始扫描时刀片式完全挡住狭缝像的光的，刀片逐渐移动，也逐渐放入狭缝像的光。下图画出了狭缝像的线扩散函数LSF(x)。
刀口刃边移到某一位置x 时，所放入的光通量与图中画上阴影线的面积成比例。这样一来，在整个扫描过程中，进入光电倍增管的光通量随刀口位置x 的变化构成一个函数ESF(x)，这个函数就叫做边缘扩散函数，这个函数的曲线形状如下图所示。
由以上两幅图和刚才的叙述可知，边缘扩散函数ESF(x)来源于线扩散函数，它们的数学关系是：
ESF (x ) =⎰LSF (x ) dx -∞x
大家知道，积分是微分的逆运算，由上式得：
LSF (x ) =dESF (x ) dx
可知测得ESF (x ) 后就可以取导数求出线扩散函数，由于光学传递函数是线扩散函数的傅里叶变换，所以就可以求出系统的光学传递函数。这种方法的计算不是像一般的模拟计算，而是用数字计算，所以要分段记下读数并转换为数字。用线扩散函数计算光学传递函数时，线扩散函数要归一化。在这里，边缘扩散函数同样需要归一化。未进入光通量的ESF (x ) 规格化为0以出去暗电流和杂光的影响。ESF (x ) 的最大值应规格化为1, 。这种归一化和线扩散函数的归一化是对应的，因为ESF (x ) 得最大值就等于线扩散函数所包围的面积。
这个方法的优点是不用那些难于制造准确的正弦波光栅，并且用数字电子计算机处理数据，要些什么样的结果，计算机都易于处理得出。但是这个方法要求刀口方向和狭缝方向严格平行。如果觉得校正刀口方向和狭缝方向又困难，还可以不扫描狭缝而扫描星点，此时系统结构如下图所示：
当刀口在像平面上沿光轴垂直方向（如箭头所示）切入点像时，通过刀口的
点像辐照度变化——刀口扩散函数ESF (x ) 为：
I (x )=⎰x
-∞-∞⎰∞PSF (x , y )dxdy =⎰LSF (x )=ESF (x ) -∞x
式中I (x )为像面辐照度变化；PSF (x , y )为点像照度分布，即点扩散函数；LSF (x )为一维空间线扩散函数，且LSF (x )=⎰∞
-∞PSF (x , y )dy 。于是：
LSF (x )=d [ESF (x )] dx
由OTF 定义可知：
OTF (f )=⎰∞
-∞LSF (x )exp (-i 2πxf )dx
由以上可知，扫描星点和扫描狭缝的计算方法基本是一样的，只是光通量少了一些，还可以免去对准方向的麻烦，因此现在很多的OTF 测量系统都采用此种方法。
3.1.3数据处理
使用刀口法扫描采样结束后，光学传递函数的分析计算过程如下：
⑴刀口扫描数据ESF(u)的光滑处理。
为减少电信号噪声及刀口扫描步长∆u 的误差影响，对采集到的刀口扫描数据y i =ESF (u i )(i =1,2, , N )依次进行平滑处理。
ESF (u i )=ESF (u i -1)-∆utg αi y -y y -y i +1⎫⎛其中αi = arctg i -1i +arctg i ⎪ ∆u ∆u ⎭⎝
⑵计算线扩散函数。
用二阶差分公式计算线扩散函数LSF (u i )
ESF (u 2)-ESF (u 1)LSF (u 1)= ∆u
LSF (u i )=
LSF (u N )=ESF (u i +1)-ESF (u i )LSF (u i -1)+ 2∆u 2ESF (u N )-ESF (u N -1) ∆u
⑶光学传递函数的计算
①快速傅里叶变换FFT
→{X (i ), i =1, N } {LSF (u ), i =1, N }−−−FFT
i
②MTF 归一化
X (i )=1X (i ) i =1, , N 2 M
③MTF 插值与修正计算
对星孔与缝宽的一定几何尺寸造成物谱的削减进行修正计算。
3.2刀口目标成像法
用刀口测量光学传递函数还有另外一种方法，即刀口目标成像法。该方法是基于数字傅里叶变换的方法。
3.2.1系统结构
测试系统结构如下图所示：
刀口目标经被测镜头成像在接收器上，由光电装置扫描测得的刀口的像强度空间分布，然后经过采样及模数转换，将其输入计算机，由计算机来完成傅立叶变换运算，得出光学传递函数。
3.2.2测量原理
用刀口边缘作为目标物可以表示成阶跃函数的形式，f (x , y ) =step (x ) l (y ) 。其导数为线目标的理想δ函数，因此也可以通过测量刀口目标的刀口扩展函数
ESF 来求取MTF ，下面推导刀口扩展函数的数学模型。刀口目标函数可以表示为：
⎧1U (t ) =⎨⎩0t >0 t
设刀口目标在U (t ) =0时为刀口体，即不透光部分U (t ) =1时为未遮拦的透光部分，该部分可看作由无穷多个宽度趋于零的狭缝组成，每一条狭缝都是一个线光源，每一条线光源都是非相干的。在非相干的情况下，系统对光强度是线性的。因此系统对刀口所成的像可看成是对无数条狭缝像按强度叠加而成。每一条线光源在经过系统后都形成一条线扩散函数如下图所示：
如上图所示，虚线表示刀口的边缘，曲线1、2、3为刀刃边缘附近的三条狭缝像的光强分布（其余狭缝像没有绘出），三条曲线均是线光源对同一系统形成的线扩散函数，其形状大小完全相同，设曲线1为刃口边缘线形成光强分布的线扩散函数，曲线1、2、3间距∆x 相等。对于任意点x 1处的光强为所有狭缝像在该点处的光强值之和。
为了更好地进行说明，过x 1做x 轴的垂线交曲线1、2、3分别于1’、2’ 、
3’点，过2’ 、3’点做x 轴的平行线交曲线1于2”、3”点。可见，曲线2离曲线1为∆x 曲线2对x 1处的光强贡献量为曲线1上x 1-∆x 处光强的大小；曲线3离曲线1为2∆x ，曲线3对x 1处的光强贡献量为曲线1上x 1-2∆x 处光强的大小；依此类推，曲线n+1距离曲线1为n ∆x ，曲线n+1对x 1处的光强贡献量为曲线1上x 1-n ∆x 处光强的大小。当n →∞时，曲线对x 1处的光强贡献量为曲线1上-∞处光强的大小。由此分析可知，x 1点处的叠加光强就等于一条线光源的扩散函数（如曲线1）从-∞到x 1点处所有光强的总和，因此任意点x 1处的刀口扩散函数ESF 为：
ESF (x ) =⎰LSF (x )dx -∞x 1
因此ESF 可以看作是无数个LSF 在水平方向上的相互叠加。通过上式就可以得出系统的边缘扩散函数。要从ESF 得到MTF ，首先须从ESF 获得LSF ：
d d [ESF (x ) ]=⎰LSF (x ' )dx ' =LSF (x ) dx dx -∞
得到LSF 后，经过傅里叶变换就可以得到一维的光学传递函数。具体过程如下图所示：
x
3.2.3数据处理
⑴选取刃边图像并求边缘扩展函数(ESF)
如右图，为一幅刃边图像。从图像的每一
行将得到一条ESF 曲线，如果图像的高度为h ，
即图像有h 行，那么将得到h 条ESF 曲线。
⑵对刃边点进行定位并对刃边点进行最
小二乘拟合。
对上一步得到的h 条ESF 曲线分别进行微分，与相邻点差值最大的一点即为刃边点。实际上，算法得到的刃边点可能不是位于一条直线上。因此，需要对得到的h 个刃边点进行最小二乘拟合，将所有刃边点拟合到一条直线上。
⑶对各条ESF 曲线进行平滑并求平均ESF 曲线
对每条ESF 曲线分别进行样条插值，可以使曲线更平滑。对平滑后的各条ESF 曲线求平均值，得到一条平均ESF 曲线，求平均的主要目的是削弱噪声的影响。
⑷对插值后的平均ESF 曲线进行微分得到线扩展函数(LSF)曲线。
⑸由LSF 曲线得到MTF 曲线
以上两步和刀口扫描法的处理方式相似。
四、总结
由以上分析可知，刀口扫描法和刀口目标成像法测量光学传递函数的基本原理相似，都是应用了光学传递函数的第二个定义。只是在系统结构，测量工具，数据处理方式等方面有些不同。实际应用中两种方法均使用比较广泛，现在刀口法已经能够做成实际的OTF 测量仪器。以后的工作应该就是在消除误差和提高测量精度方面进行努力。
五、参考文献
［1］麦伟麟著. 光学传递函数及其理论基础［M ］. 北京:国防工业出版社，1979.
［2］邹异松. 电真空成像器件及其理论分析［M ］. 北京: 国防工业出版社，1994.
［3］徐春梅，张伟，李刚，张雏，胡文刚. 刀口边缘误差对传递函数的影响［J ］. 军械工程学院学报.2004，16(6):54-57
［4］米凤文，杨国光，沈亦兵. 红外混合光学系统传递函数的一种测试方法及实现［J ］. 红外技术.2005，27(3):183-186
［5］马卫红. 基于图像分析的光学传递函数测试技术研究［D ］. 北京：中国科学院研究生院。2005
［6］吴海平. 点源法MTF 测试技术研究［D ］. 南京：南京理工大学.2007 ［7］黄震. 基于数字傅立叶分析法的MTF 测试研究［D ］. 西安：西安工业大
学.2007
［8］郝群，沙定国，郑乃梅. 光学传递函数测量仪刀口和狭缝两种扫描方法比较分析［J ］. 光学技术.2001，27(1):41-43
［9］金豪. 全景环形成像透镜的成像质量评价［D ］. 浙江：浙江大学.2006 ［10］仝文权. 红外系统MTF 测试仪技术分析［J ］. 《红外》月刊.2003，4：16-22
［11］章慧贤. 光学传递函数的发展及其应用［J ］. 光学仪器.1996，18(4):28-31
［12］李晓斌，周春平，迟云峰. 刃边法计算在轨卫星图像MTF 的仿真分析［J ］. 影像技术.2007,6:33-39
刀口法测量光学传递函数
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摘要：光学传递函数是定量描述成像性能的完备函数。但是对于实际的光电成像器件，通过解析法建立这一函数的表达式又非常困难，因此光学传递函数的实测技术就很重要。本文简要介绍的光学传递函数及其性质，指出了光学传递函数测量中的刀口法的两种情况，并且对两种刀口法进行了详细的介绍。
关键词：光学传递函数 测量 刀口法
一、引言
1938年，佛里塞把傅立叶处理的方法用于照相底片的分辨率试验，提出了应该用亮度呈正弦分布的鉴别率板来检验光学系统。1946年杜弗运用傅立叶变换的处理方法来分析光学系统，为光学传递函数奠定了理论基础。1962年8月在慕尼黑举行的第六届国际光学会议上，光学传递函数(OTF, Optical Transfer Function) 第一次统一提出，简称OTF 。
用光学传递函数来评价光学系统的成像质量是基于把物体看作是由各种频率的谱组成的。因此光学传递函数反映了光学系统的频率特性. 它既与光学系统的像差有关. 又与系统的衍射效果有关. 并且以一个函数的形式定量地表示星点所提供的大量像质信息. 同时也包括了鉴别率所表示的像质信息。因此光学传递函数被公认为目前评价光学系统成像质量比较客观、有效的方法。
光学传递函数已被广泛地应用在像质评价、光学设计和光学信息处理等方面。而且，人们越来越倾向于采用OTF 作为光学或光电成像系统像质评价的重要参数。随着现代应用要求的不断提高，光学系统的结构也越来越多样化，这些系统的设计、加工和装调也越来越多的将OTF 作为其质量评价的标准，这对光学传递函数测量的适用性和可靠性提出了更高的要求。
随着大容量高速度数字计算机的发展和高精度光电测试技术的改进，使光学传递函数的计算和测量工作日趋完善，并开始推广到实际应用中去。
目前光学传递函数已经有很多的测量方法，但基本都需要有特定的目标物，比如点光源、狭缝、刀口、光栅等。其中用刀口进行测量是美国的专利。刀口法的实际测量中又分为很多种情况，因此，本文对此展开研究
二、光学传递函数简介
2.1光学传递函数定义
光学传递函数有多种定义方式，在此介绍两种定义方式
2.1.1以物像频谱为基础的定义
由线性理论知道，对于一个线性系统，其输出函数与输入函数之间存在着确定的关系，这种关系就是系统的传递函数。传递函数定义为输出函数的傅立叶变换与输入函数的傅立叶变换之比，即
T (f ) =F ⎡⎣ϕout (t )⎤⎦
F ⎡⎣ϕin t ⎤⎦
式中，ϕin 为输入函数；ϕout 为输出函数。
这一概念同样可用于线性光电成像系统，对于特定的光电成像系统，只要知道物函数及像函数，对他们作傅立叶变换，即可得到传递函数。这里的关键是如何由物函数求像函数。
2.1.2以点扩散函数为基础的定义
对于二维系统光学传递函数OTF(optical Transfer Function)。它是点扩散函数。PSF(x,y)的傅立叶变换：
∞∞
OTF (ξ, η) =
-∞-∞⎣-i 2π(x ξ+y η)⎤⎦dxdy ⎰⎰PSF (x , y )exp ⎡
OTF 是一个复函数，即：
OTF (ξ, η) =MTF (ξ, η)e -iPTF (ξ, η)
其中，MTF 是它的模，称为调制传递函数，表示物与像调制度之比；PTF 是其复角，称为相位传递函数，表示相位角的变化。
二维OTF 的计算都比较困难，因此常在一个确定的方位角φ下测量。因为空间频率展开的方位角φ确定以后，在这个方向上的OTF 可以用一维的函数表示。
一般令φ=0，则
∞
OTF (ξ,0) =
-∞⎣-iPTF (ξ)⎤⎦⎰PSF (x )exp [-i 2πξx ]dx =MTF (ξ)exp ⎡
式中LSF 为线扩展函数，MTF 为调制传递函数，PTF 为相位传递函数。上式表示在非相干照明的条件下，OTF 为LSF 的傅立叶变换。
2.2光学传递函数的性质及应用
光学传递函数已在像质评价方面占据主导地位, 并且已广泛地应用于控制光学设计过程及光学系统的检验。在近代光学信息处理研究中也常常用到光学传递函数这一概念。
由于光学传递函数这一概念最初的引入就是对光学系统像质评价的研究, 因此, 可以说评价成像质量是光学传递函数最为成功的应用, 它能克服过去一些评价方法的明显不足, 使光学系统的设计和检验建立在更加科学可靠的基础上。
2.3光学传递函数的测量方法
光学传递函数测量方法有很多种分类方法。
就测量原理而言，可以分为以下几种：
①扫描法：光学傅立叶分析法、光电傅立叶分析法、电学傅立叶分析法、数字傅立叶分析法；
②自相关法：切变干涉法、光瞳函数计算机处理法、全息干涉法；
③互相关法；
④频谱比较法。
就测量方式而言，可以分为直接测量方法和间接测量方法。
其中直接测量法就是利用各种空间频率的余弦光栅作为输入像，直接测定输入像和输出像的调制度及初相位。经归一化后的调制度比值即是调制传递函数。其初相位之差即是相位传递函数。间接测量方法即是使用固定的狭缝目标、点光源或刀口，并且移动目标。测试系统要形成一个目标光信号，经光学系统，使光信号通过被测样品形成弥散光斑，用电子学方法采集信号，然后对信号进行采集处理。
三、刀口法测量光学传递函数
由以上的分析可以知道，刀口法是测量光学系统的传递函数一种基本方法。它具有点光源、狭缝、光栅等所不具有的优点。目前刀口法主要有两种形式，分别为刀口扫描法和刀口目标成像法。
3.1刀口扫描法
3.1.1系统结构
如下图是刀口扫描法的系统结构图
如图所示，由光源发出的光经聚光镜投射到狭缝上，形成均匀的准直光照明狭缝。很窄的透光狭缝是近似的线状像，经被测物镜成像。刀口安置在像面上。在这中间可以加入一些衔接镜（比如显微物镜或者平行光管）。刀口刃边应与狭缝像的方向严格平行。在测试时，刀口用微型力矩电动机或者步进电机带动，沿垂直于线扩散像的方向移动，这一移动成为扫描。移动不要太快。经扫描板透过的线扩散函数像再会聚在光电倍增管的光敏面上，产生相应的电信号，测出电信号即可相应得出透镜的光学传递函数。
3.1.2测量原理
开始扫描时刀片式完全挡住狭缝像的光的，刀片逐渐移动，也逐渐放入狭缝像的光。下图画出了狭缝像的线扩散函数LSF(x)。
刀口刃边移到某一位置x 时，所放入的光通量与图中画上阴影线的面积成比例。这样一来，在整个扫描过程中，进入光电倍增管的光通量随刀口位置x 的变化构成一个函数ESF(x)，这个函数就叫做边缘扩散函数，这个函数的曲线形状如下图所示。
由以上两幅图和刚才的叙述可知，边缘扩散函数ESF(x)来源于线扩散函数，它们的数学关系是：
ESF (x ) =⎰LSF (x ) dx -∞x
大家知道，积分是微分的逆运算，由上式得：
LSF (x ) =dESF (x ) dx
可知测得ESF (x ) 后就可以取导数求出线扩散函数，由于光学传递函数是线扩散函数的傅里叶变换，所以就可以求出系统的光学传递函数。这种方法的计算不是像一般的模拟计算，而是用数字计算，所以要分段记下读数并转换为数字。用线扩散函数计算光学传递函数时，线扩散函数要归一化。在这里，边缘扩散函数同样需要归一化。未进入光通量的ESF (x ) 规格化为0以出去暗电流和杂光的影响。ESF (x ) 的最大值应规格化为1, 。这种归一化和线扩散函数的归一化是对应的，因为ESF (x ) 得最大值就等于线扩散函数所包围的面积。
这个方法的优点是不用那些难于制造准确的正弦波光栅，并且用数字电子计算机处理数据，要些什么样的结果，计算机都易于处理得出。但是这个方法要求刀口方向和狭缝方向严格平行。如果觉得校正刀口方向和狭缝方向又困难，还可以不扫描狭缝而扫描星点，此时系统结构如下图所示：
当刀口在像平面上沿光轴垂直方向（如箭头所示）切入点像时，通过刀口的
点像辐照度变化——刀口扩散函数ESF (x ) 为：
I (x )=⎰x
-∞-∞⎰∞PSF (x , y )dxdy =⎰LSF (x )=ESF (x ) -∞x
式中I (x )为像面辐照度变化；PSF (x , y )为点像照度分布，即点扩散函数；LSF (x )为一维空间线扩散函数，且LSF (x )=⎰∞
-∞PSF (x , y )dy 。于是：
LSF (x )=d [ESF (x )] dx
由OTF 定义可知：
OTF (f )=⎰∞
-∞LSF (x )exp (-i 2πxf )dx
由以上可知，扫描星点和扫描狭缝的计算方法基本是一样的，只是光通量少了一些，还可以免去对准方向的麻烦，因此现在很多的OTF 测量系统都采用此种方法。
3.1.3数据处理
使用刀口法扫描采样结束后，光学传递函数的分析计算过程如下：
⑴刀口扫描数据ESF(u)的光滑处理。
为减少电信号噪声及刀口扫描步长∆u 的误差影响，对采集到的刀口扫描数据y i =ESF (u i )(i =1,2, , N )依次进行平滑处理。
ESF (u i )=ESF (u i -1)-∆utg αi y -y y -y i +1⎫⎛其中αi = arctg i -1i +arctg i ⎪ ∆u ∆u ⎭⎝
⑵计算线扩散函数。
用二阶差分公式计算线扩散函数LSF (u i )
ESF (u 2)-ESF (u 1)LSF (u 1)= ∆u
LSF (u i )=
LSF (u N )=ESF (u i +1)-ESF (u i )LSF (u i -1)+ 2∆u 2ESF (u N )-ESF (u N -1) ∆u
⑶光学传递函数的计算
①快速傅里叶变换FFT
→{X (i ), i =1, N } {LSF (u ), i =1, N }−−−FFT
i
②MTF 归一化
X (i )=1X (i ) i =1, , N 2 M
③MTF 插值与修正计算
对星孔与缝宽的一定几何尺寸造成物谱的削减进行修正计算。
3.2刀口目标成像法
用刀口测量光学传递函数还有另外一种方法，即刀口目标成像法。该方法是基于数字傅里叶变换的方法。
3.2.1系统结构
测试系统结构如下图所示：
刀口目标经被测镜头成像在接收器上，由光电装置扫描测得的刀口的像强度空间分布，然后经过采样及模数转换，将其输入计算机，由计算机来完成傅立叶变换运算，得出光学传递函数。
3.2.2测量原理
用刀口边缘作为目标物可以表示成阶跃函数的形式，f (x , y ) =step (x ) l (y ) 。其导数为线目标的理想δ函数，因此也可以通过测量刀口目标的刀口扩展函数
ESF 来求取MTF ，下面推导刀口扩展函数的数学模型。刀口目标函数可以表示为：
⎧1U (t ) =⎨⎩0t >0 t
设刀口目标在U (t ) =0时为刀口体，即不透光部分U (t ) =1时为未遮拦的透光部分，该部分可看作由无穷多个宽度趋于零的狭缝组成，每一条狭缝都是一个线光源，每一条线光源都是非相干的。在非相干的情况下，系统对光强度是线性的。因此系统对刀口所成的像可看成是对无数条狭缝像按强度叠加而成。每一条线光源在经过系统后都形成一条线扩散函数如下图所示：
如上图所示，虚线表示刀口的边缘，曲线1、2、3为刀刃边缘附近的三条狭缝像的光强分布（其余狭缝像没有绘出），三条曲线均是线光源对同一系统形成的线扩散函数，其形状大小完全相同，设曲线1为刃口边缘线形成光强分布的线扩散函数，曲线1、2、3间距∆x 相等。对于任意点x 1处的光强为所有狭缝像在该点处的光强值之和。
为了更好地进行说明，过x 1做x 轴的垂线交曲线1、2、3分别于1’、2’ 、
3’点，过2’ 、3’点做x 轴的平行线交曲线1于2”、3”点。可见，曲线2离曲线1为∆x 曲线2对x 1处的光强贡献量为曲线1上x 1-∆x 处光强的大小；曲线3离曲线1为2∆x ，曲线3对x 1处的光强贡献量为曲线1上x 1-2∆x 处光强的大小；依此类推，曲线n+1距离曲线1为n ∆x ，曲线n+1对x 1处的光强贡献量为曲线1上x 1-n ∆x 处光强的大小。当n →∞时，曲线对x 1处的光强贡献量为曲线1上-∞处光强的大小。由此分析可知，x 1点处的叠加光强就等于一条线光源的扩散函数（如曲线1）从-∞到x 1点处所有光强的总和，因此任意点x 1处的刀口扩散函数ESF 为：
ESF (x ) =⎰LSF (x )dx -∞x 1
因此ESF 可以看作是无数个LSF 在水平方向上的相互叠加。通过上式就可以得出系统的边缘扩散函数。要从ESF 得到MTF ，首先须从ESF 获得LSF ：
d d [ESF (x ) ]=⎰LSF (x ' )dx ' =LSF (x ) dx dx -∞
得到LSF 后，经过傅里叶变换就可以得到一维的光学传递函数。具体过程如下图所示：
x
3.2.3数据处理
⑴选取刃边图像并求边缘扩展函数(ESF)
如右图，为一幅刃边图像。从图像的每一
行将得到一条ESF 曲线，如果图像的高度为h ，
即图像有h 行，那么将得到h 条ESF 曲线。
⑵对刃边点进行定位并对刃边点进行最
小二乘拟合。
对上一步得到的h 条ESF 曲线分别进行微分，与相邻点差值最大的一点即为刃边点。实际上，算法得到的刃边点可能不是位于一条直线上。因此，需要对得到的h 个刃边点进行最小二乘拟合，将所有刃边点拟合到一条直线上。
⑶对各条ESF 曲线进行平滑并求平均ESF 曲线
对每条ESF 曲线分别进行样条插值，可以使曲线更平滑。对平滑后的各条ESF 曲线求平均值，得到一条平均ESF 曲线，求平均的主要目的是削弱噪声的影响。
⑷对插值后的平均ESF 曲线进行微分得到线扩展函数(LSF)曲线。
⑸由LSF 曲线得到MTF 曲线
以上两步和刀口扫描法的处理方式相似。
四、总结
由以上分析可知，刀口扫描法和刀口目标成像法测量光学传递函数的基本原理相似，都是应用了光学传递函数的第二个定义。只是在系统结构，测量工具，数据处理方式等方面有些不同。实际应用中两种方法均使用比较广泛，现在刀口法已经能够做成实际的OTF 测量仪器。以后的工作应该就是在消除误差和提高测量精度方面进行努力。
五、参考文献
［1］麦伟麟著. 光学传递函数及其理论基础［M ］. 北京:国防工业出版社，1979.
［2］邹异松. 电真空成像器件及其理论分析［M ］. 北京: 国防工业出版社，1994.
［3］徐春梅，张伟，李刚，张雏，胡文刚. 刀口边缘误差对传递函数的影响［J ］. 军械工程学院学报.2004，16(6):54-57
［4］米凤文，杨国光，沈亦兵. 红外混合光学系统传递函数的一种测试方法及实现［J ］. 红外技术.2005，27(3):183-186
［5］马卫红. 基于图像分析的光学传递函数测试技术研究［D ］. 北京：中国科学院研究生院。2005
［6］吴海平. 点源法MTF 测试技术研究［D ］. 南京：南京理工大学.2007 ［7］黄震. 基于数字傅立叶分析法的MTF 测试研究［D ］. 西安：西安工业大
学.2007
［8］郝群，沙定国，郑乃梅. 光学传递函数测量仪刀口和狭缝两种扫描方法比较分析［J ］. 光学技术.2001，27(1):41-43
［9］金豪. 全景环形成像透镜的成像质量评价［D ］. 浙江：浙江大学.2006 ［10］仝文权. 红外系统MTF 测试仪技术分析［J ］. 《红外》月刊.2003，4：16-22
［11］章慧贤. 光学传递函数的发展及其应用［J ］. 光学仪器.1996，18(4):28-31
［12］李晓斌，周春平，迟云峰. 刃边法计算在轨卫星图像MTF 的仿真分析［J ］. 影像技术.2007,6:33-39