正余弦定理综合应用

1. 已知△ABC 中，则

（

）

的对边分别为

. 若

，

且

，

A ． 2 B ． C ． D ．

方法1：因为由余弦定理，得

．故选A ．方法2：因为

，所以△ABC 为等腰三角形，

，

，所以△

ABC 为等腰三角形，

，，

由正弦定理，得．故选A ．

2. 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N

在同

一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角A ，B 的距离 d （如图所示） . ……….3分

；B 点到M ，N 的俯角

；

②第一步：计算AM . 由正弦定理

；…………6分

第二步：计算AN . 由正弦定理

；…………9分

第三步：计算MN. 由余弦定理

.…………12分

；

方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角A ，B 的距离 d （如图所示）.…………3分

，；B 点到M ，N 点的府角，

②第一步：计算BM . 由正弦定理

；…………6分

第二步：计算BN . 由正弦定理

；w.w…………9分

…………12分

第三步：计算MN . 由余弦定理

在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、

，已知

求b ．

，且

文字解析

解法一：在

中

则由正弦定理及余弦定理有：

；……………6分

化简并整理得：.……………8分又由已知

解得. ………………10分

解法二:由余弦定理得

: ，又,

。，

所以①……………4分又

……………6分

，即

②……………8分由①，②解得

。……………10分

由正弦定理得，故

4. 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B

、C 所对的边，且（Ⅱ）若＝

, 且△ABC 的面积为

，求a ＋b 的值.

(Ⅰ)

；（Ⅱ）5文字解析(Ⅰ) 由

及正弦定理得，

，……2分

∵，∴，…………4分∵△ABC 是锐角三角形，

.…………6分

（Ⅱ）解法1：∵＝，，由面积公式得：

…………10分

.…………12分

……8分

由余弦定理得：

由②

变形得

解法2：前同解法1，联立①、②得

，…………8分

∙

消去b 并整理得

，解得：

…………10分

∙

所以

，

∙

故

.…………12分

∙

∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用

∙

在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若则A =（） A ． 30° B ． 60° C ． 120° D ． 150°

，sinC =2sinB ，

∙ ∙ ∙

文字解析

由

sinC

sinB

结合正弦定理得：

，所以由于余弦定理得：

∙

，所以A =30°，选A .

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用

∙

若△

的三个内角满足

，则△

（）

A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形. C ．一定是钝角三角形.

D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

∙

答案

∙ ∙ ∙

由

文字解析

及正弦定理得a :b :c =5:11:13

∙

由余弦定理得

，所以角C 为钝角

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用；三角函数值的符号判定

∙

在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

∙

，则=____.

∙ ∙ ∙ ∙

文字解析

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

∙

当A =B 或a =b

时满足题意，此时有：，，

，

∙

，

= 4。

∙

（方法二），

∙

，

∙

由正弦定理，得：上式=

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数公式

∙

在ABC 中，.

（Ⅰ）证明：B =C ：

（Ⅱ）若

∙

=-，求sin 的值.

（Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得=

.…………2分

∙

于是sinBcosC -cosBsinC =0，

∙

即sin （B -C ）=0.…………4分

∙

因为

，

∙

从而B -C =0.

∙

所以B =C .…………6分

∙

（Ⅱ）解：由A +B +C =

和（Ⅰ）得A =

-2B ，

∙

故cos 2B =-cos （-2B ）=-cosA =

.…………8分

∙

又0

∙

从而sin 4B =2sin 2Bcos 2B =，cos 4B =

.…………10分

∙

所以

.…………12分

∙ ∙

∙ ∙ ∙

文字解析考点

正、余弦定理的综合应用；同角三角函数的基本关系；二倍角公式

∙

设函数．

（Ⅰ）求的值域；

（Ⅱ）记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若求a 的值．

∙

（Ⅰ）

，，，

；（Ⅱ）

的值为1或2

∙ ∙

文字解析

（Ⅰ）

∙

，

∙

因此

的值域为

.…………7分

∙

（Ⅱ）由得，即，又因

，

∙

故

.………8分

∙

解法一：由余弦定理

，得

，

∙

解得：

或

.…………12分

∙

解法二：由正弦定理，得或

.…………8分

∙

当时，，从而

；

∙

当时，，又，从而

∙

故

的值为1或2.…………12分

∙ ∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用；二倍角公式；两角和与差的三角函数公式

∙

在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求

的最大值.

∙

（Ⅰ）A =120°；（Ⅱ）1

∙ ∙ ∙ ∙

文字解析

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

∙

即

∙

由余弦定理得

∙

故

，A =120° ……6分

∙

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

∙

∙ 故当时，sinB +sinC 取得最大值1. ……12分

∙

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数

∙ 在中，

分别为内角. 的对边，且（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若∙

∙ ，试判断的形状. 答案

（Ⅰ）A =120°；（Ⅱ）等腰的钝角三角形 ∙

∙

∙ 文字解析

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得， ∙

即

∙

由余弦定理得，

∙ 故…………6分

∙ （Ⅱ）由（Ⅰ）得

∙ 又，得 ∙ 因为， ∙ 故 ∙ 所以是等腰的钝角三角形。…………12分

∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 已知的内角答案

，及其对边

，满足，求内角． ∙ ∙

∙

∙ ∙

∙

由文字解析及正弦定理得

∙

…………4分

∙ 从而

∙

…………6分

∙

又

∙

故

∙

…………8分

∙ 所以…………10分

∙

∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数公式

∙ 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相聚5（3+

45°，B 点北偏西60°且与B 点相距）海里的两个观测点，现位于A 点北偏东海里的C 点的救援船立即前往营救，

其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？

∙

1小时答案

∙

∙ ∙ ∙ 文字解析由题意知海里， ∙

∴ ，…………2分

∙

在中，由正弦定理得

，

∙

∴

∙

=（海里）…………8分

∙ ∠DBC =∠DBA +∠ABC =300+(900-600)=600, BC =20海里，

∙

在△DBC 中由余弦定理得到CD =30海里，时间t =1小时，

∙

答：救援船到达D 点需要1小时.…………12分

∙

∙ ∙ 考点正、余弦定理的综合应用

∙

。轮船位于港口O 北偏西，且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

∙

（Ⅰ）

轮船相遇海里/小时；（Ⅱ）航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与

∙

文字解析

（Ⅰ）设相遇时小航艇行的距离为S 海里，

∙

则S =

∙ =，…………3分

∙ t

=时，S min =10，此时v ==30…………5分

∙

即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.…………6分

∙

（Ⅱ）

∙ ∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 某港口

港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。

(Ⅰ) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ) 为保证小艇在30分钟内(含30分钟) 能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ) 是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？

若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。

∙

（I ）答案海里/小时；（II ）

∙

∙ ∙ 文字解析

（Ⅰ）解法一：设相遇时小

艇的航行距离为

海里，则 ∙

∙ 故时，，.[来源:学科网]

∙ 即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。…………6分

∙

解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向. ∙ 设小艇与轮船在C 处相遇. ∙

在

中，，

∙

，又，，

∙ 此时，轮船航行时间，.

∙

∙ （Ⅱ）设小艇与轮船在处相遇. 由题意可知，， ∙ 化简得：时，取得最小值，即小艇航行速度的最小值为. 由于，即海里/小时. ，所以当∙

由上知v 2=设=u ，(u >0)，于是400u 2-600u +900-v 2=0有两个不等正根， ∙

于是，解得15

所以速度的范围是…………13分

∙

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 若△的内角满足

，则（）

A ．

B ．

C ．

D ．

∙

D 答案

∙

由文字解析 ==得，：：=2:3:4，

∙ 由正弦定理知，：：=2:3:4，设=2，=3，=4，（＞0），

∙

则

==，故选D. ∙

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用 ∙ 在ABC 中．．则A 的取值范围是（）

A ． (0

，]

B ． [ ，)

C ． (0

，]

D ． [

∙

C ，答案 )

∙

∙ 文字解析由正弦定理及，得，即， ∙ ∴，∵，故，选C ．

∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙

的内角．、

、的对边分别为

、、，己知，，求

∙

∙ ∙ ∙

∙

∵ 文字解析，

∴，∴，且，…………2分 ∙ ∴ ，∴，…………4分

∙ 由正弦定理及，得：，

∙

∴ …………6分 ∙

两边平方，得：，即，…………8分 ∙

解得：或（舍）…………10分

∙

∴，即.…………12分

∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数；同角三角函数关系式 ∙ △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知(Ⅰ) 求； . （Ⅱ）若

∙ ∙

（Ⅰ），求. 答案；（Ⅱ）

∙

∙ ∙

∙ 文字解析（I ）由正弦定理得…………………………3分 ∙ 由余弦定理得.

∙

故，因此

.…………………………………6分 ∙

（II ）

∙

…………………………………8分

∙ 故， ∙

.…………………………………12分

∙

正余弦定理综合应用

1. 已知△ABC 中，则

（

）

的对边分别为

. 若

，

且

，

A ． 2 B ． C ． D ．

方法1：因为由余弦定理，得

．故选A ．方法2：因为

，所以△ABC 为等腰三角形，

，

，所以△

ABC 为等腰三角形，

，，

由正弦定理，得．故选A ．

2. 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N

在同

方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角A ，B 的距离 d （如图所示） . ……….3分

；B 点到M ，N 的俯角

；

②第一步：计算AM . 由正弦定理

；…………6分

第二步：计算AN . 由正弦定理

；…………9分

第三步：计算MN. 由余弦定理

.…………12分

；

方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角A ，B 的距离 d （如图所示）.…………3分

，；B 点到M ，N 点的府角，

②第一步：计算BM . 由正弦定理

；…………6分

第二步：计算BN . 由正弦定理

；w.w…………9分

…………12分

第三步：计算MN . 由余弦定理

在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、

，已知

求b ．

，且

文字解析

解法一：在

中

则由正弦定理及余弦定理有：

；……………6分

化简并整理得：.……………8分又由已知

解得. ………………10分

解法二:由余弦定理得

: ，又,

。，

所以①……………4分又

……………6分

，即

②……………8分由①，②解得

。……………10分

由正弦定理得，故

4. 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B

、C 所对的边，且（Ⅱ）若＝

, 且△ABC 的面积为

，求a ＋b 的值.

(Ⅰ)

；（Ⅱ）5文字解析(Ⅰ) 由

及正弦定理得，

，……2分

∵，∴，…………4分∵△ABC 是锐角三角形，

.…………6分

（Ⅱ）解法1：∵＝，，由面积公式得：

…………10分

.…………12分

……8分

由余弦定理得：

由②

变形得

解法2：前同解法1，联立①、②得

，…………8分

∙

消去b 并整理得

，解得：

…………10分

∙

所以

，

∙

故

.…………12分

∙

∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用

∙

在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若则A =（） A ． 30° B ． 60° C ． 120° D ． 150°

，sinC =2sinB ，

∙ ∙ ∙

文字解析

由

sinC

sinB

结合正弦定理得：

，所以由于余弦定理得：

∙

，所以A =30°，选A .

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用

∙

若△

的三个内角满足

，则△

（）

A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形. C ．一定是钝角三角形.

D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

∙

答案

∙ ∙ ∙

由

文字解析

及正弦定理得a :b :c =5:11:13

∙

由余弦定理得

，所以角C 为钝角

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用；三角函数值的符号判定

∙

在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

∙

，则=____.

∙ ∙ ∙ ∙

文字解析

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

∙

当A =B 或a =b

时满足题意，此时有：，，

，

∙

，

= 4。

∙

（方法二），

∙

，

∙

由正弦定理，得：上式=

∙ ∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数公式

∙

在ABC 中，.

（Ⅰ）证明：B =C ：

（Ⅱ）若

∙

=-，求sin 的值.

（Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得=

.…………2分

∙

于是sinBcosC -cosBsinC =0，

∙

即sin （B -C ）=0.…………4分

∙

因为

，

∙

从而B -C =0.

∙

所以B =C .…………6分

∙

（Ⅱ）解：由A +B +C =

和（Ⅰ）得A =

-2B ，

∙

故cos 2B =-cos （-2B ）=-cosA =

.…………8分

∙

又0

∙

从而sin 4B =2sin 2Bcos 2B =，cos 4B =

.…………10分

∙

所以

.…………12分

∙ ∙

∙ ∙ ∙

文字解析考点

正、余弦定理的综合应用；同角三角函数的基本关系；二倍角公式

∙

设函数．

（Ⅰ）求的值域；

（Ⅱ）记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若求a 的值．

∙

（Ⅰ）

，，，

；（Ⅱ）

的值为1或2

∙ ∙

文字解析

（Ⅰ）

∙

，

∙

因此

的值域为

.…………7分

∙

（Ⅱ）由得，即，又因

，

∙

故

.………8分

∙

解法一：由余弦定理

，得

，

∙

解得：

或

.…………12分

∙

解法二：由正弦定理，得或

.…………8分

∙

当时，，从而

；

∙

当时，，又，从而

∙

故

的值为1或2.…………12分

∙ ∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用；二倍角公式；两角和与差的三角函数公式

∙

在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求

的最大值.

∙

（Ⅰ）A =120°；（Ⅱ）1

∙ ∙ ∙ ∙

文字解析

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

∙

即

∙

由余弦定理得

∙

故

，A =120° ……6分

∙

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

∙

∙ 故当时，sinB +sinC 取得最大值1. ……12分

∙

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数

∙ 在中，

分别为内角. 的对边，且（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若∙

∙ ，试判断的形状. 答案

（Ⅰ）A =120°；（Ⅱ）等腰的钝角三角形 ∙

∙

∙ 文字解析

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得， ∙

即

∙

由余弦定理得，

∙ 故…………6分

∙ （Ⅱ）由（Ⅰ）得

∙ 又，得 ∙ 因为， ∙ 故 ∙ 所以是等腰的钝角三角形。…………12分

∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 已知的内角答案

，及其对边

，满足，求内角． ∙ ∙

∙

∙ ∙

∙

由文字解析及正弦定理得

∙

…………4分

∙ 从而

∙

…………6分

∙

又

∙

故

∙

…………8分

∙ 所以…………10分

∙

∙ ∙

考点

正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数公式

∙ 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相聚5（3+

45°，B 点北偏西60°且与B 点相距）海里的两个观测点，现位于A 点北偏东海里的C 点的救援船立即前往营救，

其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？

∙

1小时答案

∙

∙ ∙ ∙ 文字解析由题意知海里， ∙

∴ ，…………2分

∙

在中，由正弦定理得

，

∙

∴

∙

=（海里）…………8分

∙ ∠DBC =∠DBA +∠ABC =300+(900-600)=600, BC =20海里，

∙

在△DBC 中由余弦定理得到CD =30海里，时间t =1小时，

∙

答：救援船到达D 点需要1小时.…………12分

∙

∙ ∙ 考点正、余弦定理的综合应用

∙

（Ⅰ）

轮船相遇海里/小时；（Ⅱ）航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与

∙

文字解析

（Ⅰ）设相遇时小航艇行的距离为S 海里，

∙

则S =

∙ =，…………3分

∙ t

=时，S min =10，此时v ==30…………5分

∙

即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.…………6分

∙

（Ⅱ）

∙ ∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 某港口

若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。

∙

（I ）答案海里/小时；（II ）

∙

∙ ∙ 文字解析

（Ⅰ）解法一：设相遇时小

艇的航行距离为

海里，则 ∙

∙ 故时，，.[来源:学科网]

∙ 即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。…………6分

∙

解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向. ∙ 设小艇与轮船在C 处相遇. ∙

在

中，，

∙

，又，，

∙ 此时，轮船航行时间，.

∙

∙ （Ⅱ）设小艇与轮船在处相遇. 由题意可知，， ∙ 化简得：时，取得最小值，即小艇航行速度的最小值为. 由于，即海里/小时. ，所以当∙

由上知v 2=设=u ，(u >0)，于是400u 2-600u +900-v 2=0有两个不等正根， ∙

于是，解得15

所以速度的范围是…………13分

∙

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙ 若△的内角满足

，则（）

A ．

B ．

C ．

D ．

∙

D 答案

∙

由文字解析 ==得，：：=2:3:4，

∙ 由正弦定理知，：：=2:3:4，设=2，=3，=4，（＞0），

∙

则

==，故选D. ∙

∙ ∙ 考点

正、余弦定理的综合应用 ∙ 在ABC 中．．则A 的取值范围是（）

A ． (0

，]

B ． [ ，)

C ． (0

，]

D ． [

∙

C ，答案 )

∙

∙ 文字解析由正弦定理及，得，即， ∙ ∴，∵，故，选C ．

∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用

∙

的内角．、

、的对边分别为

、、，己知，，求

∙

∙ ∙ ∙

∙

∵ 文字解析，

∴，∴，且，…………2分 ∙ ∴ ，∴，…………4分

∙ 由正弦定理及，得：，

∙

∴ …………6分 ∙

两边平方，得：，即，…………8分 ∙

解得：或（舍）…………10分

∙

∴，即.…………12分

∙

∙ 考点

正、余弦定理的综合应用；两角和与差的三角函数；同角三角函数关系式 ∙ △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知(Ⅰ) 求； . （Ⅱ）若

∙ ∙

（Ⅰ），求. 答案；（Ⅱ）

∙

∙ ∙

∙ 文字解析（I ）由正弦定理得…………………………3分 ∙ 由余弦定理得.

∙

故，因此

.…………………………………6分 ∙

（II ）

∙

…………………………………8分

∙ 故， ∙

.…………………………………12分

∙

正余弦定理综合应用

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