Leslie 人口模型
现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型假设
(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔S /m 年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;
(2) 记n i (t ) 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记
n (t ) =[n 1(t ), n 2(t ), , n m (t )]
第i 年龄组女性生育率为b i （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为d i ，记s i =1-d i , 假设b i , d i 不随时间变化;
(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约, 不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;
(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。
建立模型与求解
根据以上假设，可得到方程 t
n 1(t +1) =∑b n (t ) i i
i =1m
n i +1(t +1) =s i n i (t ) i =1,2.…,m -1 t +1
写成矩阵形式为
n (t +1) =Ln (t )
⎛b 1b 2 b m -1b m ⎫ ⎪0⎪ s 10 0
0⎪ （1） 其中，L = 0s 20 ⎪ ⎪ ⎪⎝0 0s m -10⎭
记
n (0) =[n 1(0), n 2(0), , n m (0)] （2）
假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则
t n (t ) =Ln (0),t =0,1,2,
为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：
(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;
(ii) b i ≥0，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的：
定理1
L 矩阵有唯一的单重的正的特征根λ=λ0，且对应的一个特征向量为
m -1 n *=[1，s 1/λ0，s 1s 2/λ2] （3） 0，…，s 1s 2 …s m -1/λ0T
定理2
若λ1是矩阵L 的任意一个特征根，则必有λ1≤λ0。
定理3
若L 第一行中至少有两个顺次的b i , b i +1>0，则
（i ）若λ1是矩阵L 的任意一个特征根，则必有λ1
（ii ）lim n (t ) /λt 0=cn *， （4） t ->+∞
其中c 是与n （0）有关的常数。
定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t 充分大时，有
n (t ) ≈c λt 0n * (5) 定理4
记βi =b i s 1s 2 s i -1，q （λ）=β1/λ+β2/λ+…+βm /λ，则λ是L 的非零特征根的充2m
分必要条件为
q （λ）=1 （6）
所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形
态，而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长。由（5）式可得到如下结论：
(i) 当λ>1时，人口数最终是递增的；
(ii) 当λ
(iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。
根据（6）式，如果λ=1，则有
b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1
记
R = b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1 （7）
R 称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R >1时，人口递增；当R
Leslie 模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。
公园大象管理
南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
公园有一些关于大象的资料，供建模参考：
1几乎不再迁入或迁出大象；
2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；
3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%
4母象初次怀孕大约在10-12岁, 一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕, 怀孕期为22个月；
5避孕针可能引起大象每个月都发情, 但不受孕, 因为大象通常每3.5年生育1次, 所以按月循坏的方案是不足取的；
6避孕针对母象没有副作用, 打了避孕针的母象2年内不再受孕；
7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后, 直至60岁前, 存活率都比较均匀, 大约在95%以上, 大象一般只活到70岁；
8公园里不存在捕杀行为, 偷猎可以不考虑；
公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计, 不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；
你的任务是, 构造一个模型, 利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数. 同时需要完成以下任务：
1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率, 以及目前的大象年龄结构；
2估计每年需要避孕多少大象, 才能保证大象总数控制在11000头左右, 说明数据不确定性对你的结论的影响, 评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年) ；
3假设每年可以移出50-300头大象, 避孕大象数可以减少多少, 评价如何根据经济效益平衡两种方案；
4有一些反对观点认为, 假如出现疾病或者失控的偷猎, 使大象总数突然大幅度下降, 即使停止避孕, 也会对大象群的恢复存在不良影响, 研究并回答这个问题；
5公园公管理部门正在构造模型, 特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点. 希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心, 除此之外, 你的报告, 还应该包括一个详细的技术流程(最多3页) 回答公共关心的问题。
6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣, 有意利用你的模型, 请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划, 顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况. 附过去两年的迁出数据
年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51
母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29
总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57
母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25
年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42
母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25
总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50
母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30
年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47
母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27
总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40
母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16
年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39
总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41
母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24
总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26
母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13
年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49
总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26
母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11
总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19
母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9
年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4
母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2
总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0
母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0
年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2
母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2
总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0
母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
假设与分析
1大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；
2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；
3 避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，比例系数为k ，仅通过调节k 来控制公园大象数量；
4母象初次怀孕大约在10-12岁, 简化假设大象初孕时间为11岁，当前状态下，成年象的成活率为s ，生育母象率为r ，老年象的成活率是线性逐渐递减的，因此其成活率可表示为
s i =s (70-i ) /10,(60≤i ≤70)
设初生象活到1岁的存活率为s 0。
5避孕针对母象没有副作用, 打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是
否怀孕，一旦打了避孕针，母象就被避孕或中止怀孕，平均每年有γ比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为η，每年的避孕方案时瞬时完成的。
6 假设大象的年龄结构是稳定的。
数据处理与分析
（1）2-60岁大象的存活率与年龄结构
母象生育率为
r =1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448头/年
12岁的母象生育母象的生育率为r /6。
由题设知道存活率s ∈(0. 95, 0. 99) 。
以下是第一年迁移出0至70岁大象数据
x1=[103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51, 48,47,49,48,47,43,42,42,37,39, 41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ];
以下是第二年迁移的0-70岁大象数据
x2=[98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52
55 49 50 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10
24 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0]; x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);
以下是第一年迁移的0-59岁母象数据
y1=[50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2];
以下是第二年迁移的0-59岁母象数据
y2=[57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0];
考虑到有些数据较小及抽样的随机性，我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据。 t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);
tt=t1+t2;
tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;
mean(tn)
ans =
0.9672
t1=x1(12:21);t2=x2(12:21); tt=t1+t2; tt1=tt(1:9);
tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9820
t1=x1(12:31);t2=x2(12:31); tt=t1+t2; tt1=tt(1:19);
tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9859
t1=x1(12:41);t2=x2(12:41); tt=t1+t2; tt1=tt(1:29);
tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9765
t1=x1(12:51);t2=x2(12:51); tt=t1+t2; tt1=tt(1:39);
tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9771
t1=x1(12:60);t2=x2(12:60); tt=t1+t2;
tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9719
n1=zeros(1,71);
n1(1)=1;n1(2)=0.75;
for i=3:61
n1(i)=n1(i-1)*0.98;
end
n1;
for i=62:71
n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);
end
n1;
N1=n1(12:50);
xx=x(12:50);
xx=100*xx/norm(xx,1);
N1=100*N1/norm(N1,1);
t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis([10,40,0,5]);title('图1')
通过以上分析大致可以得到，1-60岁大象的存活率约为0.98。0-70岁年龄结构向量见图2。
y0=100*x0/norm(x0,1);
a=0:70;
bar(a,y0,'stacked') ;
title('图2')
下面我们取s 0=0.75, s 1=s 2=0.98。
m1=zeros(1,71);
m1(1)=1;
m1(2)=0.75/1.029;
for i=3:61
m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;
end
m1;
for i=62:71
m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);
end
m1;
m1=100*m1/norm(m1,1);
bar(a,m1,'stacked');
title('图3 稳定的年龄结构')
plot(a,m1,'r-',a,y0,'b-.');
title('图4 年龄结构当前状态与稳定状态比较')
ans =
0.1981 -0.0694
从所给的数据来看，象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态。
根据以上数据，大体可以得到
l=zeros(71,71); l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75;
for i=14:61
l(1,i)=0.1448;
end
l;
for j=3:61
l(j,j-1)=0.98;
end; l;
for k=62:71
l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;
end
l;
eig(l);
矩阵的唯一正特征值为1.0322。
对于不同的存活率，得到的唯一正特征值为：
s 0=0.75, s =0.97, p =1.023; s 0=0.75, s =0.98, p =1.0322;
s 0=0.75, s =0.99, p =1.042.
记 下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率γ。此时，女性生育率为0.1448(1-γ) 。
s 0=0.75, s 1=s 2=0.98
1111i -12β13=0.1448(1-γ) s 0s 1/6, βi =0.1448(1-γ) s 0s 1 s 2(14≤i ≤61)
由（6）式得
q (1)=β13+β14+ +β61=1
解得 1-γ=1=0.376, γ=0.624 11480.1448s 0s 1[1/6+s 2(1-s 2) /(1-s 2)]
1-1/(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98-0.98^49)/0.02))
ans =
0.6240
即每年应该有62.4%的母象处于避孕状态。
为了保证有62.4%的母象处于避孕状态，下面分析每年应该打避孕针母象的比例η。 在假设3和假设5的前提下，如果每年打避孕针母象比例为η。母象可以分成3类：即
当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针, 比例为2η(1-η) ；连续两年被打避孕针η2；连续两年没有被打避孕针。只有最后一类母象具有生育能力。因此，只需要η满足方程
γ=2η(1-η) +η
1-sqrt(0.376)
ans =
0.3868
ans =
0.3868
0.3868*5500 2
ans =
2.1274e+003
解得 η=0.387，即每年大约需要给2127头母象打避孕针。
在方案实施过程中，实际上根本不需要打这么多针，因为许多小象还是可以识别的。可以采取随机抽样的打针方式，对于抽到的小象只计数不打针，直至计满2127头母象，就算完成当年任务。采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的，下面给出了打与不打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比较。 m1=zeros(1,71);
m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322; for i=3:61
m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322; end; m1; for i=62:71
m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10); end; m1;
n1=zeros(1,71);
n1(1)=1;n1(2)=0.75; for i=3:61
n1(i)=n1(i-1)*0.98; end; n1; for i=62:71
n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10); end;n1;
subplot(1,2,1) a=0:70;
plot(a,m1,'r-',a,n1,'b--'); title('图5年龄结构比较'); axis([0,70,0,1]);
M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1); a=0:70;
subplot(1,2,2)
plot(a,M1,'r-',a,N1,'b--') title('图5各年龄段大象数比较图') axis([-0,70,0,300])
通过以上两个图的比较，可以发现采取避孕措施，将使幼象、小象数减少，中老年象数增加。 由于采取避孕措施，使得初生小象数减少，因此会不可避免地引起象群年龄结构的改变，下面分析，15年、30年、60年后的象群年龄结构。
L=zeros(71,71);
L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75; for i=14:61
L(1,i)=0.1448*0.376;end ; L; for j=3:61
L(j,j-1)=0.98; end; L; for k=62:71
L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10; end; L;
eig(L);
n15=L ^15*x0';n30=L ^15*n15;n60=L ^30*n30;
n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1); n60=100*n60/norm(n60,1);
M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1); M60=5500*n60/norm(n60,1); bar(a,55*y0)
title('图6a 避孕前种群量分布'); axis([0,70,0,250])
bar(a,M15)
title('图6b 避孕15年后种群量分布');axis([0,70,0,250])
bar(a,M30)
title('图6c 避孕30年后种群量分布');axis([0,70,0,250])
M60=5500*n60/norm(n60,1); bar(a,M60)
title('图6d 避孕前种群量分布');axis([0,70,0,250])
n70=L^70*x0';n70=100*n70/norm (n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);
图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较
plot (a,k 1,'r-',a,n70,'b-.');
title('图7 避孕前后稳定的年龄结构');axis([0,70,0,5])
数据不确定性对结果的影响
分别取s 0=0.7,0.8, s 1=s 2=0.95,0.99
1-γ=
1
=0.421, γ=0.579 1148
0.1448s 0s 1[1/6+s 2(1-s 2) /(1-s 2)]
1-1/(0.1448*0.7*0.95^11*(1/6+(0.95-0.95^49)/0.05))
ans =
0.0115
1-sqrt(1-0.0115)
ans =
0.0058
1-1/(0.1448*0.8*0.99^11*(1/6+(0.99-0.99^49)/0.01))
ans =
0.7466
1-sqrt(1-0.7466)
ans =
0.4966
γ∈[0.012,0.757]
每年需避孕的母象比例为0. 6%—49.7% 。
对于每年可以迁移50-300头大象及s 0=0.75, s 1=s 2=0.98，下面分析避孕方案的变化及最经济的方案。
设增长率为p ，对于 s 0=0.75, s 1=s 2=0.98
1111i -12
β13=0.1448(1-γ) s 0s 1/6, βi =0.1448(1-γ) s 0s 1 s 2(14≤i ≤61)
q (p ) =β13/p 12+β14/p 13+ +β61/p 60=1
令
s 0' =s 0/p , s ' 1=s 1/p , s 2' =s 2/p
β' 13=0.1448(1-γ') s 0' s /6, β14' =0.1448(1-γ') s 0'(s ') (s ') q (p ) =β' 13+β' 14+ +β' 61=1
1-γ' =
111111i -122
(14≤i ≤61)
1
1148
0.1448s ' 0s ' 1[1/6+s ' 2(1-s ' 2) /(1-s ' 2)]
当 p =1.01，每年的避孕率为28.2%，每年迁出110头； 当 p =1.02，每年的避孕率为16.8%，每年迁出220头； 当 p =1.025，每年的避孕率为11.3%，迁出275头。
1-1/(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98-0.98^49)/0.02)) ans =
0.6240
1-sqrt(0.376) ans =
0.3868
p=1.01;
1-p ^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).^49)/(1-0.98./p)))
ans =
0.4848
1-sqrt(0.5152) ans =
0.2822
p=1.02;
1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)^49)/(1-0.98/p))) ans =
0.3080
1-sqrt(0.692) ans =
0.1681
p=1.025;
1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)^49)/(1-0.98/p))) ans =
0.2036
1-sqrt(0.7864) ans =
0.1132
进一步分析可以知道，对于 s 0=0.75, s 1=s 2=0.98，如果增长率为
p (1≤p ≤1.0322, 即每年移11000(p-1))，
令
s 0' =s 0/p , s ' 1=s 1/p , s 2' =s 2/p
β' 13=0.1448(1-γ') s 0' s /6, β14' =0.1448(1-γ') s 0'(s ') (s ')
γ' =1-
1
11
0.1448s ' 0s ' 1[1/6+s ' 2(1-s ' 482) /(1-s ' 2)]
11
1111i -122
(14≤i ≤61)
每年需要避孕的母象为5500γ' ，每年需要迁移的大象数为11000(p -1) 。从相关的文献中我们大致可以得到，设平均每迁移一头大象的成本约避孕一头大象费用的λ倍，由此得到增长率为p 时的总费用函数为
c (p ) =k (5500*γ' +11000*t *(p -1))
记
y (p ) =γ' +2t (1-p )
易见，p =1, y =0.3868, p =1.01, y =0.346, p =1.02, y =0.396
clear ;
p=1:0.002:1.032;
q =1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).^49)./(1-0.98./p)))
q =
Columns 1 through 5
0.6240 0.5989 0.5725 0.5446 0.5154 Columns 6 through 10
0.4848 0.4526 0.4189 0.3836 0.3467 Columns 11 through 15
0.3080 0.2676 0.2254 0.1814 0.1354 Columns 16 through 17 0.0875 0.0376
a =1-sqrt(1-q)
a =
Columns 1 through 5
0.3868 0.3667 0.3461 0.3252 0.3039 Columns 6 through 10
0.2822 0.2601 0.2377 0.2149 0.1917 Columns 11 through 15
0.1681 0.1442 0.1199 0.0952 0.0702 Columns 16 through 17 0.0448 0.0190
y=a+15*(p-1)
y =
Columns 1 through 5
0.3868 0.3967 0.4061 0.4152 0.4239 Columns 6 through 10
0.4322 0.4401 0.4477 0.4549 0.4617 Columns 11 through 15
0.4681 0.4742 0.4799 0.4852 0.4902 Columns 16 through 17 0.4948 0.4990
Leslie 人口模型
现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型假设
(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔S /m 年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;
(2) 记n i (t ) 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记
n (t ) =[n 1(t ), n 2(t ), , n m (t )]
第i 年龄组女性生育率为b i （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为d i ，记s i =1-d i , 假设b i , d i 不随时间变化;
(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约, 不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;
(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。
建立模型与求解
根据以上假设，可得到方程 t
n 1(t +1) =∑b n (t ) i i
i =1m
n i +1(t +1) =s i n i (t ) i =1,2.…,m -1 t +1
写成矩阵形式为
n (t +1) =Ln (t )
⎛b 1b 2 b m -1b m ⎫ ⎪0⎪ s 10 0
0⎪ （1） 其中，L = 0s 20 ⎪ ⎪ ⎪⎝0 0s m -10⎭
记
n (0) =[n 1(0), n 2(0), , n m (0)] （2）
假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则
t n (t ) =Ln (0),t =0,1,2,
为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：
(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;
(ii) b i ≥0，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的：
定理1
L 矩阵有唯一的单重的正的特征根λ=λ0，且对应的一个特征向量为
m -1 n *=[1，s 1/λ0，s 1s 2/λ2] （3） 0，…，s 1s 2 …s m -1/λ0T
定理2
若λ1是矩阵L 的任意一个特征根，则必有λ1≤λ0。
定理3
若L 第一行中至少有两个顺次的b i , b i +1>0，则
（i ）若λ1是矩阵L 的任意一个特征根，则必有λ1
（ii ）lim n (t ) /λt 0=cn *， （4） t ->+∞
其中c 是与n （0）有关的常数。
定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t 充分大时，有
n (t ) ≈c λt 0n * (5) 定理4
记βi =b i s 1s 2 s i -1，q （λ）=β1/λ+β2/λ+…+βm /λ，则λ是L 的非零特征根的充2m
分必要条件为
q （λ）=1 （6）
所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形
态，而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长。由（5）式可得到如下结论：
(i) 当λ>1时，人口数最终是递增的；
(ii) 当λ
(iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。
根据（6）式，如果λ=1，则有
b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1
记
R = b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1 （7）
R 称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R >1时，人口递增；当R
Leslie 模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。
公园大象管理
南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
公园有一些关于大象的资料，供建模参考：
1几乎不再迁入或迁出大象；
2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；
3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%
4母象初次怀孕大约在10-12岁, 一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕, 怀孕期为22个月；
5避孕针可能引起大象每个月都发情, 但不受孕, 因为大象通常每3.5年生育1次, 所以按月循坏的方案是不足取的；
6避孕针对母象没有副作用, 打了避孕针的母象2年内不再受孕；
7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后, 直至60岁前, 存活率都比较均匀, 大约在95%以上, 大象一般只活到70岁；
8公园里不存在捕杀行为, 偷猎可以不考虑；
公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计, 不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；
你的任务是, 构造一个模型, 利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数. 同时需要完成以下任务：
1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率, 以及目前的大象年龄结构；
2估计每年需要避孕多少大象, 才能保证大象总数控制在11000头左右, 说明数据不确定性对你的结论的影响, 评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年) ；
3假设每年可以移出50-300头大象, 避孕大象数可以减少多少, 评价如何根据经济效益平衡两种方案；
4有一些反对观点认为, 假如出现疾病或者失控的偷猎, 使大象总数突然大幅度下降, 即使停止避孕, 也会对大象群的恢复存在不良影响, 研究并回答这个问题；
5公园公管理部门正在构造模型, 特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点. 希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心, 除此之外, 你的报告, 还应该包括一个详细的技术流程(最多3页) 回答公共关心的问题。
6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣, 有意利用你的模型, 请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划, 顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况. 附过去两年的迁出数据
年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51
母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29
总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57
母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25
年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42
母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25
总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50
母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30
年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47
母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27
总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40
母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16
年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39
总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41
母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24
总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26
母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13
年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49
总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26
母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11
总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19
母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9
年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4
母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2
总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0
母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0
年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2
母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2
总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0
母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
假设与分析
1大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；
2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；
3 避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，比例系数为k ，仅通过调节k 来控制公园大象数量；
4母象初次怀孕大约在10-12岁, 简化假设大象初孕时间为11岁，当前状态下，成年象的成活率为s ，生育母象率为r ，老年象的成活率是线性逐渐递减的，因此其成活率可表示为
s i =s (70-i ) /10,(60≤i ≤70)
设初生象活到1岁的存活率为s 0。
5避孕针对母象没有副作用, 打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是
否怀孕，一旦打了避孕针，母象就被避孕或中止怀孕，平均每年有γ比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为η，每年的避孕方案时瞬时完成的。
6 假设大象的年龄结构是稳定的。
数据处理与分析
（1）2-60岁大象的存活率与年龄结构
母象生育率为
r =1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448头/年
12岁的母象生育母象的生育率为r /6。
由题设知道存活率s ∈(0. 95, 0. 99) 。
以下是第一年迁移出0至70岁大象数据
x1=[103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51, 48,47,49,48,47,43,42,42,37,39, 41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ];
以下是第二年迁移的0-70岁大象数据
x2=[98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52
55 49 50 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10
24 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0]; x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);
以下是第一年迁移的0-59岁母象数据
y1=[50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2];
以下是第二年迁移的0-59岁母象数据
y2=[57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0];
考虑到有些数据较小及抽样的随机性，我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据。 t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);
tt=t1+t2;
tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;
mean(tn)
ans =
0.9672
t1=x1(12:21);t2=x2(12:21); tt=t1+t2; tt1=tt(1:9);
tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9820
t1=x1(12:31);t2=x2(12:31); tt=t1+t2; tt1=tt(1:19);
tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9859
t1=x1(12:41);t2=x2(12:41); tt=t1+t2; tt1=tt(1:29);
tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9765
t1=x1(12:51);t2=x2(12:51); tt=t1+t2; tt1=tt(1:39);
tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9771
t1=x1(12:60);t2=x2(12:60); tt=t1+t2;
tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1; mean(tn)
ans =
0.9719
n1=zeros(1,71);
n1(1)=1;n1(2)=0.75;
for i=3:61
n1(i)=n1(i-1)*0.98;
end
n1;
for i=62:71
n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);
end
n1;
N1=n1(12:50);
xx=x(12:50);
xx=100*xx/norm(xx,1);
N1=100*N1/norm(N1,1);
t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis([10,40,0,5]);title('图1')
通过以上分析大致可以得到，1-60岁大象的存活率约为0.98。0-70岁年龄结构向量见图2。
y0=100*x0/norm(x0,1);
a=0:70;
bar(a,y0,'stacked') ;
title('图2')
下面我们取s 0=0.75, s 1=s 2=0.98。
m1=zeros(1,71);
m1(1)=1;
m1(2)=0.75/1.029;
for i=3:61
m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;
end
m1;
for i=62:71
m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);
end
m1;
m1=100*m1/norm(m1,1);
bar(a,m1,'stacked');
title('图3 稳定的年龄结构')
plot(a,m1,'r-',a,y0,'b-.');
title('图4 年龄结构当前状态与稳定状态比较')
ans =
0.1981 -0.0694
从所给的数据来看，象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态。
根据以上数据，大体可以得到
l=zeros(71,71); l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75;
for i=14:61
l(1,i)=0.1448;
end
l;
for j=3:61
l(j,j-1)=0.98;
end; l;
for k=62:71
l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;
end
l;
eig(l);
矩阵的唯一正特征值为1.0322。
对于不同的存活率，得到的唯一正特征值为：
s 0=0.75, s =0.97, p =1.023; s 0=0.75, s =0.98, p =1.0322;
s 0=0.75, s =0.99, p =1.042.
记 下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率γ。此时，女性生育率为0.1448(1-γ) 。
s 0=0.75, s 1=s 2=0.98
1111i -12β13=0.1448(1-γ) s 0s 1/6, βi =0.1448(1-γ) s 0s 1 s 2(14≤i ≤61)
由（6）式得
q (1)=β13+β14+ +β61=1
解得 1-γ=1=0.376, γ=0.624 11480.1448s 0s 1[1/6+s 2(1-s 2) /(1-s 2)]
1-1/(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98-0.98^49)/0.02))
ans =
0.6240
即每年应该有62.4%的母象处于避孕状态。
为了保证有62.4%的母象处于避孕状态，下面分析每年应该打避孕针母象的比例η。 在假设3和假设5的前提下，如果每年打避孕针母象比例为η。母象可以分成3类：即
当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针, 比例为2η(1-η) ；连续两年被打避孕针η2；连续两年没有被打避孕针。只有最后一类母象具有生育能力。因此，只需要η满足方程
γ=2η(1-η) +η
1-sqrt(0.376)
ans =
0.3868
ans =
0.3868
0.3868*5500 2
ans =
2.1274e+003
解得 η=0.387，即每年大约需要给2127头母象打避孕针。
在方案实施过程中，实际上根本不需要打这么多针，因为许多小象还是可以识别的。可以采取随机抽样的打针方式，对于抽到的小象只计数不打针，直至计满2127头母象，就算完成当年任务。采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的，下面给出了打与不打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比较。 m1=zeros(1,71);
m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322; for i=3:61
m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322; end; m1; for i=62:71
m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10); end; m1;
n1=zeros(1,71);
n1(1)=1;n1(2)=0.75; for i=3:61
n1(i)=n1(i-1)*0.98; end; n1; for i=62:71
n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10); end;n1;
subplot(1,2,1) a=0:70;
plot(a,m1,'r-',a,n1,'b--'); title('图5年龄结构比较'); axis([0,70,0,1]);
M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1); a=0:70;
subplot(1,2,2)
plot(a,M1,'r-',a,N1,'b--') title('图5各年龄段大象数比较图') axis([-0,70,0,300])
通过以上两个图的比较，可以发现采取避孕措施，将使幼象、小象数减少，中老年象数增加。 由于采取避孕措施，使得初生小象数减少，因此会不可避免地引起象群年龄结构的改变，下面分析，15年、30年、60年后的象群年龄结构。
L=zeros(71,71);
L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75; for i=14:61
L(1,i)=0.1448*0.376;end ; L; for j=3:61
L(j,j-1)=0.98; end; L; for k=62:71
L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10; end; L;
eig(L);
n15=L ^15*x0';n30=L ^15*n15;n60=L ^30*n30;
n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1); n60=100*n60/norm(n60,1);
M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1); M60=5500*n60/norm(n60,1); bar(a,55*y0)
title('图6a 避孕前种群量分布'); axis([0,70,0,250])
bar(a,M15)
title('图6b 避孕15年后种群量分布');axis([0,70,0,250])
bar(a,M30)
title('图6c 避孕30年后种群量分布');axis([0,70,0,250])
M60=5500*n60/norm(n60,1); bar(a,M60)
title('图6d 避孕前种群量分布');axis([0,70,0,250])
n70=L^70*x0';n70=100*n70/norm (n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);
图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较
plot (a,k 1,'r-',a,n70,'b-.');
title('图7 避孕前后稳定的年龄结构');axis([0,70,0,5])
数据不确定性对结果的影响
分别取s 0=0.7,0.8, s 1=s 2=0.95,0.99
1-γ=
1
=0.421, γ=0.579 1148
0.1448s 0s 1[1/6+s 2(1-s 2) /(1-s 2)]
1-1/(0.1448*0.7*0.95^11*(1/6+(0.95-0.95^49)/0.05))
ans =
0.0115
1-sqrt(1-0.0115)
ans =
0.0058
1-1/(0.1448*0.8*0.99^11*(1/6+(0.99-0.99^49)/0.01))
ans =
0.7466
1-sqrt(1-0.7466)
ans =
0.4966
γ∈[0.012,0.757]
每年需避孕的母象比例为0. 6%—49.7% 。
对于每年可以迁移50-300头大象及s 0=0.75, s 1=s 2=0.98，下面分析避孕方案的变化及最经济的方案。
设增长率为p ，对于 s 0=0.75, s 1=s 2=0.98
1111i -12
β13=0.1448(1-γ) s 0s 1/6, βi =0.1448(1-γ) s 0s 1 s 2(14≤i ≤61)
q (p ) =β13/p 12+β14/p 13+ +β61/p 60=1
令
s 0' =s 0/p , s ' 1=s 1/p , s 2' =s 2/p
β' 13=0.1448(1-γ') s 0' s /6, β14' =0.1448(1-γ') s 0'(s ') (s ') q (p ) =β' 13+β' 14+ +β' 61=1
1-γ' =
111111i -122
(14≤i ≤61)
1
1148
0.1448s ' 0s ' 1[1/6+s ' 2(1-s ' 2) /(1-s ' 2)]
当 p =1.01，每年的避孕率为28.2%，每年迁出110头； 当 p =1.02，每年的避孕率为16.8%，每年迁出220头； 当 p =1.025，每年的避孕率为11.3%，迁出275头。
1-1/(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98-0.98^49)/0.02)) ans =
0.6240
1-sqrt(0.376) ans =
0.3868
p=1.01;
1-p ^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).^49)/(1-0.98./p)))
ans =
0.4848
1-sqrt(0.5152) ans =
0.2822
p=1.02;
1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)^49)/(1-0.98/p))) ans =
0.3080
1-sqrt(0.692) ans =
0.1681
p=1.025;
1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)^49)/(1-0.98/p))) ans =
0.2036
1-sqrt(0.7864) ans =
0.1132
进一步分析可以知道，对于 s 0=0.75, s 1=s 2=0.98，如果增长率为
p (1≤p ≤1.0322, 即每年移11000(p-1))，
令
s 0' =s 0/p , s ' 1=s 1/p , s 2' =s 2/p
β' 13=0.1448(1-γ') s 0' s /6, β14' =0.1448(1-γ') s 0'(s ') (s ')
γ' =1-
1
11
0.1448s ' 0s ' 1[1/6+s ' 2(1-s ' 482) /(1-s ' 2)]
11
1111i -122
(14≤i ≤61)
每年需要避孕的母象为5500γ' ，每年需要迁移的大象数为11000(p -1) 。从相关的文献中我们大致可以得到，设平均每迁移一头大象的成本约避孕一头大象费用的λ倍，由此得到增长率为p 时的总费用函数为
c (p ) =k (5500*γ' +11000*t *(p -1))
记
y (p ) =γ' +2t (1-p )
易见，p =1, y =0.3868, p =1.01, y =0.346, p =1.02, y =0.396
clear ;
p=1:0.002:1.032;
q =1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).^49)./(1-0.98./p)))
q =
Columns 1 through 5
0.6240 0.5989 0.5725 0.5446 0.5154 Columns 6 through 10
0.4848 0.4526 0.4189 0.3836 0.3467 Columns 11 through 15
0.3080 0.2676 0.2254 0.1814 0.1354 Columns 16 through 17 0.0875 0.0376
a =1-sqrt(1-q)
a =
Columns 1 through 5
0.3868 0.3667 0.3461 0.3252 0.3039 Columns 6 through 10
0.2822 0.2601 0.2377 0.2149 0.1917 Columns 11 through 15
0.1681 0.1442 0.1199 0.0952 0.0702 Columns 16 through 17 0.0448 0.0190
y=a+15*(p-1)
y =
Columns 1 through 5
0.3868 0.3967 0.4061 0.4152 0.4239 Columns 6 through 10
0.4322 0.4401 0.4477 0.4549 0.4617 Columns 11 through 15
0.4681 0.4742 0.4799 0.4852 0.4902 Columns 16 through 17 0.4948 0.4990