13．4《课题学习——最短路径问题》教学设计
玉泉二中 王卫杰
一. 内容和内容解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课利用“河边饮马地点的选择”问题，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
二. 目标和目标解析
1. 教学目标
基于以上分析，本节课我确定的教学目标是：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识.
本节课我确定的的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.
2. 教学目标解析
要求学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
三. 教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此
之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.
对于直线异侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点. 但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生可能想不到，不会用.
所以，本节课我确定的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”. 在证明“最短”时，教师可以告诉学生，证明“最大”、“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”、“最小”的量进行比较来证明. 由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（所求作的点除外）都成立.
四. 教学过程设计
1．创设问题情境
引入：（课件展示行人践踏茵茵绿草穿越草坪）
师：（1）同学们，生活中你见到过这样的现象吗？
（2）他为什么选择走红色路线？
（3）理由是什么？
生：集体回答.
师：生活中的实际问题，都可以抽象出数学图形，并能用数学知识来解决. 比如，请大家思考问题一：
（课件展示）问题1：
如图，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.
师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.
【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，同时让学生感知从实际问题抽象出数学图形，并用数学知识来解决，为引入新课作准备.
师：同学们，随着生活条件的改善，暖气的使用已经在城市普及. 目前，市政府决定向农村集中供暖，在施工过程中，技术人员遇到了这样一个问题，请大家思考问题二：
（课件展示）问题2：
如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
教师提出要求：
（1）在导学练上先抽象出数学图形，一生上台扮演.
（2）学生独立思考，怎样找到泵站的位置？
师：现在的问题就是，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？
师生活动：学生回答，连接AB ，线段AB 与l 的交点即为泵站修建的位置
.
师生小结：对于直线异侧的两点，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小，就是要连接这两点，所连线段与直线的交点就是所要求做的点.
师：如何证明所找的点能满足距离值和最短呢？
生：在直线上任意找一点（求作的点除外），与已知两点连接，就得到一条新的路径，只需要与前一条路径进行比较即可.
师：很明显，利用两点之间，线段最短，或者利用三角形中，两边之和大于第三边，均可得证.
师：如果两点在直线同侧呢？怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？
请大家思考问题三：
【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫.
2．将实际问题抽象为数学问题
（课件展示）问题3：
牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到
B 地．到河边什么地方饮马，可使他所走的路径最短？
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
教师提出要求：
（1）在导学练上先抽象出数学图形，一生上台扮演.
（2）学生独立思考，怎样找到饮马的位置？
师：现在的问题就是，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和
最小？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A ，B
两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线
l 上找到一点C ，使AC 与BC 的和最小？
【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念.
3．解决数学问题
问题4： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，怎样在直线l 上找到一点C ，使AC 与BC 的和最小？
师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.
如果学生有困难，教师可作如下提示：
（1）如果点B 在点A 的异侧，如何在直线l 上找到一点C ，使AC 与BC 的和最小
（2）现在点B 与点A 在同侧，能否将点B 移到l 的另一侧点 处，且满足直线l 上的任意一点C ，都能保持 ?
（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点 吗？ 师生共同完成作图，如下图.
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；
（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ．则点C 即为所求.
【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.
4．证明AC +BC “最短”
问题5： 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线l 上任取一点
AC ′，BC ′，
，
∴
在△
∴
即AC +BC 最短．
追问1：
证明AC +BC最短时，为什么要在直线l 上任取一点 （与点C 但不重合）？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直中，． ． ， ． ． ， （与点C 不重合），连接由轴对称的性质知，
线l 上任意一点（与点C 不重合）与A ，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小.
【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力. 追问2：
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
5．巩固练习
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径.
师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.
【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.
6．归纳小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
师生活动：教师引导，学生小结
.
【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.
7．布置作业：
教科书复习题13第15题.
8、课堂寄语：
（1）、你有梦想吗？
（2）、你的梦想是什么？
（3）、实现你的梦想的最短路径是什么？
五、目标检测设计
某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO) ，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.
13．4《课题学习——最短路径问题》教学设计
玉泉二中 王卫杰
一. 内容和内容解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课利用“河边饮马地点的选择”问题，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
二. 目标和目标解析
1. 教学目标
基于以上分析，本节课我确定的教学目标是：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识.
本节课我确定的的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.
2. 教学目标解析
要求学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
三. 教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此
之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.
对于直线异侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点. 但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生可能想不到，不会用.
所以，本节课我确定的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”. 在证明“最短”时，教师可以告诉学生，证明“最大”、“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”、“最小”的量进行比较来证明. 由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（所求作的点除外）都成立.
四. 教学过程设计
1．创设问题情境
引入：（课件展示行人践踏茵茵绿草穿越草坪）
师：（1）同学们，生活中你见到过这样的现象吗？
（2）他为什么选择走红色路线？
（3）理由是什么？
生：集体回答.
师：生活中的实际问题，都可以抽象出数学图形，并能用数学知识来解决. 比如，请大家思考问题一：
（课件展示）问题1：
如图，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.
师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.
【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，同时让学生感知从实际问题抽象出数学图形，并用数学知识来解决，为引入新课作准备.
师：同学们，随着生活条件的改善，暖气的使用已经在城市普及. 目前，市政府决定向农村集中供暖，在施工过程中，技术人员遇到了这样一个问题，请大家思考问题二：
（课件展示）问题2：
如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
教师提出要求：
（1）在导学练上先抽象出数学图形，一生上台扮演.
（2）学生独立思考，怎样找到泵站的位置？
师：现在的问题就是，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？
师生活动：学生回答，连接AB ，线段AB 与l 的交点即为泵站修建的位置
.
师生小结：对于直线异侧的两点，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小，就是要连接这两点，所连线段与直线的交点就是所要求做的点.
师：如何证明所找的点能满足距离值和最短呢？
生：在直线上任意找一点（求作的点除外），与已知两点连接，就得到一条新的路径，只需要与前一条路径进行比较即可.
师：很明显，利用两点之间，线段最短，或者利用三角形中，两边之和大于第三边，均可得证.
师：如果两点在直线同侧呢？怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？
请大家思考问题三：
【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫.
2．将实际问题抽象为数学问题
（课件展示）问题3：
牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到
B 地．到河边什么地方饮马，可使他所走的路径最短？
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
教师提出要求：
（1）在导学练上先抽象出数学图形，一生上台扮演.
（2）学生独立思考，怎样找到饮马的位置？
师：现在的问题就是，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和
最小？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A ，B
两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线
l 上找到一点C ，使AC 与BC 的和最小？
【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念.
3．解决数学问题
问题4： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，怎样在直线l 上找到一点C ，使AC 与BC 的和最小？
师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.
如果学生有困难，教师可作如下提示：
（1）如果点B 在点A 的异侧，如何在直线l 上找到一点C ，使AC 与BC 的和最小
（2）现在点B 与点A 在同侧，能否将点B 移到l 的另一侧点 处，且满足直线l 上的任意一点C ，都能保持 ?
（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点 吗？ 师生共同完成作图，如下图.
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；
（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ．则点C 即为所求.
【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.
4．证明AC +BC “最短”
问题5： 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线l 上任取一点
AC ′，BC ′，
，
∴
在△
∴
即AC +BC 最短．
追问1：
证明AC +BC最短时，为什么要在直线l 上任取一点 （与点C 但不重合）？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直中，． ． ， ． ． ， （与点C 不重合），连接由轴对称的性质知，
线l 上任意一点（与点C 不重合）与A ，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小.
【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力. 追问2：
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
5．巩固练习
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径.
师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.
【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.
6．归纳小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
师生活动：教师引导，学生小结
.
【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.
7．布置作业：
教科书复习题13第15题.
8、课堂寄语：
（1）、你有梦想吗？
（2）、你的梦想是什么？
（3）、实现你的梦想的最短路径是什么？
五、目标检测设计
某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO) ，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.