哥德巴赫猜想与潘承洞
人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下具
有永久价值的东西。 ——哈代：《一个数学家的自白》
编者按： 也许是因为徐迟的那篇充满激情和诗意的报告文学，也许是因为历史的因缘凑合，哥德巴赫猜想居
然成了中国人家喻户晓的一个名词。这个词代表了一段传奇，代表了一代人的集体记忆，也代表了一个民族的光荣
与梦想。直到今天，仍然有难以计数的人们，有大学老师、中学老师，甚至工人、农民，为哥德巴赫猜想着魔。
我们无法准确地评价延续20多年的“哥德巴赫猜想现象”。也许不同的人站在不同的视角上，都可以生发出
自己的思考。
而下面的文章，则纯粹从学术的角度介绍了哥德巴赫猜想的研究历史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于
人们更深入地了解哥德巴赫猜想，当然，我们也把此文献给去世5年的潘承洞先生——他的名字已经镌刻在哥德巴
赫猜想研究的年表上。
数学与数论
数学王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言：“数学是科学的女王”；他又讲“数论是数学的王冠”。正如他所
说，数论在数学中一直处于醒目的地位。
18世纪的领袖数学家拉格朗日(J. L. Lagrange)有一个著名的定理，即任何一个正整数都能写成四个整数的平
方和。这个定理是费马(Fermat)早年的猜测，与拉格朗日同时代的大数学家欧拉(L. Euler)曾经给出一个不完整的
证明。第一个完整的证明是拉格朗日给出的。他在完成这个工作之后很感慨，在给欧拉的一封信中，他说：“对我
来讲，算术是最难的。”这里，算术就是数论。这是拉格朗日对数论的评价。
何谓哥德巴赫猜想？
俄国数学家辛钦(A. Ya. Shinchin)曾经评论说，哥德巴赫猜想是王冠上的一颗明珠。当然，这个王冠上可能
还有其它明珠。
哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于1690年生于德国哥尼斯
堡，受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。1742年，他在给好友欧拉的一封信
里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，虽然他不能给出证明。
用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的
猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的
和。
任何人看了这个猜想之后，都能发现这是一个漂亮的猜想。本人认为，一个好的猜想应该具备以下四个条件。
第一，它的表述应该很简单，大凡智力正常的人一听就能明白。我相信，小学四、五年级的学生都能明白哥德巴赫
猜想的内容。第二个条件，虽然表述很简单，但是这个猜想的证明断然不能简单。第三点，一旦有了证明，这个证
明一定是出人意料的。一个好的猜想的证明一定是有趣的，绝对不能像愚公移山一样，天天重复同样枯燥的工作，重复了上万年，才取得成功。第四点，这个猜想绝对不能是孤立的，任何孤立的猜想在数学中都没有太大的意义。一个好的猜想的研究应该可以提升到人类文化史的高度上来看，能够带动其它相关领域、甚至是数学以外的学科的发展。具备上面这四点，那就是一个伟大的猜想。我个人认为，哥德巴赫猜想就具备以上这四个条件。
给定一个猜想，人们可以用各种各样的方法进行研究。譬如，对于哥德巴赫猜想，有人可能用数手指头的方法来研究，这人可能是个小学生。有人想用打算盘的方法来研究，那这人可能是一个小店的会计兼出纳。真正研究这个猜想，则需要很高深的数学工具。还必须指出的是，从这个猜想可以看出数学的特性——数学是在所有科学当中唯一能够处理无穷的学科。我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想。计算机算得再快，也只能在有限时间内算有限个数；然而，遗憾的是，奇数和偶数都有无穷多个。所以，这个猜想让迷信实验的人非常沮丧。不过，在最好的计算机所能算到的范围之内，哥德巴赫猜想全是对的。’
奇数的哥德巴赫猜想
相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数。
关于哥德巴赫猜想的研究，历史上第一个重要文献是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921年的伟大论文，在这篇长达70页的文章里，他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”，虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想，甚至有人宣布证明了猜想。然而，哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼(B. Riemann)猜想——这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来，哈代重振了牛顿(I. Newton)以后的英国分析。
1937年，俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。
维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，有三个特别应该强调的：一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。在相当长的一个阶段内，人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时，他还是一个很好的数理统计学家。
偶数哥德巴赫猜想
很遗憾，偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从各个方向逼近这个猜想，并且取得了辉煌的成就。我将介绍研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径，其中几乎每个途径都有潘老师的工作。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理，以及几乎哥德巴赫问题。
途径一：殆素数
殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N＝A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用狖a+b狚来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成狖1+1狚。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。
1920年，布朗(V. Brun)首先取得突破性的进展，证明了命题狖9+9狚。后续进展如下：哈德马赫
(H. Rademacher)，1924，狖7+7狚；艾斯特曼(T. Estermann)，1932，狖6+6狚；里奇(G. Ricci)，1937，狖5+7狚；布赫施塔伯(A. A. Buchstab)，1938，狖5+5狚；布赫施塔伯，1940，狖4+4狚；库恩(P. Kuhn)，1941，a+b小于或等于6。1950年，菲尔兹奖得主塞尔伯格(A. Selberg)改进了筛法。王元先生1956年证明了狖3+4狚。另一个俄国数学家阿·依·维诺格拉多夫(A. I. V inogradov)1957年证明了狖3+3狚，王元先生1957年进一步证明了狖2+3狚。
上述结果有一个共同的特点，就是a和b中没有一个是1，即A和B没有一个是素数。所以，要是能证明a＝1，再改进b，那就是一件更了不起的工作。林尼克1941年提出来的大筛法使得这项工作成为可能。后来，林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A. Rényi)深入地研究了大筛法，并在1948年证明了命题狖1+b狚。用王元先生的话说，这个b是个天文数字。当时，没有人知道b究竟有多大。这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平，即另外一个重要常数θ的值。
此后便是潘承洞先生的伟大工作。1962年，28岁的潘承洞定出θ可以取1/3，从而推出命题狖1+5狚，一下子把b从天文数字降到了5。这是一个决定性的突破。王元先生改进筛法之后，证明了狖1+4狚。同一年，潘老师又得到了一个更大的θ＝3/8。从3/8出发，潘老师也证明了狖1+4狚。然后，布赫施塔伯证明了3/8蕴涵命题狖1+3狚，即从潘老师的θ＝3/8可以推出命题狖1+3狚来。以上结果表明，θ做得越大，b就越小。但θ不能太大，其可能的最大值是1/2；比1/2再大，均值定理的形式就会发生变化，所以可以认为1/2是最佳。1965年，θ的最佳值1/2被取到，这个定理就叫做庞比埃里-维诺格拉多夫(E. Bombieri--A. I. Vinogradov)定理，是庞比埃里和阿·依·维诺格拉多夫独立证明的。庞比埃里是意大利数学家，因为这项工作获得了菲尔兹奖。虽然庞比埃里证明了θ能取到1/2，但是他未能证明狖1+2狚。
命题狖1+2狚的证明是陈景润先生完成的。1966年，陈景润先生在《科学通报》上登了命题狖1+2狚证明的简报，此后“文化大革命”开始，《科学通报》与《中国科学》随即停刊。直到1973年《中国科学》复刊之后，陈先生狖1+2狚证明的全文才得以发表。
以上是沿着殆素数方向研究哥德巴赫猜想的进展。直到现在，狖1+2狚还是最好的结果。虽然突破狖1+2狚就会得到狖1+1狚，但是大家公认再用筛法去证明狖1+1狚几乎是不可能的，只有发展革命性的新方法，才有可能证明狖1+1狚。所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著《筛法》(Sieve Methods)的最后一章指出：“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。”
途径二：例外集合
在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)＝1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。
现在，我每个月都要接见几个业余搞哥德巴赫猜想的人，其中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意
义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。我告诉他们，这个结论华老早在60年前就真正证明出来了。
注意，我们的目标是证明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界记录基本上是x的1次方，二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。1975年，蒙哥马利(H. L. Montgomery)与沃恩证明存在一个小于1的正数δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。1979年，潘老师与陈景润先生合作，证明了这个δ可以取0.99。按照陈先生和潘老师的思路，后来有很多人都改进了δ的值。目前最好的结果是李红泽教授2000年得到的，δ可以取0.92。
在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了δ可取1/2。就是说，即使能够证明广义黎曼猜想，我们也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近，我与叶扬波教授合作，利用广义黎曼猜想和L-函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了例外集合的上界，证明了E(x)不超过lo g x的平方。请注意，与x的任何δ次方相比，log x增长都是很慢的。因此我们的结果指出，E(x)小于x的任何δ次方。
但是我们毕竟没能证明哥德巴赫猜想。到目前为止，猜想研究的现状仍然可以用潘老师生前的一句话来概括，即“哥德巴赫猜想甚至没有一个假设性的证明。”哈代1921年在皇家学会演讲时指出：“哥德巴赫猜想似乎不能用布朗的方法(即筛法)来证明。”他说：“能够最终证明猜想的方法，应该与我与李特伍德的方法类似。我们不是在原则上没有成功，而是在细节上没有成功。”哈代同时还指出，不是圆法无力，而是他与李特伍德的分析能力不够。作者认为，更高阶的L-函数应该是哈代和李特伍德所需要的分析工具；或许，将高阶的L-函数融入圆法就会最终证明哥德巴赫猜想。
途径三：小变量的三素数定理
上文曾经提到，如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。
途径四：几乎哥德巴赫问题
1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独
立地得到k＝2000。目前最好的结果k＝13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。
一个数学家的价值
以上缅怀了潘承洞先生的部分工作，以及哥德巴赫猜想研究的最新进展。最后，我想引用哈代《一个数学家的自白》中的几句话，来总结作为数学家的潘承洞先生的生平。哈代说：
“人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下具有永久价值的东西。”
《一个数学家的自白》结尾写道：
“我的一生，或者在相同意义上作为数学家的那些人的一生，可以这样总结：我们丰富了知识，也帮助别人更多地丰富了知识，而我们所做的这一切，与那些历史上的大数学家和艺术家的不朽贡献相比，只有程度的不同，没有本质的差异。”
哈代的朋友罗素说过：
“我希望在工作中满足地死去，因为我清楚地知道，所有能做的事都已完成，而且会有后人继续我未竟的事业。”
潘承洞老师永垂不朽，因为他的事业永垂不朽。
(本文根据作者在纪念潘承洞院士逝世5周年学术报告会上讲演整理而成，整理者：徐长平、曲彦。刘建亚是潘承洞先生的学生，现为“长江学者奖励计划”特聘教授，山东大学数学与系统科学学院副院
哥德巴赫猜想与潘承洞
人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下具
有永久价值的东西。 ——哈代：《一个数学家的自白》
编者按： 也许是因为徐迟的那篇充满激情和诗意的报告文学，也许是因为历史的因缘凑合，哥德巴赫猜想居
然成了中国人家喻户晓的一个名词。这个词代表了一段传奇，代表了一代人的集体记忆，也代表了一个民族的光荣
与梦想。直到今天，仍然有难以计数的人们，有大学老师、中学老师，甚至工人、农民，为哥德巴赫猜想着魔。
我们无法准确地评价延续20多年的“哥德巴赫猜想现象”。也许不同的人站在不同的视角上，都可以生发出
自己的思考。
而下面的文章，则纯粹从学术的角度介绍了哥德巴赫猜想的研究历史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于
人们更深入地了解哥德巴赫猜想，当然，我们也把此文献给去世5年的潘承洞先生——他的名字已经镌刻在哥德巴
赫猜想研究的年表上。
数学与数论
数学王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言：“数学是科学的女王”；他又讲“数论是数学的王冠”。正如他所
说，数论在数学中一直处于醒目的地位。
18世纪的领袖数学家拉格朗日(J. L. Lagrange)有一个著名的定理，即任何一个正整数都能写成四个整数的平
方和。这个定理是费马(Fermat)早年的猜测，与拉格朗日同时代的大数学家欧拉(L. Euler)曾经给出一个不完整的
证明。第一个完整的证明是拉格朗日给出的。他在完成这个工作之后很感慨，在给欧拉的一封信中，他说：“对我
来讲，算术是最难的。”这里，算术就是数论。这是拉格朗日对数论的评价。
何谓哥德巴赫猜想？
俄国数学家辛钦(A. Ya. Shinchin)曾经评论说，哥德巴赫猜想是王冠上的一颗明珠。当然，这个王冠上可能
还有其它明珠。
哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于1690年生于德国哥尼斯
堡，受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。1742年，他在给好友欧拉的一封信
里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，虽然他不能给出证明。
用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的
猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的
和。
任何人看了这个猜想之后，都能发现这是一个漂亮的猜想。本人认为，一个好的猜想应该具备以下四个条件。
第一，它的表述应该很简单，大凡智力正常的人一听就能明白。我相信，小学四、五年级的学生都能明白哥德巴赫
猜想的内容。第二个条件，虽然表述很简单，但是这个猜想的证明断然不能简单。第三点，一旦有了证明，这个证
明一定是出人意料的。一个好的猜想的证明一定是有趣的，绝对不能像愚公移山一样，天天重复同样枯燥的工作，重复了上万年，才取得成功。第四点，这个猜想绝对不能是孤立的，任何孤立的猜想在数学中都没有太大的意义。一个好的猜想的研究应该可以提升到人类文化史的高度上来看，能够带动其它相关领域、甚至是数学以外的学科的发展。具备上面这四点，那就是一个伟大的猜想。我个人认为，哥德巴赫猜想就具备以上这四个条件。
给定一个猜想，人们可以用各种各样的方法进行研究。譬如，对于哥德巴赫猜想，有人可能用数手指头的方法来研究，这人可能是个小学生。有人想用打算盘的方法来研究，那这人可能是一个小店的会计兼出纳。真正研究这个猜想，则需要很高深的数学工具。还必须指出的是，从这个猜想可以看出数学的特性——数学是在所有科学当中唯一能够处理无穷的学科。我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想。计算机算得再快，也只能在有限时间内算有限个数；然而，遗憾的是，奇数和偶数都有无穷多个。所以，这个猜想让迷信实验的人非常沮丧。不过，在最好的计算机所能算到的范围之内，哥德巴赫猜想全是对的。’
奇数的哥德巴赫猜想
相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数。
关于哥德巴赫猜想的研究，历史上第一个重要文献是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921年的伟大论文，在这篇长达70页的文章里，他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”，虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想，甚至有人宣布证明了猜想。然而，哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼(B. Riemann)猜想——这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来，哈代重振了牛顿(I. Newton)以后的英国分析。
1937年，俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。
维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，有三个特别应该强调的：一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。在相当长的一个阶段内，人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时，他还是一个很好的数理统计学家。
偶数哥德巴赫猜想
很遗憾，偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从各个方向逼近这个猜想，并且取得了辉煌的成就。我将介绍研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径，其中几乎每个途径都有潘老师的工作。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理，以及几乎哥德巴赫问题。
途径一：殆素数
殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N＝A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用狖a+b狚来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成狖1+1狚。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。
1920年，布朗(V. Brun)首先取得突破性的进展，证明了命题狖9+9狚。后续进展如下：哈德马赫
(H. Rademacher)，1924，狖7+7狚；艾斯特曼(T. Estermann)，1932，狖6+6狚；里奇(G. Ricci)，1937，狖5+7狚；布赫施塔伯(A. A. Buchstab)，1938，狖5+5狚；布赫施塔伯，1940，狖4+4狚；库恩(P. Kuhn)，1941，a+b小于或等于6。1950年，菲尔兹奖得主塞尔伯格(A. Selberg)改进了筛法。王元先生1956年证明了狖3+4狚。另一个俄国数学家阿·依·维诺格拉多夫(A. I. V inogradov)1957年证明了狖3+3狚，王元先生1957年进一步证明了狖2+3狚。
上述结果有一个共同的特点，就是a和b中没有一个是1，即A和B没有一个是素数。所以，要是能证明a＝1，再改进b，那就是一件更了不起的工作。林尼克1941年提出来的大筛法使得这项工作成为可能。后来，林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A. Rényi)深入地研究了大筛法，并在1948年证明了命题狖1+b狚。用王元先生的话说，这个b是个天文数字。当时，没有人知道b究竟有多大。这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平，即另外一个重要常数θ的值。
此后便是潘承洞先生的伟大工作。1962年，28岁的潘承洞定出θ可以取1/3，从而推出命题狖1+5狚，一下子把b从天文数字降到了5。这是一个决定性的突破。王元先生改进筛法之后，证明了狖1+4狚。同一年，潘老师又得到了一个更大的θ＝3/8。从3/8出发，潘老师也证明了狖1+4狚。然后，布赫施塔伯证明了3/8蕴涵命题狖1+3狚，即从潘老师的θ＝3/8可以推出命题狖1+3狚来。以上结果表明，θ做得越大，b就越小。但θ不能太大，其可能的最大值是1/2；比1/2再大，均值定理的形式就会发生变化，所以可以认为1/2是最佳。1965年，θ的最佳值1/2被取到，这个定理就叫做庞比埃里-维诺格拉多夫(E. Bombieri--A. I. Vinogradov)定理，是庞比埃里和阿·依·维诺格拉多夫独立证明的。庞比埃里是意大利数学家，因为这项工作获得了菲尔兹奖。虽然庞比埃里证明了θ能取到1/2，但是他未能证明狖1+2狚。
命题狖1+2狚的证明是陈景润先生完成的。1966年，陈景润先生在《科学通报》上登了命题狖1+2狚证明的简报，此后“文化大革命”开始，《科学通报》与《中国科学》随即停刊。直到1973年《中国科学》复刊之后，陈先生狖1+2狚证明的全文才得以发表。
以上是沿着殆素数方向研究哥德巴赫猜想的进展。直到现在，狖1+2狚还是最好的结果。虽然突破狖1+2狚就会得到狖1+1狚，但是大家公认再用筛法去证明狖1+1狚几乎是不可能的，只有发展革命性的新方法，才有可能证明狖1+1狚。所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著《筛法》(Sieve Methods)的最后一章指出：“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。”
途径二：例外集合
在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)＝1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。
现在，我每个月都要接见几个业余搞哥德巴赫猜想的人，其中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意
义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。我告诉他们，这个结论华老早在60年前就真正证明出来了。
注意，我们的目标是证明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界记录基本上是x的1次方，二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。1975年，蒙哥马利(H. L. Montgomery)与沃恩证明存在一个小于1的正数δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。1979年，潘老师与陈景润先生合作，证明了这个δ可以取0.99。按照陈先生和潘老师的思路，后来有很多人都改进了δ的值。目前最好的结果是李红泽教授2000年得到的，δ可以取0.92。
在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了δ可取1/2。就是说，即使能够证明广义黎曼猜想，我们也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近，我与叶扬波教授合作，利用广义黎曼猜想和L-函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了例外集合的上界，证明了E(x)不超过lo g x的平方。请注意，与x的任何δ次方相比，log x增长都是很慢的。因此我们的结果指出，E(x)小于x的任何δ次方。
但是我们毕竟没能证明哥德巴赫猜想。到目前为止，猜想研究的现状仍然可以用潘老师生前的一句话来概括，即“哥德巴赫猜想甚至没有一个假设性的证明。”哈代1921年在皇家学会演讲时指出：“哥德巴赫猜想似乎不能用布朗的方法(即筛法)来证明。”他说：“能够最终证明猜想的方法，应该与我与李特伍德的方法类似。我们不是在原则上没有成功，而是在细节上没有成功。”哈代同时还指出，不是圆法无力，而是他与李特伍德的分析能力不够。作者认为，更高阶的L-函数应该是哈代和李特伍德所需要的分析工具；或许，将高阶的L-函数融入圆法就会最终证明哥德巴赫猜想。
途径三：小变量的三素数定理
上文曾经提到，如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。
途径四：几乎哥德巴赫问题
1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独
立地得到k＝2000。目前最好的结果k＝13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。
一个数学家的价值
以上缅怀了潘承洞先生的部分工作，以及哥德巴赫猜想研究的最新进展。最后，我想引用哈代《一个数学家的自白》中的几句话，来总结作为数学家的潘承洞先生的生平。哈代说：
“人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下具有永久价值的东西。”
《一个数学家的自白》结尾写道：
“我的一生，或者在相同意义上作为数学家的那些人的一生，可以这样总结：我们丰富了知识，也帮助别人更多地丰富了知识，而我们所做的这一切，与那些历史上的大数学家和艺术家的不朽贡献相比，只有程度的不同，没有本质的差异。”
哈代的朋友罗素说过：
“我希望在工作中满足地死去，因为我清楚地知道，所有能做的事都已完成，而且会有后人继续我未竟的事业。”
潘承洞老师永垂不朽，因为他的事业永垂不朽。
(本文根据作者在纪念潘承洞院士逝世5周年学术报告会上讲演整理而成，整理者：徐长平、曲彦。刘建亚是潘承洞先生的学生，现为“长江学者奖励计划”特聘教授，山东大学数学与系统科学学院副院