从小学到初中,由算术到代数,是中学生学习进程中一个新的转折点. 代数第二章有理数的主要内容是有理数的概念和有理数的运算. 正确理解概念,熟练掌握运算是学好这一章的关键和主要标志.
一、要正确理解有理数的几个概念
有理数一章的主要概念有:正数和负数、相反数、倒数、绝对值、数轴. 此外还有两数同号(异号) 、非负数、非负整数、奇偶数,以及乘方(幂) 、近似数与有效数字等概念. 正确理解上述概念,是学好代数的基础. 不要死背概念. 要做到真正理解,才会真正运用.
1. 要正确理解与运用相反数、倒数和绝对值三个重要概念
第一,掌握定义,并能根据定义正确而迅速地回答诸如下述问题:
例1 求下列各数的相反数、倒数与绝对值:
注意零没有倒数,a 与-b 是否有倒数要进行讨论.
第二,掌握定义的其它描述形式. 诸如
设a ,b 是两个有理数,那么a ,b 互为相反数的条件是a+b=0(即a=-b),ab 互为倒数的条件是ab=1.
第三,根据定义,掌握相反数、倒数、绝对值的一些基本性质,如
(1)正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是其自身. 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数.
(2)正数或者负数的绝对值是正数,零的绝对值是零. 因此:
①任何一个有理数的绝对值是非负数,如果用a 表示有理数,那么必有|a|0或|a|=0,即|a|0.
②非零的有理数的绝对值一定是正数,即当a0时,有|a|0.
第四,善于利用数轴,直观、形象地理解相反数与绝对值这两个概念,并能熟练地对有理数大小进行比较.
2. 要理解两数同号,两数异号的准确含义
两数同号就是两数同时为正数,或者同时为负数,两数异号就是有一个为正数,另一个为负数.
ab 两数同号的条件是ab0,它包含两种情况:
① a0且b0,
② a0且b0.
两数异号的条件是ab0,它也包含两种情况:
① a0且b0,
② a0且b0.
3. 要注意某些概念的扩充
初一学生学习数,范围由非负有理数(正有理数和零) 扩充到有理数,要注意小学中某些概念的相应的扩充. 如奇数和偶数这两个概念,在小学,偶数可表示为2n(n表示正整数). 奇数可表示为2n-1(n表示正整数). 在整数范围有:正整数包括(正) 奇数和(正) 偶数. 中学里的整数,仍包括奇数和偶数,不过要注意:这里的奇数(2n-1)包含正奇数(1,2,3,) 与负奇数(-1,-2,-3) 两类. 偶数(2n)包含正偶数(2,4,6,) ,负偶数(-2,-4,-6,) 与零三类.
二、要熟练掌握有理数的运算
中学里的有理数运算跟小学里学过的数的运算不同,它不仅要求出数值的大小,而且还要确定结果的符号,掌握好有理数的运算,做到熟练而准确,是学习代数这一章的中心任务,它是学好整个代数的基础. 这里关键有两条:一是掌握有理数的运算法则,二是掌握有理数的运算律.
要掌握好加、减、乘、除与乘方五种运算法则. 有理数的加法法则是按两数同号、两数异号、有零三种情况分别规定的,其中异号两数相加,是难点所在,要提醒学生格外留心. 要解决这个难点,就必须掌握好绝对值的概念. 此外,特别是省略加号的代数和,要有正确的理解和合理运算. 在进行有理数运算时,运算规律是不可少的.
例2 计算:11-39.5+10-2.5-4+19
解:原式=11+10+19-39.5-2.5-4 (加法交换律)
=[(11+19)+10]+[(-39.5-2.5)-4] (加法结合律,减法法则)
=40-46 (加法法则)
=-6.
在计算这一类题时,初学者应在每一步的后面注明运算依据,这对学习是大有好处的. 对于含有加、减、乘、除和乘方混合运算的题目,要注意运算顺序. 先乘方,再乘除,最后算加减.
从小学到初中,由算术到代数,是中学生学习进程中一个新的转折点. 代数第二章有理数的主要内容是有理数的概念和有理数的运算. 正确理解概念,熟练掌握运算是学好这一章的关键和主要标志.
一、要正确理解有理数的几个概念
有理数一章的主要概念有:正数和负数、相反数、倒数、绝对值、数轴. 此外还有两数同号(异号) 、非负数、非负整数、奇偶数,以及乘方(幂) 、近似数与有效数字等概念. 正确理解上述概念,是学好代数的基础. 不要死背概念. 要做到真正理解,才会真正运用.
1. 要正确理解与运用相反数、倒数和绝对值三个重要概念
第一,掌握定义,并能根据定义正确而迅速地回答诸如下述问题:
例1 求下列各数的相反数、倒数与绝对值:
注意零没有倒数,a 与-b 是否有倒数要进行讨论.
第二,掌握定义的其它描述形式. 诸如
设a ,b 是两个有理数,那么a ,b 互为相反数的条件是a+b=0(即a=-b),ab 互为倒数的条件是ab=1.
第三,根据定义,掌握相反数、倒数、绝对值的一些基本性质,如
(1)正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是其自身. 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数.
(2)正数或者负数的绝对值是正数,零的绝对值是零. 因此:
①任何一个有理数的绝对值是非负数,如果用a 表示有理数,那么必有|a|0或|a|=0,即|a|0.
②非零的有理数的绝对值一定是正数,即当a0时,有|a|0.
第四,善于利用数轴,直观、形象地理解相反数与绝对值这两个概念,并能熟练地对有理数大小进行比较.
2. 要理解两数同号,两数异号的准确含义
两数同号就是两数同时为正数,或者同时为负数,两数异号就是有一个为正数,另一个为负数.
ab 两数同号的条件是ab0,它包含两种情况:
① a0且b0,
② a0且b0.
两数异号的条件是ab0,它也包含两种情况:
① a0且b0,
② a0且b0.
3. 要注意某些概念的扩充
初一学生学习数,范围由非负有理数(正有理数和零) 扩充到有理数,要注意小学中某些概念的相应的扩充. 如奇数和偶数这两个概念,在小学,偶数可表示为2n(n表示正整数). 奇数可表示为2n-1(n表示正整数). 在整数范围有:正整数包括(正) 奇数和(正) 偶数. 中学里的整数,仍包括奇数和偶数,不过要注意:这里的奇数(2n-1)包含正奇数(1,2,3,) 与负奇数(-1,-2,-3) 两类. 偶数(2n)包含正偶数(2,4,6,) ,负偶数(-2,-4,-6,) 与零三类.
二、要熟练掌握有理数的运算
中学里的有理数运算跟小学里学过的数的运算不同,它不仅要求出数值的大小,而且还要确定结果的符号,掌握好有理数的运算,做到熟练而准确,是学习代数这一章的中心任务,它是学好整个代数的基础. 这里关键有两条:一是掌握有理数的运算法则,二是掌握有理数的运算律.
要掌握好加、减、乘、除与乘方五种运算法则. 有理数的加法法则是按两数同号、两数异号、有零三种情况分别规定的,其中异号两数相加,是难点所在,要提醒学生格外留心. 要解决这个难点,就必须掌握好绝对值的概念. 此外,特别是省略加号的代数和,要有正确的理解和合理运算. 在进行有理数运算时,运算规律是不可少的.
例2 计算:11-39.5+10-2.5-4+19
解:原式=11+10+19-39.5-2.5-4 (加法交换律)
=[(11+19)+10]+[(-39.5-2.5)-4] (加法结合律,减法法则)
=40-46 (加法法则)
=-6.
在计算这一类题时,初学者应在每一步的后面注明运算依据,这对学习是大有好处的. 对于含有加、减、乘、除和乘方混合运算的题目,要注意运算顺序. 先乘方,再乘除,最后算加减.