考虑冻融影响的岩土类材料导热系数计算新方法

第31卷增刊2 岩土力学 Vol.31 Supp.2 2010年11月 Rock and Soil Mechanics Nov. 2010

文章编号：1000－7598 (2010)增刊2－0070－05

谭贤君1，褚以惇2，陈卫忠1,3，戴永浩1，陈培帅1

（1. 中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071；

2. 中交第二公路勘察设计研究院有限公司，武汉 430056； 3. 山东大学岩土与结构工程研究中心，济南 250061）

摘要：从多孔随机混合介质理念出发，提出了考虑相变及未冻水影响的冻融条件下岩土类材料的导热系数计算的新方法，并根据已有的试验数据，利用多孔随机混合介质模型求出了同等条件下的导热系数，研究结果表明：模型的计算结果和试验结果基本一致，其平均偏差为2.3%，最大偏差为5.4%。另外，通过与现有的3种导热系数的取值方法的比较发现：目前广泛使用的指数加权平均法在0℃以上时计算结果较准确，但并不适合计算低温（0℃以下）岩土类材料的导热系数。加权调和平均法和加权算术平均法计算结果误差都很大，且不能反映相变对导热系数的影响。研究成果为低温相变条件下岩土介质温度场的正确求解提供了理论前提。关键词：寒区；隧道；围岩；导热系数中图分类号：TU 411 文献标识码：A

A new method to study thermal conductivity of

geomaterials considering phase change

TAN Xian-jun, CHU Yi-dun , CHEN Wei-zhong1,3, DAI Yong-Hao 1, CHEN Pei-shuai 1

（1. State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering, Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan

430071, China; 2. Second Highway Consultants Co., Ltd. of China Communications Construction Corporation, Wuhan 430056, China;

3. Research Center of Geotechnical and Structural Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China）

Abstract: Based on random mixed media (RMM) and combining with the characteristics of geotechnical material, a new method is proposed to calculate the thermal conductivity of geomaterials under low temperature considering phase change. According to the experimental data, RMM is adopted to calculate the thermal conductivity under the same experimental condition. The results of numerical calculation are compared with that of experiment; it is concluded that the results consist with each other; the maximum and mean deviations are 5.4% and 2.3%. Compared with other current three methods (exponential weighted average method, weighted harmonic mean method and weighted arithmetic mean method) on calculation of thermal conductivity, it is shown that: the popular exponential weighted average method is suitable for temperature above 0℃ but not for temperature below 0℃. The errors of results from weighted harmonic mean method and weighted arithmetic mean method are very great; and the effect of phase change on thermal conductivity can’t be reflected with this method. A reference is provided on determination of temperature field for geotechnicals under low temperature considering phase change. Key words: cold region; tunnel; surrounding rock; thermal conductivity

1 引言

寒冷与严寒地区隧道的冻害问题一直是人们讨论的重点和难点。为了防止隧道出现冻胀，设计与施工中常采取种种措施加以预防，但效果往往不尽人意。如岭顶隧道、翠岭2号隧道、西罗奇1号

隧道和西罗奇2号隧道等。新疆国道217线天山段的玉希莫勒盖隧道甚至没有运营几年就因为冻害在隧道内形成冰塞而报废。

寒区隧道冻害产生的根本原因是：随着自然界四季交替，隧道内温度会出现从0 ℃以上到0 ℃以下反复变化的情况，使得隧道围岩经历着从非冻结

收稿日期：2010-07-20

基金项目：国家自然科学基金重大国际合作项目（No. [1**********]）；国家自然科学基金（No. 41072238）。

第一作者简介：谭贤君，男，1984年生，博士，助理研究员，主要从事隧道及地下空间方面的研究工作。E-mail:[email protected]

增刊2 谭贤君等：寒区隧道围岩导热系数研究 71

状态到冻结状态以及再次融化的过程。因此，准确掌握隧道内围岩的温度场对于冻胀机制的研究以及解决实际工程冻胀问题具有重要意义。而在研究围岩温度问题的过程中，围岩的热力学参数是不可缺少的基础数据，其中最为重要的是围岩的导热系数，因为它决定着热量在围岩内传递的快慢，影响着围岩内温度场的变化和围岩的冻深。到目前为止，国内外已有大量专家学者对岩土介质的导热系数进行深入的分析和探讨，取得了不少成果[1–4]。

对围岩的导热系数的确定，目前采用的主要方法是：将混合物质各组分体积所占份额作为影响参数，计算总体的有效导热系数。其基本思想是：由不同组分组成的混合物，各组分在空间上可以同时占有同一个域，且各组分都在该区域内遵守统一的守恒方程，混合物的性质则由各组分按体积分数加权平均得到。

根据以上概念，由m 种组分组成的混合物，k 组分的体积分数为ξk =d V k /d V ，其中，d V k 为k 组分在混合物空间任意一点的占有体积，d V 为混合物在空间任意一点的总体积，则有：

∑ξ

=1 （1）

根据各组分纯物质的导热系数贡献形式的不同，现在主要有3种评价方法[5]：（1）体积加权平均模型（并联形式）各组分物质排列方向与热源进入方向平行（如图1所示），这时围岩的导热系数可以由加权算术平均法得到：

(λe )平行=θs λs +θw λw +θi λi +θg λg （2）

式中：λe 为等效导热系数；θs 、θw 、θi 、θg 和λs 、

λw 、λi 、λg 分别为基质、液态水、冰和空气的体

积分数和导热系数。

图1 平行模型图2 列向模型

Fig.1 Parallel model Fig.2 Series model

（2）体积加权平均模型(串联形式)

各组分物质排列方向与热源进入方向垂直如图2所示，这时围岩的导热系数可以由加权调和平

均法得到：

θs θw θi θg

λλ+++

（3） e =

列向

s λw λi λg

（3）指数加权平均模型

这也是目前使用最为广泛的一种方法，该方法的数学表达式为

λe =λθs s

λθw w

λθi i

λθg

g （4）

然而，不少学者通过对围岩导热系数的实测发现，上述3种方法与实测结果偏差较大，于是推出了不少经验公式，但是这些经验公式均建立在特定材料的基础上，且性能预测常常需要经验参数的修正[6–8]。

实际上有关复合材料、多孔介质等多元材料的导热性能已有不少学者做了的大量的研究，取得了不少成就[9–11]。张海峰等[12]在假定多孔介质中各个组分在空间上符合随机分布特征的基础上，提出了预测宏观有效导热系数的多孔随机混合介质模型。该方法的突出优点是概念简明、算法简单且不依赖任何经验参数。但由于专业的限制，他们并没有针对岩土类材料的特性，对冻融条件下围岩的导热系数进行有效的研究。

鉴于此，本文从多孔随机混合介质理念出发，结合岩土类材料的本身特点（例如：0 ℃左右孔隙中的水/冰相变；0 ℃以下孔隙中还有未冻水存在等），对冻融条件下寒区隧道的围岩导热系数进行深入的探讨和分析。

2 多孔随机混合介质模型和算法

2.1 多孔随机混合介质模型的建立

为了描述的方便，将一定含水率的围岩看作由固体骨架、水分(包括水和冰) 和气体组成的四组分复合介质，分别用下标s 、w 、i 和g 标记。若假定孔隙介质的初始孔隙度为n ，饱和度为S w ，温度低于0 ℃时，未冻水体积含量为χ，则固体骨架、水、冰和气体所占的体积分数分别为1−n 、χnS w 、

(1−χ) nS w 和(1−S w ) n 。

如果围岩中的几种组分形态上都是立方体，尺

寸一样，且在空间上是随机分布的，则能利用计算机很轻松地建立它的空间结构模型，假设围岩的取样空间尺度为L ，取统一的离散尺度为L 0，则每边切割的份数可表示为

d =

L 0

（5）式中：d 为每边的切割份数。

72 岩土力学 2010年

于是，取样空间中含有d N 个小立方体（N 为空间维数）。从理论上讲，只要L 0足够小，就能很好地反映围岩的真实热力学特性。

通过计算机生成d 3个(0～1) 之间的随机数x ，并将x 一一对应的赋值在每个小立方体上，设定x ≥n ，则认为该立方体成分为固体骨架；若nS w ≤x ＜n ，则认为该立方体成分为气体；若χnS w ＜x ＜

流热交换贡献可以忽略不计，而辐射换热贡献，只是在固体颗粒之间温差较大，孔隙为真空或有气体占据时才比较明显。通常围岩颗粒和孔隙的尺度小温度一般不会超过100 ℃，因此流体的对于1 cm，

流作用可忽略，通过孔隙的热辐射亦可忽略。若各则借助组分的导热系数λs 、λw (或者λi ) 和λg 已知，图3所示的具有确定结构的介质中热传导问题求解，就可以得到该介质的导热系数。 2.2 有效导热系数的计算

多孔介质的稳态热传导控制方程可表示为

nS w ，则认为该立方体成分为冰；若x ≤χnS w ，则认为该立方体成分为水。这样，在给定孔隙度n ，就生成了一个未冻水含量χ和饱和度S w 的条件下，

随机结构的三或四组分的多孔介质模型（当温度T ＞0时为三组分，当温度T ＜0时为四组分）。

∇⋅(λe ∇T )=Q （6）

式中：λe 为岩土介质的导热系数；Q 为边界z = 0（或z = L）上的总热流，

如果要求z 方向的导热系数，则边界条件可以定义为：x 、y 方向为绝热边界，T （z = 0）= T 0，T （z = L ）= T L 。利用有限元方法，则可以很轻松地就得温度场的分布图，这样z 方向的导热系数可以写为

图3 多孔介质的空间结构

Fig.3 Spatial structure of the porous medium

λe_z=

（7）

T L −T 0

大量试验研究和理论分析结果表明，对粒径直径不超过4～6 mm的多孔介质，其孔隙中流体的对

式中：λe_z 为z 方向的导热系数；T L 和T 0分别为边界z = L 和z = 0上的温度。

x 、y 方向上的导热系数同理求之。

表1 不同工况下的参数取值 Table 1 Parameters in different cases

工况编号

孔隙度n

饱和度S w

空气导热系数λg (W/(m⋅K))

水导热系数 λw (W/(m⋅K))

冰导热系数 λi (W/(m⋅K))

固体颗粒导热系数 λs (W/(m⋅K))

1 0.5 0.5 0.026 2 0.5 0.8 0.026 3 0.5 0.6 0.026 4 0.5 0.4 0.026 0. 600

0.560 2.240 0.560 2.240 0.560 2.240 3.000 1.800 1.800 1.800

3 计算结果和讨论

3.1 块体单元大小对导热系数的影响

元的合理大小问题进行探讨。

假设计算模型的孔隙度为0.5，饱和度为0.5，空气、水和固体颗粒的导热系数分别为0.026、0.600和3.000W /(m⋅K) （见表1中的工况1），下面计算d 的大小对计算结果的影响。

图4是利用上述参数条件，得到的块体单元大小对导热系数计算结果的影响图。图中竖直线的含义是：在对应的d 值条件下，随机建立15个混合模型，选取同样的参数，重复计算15次，得到的15个导热系数值中，最大值与最小值的连线，直线长度越长，代表在该d 值条件下计算出来的导热系数离散性越大。从图上可以看到：随着d 的增大，计算值的离散性越来越小。当d =

由于多孔随机混合介质模型中假设介质的空间结构是随机分布的，因此对于相同的一组输入参数，结果亦有分散性。当d 较小时，介质将会表现出明显的随机性和各向异性。随着d 的增大，它们会趋于减小。从理论上讲，只要块体单元足够小，即d 足够大，就可以认为介质在宏观是各向同性的，也能较真实地反映介质的导热系数，但是块体单元太小，三维结构的节点数就会增多，这样就会碰到计算量过大的问题。为了兼顾计算结果的稳定性和计算量的合理性，下面对块体单

增刊2 谭贤君等：寒区隧道围岩导热系数研究 73

40时，其离散性已只有d =15时的1/9。图中虚线是每个d 值计算结果平均值的连线，从这条虚线可以看到：d 分别为40、45和50时，虚线为一平行于x 轴的直线，说明计算结果已经稳定。

基于上面的分析，可以认为在工况1条件下，d =50时已能够得到准确、可靠的导热系数。因此，接下来与工况1类似的工况2、3和4的计算均采用d =50的模型。

图4 块体尺度对计算结果稳定性的影响

Fig.4 The influence of block scale on computing results

3.2 多孔随机混合介质模型有效性验证

为了验证本文所述的随机混合介质模型的合理性和计算方法的正确性，根据文献得到的试验数据[13]，利用多孔随机混合介质模型求出同等条件下的导热系数，具体计算参数见表1中的工况2、3和4。未冻水体积含量的计算，本文采用如下公式

[14]

：

χ=0.93H (T −T ref , ΔT ) +0.07 （8）

式中：χ为未冻水含量；T ref 为冰/水相变点温度，本文取T ref =273.15K ，ΔT 为相变温度区间，本文取ΔT =0.5℃，H (T −T ref , ΔT ) 为Heaviside 函数为，其表达式为

H (T −T ⎧0，当T −T ref

ref , ΔT ) =⎨

9）

⎩1，当T −T ref >ΔT

（图5 试验结果与本文计算结果对比图 Fig.5 Comparison between test results and

numerical results

图5给出了计算结果和试验数据的对比，由图可见，根据本文模型的预测结果和试验数据基本一致，各测点的平均偏差为2.3 % ，最大偏差5.4%。另外，通过对比介质在0℃上下的计算结

果可以发现：多孔随机混合介质模型能很好地反映水/冰相变对导热系数的影响。 3.3 不同模型得到的导热系数对比分析

上面已经验证了多孔随机混合介质模型计算冻融条件下，岩土类介质的导热系数的可行性和准确度，那么，前面提到的目前常用的3种导热系数计算方法的准确性又如何？下面进行相关相关分析。

图6是采用4种不同计算方法，在相同参数条件下（具体参数见1工况3），得到的导热系数

随温度的变化曲线。可以看到，目前已有的3种方法的计算结果都不尽人意，与试验结果相差很大。相比之下，目前应用最多的指数加权平均法与本文方法得到的计算结果最为相似，尤其是当温度大于0 ℃时，计算结果差别均小于3% 。但是，当温度降为0 ℃以下后，两者计算结果差别明显增大，说明目前广泛使用的指数加权平均法并不适合计算低温（0 ℃以下）岩土类材料的导热系数。与加权调和平均法相比，加权算术平均法还要稍微准确一些，但误差也已很大，当温度大于0 ℃时，其值几乎比试验值大了1倍。这4种方法中，计算结果最糟糕的是加权调和平均法，该法不仅与试验值相差很大，而且相变对导热系数的影响基本不能反映出来。

图6 不同方法导热系数计算结果 Fig.6 Thermal conductivity results with

different methods

4 结论

（1）从多孔随机混合介质理念出发，提出了考虑相变及未冻水影响的冻融条件下岩土类材料

74 岩土力学 2010年

的导热系数计算的新方法。

（2）根据已有的试验数据，利用多孔随机混合介质模型求出了同等条件下的导热系数，研究结果表明本文模型的计算结果和试验结果基本一致，其平均偏差为2.3%，最大偏差5.4%。（3）通过与现有的3种导热系数的取值方法的比较发现：目前广泛使用的指数加权平均法在0 ℃以上时计算结果较准确，但并不适合计算低

温（0 ℃以下）岩土类材料的导热系数。加权调和平均法和加权算术平均法计算结果误差都很大，且不能反映相变对导热系数的影响。

参考文献

[1] 吕康成，解赴东，张翊翱，等. 寒区隧道围岩导温

系数反分析[J]. 西安建筑科技大学学报(自然科学版) ，2000，32(4)：379－381.

LÜ Kang-cheng, XIE Pu-dong, ZHANG Yi-ao, et al. Back analysis of the thermal conductivity of the enclosure rocks in a cold-region tunnel[J]. Journal of Xi'an University of Architecture & Technology (Natural Science Edition), 2000, 32(4): 379－381. [2] 水伟厚，高广运，韩晓雷，等. 寒区隧道围岩导温

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冰川冻土，2002，24(6)：770－773.

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第31卷增刊2 岩土力学 Vol.31 Supp.2 2010年11月 Rock and Soil Mechanics Nov. 2010

文章编号：1000－7598 (2010)增刊2－0070－05

考虑冻融影响的岩土类材料导热系数计算新方法

谭贤君1，褚以惇2，陈卫忠1,3，戴永浩1，陈培帅1

（1. 中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071；

2. 中交第二公路勘察设计研究院有限公司，武汉 430056； 3. 山东大学岩土与结构工程研究中心，济南 250061）

A new method to study thermal conductivity of

geomaterials considering phase change

TAN Xian-jun, CHU Yi-dun , CHEN Wei-zhong1,3, DAI Yong-Hao 1, CHEN Pei-shuai 1

（1. State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering, Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan

430071, China; 2. Second Highway Consultants Co., Ltd. of China Communications Construction Corporation, Wuhan 430056, China;

3. Research Center of Geotechnical and Structural Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China）

1 引言

隧道和西罗奇2号隧道等。新疆国道217线天山段的玉希莫勒盖隧道甚至没有运营几年就因为冻害在隧道内形成冰塞而报废。

寒区隧道冻害产生的根本原因是：随着自然界四季交替，隧道内温度会出现从0 ℃以上到0 ℃以下反复变化的情况，使得隧道围岩经历着从非冻结

收稿日期：2010-07-20

基金项目：国家自然科学基金重大国际合作项目（No. [1**********]）；国家自然科学基金（No. 41072238）。

第一作者简介：谭贤君，男，1984年生，博士，助理研究员，主要从事隧道及地下空间方面的研究工作。E-mail:[email protected]

增刊2 谭贤君等：寒区隧道围岩导热系数研究 71

∑ξ

=1 （1）

(λe )平行=θs λs +θw λw +θi λi +θg λg （2）

式中：λe 为等效导热系数；θs 、θw 、θi 、θg 和λs 、

λw 、λi 、λg 分别为基质、液态水、冰和空气的体

积分数和导热系数。

图1 平行模型图2 列向模型

Fig.1 Parallel model Fig.2 Series model

（2）体积加权平均模型(串联形式)

各组分物质排列方向与热源进入方向垂直如图2所示，这时围岩的导热系数可以由加权调和平

均法得到：

θs θw θi θg

λλ+++

（3） e =

列向

s λw λi λg

（3）指数加权平均模型

这也是目前使用最为广泛的一种方法，该方法的数学表达式为

λe =λθs s

λθw w

λθi i

λθg

g （4）

2 多孔随机混合介质模型和算法

2.1 多孔随机混合介质模型的建立

(1−χ) nS w 和(1−S w ) n 。

如果围岩中的几种组分形态上都是立方体，尺

d =

L 0

（5）式中：d 为每边的切割份数。

72 岩土力学 2010年

于是，取样空间中含有d N 个小立方体（N 为空间维数）。从理论上讲，只要L 0足够小，就能很好地反映围岩的真实热力学特性。

多孔介质的稳态热传导控制方程可表示为

nS w ，则认为该立方体成分为冰；若x ≤χnS w ，则认为该立方体成分为水。这样，在给定孔隙度n ，就生成了一个未冻水含量χ和饱和度S w 的条件下，

随机结构的三或四组分的多孔介质模型（当温度T ＞0时为三组分，当温度T ＜0时为四组分）。

∇⋅(λe ∇T )=Q （6）

式中：λe 为岩土介质的导热系数；Q 为边界z = 0（或z = L）上的总热流，

图3 多孔介质的空间结构

Fig.3 Spatial structure of the porous medium

λe_z=

（7）

T L −T 0

大量试验研究和理论分析结果表明，对粒径直径不超过4～6 mm的多孔介质，其孔隙中流体的对

式中：λe_z 为z 方向的导热系数；T L 和T 0分别为边界z = L 和z = 0上的温度。

x 、y 方向上的导热系数同理求之。

表1 不同工况下的参数取值 Table 1 Parameters in different cases

工况编号

孔隙度n

饱和度S w

空气导热系数λg (W/(m⋅K))

水导热系数 λw (W/(m⋅K))

冰导热系数 λi (W/(m⋅K))

固体颗粒导热系数 λs (W/(m⋅K))

1 0.5 0.5 0.026 2 0.5 0.8 0.026 3 0.5 0.6 0.026 4 0.5 0.4 0.026 0. 600

0.560 2.240 0.560 2.240 0.560 2.240 3.000 1.800 1.800 1.800

3 计算结果和讨论

3.1 块体单元大小对导热系数的影响

元的合理大小问题进行探讨。

增刊2 谭贤君等：寒区隧道围岩导热系数研究 73

图4 块体尺度对计算结果稳定性的影响

Fig.4 The influence of block scale on computing results

3.2 多孔随机混合介质模型有效性验证

[14]

：

χ=0.93H (T −T ref , ΔT ) +0.07 （8）

H (T −T ⎧0，当T −T ref

ref , ΔT ) =⎨

9）

⎩1，当T −T ref >ΔT

（图5 试验结果与本文计算结果对比图 Fig.5 Comparison between test results and

numerical results

果可以发现：多孔随机混合介质模型能很好地反映水/冰相变对导热系数的影响。 3.3 不同模型得到的导热系数对比分析

图6是采用4种不同计算方法，在相同参数条件下（具体参数见1工况3），得到的导热系数

图6 不同方法导热系数计算结果 Fig.6 Thermal conductivity results with

different methods

4 结论

（1）从多孔随机混合介质理念出发，提出了考虑相变及未冻水影响的冻融条件下岩土类材料

74 岩土力学 2010年

的导热系数计算的新方法。

温（0 ℃以下）岩土类材料的导热系数。加权调和平均法和加权算术平均法计算结果误差都很大，且不能反映相变对导热系数的影响。

参考文献

[1] 吕康成，解赴东，张翊翱，等. 寒区隧道围岩导温

系数反分析[J]. 西安建筑科技大学学报(自然科学版) ，2000，32(4)：379－381.

系数及其冻深分析[J]. 地下空间，2002，22(4)：343－346.

S. Using in-situ temperature measurements to estimate saturated soil thermal properties by solving a sequence of optimization problems[J]. The Cryosphere, 2007, 1: 41－58.

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[5] ZHU M. Modeling and simulation of frost heave in

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[6] CHENG S C, VACHON R I. The prediction of the

的热参数测试[J]. 四川建筑，2008，28(1)：216－217. [8] KAY B D, FUKUDA M, IZUTA H. The importance of

water migration in the measurement of the thermal conductivity of unsaturated frozen soils[J]. Cold Regions Science and Technology, 1981, 5 (2): 95－106

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