依据函数图像结构特征，巧解问题
--------------函数f (x ) =ax 2+bx +c 值域（最值）问题的解法
在高中，初学函数之时，由于我们接触的具体函数还不多，所以一元二次函数的值域（最值）的求解就显得非常重要，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类问题看似简单，但如果轻视大意，方法步骤掌握不当，将会给后期应用构成隐患。
此类问题主要有四种角度的问题，一种是初中就接触的，定义域为R 的常系数一元二次函数值域（最值）问题。我们只要依据开口方向，找到顶点纵坐标，即为最值。第二种是增加函数定义域区间的常系数一元二次函数问题。有些同学容易受前一种解法的影响，忽略了定义域区间，直接找顶点纵坐标，进而造成错误。第三种是含参数一元二次函数值域（最值）问题，第四种为可转化为一元二次函数值域（最值）的问题。后两种我们随着学习的深入，再和大家见面。
下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。
【例题】：求函数f (x ) =x 2-2x +3在区间[-1,2]内的值域。
【思路切入】：我们看到，此函数结构特征是常系数一元二次函数，且给定了定义域区间。从此函数的图像是抛物线入手，我们需要关注的是在区间[-1,2]内的函数图像形状。由此，我们可以确定解法步骤为：
（1）明确抛物线开口方向，对称轴位置；
（2）画出函数图像示意图，标出给定区间；
（3）观察给定区间内图象形状，找到最高点、最低
点位置
（4）求出最大、最小值，得到函数值域。
【解析】：函数化为f (x ) =(x -1) 2+2
得到函数图像的对称轴为x =1，抛物线开口向
上。得到函数图像示意图。
从图中观察可以得到
当x =1时，f min (x ) =f (1)=2，当x =-1时，f max (x ) =f (-1) =6；
所以，函数f (x ) 的值域是[2,6]。
进一步思考，通过解题归纳规律，我们不难得到，函数
f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 类值域（最值）问题的变化在于：
1、给定函数定义域区间的开闭变化，有四种：双开、双闭、左开右闭、左闭右开；
2、对称轴位于给定区间的位置变化，有四种：在区间外左侧、在区间外右侧、在区间内的区间中点左侧、在区间内的区间中点右侧；
3、给定函数的开口方向的变化，有两种：a >0，开口向上，a
如此，此类函数的值域（最值）问题就全在你的掌控之中了。任题在千变万化，但解题思路方法步骤不变，我们完全可以“以不变应万变”。
【文化提升】：任何事物都是有其独特的特征规律的，我们不可能面面俱到，但我们可以“以不变应万变”，关键是要抓同类事物的本质关键。正如古人所说：“兵来将挡，水来土掩”，我们自有对策。同时，透过问题看到问题的细节变化，也是培养我们严谨细致习惯的切入点，不是说“细节决定成败”嘛。
【落实提高】：
1、求函数f (x ) =-x 2+2x +3（-2≤x
答案：[-5,3)
2、求函数f (x ) =x 2+2x +3在区间（1，3）上的值域；
答案：(6,18]
3、求函数f (x ) =-(x 2+2x +3) 2+2(x 2+2x +3) -3的值域；
答案：(-∞, -3]
3、（试试看）求二次函数f (x ) =x 2+2(2a -1) x +1（a ∈R ）在区间[1，3]上的最大值和最小值。
答案：当a ≥0时, 此时在x =1时, 函数f (x ) 取最小值4a ，在x =3时, 函数f (x ) 取
最大值12a -4； 1当-
时，函数f (x ) 取最大值12a -4； 1当-1
时，函数f (x ) 取最大值4a ；
当x ≤-1时，此时在x =3时，函数f (x ) 取最小值12a -4，在x =1时，函数f (x ) 取最大值4a 。
依据函数图像结构特征，巧解问题
--------------函数f (x ) =ax 2+bx +c 值域（最值）问题的解法
在高中，初学函数之时，由于我们接触的具体函数还不多，所以一元二次函数的值域（最值）的求解就显得非常重要，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类问题看似简单，但如果轻视大意，方法步骤掌握不当，将会给后期应用构成隐患。
此类问题主要有四种角度的问题，一种是初中就接触的，定义域为R 的常系数一元二次函数值域（最值）问题。我们只要依据开口方向，找到顶点纵坐标，即为最值。第二种是增加函数定义域区间的常系数一元二次函数问题。有些同学容易受前一种解法的影响，忽略了定义域区间，直接找顶点纵坐标，进而造成错误。第三种是含参数一元二次函数值域（最值）问题，第四种为可转化为一元二次函数值域（最值）的问题。后两种我们随着学习的深入，再和大家见面。
下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。
【例题】：求函数f (x ) =x 2-2x +3在区间[-1,2]内的值域。
【思路切入】：我们看到，此函数结构特征是常系数一元二次函数，且给定了定义域区间。从此函数的图像是抛物线入手，我们需要关注的是在区间[-1,2]内的函数图像形状。由此，我们可以确定解法步骤为：
（1）明确抛物线开口方向，对称轴位置；
（2）画出函数图像示意图，标出给定区间；
（3）观察给定区间内图象形状，找到最高点、最低
点位置
（4）求出最大、最小值，得到函数值域。
【解析】：函数化为f (x ) =(x -1) 2+2
得到函数图像的对称轴为x =1，抛物线开口向
上。得到函数图像示意图。
从图中观察可以得到
当x =1时，f min (x ) =f (1)=2，当x =-1时，f max (x ) =f (-1) =6；
所以，函数f (x ) 的值域是[2,6]。
进一步思考，通过解题归纳规律，我们不难得到，函数
f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 类值域（最值）问题的变化在于：
1、给定函数定义域区间的开闭变化，有四种：双开、双闭、左开右闭、左闭右开；
2、对称轴位于给定区间的位置变化，有四种：在区间外左侧、在区间外右侧、在区间内的区间中点左侧、在区间内的区间中点右侧；
3、给定函数的开口方向的变化，有两种：a >0，开口向上，a
如此，此类函数的值域（最值）问题就全在你的掌控之中了。任题在千变万化，但解题思路方法步骤不变，我们完全可以“以不变应万变”。
【文化提升】：任何事物都是有其独特的特征规律的，我们不可能面面俱到，但我们可以“以不变应万变”，关键是要抓同类事物的本质关键。正如古人所说：“兵来将挡，水来土掩”，我们自有对策。同时，透过问题看到问题的细节变化，也是培养我们严谨细致习惯的切入点，不是说“细节决定成败”嘛。
【落实提高】：
1、求函数f (x ) =-x 2+2x +3（-2≤x
答案：[-5,3)
2、求函数f (x ) =x 2+2x +3在区间（1，3）上的值域；
答案：(6,18]
3、求函数f (x ) =-(x 2+2x +3) 2+2(x 2+2x +3) -3的值域；
答案：(-∞, -3]
3、（试试看）求二次函数f (x ) =x 2+2(2a -1) x +1（a ∈R ）在区间[1，3]上的最大值和最小值。
答案：当a ≥0时, 此时在x =1时, 函数f (x ) 取最小值4a ，在x =3时, 函数f (x ) 取
最大值12a -4； 1当-
时，函数f (x ) 取最大值12a -4； 1当-1
时，函数f (x ) 取最大值4a ；
当x ≤-1时，此时在x =3时，函数f (x ) 取最小值12a -4，在x =1时，函数f (x ) 取最大值4a 。