高二文数专题复习——直线与方程
一、选择题
1．直线2x ＋ay ＋3＝0的倾斜角为120°，则a 的值是 ( )
223A. B C ．23 D ．－3
33
2. 若A (1, 5) 、B (-2, -1) 、C (-1, m ) 三点共线，则m 的值为 ( ) A . 0 B . 1 C . -2 D . 2
3．已知过A (－1，a ) 、B (a, 8) 两点的直线与直线2x －y ＋1＝0平行，则a 的值为( )
A ．－10 B．17 C．5 D ．2
4．直线l 过点(－1,2) 且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 ( )
A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0
5．已知直线l 1：(k －3) x ＋(4－k ) y ＋1＝0与l 2：2(k －3) x －2y ＋3＝0平行， 则k 的值是( )
A ．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
6．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 ( )
A ．相离 B．相交 C．外切 D ．内切
7．若直线ax ＋by ＋c ＝0过第一、二、三象限，则 ( )
A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0
8．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－13x －y ＝33的倾斜角的2倍，则 ( ) A ．A 3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1 C ．A 3，B ＝－1 D ．A ＝－3，B ＝1
9．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，则过点M 的最短弦 所在的直线方程是( )
A ．x ＋y －1＝0 B．x －y －1＝0 C．x －y ＋1＝0 D．x ＋y ＋2＝0
1
10、圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线方程为y ＝ x 对称的圆的方程 ( )．
2
22
A 、(x+1) ＋(y －3) ＝10 B、 (x －1) 2＋(y +3)2＝10 C 、(x －1) 2＋(y －3) 2＝10 D 、(x －1) 2＋(y －3) 2＝100
二、填空题
11．直线5x －4y －20＝0在x 、y 轴上的截距分别是________．
12．直线l 过点(－2,4) ，且在x 轴、y 轴上的截距相等，则l 的方程是________．
13．不论m 怎么变化，直线(m-2) x －(2m+1)y －(3m+4)＝0恒过定点________．
14．若直线y ＝x －m 与曲线y ＝1－x 有两个不同的交点，则m 的取值范围是_______．
三、解答题
15．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －12＝0.
(1)若直线l 2与l 1平行，且过点(－1,3) ，求直线l 2的方程；
(2)若直线l 2与l 1垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 2的方程．
16、. 已知三角形的三个顶点A (－2, －3) ，B (2，－1)C(0, 2), （1） 求直线AB 的方程；
（2） 求直线AB 的垂直平分线的方程CD ； （3） 求△ABC 面积。
17．已知圆C ：x 2＋y 2＝4和直线l ：3x ＋4y ＋12＝0，点P 是圆C 上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A 、B .
(1)求与圆C 相切且平行直线l 的直线方程； (2)求△P AB 面积的最大值．
18、已知x,y 是实数，且x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，求 （1）
y
x
的最大值； （2）x 2+y 2的最大值； （3）x +y 的最大值。
⎧x ≥019．已知平面区域⎪
⎨y ≥0
⎪⎩x ＋2y －4≤0
被圆C 及其内部所覆盖．
(1)当圆C 的面积最小时，求圆C 的方程；
(2)若斜率为1的直线l 与(1)中的圆C 交于不同的两点A 、B ，且满足CA ⊥CB ，求直线l 的方程．
20．(本小题满分12分) 已知圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；
(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝2，求直线l 的方程；
→→→→
(3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0) ，ON ＝(0，y 0) ，若向量OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
高二文数答案：专题复习——直线与方程
1——5 ABDAC 6——10BDBAC
10、圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0的标准方程是(x －3) 2＋(y ＋1) 2＝10
1
∴圆心为(3，－1) ，半径为10，直线的方程为y ＝x
2
⎧⎪
设(3，－1) 关于OB 的对称点为(x ，y ) 则⎨y ＋1
⎪⎩x －3＝－2
⎧⎪x ＝1
∴⎨∴所求圆方程为(x －1) 2＋(y －3) 2＝10. ⎪y ＝3⎩
x ＋3y －1
－022
11、 4，－5 12、2x －y ＝0或x +y －2＝0 13、（—1，—2）14、m ∈(－2，－1]_
15、[解] (1)由直线l 2与l 1平行，可设l 2的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，以x ＝－1，y ＝3代入，得－3＋12＋m ＝0，即得m ＝－9， ∴直线l 2的方程为3x ＋4y －9＝0.
(2)由直线l 2与l 1垂直，可设l 2的方程为4x －3y ＋n ＝0，
n n 1n n
令y ＝0，得x ＝－，令x ＝0，得y S ＝·|－||＝4
43243
∴得n 2＝96，即n ＝±6
∴直线l 2的方程是4x －3y ＋46＝0或4x －3y －46＝0.
16、解：（1）有两点式得直线AB 的方程： x- 2y - 4＝0
(2)AB 中点D
坐标为（0，-2）
-1+31
=, 又直线AB 与直线CD 垂直，
2+22
∴k AB ∙k CD =-1, ∴k
CD =-2, k AB =
∴由点斜式方程得：y +2=-2x , 即2x +y +2=0.
(3)点C 到直线AB 的距离即为∆ABC 中AB 边上的高∴h 1
AB , ∴S ∆ABC =AB h =8
2
17、[解] (1)设与圆C 相切且平行直线l 的直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×0＋c |
2，∴c ＝±10.
3＋4所以，所求直线方程为3x ＋4y ＋10＝0或3x ＋4y －10＝0.
(2)不妨设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，可求得A (－4,0) ，B (0，－3) ．
∴|AB |＝(－4－0) ＋(0＋3) ＝5.
圆C 上的动点P 到直线l 的距离的最大值为两平行直线3x ＋4y ＋12＝0与3x ＋4y －
10＝0间的距离．
|12－(－10)|221122
即d ＝，此时，△P AB 面积取得最大值．S ＝×|AB |·d ＝×5×＝2
52253＋4
18、解圆的方程可化为(x -2) 2+(y -3) 2=1
圆心(2,3)，半径r =1
y
(1)表示圆C 上的点P (x , y ) 与坐标原点O （0,0）连线的斜率k x
故当y =kx 为圆的切线时，k 可取最值，
(2)设x 2+y2表示圆C 上的点P (x ,
y ) 与坐标原点O （0,0）距离的平方，∴x 2+y2的最大值为(OC +r ) 2=
1) 2=14+
=1, ∴k =2
∴k 的最大值为
(3)令x +y =b , 当直线l :x +y -b =0与圆C 相切时，在y 轴上的截距b 取得最值，=1, ∴b =5±∴x +y 的最大值为519、[解析] (1)由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)构成的三角形
及其内部，且△OPQ 是直角三角形， ∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆． ∴圆心是(2,1)，半径是，
∴圆C 的方程是(x －2) 2＋(y －1) 2＝5. (2)设直线l 的方程是：y ＝x ＋b .
10
∵CA ⊥CB ，∴圆心C 到直线l 的距离是
2
|2－1＋b |10即. 解之得，b ＝－5. ∴直线l 的方程是：y ＝x －5.
22
20、[解析] (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1) ，
|2－k |4＝2得，k 1＝0，k 2，
3k ＋1
故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.
(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点 坐标为(1，3) 和(1，－3) ，这两点的距离为3，满足题意； 当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1) ， 即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ， 则＝4－d ，∴d ＝1，
|－1＋2|3∴1＝∴k ＝3x －4y ＋5＝0，
4k ＋1
综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.
(3)设Q 点的坐标为(x ，y ) ，
→→→→
∵M (x 0，y 0) ，ON ＝(0，y 0) ，OQ ＝OM ＋ON ， ∴(x ，y ) ＝(x 0, 2y 0) ，∴x ＝x 0，y ＝2y 0.
x 2y 2222⎛y ⎫2
∵x 0＋y 0＝4，∴x ＋⎝2⎭＝4，即＝1，
416
22x y
∴Q 点的轨迹方程是＋1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．
416
高二文数专题复习——直线与方程
一、选择题
1．直线2x ＋ay ＋3＝0的倾斜角为120°，则a 的值是 ( )
223A. B C ．23 D ．－3
33
2. 若A (1, 5) 、B (-2, -1) 、C (-1, m ) 三点共线，则m 的值为 ( ) A . 0 B . 1 C . -2 D . 2
3．已知过A (－1，a ) 、B (a, 8) 两点的直线与直线2x －y ＋1＝0平行，则a 的值为( )
A ．－10 B．17 C．5 D ．2
4．直线l 过点(－1,2) 且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 ( )
A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0
5．已知直线l 1：(k －3) x ＋(4－k ) y ＋1＝0与l 2：2(k －3) x －2y ＋3＝0平行， 则k 的值是( )
A ．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
6．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 ( )
A ．相离 B．相交 C．外切 D ．内切
7．若直线ax ＋by ＋c ＝0过第一、二、三象限，则 ( )
A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0
8．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－13x －y ＝33的倾斜角的2倍，则 ( ) A ．A 3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1 C ．A 3，B ＝－1 D ．A ＝－3，B ＝1
9．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，则过点M 的最短弦 所在的直线方程是( )
A ．x ＋y －1＝0 B．x －y －1＝0 C．x －y ＋1＝0 D．x ＋y ＋2＝0
1
10、圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线方程为y ＝ x 对称的圆的方程 ( )．
2
22
A 、(x+1) ＋(y －3) ＝10 B、 (x －1) 2＋(y +3)2＝10 C 、(x －1) 2＋(y －3) 2＝10 D 、(x －1) 2＋(y －3) 2＝100
二、填空题
11．直线5x －4y －20＝0在x 、y 轴上的截距分别是________．
12．直线l 过点(－2,4) ，且在x 轴、y 轴上的截距相等，则l 的方程是________．
13．不论m 怎么变化，直线(m-2) x －(2m+1)y －(3m+4)＝0恒过定点________．
14．若直线y ＝x －m 与曲线y ＝1－x 有两个不同的交点，则m 的取值范围是_______．
三、解答题
15．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －12＝0.
(1)若直线l 2与l 1平行，且过点(－1,3) ，求直线l 2的方程；
(2)若直线l 2与l 1垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 2的方程．
16、. 已知三角形的三个顶点A (－2, －3) ，B (2，－1)C(0, 2), （1） 求直线AB 的方程；
（2） 求直线AB 的垂直平分线的方程CD ； （3） 求△ABC 面积。
17．已知圆C ：x 2＋y 2＝4和直线l ：3x ＋4y ＋12＝0，点P 是圆C 上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A 、B .
(1)求与圆C 相切且平行直线l 的直线方程； (2)求△P AB 面积的最大值．
18、已知x,y 是实数，且x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，求 （1）
y
x
的最大值； （2）x 2+y 2的最大值； （3）x +y 的最大值。
⎧x ≥019．已知平面区域⎪
⎨y ≥0
⎪⎩x ＋2y －4≤0
被圆C 及其内部所覆盖．
(1)当圆C 的面积最小时，求圆C 的方程；
(2)若斜率为1的直线l 与(1)中的圆C 交于不同的两点A 、B ，且满足CA ⊥CB ，求直线l 的方程．
20．(本小题满分12分) 已知圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；
(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝2，求直线l 的方程；
→→→→
(3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0) ，ON ＝(0，y 0) ，若向量OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
高二文数答案：专题复习——直线与方程
1——5 ABDAC 6——10BDBAC
10、圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0的标准方程是(x －3) 2＋(y ＋1) 2＝10
1
∴圆心为(3，－1) ，半径为10，直线的方程为y ＝x
2
⎧⎪
设(3，－1) 关于OB 的对称点为(x ，y ) 则⎨y ＋1
⎪⎩x －3＝－2
⎧⎪x ＝1
∴⎨∴所求圆方程为(x －1) 2＋(y －3) 2＝10. ⎪y ＝3⎩
x ＋3y －1
－022
11、 4，－5 12、2x －y ＝0或x +y －2＝0 13、（—1，—2）14、m ∈(－2，－1]_
15、[解] (1)由直线l 2与l 1平行，可设l 2的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，以x ＝－1，y ＝3代入，得－3＋12＋m ＝0，即得m ＝－9， ∴直线l 2的方程为3x ＋4y －9＝0.
(2)由直线l 2与l 1垂直，可设l 2的方程为4x －3y ＋n ＝0，
n n 1n n
令y ＝0，得x ＝－，令x ＝0，得y S ＝·|－||＝4
43243
∴得n 2＝96，即n ＝±6
∴直线l 2的方程是4x －3y ＋46＝0或4x －3y －46＝0.
16、解：（1）有两点式得直线AB 的方程： x- 2y - 4＝0
(2)AB 中点D
坐标为（0，-2）
-1+31
=, 又直线AB 与直线CD 垂直，
2+22
∴k AB ∙k CD =-1, ∴k
CD =-2, k AB =
∴由点斜式方程得：y +2=-2x , 即2x +y +2=0.
(3)点C 到直线AB 的距离即为∆ABC 中AB 边上的高∴h 1
AB , ∴S ∆ABC =AB h =8
2
17、[解] (1)设与圆C 相切且平行直线l 的直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×0＋c |
2，∴c ＝±10.
3＋4所以，所求直线方程为3x ＋4y ＋10＝0或3x ＋4y －10＝0.
(2)不妨设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，可求得A (－4,0) ，B (0，－3) ．
∴|AB |＝(－4－0) ＋(0＋3) ＝5.
圆C 上的动点P 到直线l 的距离的最大值为两平行直线3x ＋4y ＋12＝0与3x ＋4y －
10＝0间的距离．
|12－(－10)|221122
即d ＝，此时，△P AB 面积取得最大值．S ＝×|AB |·d ＝×5×＝2
52253＋4
18、解圆的方程可化为(x -2) 2+(y -3) 2=1
圆心(2,3)，半径r =1
y
(1)表示圆C 上的点P (x , y ) 与坐标原点O （0,0）连线的斜率k x
故当y =kx 为圆的切线时，k 可取最值，
(2)设x 2+y2表示圆C 上的点P (x ,
y ) 与坐标原点O （0,0）距离的平方，∴x 2+y2的最大值为(OC +r ) 2=
1) 2=14+
=1, ∴k =2
∴k 的最大值为
(3)令x +y =b , 当直线l :x +y -b =0与圆C 相切时，在y 轴上的截距b 取得最值，=1, ∴b =5±∴x +y 的最大值为519、[解析] (1)由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)构成的三角形
及其内部，且△OPQ 是直角三角形， ∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆． ∴圆心是(2,1)，半径是，
∴圆C 的方程是(x －2) 2＋(y －1) 2＝5. (2)设直线l 的方程是：y ＝x ＋b .
10
∵CA ⊥CB ，∴圆心C 到直线l 的距离是
2
|2－1＋b |10即. 解之得，b ＝－5. ∴直线l 的方程是：y ＝x －5.
22
20、[解析] (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1) ，
|2－k |4＝2得，k 1＝0，k 2，
3k ＋1
故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.
(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点 坐标为(1，3) 和(1，－3) ，这两点的距离为3，满足题意； 当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1) ， 即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ， 则＝4－d ，∴d ＝1，
|－1＋2|3∴1＝∴k ＝3x －4y ＋5＝0，
4k ＋1
综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.
(3)设Q 点的坐标为(x ，y ) ，
→→→→
∵M (x 0，y 0) ，ON ＝(0，y 0) ，OQ ＝OM ＋ON ， ∴(x ，y ) ＝(x 0, 2y 0) ，∴x ＝x 0，y ＝2y 0.
x 2y 2222⎛y ⎫2
∵x 0＋y 0＝4，∴x ＋⎝2⎭＝4，即＝1，
416
22x y
∴Q 点的轨迹方程是＋1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．
416