2013---2014学年初三第一轮复习专题之二次函数
2009--2013年苏州及无锡中考二次函数及其应用的分值与比率
考纲要求以及命题趋势
二次函数的图像与性质
重要知识点整理
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0) 的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式：
(1)一般形式：____________________________；
(2)顶点式：y ＝a (x －h ) 2＋k (a ≠0) ，其中二次函数的顶点坐标是________．
PS ：由于操作困难，所以对于其他几种常见的形式没能一一列举，所以在实际授课时请酌情添加。
四、二次函数图象的平移
抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x －h ) 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h ) 2＋k 中|a |相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
五、二次函数关系式的确定
1．设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ． 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．
2．设交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) ．
若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标，则设交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) ，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a ，最后将关系式化为一般式．
3．设顶点式：y ＝a (x －h ) 2＋k (a ≠0) ．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y ＝a (x －h ) 2
＋k (a ≠0) ，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式． 【考点探究】
考点一、二次函数的顶点与对称轴
【例1】(1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( ) A ．(－1,8) B ．(1,8) C ．(－1,2) D ．(1，－4)
例2．（2013•舟山）若一次函数y=ax+b（a ≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），
2
例1、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1) ，(2，y 2) ，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)
－6b
解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－2a 2× －3 －1，
4ac －b 24× －3 ×5－－6 2
8， 4a 4× －3
∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8) ．故选A.
(2)点(－1，y 1) ，(2，y 2) 不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y 1，y 2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y 3) ，∵抛物线对称轴为直线x ＝1，
∴点(0，y 3) 与点(2，y 2) 关于直线x ＝1对称．∴y 3＝y 2. ∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小． ∴y 1＞y 3. ∴y 1＞y 2. 答案：(1)A (2)＞
方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a (x －h ) 2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k ) ，对称
2
b b 4ac －b ⎫⎛轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－顶点坐标－，来求对称轴及顶点2a 4a ⎭⎝2a
坐标．
2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断． (4)根据开口方向以及所给点横坐标离对称轴距离直接判断
①当抛物线开口向上，所给点横坐标离对称轴越远所对应的y 值越大 ②当抛物线开口向下，所给点横坐标离对称轴越远所对应的y 值越小
触类旁通2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A ．a ＞0
B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0
D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根 若A -
⎛13⎫⎛5⎫
，y 1⎪，B (-1，y 2)，C ，y 3⎪为二次函数y =-x 2-4x +5的图象上的三点，⎝4⎭⎝3⎭
则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） Ａ．y 1
Ｂ．y 3
y 3
考点三、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号
【例2】如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b ＋c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b ＋c ＞0. 其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号
)
b
解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a ＋b ＋c ＝01，推出b ＝2a ；根据
2a 图象关于对称轴对称，得出与x 轴的交点是(－3,0) ，(1,0)；由a －2b ＋c ＝a －2b －a －b ＝－3b ＜0，根据结论判断即可．
答案：①③
方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴由a ，b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．当x ＝1时，决定a ＋b ＋c 的符号，当x ＝－1时，决定a －b ＋c 的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
触类旁通3 小明从如图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五个结论：①c ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＞0；④2a －3b ＝0；⑤c －4b ＞0，你认为其中正确的结论有( )
A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 考点四、二次函数图象的平移
【例3】二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象怎样平移得到y ＝－2x 2的图象( )
A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1) 2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y
＝－
2x 2的图象．
答案：C
方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
触类旁通4 将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝(x －1) 2＋2 B ．y ＝(x ＋1) 2＋2 C ．y ＝(x －1) 2－2 D ．y ＝(x ＋1) 2－2 考点五、由表格判断二次函数图像特征
例1、抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
容易看出，(-2，0)是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为_________． 触类旁通5二次函数y =ax 2+bx +c 图象上部分点的对应值如下表：
则使y
例1
、（2013•泰安）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax+8x+b的图象2
2
触类旁通6（2013•攀枝花）二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
考点七、二次函数与一元二次方程
例1、已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1⎪，其顶点E 的横坐标为2，此抛物线
2与x 轴分别交于B (x 1，=16． 0)，C (x 2，0)两点(x 1
⎛3⎫
⎝2⎭
（
1）求此抛物线的解析式及顶点E
的坐标；
（2）若D 是y 轴上一点，且△CDE 为等腰三角形，求点D 的坐标．
触类旁通7已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
-x 2+2x +m =0的解为．
x
考点八、二次函数图像中面积问题
例1．（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=y=
经过平移得到抛物线
，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
触类旁通8．（2009•娄底）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y=x 的图象，C 2是函数y=﹣x 的图象，则阴影部分的面积是 _________ ．
考点九、二次函数数形结合
16．（2012•兰州）二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，若|ax+bx+c|=k（k ≠0）有
2
2
2
2
触类旁通9．（2013•
齐齐哈尔）数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x+1与y=的交点的横坐标x 0的取值范围是（ ） 2
考点十、确定二次函数的解析式
【例4】如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(03) ，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．
(1)求A ，B ，C 三点的坐标；
(2)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式． 解：(1)由抛物线的对称性可知AE ＝BE . ∴△AOD ≌△BEC . ∴OA ＝EB ＝EA .
设菱形的边长为2m ，在Rt △AOD 中， m 2＋3) 2＝(2m ) 2，解得m ＝1. ∴DC ＝2，OA ＝1，OB ＝3.
∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3) ．
(2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2) 2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2) 23.
解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3) 三点，
⎧a ＋b ＋c ＝0，⎪
得⎨9a ＋3b ＋c ＝0，⎪⎩4a ＋2b ＋c ＝3，
⎧a ＝－3，
解这个方程组，得⎨b ＝43，
⎩c ＝－33.
∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －33.
方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小) 值，可设顶点式．
1
触类旁通10 已知抛物线y ＝－2＋(6－) x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，
2B 两点关于y 轴对称．
(1)求m 的值；
(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．
习题库
二次函数的图象和性质
一、选择题
1. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示对称轴为x =-正确的是【 】
1
。下列结论中，2
A ．abc >0 B ．a +b =0 C ．2b +c >0 D ．4a +c
2
2. 已知二次函数y =﹣x ﹣7x +
，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对
应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】
A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 1
3. 如图，已知抛物线y 1=﹣2x +2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．例如：当x =1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M =0．下列判断：
①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M =1的x 值是其中正确的是【 】
或
．
2
A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④
4. 已知二次函数y=a(x -2)+c(a >0)，当自变量x
，3，0时，对应的值分别为
2
y 1，y 2，y 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】
A . y 3
A . m 1
6. 已知二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有【 】
2
A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
7. 已知抛物线y =ax ﹣2x +1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】
A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
2
2
8. 抛物线y =（x -1）+2的顶点坐标是【 】
A ．（－1，2） B ．（－1，－2） C ．（1，－2） D ．（1，2） 9. 如图为二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法： ①a ＞0 ②2a +b =0 ③a +b +c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为【 】
2
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10. 如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是 x =﹣1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【 】
A ．（﹣3，0） B ．（﹣2，0） C ．x =﹣3 D ．x =﹣2
11. 二次函数y =ax +bx +1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t =a +b +1，则t 值的变化范围是【 】
A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．﹣1＜t ＜1
12. 若二次函数y =ax 2+bx +a 2-2（a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为【 】
2
A . 1 B .
2 C . -2 D . -2
13. 设二次函数y =x 2+bx +c ，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是【 】
A . c =3 B . c ≥3 C . 1≤c ≤3 D . c ≤3 14. 对于二次函数y =2(x+1)(x-3) ，下列说法正确的是【 】
A . 图象的开口向下 B . 当x >1时，y 随x 的增大而减小 C . 当x
15. 如图，二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA =3；②a +b +c ＜0；③ac ＞0；④b ﹣4ac ＞0．其
2
2
中正确的结论是【 】
A ．①④ B ．①③ C ．②④ D ．①② （17题图） 16. 抛物线y =-3x 2-x +4 与坐标轴的交点个数是【 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
17. 如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】
A ．y 的最大值小于0 B ．当x =0时，y 的值大于1 C ．当x =－1时，y 的值大于1 D ．当x =－3时，y 的值小于0
18. 二次函数y =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac >0；② 2a ＋b
(A ) ①② (B ) ②③ (C ) ③④ (D ) ①④
2
19. 二次函数y =ax +bx 的图象如图，若一元二次方程ax +bx +m =0有实数根，则m 的
2
最大值为【 】
A ．-3 B ．3 C ．-6 D ．9
20. 设A (-2，y 1) ，B (1，y 2) ，C (2，y 3) 是抛物线y =-(x +1) 2+a 上的三点，则y 1，y 2，
y 3的大小关系为【 】
A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2 C ．y 3>y 2>y 1 D ．y 3>y 1>y 2 21. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是【 】 A . abc ＞0 B .3a ＞2b C . m （am ＋b ）≤a －b D .4a －2b ＋c ＜0
22. 已知二次函数y =2（x ﹣3）+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x =﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【 】
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
23. 抛物线y =ax 2+bx -3经过点（2，4），则代数式8a +4b +1的值为【 】
A ．3 B ．9 C ．15 D ．-15 24. 如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=
2
1
（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 2
轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：
①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a =1；③当x =0时，y 2－y 1=4；④2AB =3AC ；其中正确结论是【 】
A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
25. 二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则函数值y
2
A ．直线x= B ．直线x=-
121
C ．y 轴 D ．直线x ＝2 2
27. 已知二次函数y ＝a (x ＋1) 2－b (a ≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【 】 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不能确定
28. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1) 、(2，－1) ．下列关于这个二次函数的叙述正确的是【 】
A ．当x ＝0时，y 的值大于1 B ．当x ＝3时，y 的值小于0 C ．当x ＝1时，y 的值大于1 D ．y 的最大值小于0
29. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠O ) 的图象如图所示，现有下列结论：①abc >0 ②b 2－4ac 0，则其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
30. 抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点坐标是(－l ，0) 和(3，0) ，则这条抛物线的对称轴是【 】．
A ．直线x =－1 8．直线x =0 C ．直线x =1 D ．直线x = 3 二、填空题
1. 二次函数y =x -2x +6的最小值是．
2. 已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y =（x －1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则
错误！未找到引用源。 y 2错误！未找到引用源。.
3. 若抛物线y =ax +bx +c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ．
4. 对于二次函数y =x 2-2mx -3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；
②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m =1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m =-1；
④如果当x =4时的函数值与x =2008时的函数值相等，则当x =2012时的函数值为-3． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）
2
2
5. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号) ．
①abc ＜0；②a －b ＋c ＜0；③3a ＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．
6. 二次函数y =x 2-6x +n 的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程x 2-6x +n =0的一个解为x 1=1，则另一个解x 2．
7. 二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ．
（9题图）
8. 当x =y =x +2x ﹣2有最小值．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=a(x -3)+k与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 . 10. 若抛物线y =ax +bx +c 经过点(－1，10) ，则a -b +c ．
11. 已知二次函数y =－x －2x ＋3的图象上有两点A (－7，y 1) ，B (－8，y 2) ，则y 1
2
2
2
2
y 2. （用>、
三、解答题3.
1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式；
(2)若与x 轴的两个交点为A ，B ，与y 轴交于点C ．在该抛物线上是否存在点D , 使得△ABC 与△ABD 全等？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由
注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-
b 2a
3
2. 已知二次函数y =(t+1)x 2+2(t+2)x +在x =0和x =2时的函数值相等。
2(1)求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y =kx +6的图象与二次函数的图象都经过点A (-3，m) ，求m 和k 的值； （3）设二次函数的图象与x 轴交于点B , C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B , C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n(n>0) 个单位后得到的图象记为C ，同时将（2）中得到的直线y =kx +6向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
2
3. 已知：y 关于x 的函数y =（k ﹣1）x ﹣2kx +k +2的图象与x 轴有交点．（1）求k 的取值范围；
（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足（k ﹣1）x 1+2kx 2+k +2=4x 1x 2． ①求k 的值；②当k ≤x ≤k +2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．
2
近5年中考真题训练
一、无锡专区
15．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是A (2，1) ，且经过点B (1，0) ，则此抛物线的函数解
析式子是 ．
9．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1) 的是 ( ▲ ) A ．y=(x－2) 2+1 B ．y=(x+2)2+1 C ．y=(x－2) 2－3 D ．y=(x+2)2－3
10．如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=不等式
k
的交点A 的横坐标是1，则关于x 的x
k
+ x2+1
A ．x>1 B ．x
25．(本题满分10分) 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元／吨) 与采购量x(吨) 之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C) ．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)已知老王种植水果的成本是2 800元／吨，那么张经理的采购量为多8000少时，老王在这次买卖中所获的利润w 最大? 最大利润是多少?
4000
O
24．（本题满分10分）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4,0）和（2,0），
BC= 设直线AC 与直线x =4交于点E ．
（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式, 并说明此抛物线
一定过点E ；本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ ：623300747．转载请注明！ （2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，
M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求 △CMN 面积的最大值．
24．（本题满分8分）
如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A 、B 、C 、D 四个顶点正好重合于底面上一点) ．已知E 、F 在AB 边上，是被剪去一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝BF ＝x cm ．
(1) 若折成的包装盒恰好是正方体，试求这个包装盒的体积V ；
(2) 某广告商要求包装盒的表面(不含下底面) 面积S 最大，试问x 应取何值？
26．（本题满分10分）如图，直线x ＝－4与x 轴交于E ，一开口向上的抛物线过原点O 交
线段OE 于A ，交直线x ＝－4于B ．过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于C ，直线OC 交直线AB 于D ，且AD:BD＝1:3．
（1）求点A 的坐标；
（2）若△OBC 是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
27．（本题满分10分）如图1，菱形ABCD 中，∠A =600．点P 从A 出发，以2cm/s的速度沿边AB 、BC 、CD 匀速运动到D 终止；点Q 从A 与P 同时出发，沿边AD 匀速运动到D 终止，设点P 运动的时间为t s ．△APQ 的面积s (cm2) 与t (s)之间函数关系的图像由图2中的曲线段OE 与线段EF 、FG 给出．
A
P
（图1）
s ）
(1)求点Q 运动的速度；
(2)求图2中线段FG 的函数关系式；
(3)问：是否存在这样的t ，使PQ 将菱形ABCD 的面积恰好分成1:5的两部分？若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由．
二、苏州专区
16．已知点A(x 1，y 1 )、B （x 2，y 2 )在二次函数y =(x -1)+1的图象上，若x 1>x 2>1，则 y 1
▲ y 2(填“>”、“ = ”或 “
6．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0) ，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是 A ．x 1＝1，x 2＝－1 C ．x 1＝1，x 2＝0
B ．x 1＝1，x 2＝2 D ．x 1＝1，x 2＝3
2
24．（本题满分10分）如图，已知二次函数y =x 2-2x -1的图象的顶点为A ．二次函数
y =ax 2+bx 的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数y =x 2-2x -1
的图象的对称轴上．
（1）求点A 与点C 的坐标；
（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数y =ax 2+
bx
29．(本题满分9分) 如图，以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为(3，0) 、(0，4) ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m，n) 是抛物线上的一点(m、n 为正整数) ，且它位于对称轴的右侧．若以M 、
B 、O 、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，PA 2+PB2+PM2＞28是
否总成立? 请说明理由．
29．（本题满分10分）已知二次函数y =a x 2-6x +8(a >0)的图象与x 轴分别交于点A 、B ，
()
与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．
(1)如图①，连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O' 恰好落在该抛物线
的对称轴上，求实数a 的值；
(2)如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于边
EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
(3)如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是
否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
27．(本题满分8分) 如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧
半 圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x(2
⑴当x=5时，求弦PA 、PB 的长度； 2
(2)当x 为何值时PD ·CD 的值最大？最大值是多少？
29．（本题满分10分）如图，已知抛物线y =121b x -(b +1)x +（b 是实数且b>2）与x 444
轴的正半轴分别交于点A 、B(点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
(1)点B 的坐标为C 的坐标为用含b 的代数式表示）；
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是 以
点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两
个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
29．（本题满分10分）如图，已知抛物线y ＝12x ＋bx ＋c （b ，c 是常数，且c
别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1，0) ．
(1)b＝B 的横坐标为c 的代数式表示）；
(2)连接BC ，过点A 作直线AE ∥BC ，与抛物线y ＝12x ＋bx ＋c 交于点E ．点D 是x 2
轴上一点，其坐标为(2，0) ，当C ，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连接PB ，PC ，设所得△PBC 的面积为S ．
①求S 的取值范围；
②若△PBC 的面积S 为整数，则这样的△PBC 共有 ▲ 个．
2013---2014学年初三第一轮复习专题之二次函数
2009--2013年苏州及无锡中考二次函数及其应用的分值与比率
考纲要求以及命题趋势
二次函数的图像与性质
重要知识点整理
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0) 的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式：
(1)一般形式：____________________________；
(2)顶点式：y ＝a (x －h ) 2＋k (a ≠0) ，其中二次函数的顶点坐标是________．
PS ：由于操作困难，所以对于其他几种常见的形式没能一一列举，所以在实际授课时请酌情添加。
四、二次函数图象的平移
抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x －h ) 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h ) 2＋k 中|a |相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
五、二次函数关系式的确定
1．设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ． 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．
2．设交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) ．
若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标，则设交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) ，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a ，最后将关系式化为一般式．
3．设顶点式：y ＝a (x －h ) 2＋k (a ≠0) ．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y ＝a (x －h ) 2
＋k (a ≠0) ，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式． 【考点探究】
考点一、二次函数的顶点与对称轴
【例1】(1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( ) A ．(－1,8) B ．(1,8) C ．(－1,2) D ．(1，－4)
例2．（2013•舟山）若一次函数y=ax+b（a ≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），
2
例1、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1) ，(2，y 2) ，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)
－6b
解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－2a 2× －3 －1，
4ac －b 24× －3 ×5－－6 2
8， 4a 4× －3
∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8) ．故选A.
(2)点(－1，y 1) ，(2，y 2) 不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y 1，y 2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y 3) ，∵抛物线对称轴为直线x ＝1，
∴点(0，y 3) 与点(2，y 2) 关于直线x ＝1对称．∴y 3＝y 2. ∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小． ∴y 1＞y 3. ∴y 1＞y 2. 答案：(1)A (2)＞
方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a (x －h ) 2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k ) ，对称
2
b b 4ac －b ⎫⎛轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－顶点坐标－，来求对称轴及顶点2a 4a ⎭⎝2a
坐标．
2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断． (4)根据开口方向以及所给点横坐标离对称轴距离直接判断
①当抛物线开口向上，所给点横坐标离对称轴越远所对应的y 值越大 ②当抛物线开口向下，所给点横坐标离对称轴越远所对应的y 值越小
触类旁通2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A ．a ＞0
B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0
D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根 若A -
⎛13⎫⎛5⎫
，y 1⎪，B (-1，y 2)，C ，y 3⎪为二次函数y =-x 2-4x +5的图象上的三点，⎝4⎭⎝3⎭
则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） Ａ．y 1
Ｂ．y 3
y 3
考点三、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号
【例2】如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b ＋c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b ＋c ＞0. 其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号
)
b
解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a ＋b ＋c ＝01，推出b ＝2a ；根据
2a 图象关于对称轴对称，得出与x 轴的交点是(－3,0) ，(1,0)；由a －2b ＋c ＝a －2b －a －b ＝－3b ＜0，根据结论判断即可．
答案：①③
方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴由a ，b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．当x ＝1时，决定a ＋b ＋c 的符号，当x ＝－1时，决定a －b ＋c 的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
触类旁通3 小明从如图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五个结论：①c ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＞0；④2a －3b ＝0；⑤c －4b ＞0，你认为其中正确的结论有( )
A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 考点四、二次函数图象的平移
【例3】二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象怎样平移得到y ＝－2x 2的图象( )
A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1) 2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y
＝－
2x 2的图象．
答案：C
方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
触类旁通4 将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝(x －1) 2＋2 B ．y ＝(x ＋1) 2＋2 C ．y ＝(x －1) 2－2 D ．y ＝(x ＋1) 2－2 考点五、由表格判断二次函数图像特征
例1、抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
容易看出，(-2，0)是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为_________． 触类旁通5二次函数y =ax 2+bx +c 图象上部分点的对应值如下表：
则使y
例1
、（2013•泰安）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax+8x+b的图象2
2
触类旁通6（2013•攀枝花）二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
考点七、二次函数与一元二次方程
例1、已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1⎪，其顶点E 的横坐标为2，此抛物线
2与x 轴分别交于B (x 1，=16． 0)，C (x 2，0)两点(x 1
⎛3⎫
⎝2⎭
（
1）求此抛物线的解析式及顶点E
的坐标；
（2）若D 是y 轴上一点，且△CDE 为等腰三角形，求点D 的坐标．
触类旁通7已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
-x 2+2x +m =0的解为．
x
考点八、二次函数图像中面积问题
例1．（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=y=
经过平移得到抛物线
，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
触类旁通8．（2009•娄底）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y=x 的图象，C 2是函数y=﹣x 的图象，则阴影部分的面积是 _________ ．
考点九、二次函数数形结合
16．（2012•兰州）二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，若|ax+bx+c|=k（k ≠0）有
2
2
2
2
触类旁通9．（2013•
齐齐哈尔）数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x+1与y=的交点的横坐标x 0的取值范围是（ ） 2
考点十、确定二次函数的解析式
【例4】如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(03) ，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．
(1)求A ，B ，C 三点的坐标；
(2)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式． 解：(1)由抛物线的对称性可知AE ＝BE . ∴△AOD ≌△BEC . ∴OA ＝EB ＝EA .
设菱形的边长为2m ，在Rt △AOD 中， m 2＋3) 2＝(2m ) 2，解得m ＝1. ∴DC ＝2，OA ＝1，OB ＝3.
∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3) ．
(2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2) 2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2) 23.
解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3) 三点，
⎧a ＋b ＋c ＝0，⎪
得⎨9a ＋3b ＋c ＝0，⎪⎩4a ＋2b ＋c ＝3，
⎧a ＝－3，
解这个方程组，得⎨b ＝43，
⎩c ＝－33.
∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －33.
方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小) 值，可设顶点式．
1
触类旁通10 已知抛物线y ＝－2＋(6－) x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，
2B 两点关于y 轴对称．
(1)求m 的值；
(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．
习题库
二次函数的图象和性质
一、选择题
1. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示对称轴为x =-正确的是【 】
1
。下列结论中，2
A ．abc >0 B ．a +b =0 C ．2b +c >0 D ．4a +c
2
2. 已知二次函数y =﹣x ﹣7x +
，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对
应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】
A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 1
3. 如图，已知抛物线y 1=﹣2x +2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．例如：当x =1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M =0．下列判断：
①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M =1的x 值是其中正确的是【 】
或
．
2
A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④
4. 已知二次函数y=a(x -2)+c(a >0)，当自变量x
，3，0时，对应的值分别为
2
y 1，y 2，y 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】
A . y 3
A . m 1
6. 已知二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＜0；③a ﹣2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有【 】
2
A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
7. 已知抛物线y =ax ﹣2x +1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】
A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
2
2
8. 抛物线y =（x -1）+2的顶点坐标是【 】
A ．（－1，2） B ．（－1，－2） C ．（1，－2） D ．（1，2） 9. 如图为二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法： ①a ＞0 ②2a +b =0 ③a +b +c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为【 】
2
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10. 如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是 x =﹣1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【 】
A ．（﹣3，0） B ．（﹣2，0） C ．x =﹣3 D ．x =﹣2
11. 二次函数y =ax +bx +1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t =a +b +1，则t 值的变化范围是【 】
A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．﹣1＜t ＜1
12. 若二次函数y =ax 2+bx +a 2-2（a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为【 】
2
A . 1 B .
2 C . -2 D . -2
13. 设二次函数y =x 2+bx +c ，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是【 】
A . c =3 B . c ≥3 C . 1≤c ≤3 D . c ≤3 14. 对于二次函数y =2(x+1)(x-3) ，下列说法正确的是【 】
A . 图象的开口向下 B . 当x >1时，y 随x 的增大而减小 C . 当x
15. 如图，二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA =3；②a +b +c ＜0；③ac ＞0；④b ﹣4ac ＞0．其
2
2
中正确的结论是【 】
A ．①④ B ．①③ C ．②④ D ．①② （17题图） 16. 抛物线y =-3x 2-x +4 与坐标轴的交点个数是【 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
17. 如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】
A ．y 的最大值小于0 B ．当x =0时，y 的值大于1 C ．当x =－1时，y 的值大于1 D ．当x =－3时，y 的值小于0
18. 二次函数y =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac >0；② 2a ＋b
(A ) ①② (B ) ②③ (C ) ③④ (D ) ①④
2
19. 二次函数y =ax +bx 的图象如图，若一元二次方程ax +bx +m =0有实数根，则m 的
2
最大值为【 】
A ．-3 B ．3 C ．-6 D ．9
20. 设A (-2，y 1) ，B (1，y 2) ，C (2，y 3) 是抛物线y =-(x +1) 2+a 上的三点，则y 1，y 2，
y 3的大小关系为【 】
A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2 C ．y 3>y 2>y 1 D ．y 3>y 1>y 2 21. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是【 】 A . abc ＞0 B .3a ＞2b C . m （am ＋b ）≤a －b D .4a －2b ＋c ＜0
22. 已知二次函数y =2（x ﹣3）+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x =﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【 】
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
23. 抛物线y =ax 2+bx -3经过点（2，4），则代数式8a +4b +1的值为【 】
A ．3 B ．9 C ．15 D ．-15 24. 如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=
2
1
（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 2
轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：
①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a =1；③当x =0时，y 2－y 1=4；④2AB =3AC ；其中正确结论是【 】
A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
25. 二次函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则函数值y
2
A ．直线x= B ．直线x=-
121
C ．y 轴 D ．直线x ＝2 2
27. 已知二次函数y ＝a (x ＋1) 2－b (a ≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【 】 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不能确定
28. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1) 、(2，－1) ．下列关于这个二次函数的叙述正确的是【 】
A ．当x ＝0时，y 的值大于1 B ．当x ＝3时，y 的值小于0 C ．当x ＝1时，y 的值大于1 D ．y 的最大值小于0
29. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠O ) 的图象如图所示，现有下列结论：①abc >0 ②b 2－4ac 0，则其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
30. 抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点坐标是(－l ，0) 和(3，0) ，则这条抛物线的对称轴是【 】．
A ．直线x =－1 8．直线x =0 C ．直线x =1 D ．直线x = 3 二、填空题
1. 二次函数y =x -2x +6的最小值是．
2. 已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y =（x －1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则
错误！未找到引用源。 y 2错误！未找到引用源。.
3. 若抛物线y =ax +bx +c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ．
4. 对于二次函数y =x 2-2mx -3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；
②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m =1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m =-1；
④如果当x =4时的函数值与x =2008时的函数值相等，则当x =2012时的函数值为-3． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）
2
2
5. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号) ．
①abc ＜0；②a －b ＋c ＜0；③3a ＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．
6. 二次函数y =x 2-6x +n 的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程x 2-6x +n =0的一个解为x 1=1，则另一个解x 2．
7. 二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ．
（9题图）
8. 当x =y =x +2x ﹣2有最小值．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=a(x -3)+k与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 . 10. 若抛物线y =ax +bx +c 经过点(－1，10) ，则a -b +c ．
11. 已知二次函数y =－x －2x ＋3的图象上有两点A (－7，y 1) ，B (－8，y 2) ，则y 1
2
2
2
2
y 2. （用>、
三、解答题3.
1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式；
(2)若与x 轴的两个交点为A ，B ，与y 轴交于点C ．在该抛物线上是否存在点D , 使得△ABC 与△ABD 全等？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由
注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-
b 2a
3
2. 已知二次函数y =(t+1)x 2+2(t+2)x +在x =0和x =2时的函数值相等。
2(1)求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y =kx +6的图象与二次函数的图象都经过点A (-3，m) ，求m 和k 的值； （3）设二次函数的图象与x 轴交于点B , C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B , C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n(n>0) 个单位后得到的图象记为C ，同时将（2）中得到的直线y =kx +6向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
2
3. 已知：y 关于x 的函数y =（k ﹣1）x ﹣2kx +k +2的图象与x 轴有交点．（1）求k 的取值范围；
（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足（k ﹣1）x 1+2kx 2+k +2=4x 1x 2． ①求k 的值；②当k ≤x ≤k +2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．
2
近5年中考真题训练
一、无锡专区
15．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是A (2，1) ，且经过点B (1，0) ，则此抛物线的函数解
析式子是 ．
9．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1) 的是 ( ▲ ) A ．y=(x－2) 2+1 B ．y=(x+2)2+1 C ．y=(x－2) 2－3 D ．y=(x+2)2－3
10．如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=不等式
k
的交点A 的横坐标是1，则关于x 的x
k
+ x2+1
A ．x>1 B ．x
25．(本题满分10分) 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元／吨) 与采购量x(吨) 之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C) ．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)已知老王种植水果的成本是2 800元／吨，那么张经理的采购量为多8000少时，老王在这次买卖中所获的利润w 最大? 最大利润是多少?
4000
O
24．（本题满分10分）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4,0）和（2,0），
BC= 设直线AC 与直线x =4交于点E ．
（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式, 并说明此抛物线
一定过点E ；本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ ：623300747．转载请注明！ （2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，
M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求 △CMN 面积的最大值．
24．（本题满分8分）
如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A 、B 、C 、D 四个顶点正好重合于底面上一点) ．已知E 、F 在AB 边上，是被剪去一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝BF ＝x cm ．
(1) 若折成的包装盒恰好是正方体，试求这个包装盒的体积V ；
(2) 某广告商要求包装盒的表面(不含下底面) 面积S 最大，试问x 应取何值？
26．（本题满分10分）如图，直线x ＝－4与x 轴交于E ，一开口向上的抛物线过原点O 交
线段OE 于A ，交直线x ＝－4于B ．过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于C ，直线OC 交直线AB 于D ，且AD:BD＝1:3．
（1）求点A 的坐标；
（2）若△OBC 是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
27．（本题满分10分）如图1，菱形ABCD 中，∠A =600．点P 从A 出发，以2cm/s的速度沿边AB 、BC 、CD 匀速运动到D 终止；点Q 从A 与P 同时出发，沿边AD 匀速运动到D 终止，设点P 运动的时间为t s ．△APQ 的面积s (cm2) 与t (s)之间函数关系的图像由图2中的曲线段OE 与线段EF 、FG 给出．
A
P
（图1）
s ）
(1)求点Q 运动的速度；
(2)求图2中线段FG 的函数关系式；
(3)问：是否存在这样的t ，使PQ 将菱形ABCD 的面积恰好分成1:5的两部分？若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由．
二、苏州专区
16．已知点A(x 1，y 1 )、B （x 2，y 2 )在二次函数y =(x -1)+1的图象上，若x 1>x 2>1，则 y 1
▲ y 2(填“>”、“ = ”或 “
6．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0) ，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是 A ．x 1＝1，x 2＝－1 C ．x 1＝1，x 2＝0
B ．x 1＝1，x 2＝2 D ．x 1＝1，x 2＝3
2
24．（本题满分10分）如图，已知二次函数y =x 2-2x -1的图象的顶点为A ．二次函数
y =ax 2+bx 的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数y =x 2-2x -1
的图象的对称轴上．
（1）求点A 与点C 的坐标；
（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数y =ax 2+
bx
29．(本题满分9分) 如图，以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为(3，0) 、(0，4) ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m，n) 是抛物线上的一点(m、n 为正整数) ，且它位于对称轴的右侧．若以M 、
B 、O 、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，PA 2+PB2+PM2＞28是
否总成立? 请说明理由．
29．（本题满分10分）已知二次函数y =a x 2-6x +8(a >0)的图象与x 轴分别交于点A 、B ，
()
与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．
(1)如图①，连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O' 恰好落在该抛物线
的对称轴上，求实数a 的值；
(2)如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于边
EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
(3)如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是
否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
27．(本题满分8分) 如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧
半 圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x(2
⑴当x=5时，求弦PA 、PB 的长度； 2
(2)当x 为何值时PD ·CD 的值最大？最大值是多少？
29．（本题满分10分）如图，已知抛物线y =121b x -(b +1)x +（b 是实数且b>2）与x 444
轴的正半轴分别交于点A 、B(点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
(1)点B 的坐标为C 的坐标为用含b 的代数式表示）；
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是 以
点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两
个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
29．（本题满分10分）如图，已知抛物线y ＝12x ＋bx ＋c （b ，c 是常数，且c
别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1，0) ．
(1)b＝B 的横坐标为c 的代数式表示）；
(2)连接BC ，过点A 作直线AE ∥BC ，与抛物线y ＝12x ＋bx ＋c 交于点E ．点D 是x 2
轴上一点，其坐标为(2，0) ，当C ，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连接PB ，PC ，设所得△PBC 的面积为S ．
①求S 的取值范围；
②若△PBC 的面积S 为整数，则这样的△PBC 共有 ▲ 个．