一元二次方程的概念及直接开平方法
学习目标：理解一元二次方程的相关概念及一般形式，掌握其应用，并会用直接开平方法求简单的一元二次方程
学习重点：一元二次方程的应用，直接开平方法
学习过程：
一．课前回顾
1. 一元一次方程及二元一次方程的定义
题1 以下哪些是一元一次方程？哪些又是二元一次方程？
（1）x >8 （2）2x +y =7 （3）
（4） -3x +6=8 （5）3y +5=1+2=3 x 22 （6）x +1=5 5
2 （7）x +y ≤7 （8）x +y =6 （9）2x =y -8 【理解记忆】1. 等号两边都是整式，只含有一个未知数（即“一元”），并且未知数的最高次数为1（即“一次”）的方程叫做一元一次方程，一元一次方程的一般形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a ，b 为常数，x 为未知数，且a ≠0）；
2. 二元一次方程：等号两边都是整式，且含有两个未知数（即“二元”），并且所含未知数的最高次数都是1（即“一次”）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的一般形式为ax+by+c=0，其中a 、b 不为零。
【思考】你能否根据一元一次方程及二元一次方程的定义及一般形式，自己概况出一元一次方程的定义和一般形式呢？
二. 一元二次方程的概念、形式及应用
1. 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数（即“一元”），并且所含未知数的最高次数都是2（即“二次”）的方程叫做二元一次方程 .
题2 判断下列方程哪些是一元二次方程？
（1）3x +2=7； （2）y =3x -8；
2 （2）x -5xy +4y =0； （3）8x -6x =-4；
22 （4）y =3y +2； （5）1+x +6=0. x 2
解：（1）方程所含未知数的最高次数是1，不是2，是一元一次方程，而不是一元二次方程；
（2）方程含有两个未知数，是二元一次方程，而不是一元二次方程；
（3）方程含有两个未知数，不是一元二次方程；
（4）整理后的方程为6x -8x -4=0，是关于x 的一元二次方程；
（5）原方程可化为y -3y -2=0，是关于y 的一元二次方程；
（6）不是整式方程，所以不是一元二次方程.
【理解记忆】判断一个方程是不是一元二次方程，一要看是不是整式方程；二要看未知数22
的个数是不是只有一个，三要看未知数的最高次数是否为2. 三个条件缺一不可
【对应练习】
1. 在下列方程中，一定是一元二次方程的个数有（ ）．
①3x +7=0 ②ax +bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x-1 ④3x -
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理都能化成如下形式：22225=0 x
)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2是ax 2+bx +c =0，a ≠0(为什么？
二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 一般规定，最高项次数为正数.
题3 把方程3x (x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号（运用乘法分配律），得
3x -3x =5x +10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x -8x -10=0 由此得该方程的二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.
【理解记忆】一元二次方程一般形式的特征有：一是方程右边为0；二是方程左边的二次项系数不能为0.
【对应练习】（答案及过程写反面）
1. 方程8x -7=0的一次项系数是 .
2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）3x +1=6x （2）x (x +5)=0 2222
（3) x (x +5)=5x -10 (4)(3x -2)(x +1)=x (2x -1)
3. 一元二次方程的应用
1. 一元二次方程中的字母求值问题
因为a +1≠0(二次项系数不为0），得a ≠-1，所以a =1.
【对应练习】（答案及过程写反面）
1. 关于x 的方程（a-1）x +3x=0是一元二次方程，则a 的范围是______.
2.若ax -5x +3=
0是关于的一元二次方程，则不等式3a +6>0的解集是 .
3.已知方程(m +2)x +(m +1)x －m =0，当 m 满足__________时，它是一元一次方程；当m 满足___________时，它是一元二次方程.
2. 一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
题5 下列数中是一元二次方程x -x =12的根的有（ ） A.-3 B.0 C.2 D.4 E.8
【分析】根据一元二次方程解的含义，可将所给数值代入原方程，检验方程两边的值是否相等，如果相等，那么此数就是原方程的解，否则不是.
解：AB.
题6 关于一元二次方程x +mx +3=0的一个根是x =1，求m 的值.
【分析】根据一元二次方程根的定义可知：x =1代入方程使方程左右两边相等，故得x =1代入方程即可求m 的值.
解： x =1是方程x +mx +3=0的一个根，∴1+m ⨯1+3=
0，得m =-4.
【对应练习】（答案及过程写反面）
2222222
2.已知x =1是一元二次方程x +mx +n =0的一个根，则m +2mn +n 的值为 .
3.关于一元二次方程(m -1)x +x +m -1=0的一个根为0，则m 的一个值22222
为 .
三. 直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 直接开平方法的适用范围一般是对于形如x =p (p ≥0)或（mx+n）=p（p≥0）的一元二次方程，其22
实质是“降次”，理论依据是平方根的定义及性质（还记得吗？）
题7 用直接开平方法解方程
2 （1）(2x -1) =4 (2) (2-x )-81=0 （3）x +2x +1=4 22
2 (2)移项，得(2-x )=81，两边开平方，得2-x =±9，∴2-x =9或2-x =-9，
∴x 1=-7, x 2=11
（3）根据完全平方公式，原方程可化为(x +1)=4，两边开平方，得x +1=±2，2
∴x +1=2或x +1=-2，∴x 1=1, x 2=-3
【理解记忆】利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：（1）一化，将原方程变形为
2（mx+n）=p（p≥0）的形式；（2）二开，直接开平方，得x =±p 或mx +n =±p ；x 2=p 或
（3）三解，解出原方程的解.
【对应练习】解下列方程：
（3）4x +4x +1=5 （4）x -8x +16=0
22
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
8.解下列方程：
（1
（3) x 2-6x +9=(5-2x ) (4)4(2x +1)=9(2x -
1) 222
一元二次方程的概念及直接开平方法
学习目标：理解一元二次方程的相关概念及一般形式，掌握其应用，并会用直接开平方法求简单的一元二次方程
学习重点：一元二次方程的应用，直接开平方法
学习过程：
一．课前回顾
1. 一元一次方程及二元一次方程的定义
题1 以下哪些是一元一次方程？哪些又是二元一次方程？
（1）x >8 （2）2x +y =7 （3）
（4） -3x +6=8 （5）3y +5=1+2=3 x 22 （6）x +1=5 5
2 （7）x +y ≤7 （8）x +y =6 （9）2x =y -8 【理解记忆】1. 等号两边都是整式，只含有一个未知数（即“一元”），并且未知数的最高次数为1（即“一次”）的方程叫做一元一次方程，一元一次方程的一般形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a ，b 为常数，x 为未知数，且a ≠0）；
2. 二元一次方程：等号两边都是整式，且含有两个未知数（即“二元”），并且所含未知数的最高次数都是1（即“一次”）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的一般形式为ax+by+c=0，其中a 、b 不为零。
【思考】你能否根据一元一次方程及二元一次方程的定义及一般形式，自己概况出一元一次方程的定义和一般形式呢？
二. 一元二次方程的概念、形式及应用
1. 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数（即“一元”），并且所含未知数的最高次数都是2（即“二次”）的方程叫做二元一次方程 .
题2 判断下列方程哪些是一元二次方程？
（1）3x +2=7； （2）y =3x -8；
2 （2）x -5xy +4y =0； （3）8x -6x =-4；
22 （4）y =3y +2； （5）1+x +6=0. x 2
解：（1）方程所含未知数的最高次数是1，不是2，是一元一次方程，而不是一元二次方程；
（2）方程含有两个未知数，是二元一次方程，而不是一元二次方程；
（3）方程含有两个未知数，不是一元二次方程；
（4）整理后的方程为6x -8x -4=0，是关于x 的一元二次方程；
（5）原方程可化为y -3y -2=0，是关于y 的一元二次方程；
（6）不是整式方程，所以不是一元二次方程.
【理解记忆】判断一个方程是不是一元二次方程，一要看是不是整式方程；二要看未知数22
的个数是不是只有一个，三要看未知数的最高次数是否为2. 三个条件缺一不可
【对应练习】
1. 在下列方程中，一定是一元二次方程的个数有（ ）．
①3x +7=0 ②ax +bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x-1 ④3x -
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理都能化成如下形式：22225=0 x
)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2是ax 2+bx +c =0，a ≠0(为什么？
二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 一般规定，最高项次数为正数.
题3 把方程3x (x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号（运用乘法分配律），得
3x -3x =5x +10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x -8x -10=0 由此得该方程的二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.
【理解记忆】一元二次方程一般形式的特征有：一是方程右边为0；二是方程左边的二次项系数不能为0.
【对应练习】（答案及过程写反面）
1. 方程8x -7=0的一次项系数是 .
2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）3x +1=6x （2）x (x +5)=0 2222
（3) x (x +5)=5x -10 (4)(3x -2)(x +1)=x (2x -1)
3. 一元二次方程的应用
1. 一元二次方程中的字母求值问题
因为a +1≠0(二次项系数不为0），得a ≠-1，所以a =1.
【对应练习】（答案及过程写反面）
1. 关于x 的方程（a-1）x +3x=0是一元二次方程，则a 的范围是______.
2.若ax -5x +3=
0是关于的一元二次方程，则不等式3a +6>0的解集是 .
3.已知方程(m +2)x +(m +1)x －m =0，当 m 满足__________时，它是一元一次方程；当m 满足___________时，它是一元二次方程.
2. 一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
题5 下列数中是一元二次方程x -x =12的根的有（ ） A.-3 B.0 C.2 D.4 E.8
【分析】根据一元二次方程解的含义，可将所给数值代入原方程，检验方程两边的值是否相等，如果相等，那么此数就是原方程的解，否则不是.
解：AB.
题6 关于一元二次方程x +mx +3=0的一个根是x =1，求m 的值.
【分析】根据一元二次方程根的定义可知：x =1代入方程使方程左右两边相等，故得x =1代入方程即可求m 的值.
解： x =1是方程x +mx +3=0的一个根，∴1+m ⨯1+3=
0，得m =-4.
【对应练习】（答案及过程写反面）
2222222
2.已知x =1是一元二次方程x +mx +n =0的一个根，则m +2mn +n 的值为 .
3.关于一元二次方程(m -1)x +x +m -1=0的一个根为0，则m 的一个值22222
为 .
三. 直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 直接开平方法的适用范围一般是对于形如x =p (p ≥0)或（mx+n）=p（p≥0）的一元二次方程，其22
实质是“降次”，理论依据是平方根的定义及性质（还记得吗？）
题7 用直接开平方法解方程
2 （1）(2x -1) =4 (2) (2-x )-81=0 （3）x +2x +1=4 22
2 (2)移项，得(2-x )=81，两边开平方，得2-x =±9，∴2-x =9或2-x =-9，
∴x 1=-7, x 2=11
（3）根据完全平方公式，原方程可化为(x +1)=4，两边开平方，得x +1=±2，2
∴x +1=2或x +1=-2，∴x 1=1, x 2=-3
【理解记忆】利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：（1）一化，将原方程变形为
2（mx+n）=p（p≥0）的形式；（2）二开，直接开平方，得x =±p 或mx +n =±p ；x 2=p 或
（3）三解，解出原方程的解.
【对应练习】解下列方程：
（3）4x +4x +1=5 （4）x -8x +16=0
22
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
8.解下列方程：
（1
（3) x 2-6x +9=(5-2x ) (4)4(2x +1)=9(2x -
1) 222